12结构的极限荷载

第12章 结构的极限荷载

12.1 概述
结构分析方法 弹性分析 塑性分析
结构设计方法 弹性设计 塑性设计
结构的弹性分析和设计：
基本假定：第一，结构的材料服从虎克定律，应力与应变成正比； 第二，结构的变形和位移都是微小的。
内力计算和位移计算都可以应用叠加原理
弹性设计时的强度条件：σ max
≤ [σ ]
=
σy
ky
材料屈服极限
偏于保守！
容许应力
安全系数

12.1 概述
结构的弹性分析和设计：
弹性设计时的强度条件：σ max
≤ [σ ]
=
σy
ky
材料屈服极限
偏于保守！
容许应力
安全系数
结构的塑性分析和设计：
塑性设计时的强度条件：
FP
≤ [FP ]
=
FP u ku
结构极限荷载
更合理、经济
容许荷载
安全系数
充分估计由弹塑性材料组成的超静定结构在超越材料屈服极限 以后的承载能力。

12.1 概述
结构的塑性分析和设计：
结构塑性分析 的主要任务
塑性设计时的强度条件：
FP
≤ [FP ]
=
FP u ku
结构极限荷载
更合理、经济
容许荷载
安全系数
极限状态与极限荷载： 结构变形随荷载增加而增大。当荷载达到某一临界值时，不
再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能 力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载称为极限荷载。

12.1 概述
? 弹性阶段：OA段应力与应变成
本章塑性分析假定：
正比，σ=Eε；
变形和位移都是微小的； ? 塑性阶段：AB段，应力达到屈
材料为理想弹塑性材料。 服极限σy，应变达εy=σy/E时；
AB平行于ε轴，应力σ=σy为常
量而应变ε可无限增长。
? 卸载规律：塑性阶段的某一点
C卸载，相应的路径如图中平行
于AO的虚线CD所示，即卸载的
规律与弹性阶段相同。
? 残余应变：当应力减至零时，
注：材料拉、压状态的 应力应变关系完全相同
材料有残余应变，如图中OD。

12.1 概述
本章塑性分析假定： 变形和位移都是微小的； 材料为理想弹塑性材料。
可见，对于弹塑性材料： 应力和应变并非一一对应； 必须了解加、卸载的全部“历
史”，才能确定应力应变
注：材料拉、压状态的 应力应变关系完全相同
为进一步简化分析：
本章还采用比例加载的假定： 所有的荷载均为单调增加，
不出现卸载现象； 在加载过程中，所有的荷载
均保持固定的比例，因而可以用 同一个参数（荷载因子）的倍数 来表示。

12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
? 承受纯弯曲作用的等截面梁，且截 面有一根对称轴，弯矩M作用在梁的 对称面内。 ? 随着弯矩的增大，梁的各部分逐渐由弹性阶段发展到塑性阶段。
? 实验表明，在梁的变形过程中，无论弹性阶段还是塑性阶段，梁的任一 横截面始终保持为平面，即在塑性阶段仍然可以沿用 “平截面假定”。

12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
弹性阶段
弹塑性阶段
(1) 弹性阶段，如图(b)所示： σ = My 中性轴与形心轴重合。
I
(2) 弹塑性阶段，如图(c)、(d)、(e)所示：
My =
Iσ y
ymax
= Wσ y
9 弯矩增加到屈服弯矩My后，上边缘开始屈服；
9 随着M继续增大，弹性区逐渐缩小，塑性区逐渐扩大；
9 在这一过程中，中性轴逐渐偏离形心轴而下移；

12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
弹性阶段
弹塑性阶段
极限状态
(3) 极限状态，如图 (f)所示： 弯矩增加的极限状态是弹性区全部消失，上下两个塑性区
连成一片，整个截面上正应力的绝对值都达到了屈服极限。极 限状态的弯矩是截面所能承受的最大弯矩，记作Mu，称为极限 弯矩。

12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
极限弯矩
设极限状态截面受拉区和受压区面积分别为A1和A2，由平衡条件可知
σ y A1 ? σ y A2 = 0
A1 = A2 = A / 2
在极限状态下，截面的受拉区面积和受压区面积相等，中性轴重合于截
面的等面积轴，可得极限弯矩：
Mu = σ y (S1 + S2 ) = σ yWs
S1和S2分别为受拉区面积A1和受压区面积A2对等面积轴的静矩； WS称为截面的塑性抵抗矩；

12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.1极限弯矩
截面的形式系数 α = M u = WS
My W
反映截面在弹性阶段之后抵抗更大弯矩的潜力
对于宽度和高度各为b和h的矩形截面，
W = bh3 12
h = 1 bh2 26
WS
=
2 × (bh 2
?
h) 4
=
1 4
bh2
α = WS = 1.5
W
矩形截面的极限弯矩 为屈服弯矩的1.5倍
对于圆形截面，α=1.70；对于常用的在腹板对称面内 受弯的工字形截面，α可以统一地取为1.15。

12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.2 塑性铰的概念
极限状态 在极限状态下，截面上各点的正应力均达到了屈服极限，因此不能继续增大。 但是，在极限弯矩的作用下，截面各点的正应变却可以在符合平截面假定的条 件下继续增大，从而使得截面两侧的杆件绕着这个截面发生有限的相对转动， 类似于杆件在该处铰接的情况，
称称该截面处出现了一个塑性铰。

12.2 极限弯矩和塑性铰
12.2.2 塑性铰的概念
在极限弯矩的作用下，截面各点的正应变却可以在符合平截面假定的条件下继 续增大，从而使得截面两侧的杆件绕着这个截面发生有限的相对转动，类似于 杆件在该处铰接的情况。
塑性铰
普通铰
塑性铰与普通铰的区别： ? 塑性铰能传递弯矩，普通铰不能； ? 塑性铰在卸载时会消失，普通铰不会； ? 塑性铰是单向铰，截面两侧只能在 ? 塑性铰随荷载分布而出现于不同截面， 极限弯矩方向上发生相对转动，普通 普通铰的位置则是固定的。 铰可以自由发生相对转动。

12.3 静定梁的极限荷载
弹性阶段：FPMy=Wσy=bh2σy/6，Mu=WSσy=bh2σy /4
弹塑性阶段：FPy塑性区从 跨中向两端扩 展，从上、下 边缘向中性轴 扩展，但上、 下两个塑性区 尚未连成一 片，弹性区仍 是连续的。

12.3 静定梁的极限荷载
塑性阶段：FP =FPu=4Mu/l 破坏机构
计算静定梁极限荷载的步骤： ? 确定塑性铰的数量。静定梁出 现1个塑性铰即形成破坏机构； ? 确定塑性铰的位置。静定梁的 塑性铰总是出现在M/Mu取得最大 值的截面； ? 利用平衡条件求该截面的弯矩 并令其等于极限弯矩，就可以求 得极限荷载。

破坏机构
M = q ( 6 ? 2)(3 ? 6)l 2 2
=
Mu =
6Mu0 2
12.3 静定梁的极限荷载
例12-1 已知变截面简支梁的极限弯矩为
Mu(x)=Mu0(1+0.5x/l)，梁受全跨均布荷
载作用，求荷载集度的极限值qu。
梁各截面的弯矩 M (x) = 1 qx(l ? x) 2
d dx
[M
(
x)
/
M
u
(
x)]
=
0
x2+4lx-2l2=0
x = ( 6 ? 2)l ≈ 0.4495 l
qu
=
Mu0 l2
(5 +
2
6
)
≈
9.899
Mu l2
0

12.4 超静定梁的极限荷载
12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载
梁端部的弯矩绝对值最大，因此最先达到屈服值My
qy l2 12
= My
qy
=
12M y l2
随着荷载增大，两端部先形成塑性铰 但结构并未形成破坏机构！
荷载继续增大，直至跨中形成塑性铰
结构形成破坏机构，极限状态！
qu l 2 8
=
Mu
+ Mu
qu
= 16M u l2
qu = 4M u = 4 α
qy 3M y 3

12.4 超静定梁的极限荷载
12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载
梁端部的弯矩绝对值最大，因此最先达到屈服值My
qy l2 12
= My
qy
=
12M y l2
对于矩形截面，α=1.5，则极限荷载为屈服
荷载的2倍，可见：超静定梁在弹性极限后 的承载潜力很大。
逐渐加载法（增量法）
qu l 2 8
=
Mu
+ Mu
qu
= 16M u l2
qu = 4M u = 4 α
qy 3M y 3

12.4 超静定梁的极限荷载
12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载
如果仅仅要求计算极限荷载，则无须追踪上述过程，而只要考 虑极限状态下的平衡条件，直接求解。
? 静力法：由问题的对称性极易判断破坏机构 中三个塑性铰的位置，并画出极限状态下的弯 矩图，利用平衡条件便可求得极限荷载。
破坏机构
qu l 2 8
= Mu
+ Mu
qu
= 16M u l2

12.4 超静定梁的极限荷载
12.4.1 单跨超静定梁的极限荷载
如果仅仅要求计算极限荷载，则无须追踪上述过程，而只要考 虑极限状态下的平衡条件，直接求解。
? 虚功法（机动法）：与静力法相同，首先 判断塑性铰的位置，确定破坏机构图。然后 假设虚位移状态：
破坏机构
∫ ∫ We
=2
l/2
0 qu ydx = 2qu
l 0
/
2θxdx
=qu
?
l 2θ
4
Wi = ?(M uθ + M uθ + M u 2θ ) = ?4M uθ
qu ? l2θ ? 4M uθ = 0
4
qu
=
16M u l2