结构力学极限荷载
结构力学(二)第4版龙驭球第17章结构的极限荷载
第17章 极限荷载【17-1】 验证：（a ）工字形截面的极限弯矩为)41(212δδδσb hbh M s u +=。
（b ）圆形截面的极限弯矩为63D M s u σ=。
（c ）环形截面的极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=33)21(16D D M su δσ。
【解】（a ）工字形截面的等面积轴位于中间。
静距计算公式：2021d xy y xy S y ==⎰考虑上半部分面积对等面积轴的静距（大矩形静距减两个小矩形静距）：)41(21)4(21)2)((21)2(21211212222121122222212bhb b h h bh h h b bh hb h b S δδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=+-+-=---= 去除高阶小量后)41(21212δδδb h bh S +=因此极限弯矩为)41()(212δδδσσb h bh S S M s s u +=+= （b ）静距计算公式：2021d xy y xy S y==⎰ 6322d 2))2(d(21)2(4d )2(43)2(023)2(0202222202222D uu u y D y D y y y D S D DDD =⋅=⋅=-⋅-=⋅-=⎰⎰⎰关/注；公，众。
号：倾听细雨因此极限弯矩为63D S M s s u σσ==（c ）圆的静距为63D S =则圆环的静距为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=3333)21(166)2(-6D D D D S δδ 因此极限弯矩为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==33)21(16D D S M ss u δσσ 【17-2】 试求图示两角钢截面的极限弯矩u M 。
设材料的屈服应力为s σ。
【解】设等面积轴距上顶面距离为xmm 。
由面积轴两侧面积相等，也即面积轴以上面积等于总面积的一半，得405550))50(21(22⨯+⨯=-+x x x ，解得mm x 723.4=。
单个角钢上下截面面积矩：32323232233214879mm ])723.440(20)723.440(31)723.445(20)723.445(31[)723.445(521723.431723.4)723.445(21540mm 723.431723.4)723.450(21=+⨯++⨯-+⨯-+⨯-+⨯⨯+⨯-⨯-⨯==⨯+⨯-⨯=S S由此得截面极限弯矩s s s u S S M σσσ10838)4879540(2)(221=+⨯=+=【17-3】 试求图示各梁的极限荷载。
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
哈工大 土木工程学院
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17
结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
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17
结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
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结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
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17
结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学专题十六(单跨梁极限荷载计算)
P
P
A
D
B
C
l/3 l/3 l/3
共有三种可能的破坏机构
Fpu
4 l
Mu
F1
5 l
Mu
F2
4 l
Mu
2.用试算法求解
F3
9 l
Mu
作业：
16—3、 16—4。
补：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
A
C
B
3m
1m
(2)平衡弯矩法
Mmax 1.5FPu M u
FPu
2 3
Mu
2F
F
2m
2m
1m
小结： 静定梁极限荷载计算特点：
静定结构无多余约束，出现一个塑性铰即成为破 坏机构。这时结构上的荷载即为极限荷载。
塑性铰出现的位置应为截面弯矩与极限弯矩之比 的绝对值最大的截面。
求出塑性铰发生的截面后，令该截面的弯矩等于 极限弯矩，利用平衡条件即可求出极限荷载。
(1)可破坏荷载 Fp
对任一破坏机构，由平衡条件求出的荷载称为可破坏 荷载；
(2)可接受荷载 Fp
同时满足屈服条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载；
(3)极限荷载 Fpu
同时满足三个条件的荷载称为极限荷载，即极限荷载 既是可破坏荷载，又是可接受荷载。
4、一般定理
（1）基本定理（预备定理）
可破坏荷载恒不小于可接受荷载 Fp Fp
第十六章 梁和刚架的极限荷载
§16-3 单跨梁极限荷载计算
一、静定梁 例2：求图示结构的极限荷载，
材料极限弯矩为Mu。 (1)机动法
2F
F
2m
2m
1m
塑性铰出现在支座处
李廉锟《结构力学》(第5版)(下册)课后习题-第14章 结构的极限荷载【圣才出品】
第14章 结构的极限荷载复习思考题1．什么叫极限状态和极限荷载？什么叫极限弯矩、塑性铰和破坏机构？答：（1）极限状态和极限荷载的含义：①极限状态是指整个结构或结构的一部分超过某一状态就不能满足设计规定的某一功能要求时所对应的特定状态；②极限荷载是指结构在极限状态时所能承受的荷载。
（2）极限弯矩、塑性铰和破坏机构的含义：①极限弯矩是指某一截面所能承受的弯矩的最大数值；②塑性铰是指弯矩不能再增大，但弯曲变形则可任意增长的截面；③破坏机构是指出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系的结构。
2．静定结构出现一个塑性铰时是否一定成为破坏机构？n次超静定结构是否必须出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构？答：（1）静定结构出现一个塑性铰时一定成为破坏机构。
因为根据几何组成分析，当静定结构出现一个塑性铰时，结构由几何不变变成几何可变或几何瞬变体系，此时该结构一定成为了破坏机构。
（2）n次超静定结构不必出现n＋1个塑性铰才能成为破坏机构。
因为n次超静定结构出现n个塑性铰时，如果塑性铰的位置不合适，也可能使原结构变成几何瞬变的体系，此时的结构也成为了破坏机构。
3．结构处于极限状态时应满足哪些条件？答：结构处于极限状态时应满足如下三个条件：（1）机构条件机构条件是指在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构（几何可变或瞬变体系），可沿荷载作正功的方向发生单向运动。
（2）内力局限条件内力局限条件是指在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩。
（3）平衡条件平衡条件是指在极限状态中，结构的整体或任一局部仍维持平衡。
4．什么叫可破坏荷载和可接受荷载？它们与极限荷载的关系如何？答：（1）可破坏荷载和可接受荷载的含义：可破坏荷载是指满足机构条件和平衡条件的荷载（不一定满足内力局限条件）；可接受荷载是指满足内力局限条件和平衡条件的荷载（不一定满足机构条件）。
（2）与极限荷载的关系极限荷载是所有可破坏荷载中的最小者，是所有可接受荷载中的最大者。
结构力学结构的塑性分析与极限荷载 ppt课件
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
结构力学专题十五(结构的极限荷载)
Ms W
称为截面形状系数，其值与截面形状有关。
例：已知材料的屈服极限 s 240 MPa ，
求图示截面的极限弯矩。
80mm
Mu s (S1 S2 ) 27.36kN.m
20mm
2、塑性较 当截面弯矩达到极限弯矩时，在保持弯矩不变的前
提下，截面纤维将无限地伸长和缩短，因此在该小段内， 两个无限靠近的截面可以发生相对转动，这种情况与带 铰截面相似，称这种截面为“塑性铰”。
A
(1)平衡弯矩法
(2)机动法
(3)增量法
F
B
l/2
l/2
例5:求图示等截面梁的极限荷载。 已知梁的极限弯矩为Mu。
A
q
B
l
例6：求图示结构的极限荷载， 材料极限弯矩为Mu。
M
AC
B
1m
3m
三、变截面超静定梁
例7：求图示结构的极限荷载，
已知 Mu Mu
A Mu
Mu F
D
BC
l ll
作业：
思考题 16—2 、16—4、16—5； 习题： 16—1。
塑性铰与普通铰的区别：
（1）普通铰不能承受弯矩，而塑性铰能承受弯矩Mu。 （2）普通铰是双向铰，而塑性铰是单向铰。
3、弹性极限荷载、极限荷载、破坏机构（极限状态）
（1）对弹于性特阶定段的结构，随着荷载的逐渐增加：
各截面弯矩不超过 “屈服弯矩”Ms ；
（2）弹性阶段终止
当某个截面弯矩首先达到“屈服弯矩”Ms时，弹性阶段终止， 此时的荷载称为“弹性极限荷载”Fps；
加载
E S
S
S
弹性
塑性 s
卸载 E
弹性
s
结构力学课件 第十二章 结构的极限荷载
Mu
× 2δθ
=
0
Pu
A
δθ B
δθ
C Mu
2δθ
Pu/2
本例中，截面上有剪力，剪力 会使极限弯矩值降低，但一般 影响较小，可略去不计。
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-3 单跨超静定梁的极限荷载
超静定梁有多余约束，出现一个塑性铰后仍是几何不变体系。
A截面先出现塑性铰，这时 M A = 3Pl /16 = M u P = 16M u / 3l
机械系 董达善 教授
第十二章 结构的极限荷载
§12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法
上节定理的应用：
极小定理的应用
穷举法：列出所有可能的破坏机构，用平衡条件求出这些破坏 机构对应的可破坏荷载，其中最小者既是极限荷载。
试算法：每次任选一种破坏机构，由平衡条件求出相应的可破 坏荷载，再检验是否满足内力局限性条件；若满足，该可破坏 荷载既为极限荷载；若不满足，另选一个破坏机构继续运算。
Pu1 ≥ Pu2 若把 Pu2看成可破坏荷载，Pu1 看成可接受荷载。
故有
Pu1 ≤ Pu2 Pu1 = Pu2
3.极小定理：极限荷载是所有可破坏荷载中最小的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可接受荷载，由基本定理 Pu ≤ P+ 4.极大定理：极限荷载是所有可接受荷载中最大的。
证明：由于极限荷载 Pu 是可破坏荷载，由基本定理 Pu ≥ P−
令 M max = M u ，得
Pu
=
4Mu
/
l
=
4 4000
× 26.79×106
=
26.79
kN
l/2
l/2
结构力学第十五章 结构的塑性分析与极限荷载.ppt
坏形态才可能实现。
A l/3
B
Mu
B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
FPu MuB MuD
B
3 l
FPu
M
u
(
3 l
6 l
)
Mu 3Mu
Mu
A
B
FPu
9 l
Mu
(Mu 3Mu )
D
6 l
FPu
D
C
Mu
20
2) A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只
解:
为Mu。
塑性铰位置：A截面及跨 A
中最大弯矩截面C。
q
B l
整体平衡 M A 0
FRB
1(1 l2
qul 2
Mu )
qu
A
Mu A
l-x
Mu C C x
B
FRB
FRB
1 2
qul
Mu l
qu
BC段平衡
Fy 0 FQC FRB qu x 0
C
FQC Mux
4
1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后，从C点卸载至D
点，即应力减小为零。此时，应变并不等于
零，而为εP。由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变的塑性部分，称为残余应变。
s A
CB
o
ε
D
sεεP
ε
s
ε
理想弹塑性模型
5
2）应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之 间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，
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y s y0
弹性核
y0
s
b)
0
图c）——截面处于塑性流动阶段。在弹塑 性阶段，随着M增大，弹性核高度逐渐减小 最后y0→0。此时相应的弯矩为：
bh 2 Mu s 4
s
Mu 是截面所能承受的最大弯矩，称为极限弯矩。
s
c)
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
中性轴的位置(P268)
塑性设计：
先确定结构破坏时所能承受的荷载(极限荷载)，然 后将极限荷载除以荷载系数得到容许荷载并进行设计。 其特点是通过计算极限荷载的方式确定结构破坏时所能 承受的荷载。
结构力学（2）
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弹性设计法（许用应力法）
要点 1.弹性分析计算（对于复杂结构采用矩阵位移法） 2.确定每个构件的最大应力不超过许用应力
2Fp Fp l/2
M图
M max
5 Fpl 8
5 Fp l M u 8 8M u Fpu = 5l
Mu 2l
l/2
M max 2 Fp l M u
Fpu =
结构力学（2）
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2Fp
例 求静定梁的比例加载时的极限荷载Fpu
Fp Mu
l/2 B
弯矩图法
A
3Mu
4 2 21 l
令机构产生虚位移，使C截面竖向 位移和荷载FP同向，大小为δ
外力虚功：
We FP
6 M u 2 4 内力虚功： Wi M u1 M u 2 M u ( ) l l l 6M u 由 We=Wi 得： FPu l
极限弯矩与屈服弯矩之比=截面系数比 对称截面的形心轴 M u Wu 与等面积轴重合， M W s s 皆为对称中心线。
M
M
M
弹塑性变形发展阶段
Mu Ms
M s 屈服弯矩 M u 极限弯矩
弯矩与转角的关系曲线
结构力学（2） 弯矩M与曲率的关系曲线例
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h
d
b
h strain
结构力学（2）
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塑性铰: 达到极限弯矩的截面(p268)
FPu
Mu
塑性铰的特点（与机械铰的区别） （1）机械铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）机械铰双向转动，塑性铰单向转动； （3）实际的塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。 对于纯弯杆件，塑性铰的理论长度等于杆件长度。通常忽 略塑性铰长度，将达到极限弯矩的截面称为塑性铰。 （4）机械铰卸载时不消失；塑性铰在卸载时消失。
1. 极限弯矩与屈服弯矩
M
M
h b
b h
s
s
s
s
y0 y0
a)
s
b)
s
c)
图a）——截面还处在弹性阶段，最外纤维
bh2 s 处应力达到屈服极限σs ，截面弯矩为： M S 6
Ms称为弹性极限弯矩，或称为屈服弯矩。
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院 s 图b）——截面处于弹塑性阶段，截面外边 缘处成为塑性区，在截面内部仍为弹性区。 y
结构力学（2）
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理想弹性状态下的变形（弹性变形）
局部弯曲
强柱弱梁 强梁弱柱
理想刚塑性状态下的变形（塑性变形）
结构力学（2） 极限状态下构件的变形
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柱端的应变达到弹 性极限时，弹性变 形基本停止，塑性 弯曲变形逐渐集中 于应力较大的局部 （柱端或梁端）。
柱屈服
弹性变形产生的位移远小 于塑性变形，塑性变形通 常集中于局部（塑性铰）
Fps
梁屈服
F ps 屈服荷载 F pu 极限荷载
横向受力刚架的荷载位移关系图
在弹性范围内，荷载与变形成比例。超过屈服荷载时，变形不再按比例放大，而是集中 于某几个局部(塑性铰)。使得整体出现大的位移，而局部以外的杆件本身没有大的变形。
结构力学（2） 破坏机构
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§17-3 单跨梁的极限荷载
足够多的塑性铰的出现使原结构成为机构（一个自由度的几何可变或瞬 变体系），失去继续承载的能力，该几何可变或瞬变体系称为破坏机构。 (1)、不同结构在荷载作用下，成为机构，所需塑性铰的数目不同。
q u1
qu 2
Mu
Mu Mu (2)、不同结构，只要材料、截面积、截面形状相同，极限弯矩一定相同。 M u Wu s (3)、材料、截面积、截面形状相同的不同结构，极限荷载qu不一定相同。
s
A
塑性流动状态
C
B
s s
屈服应力 yield stress （弹性阶段最大应力） 屈服应变 yield strain （弹性阶段最大应变） 残余应变 residual strain
o
εs
D
ε
εs
εr
r
结构力学（2）
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§17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态
几种单跨超静定梁的破坏机构
Mu Mu Mu
Mu
Mu
Mu
Mu
Mu Mu
结构力学（2）
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1. 单跨超静定梁的极限荷载计算例
利用静力平衡方程求极限荷载的方法称为静力法（弯矩图法）。
利用虚功方程求极限荷载的方法称为虚功法。
例 求单跨梁的极限荷载,截面极限弯矩为Mu（P269）
1）静力法(作弯矩图)：
E elastic stress
s
elastio-plastic stress
M
结构力学（2） 2. 极限荷载和屈服荷载
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屈服荷载：弹性阶段结构所能承受的最大荷载，也称弹性极限荷载。 极限荷载：结构塑性破坏时对应的荷载，也称塑性极限荷载。 极限状态：极限荷载所对应的状态，位移(挠度)可以任意增加而承载力 无法增加的状态。
结构力学（2）
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对受弯结构进行弹性分析的缺陷 （1）弹性设计以屈服极限为基准，但最大应力达到屈服极限 时，截面并未全部进入流动状态，截面仍然存在承载能力； （2）超静定结构某一局部应力达到屈服状态时，结构并不破 坏，结构仍然具有承载能力，极限荷载大于屈服荷载。
Fp
Fp
例：
Fpu
应变
s s
屈服应力（弹性极限应力）
屈服应变（弹性极限应变）
b b
最大应力 最大应变
b 100 s
最大应变是屈服应变的100倍以上
结构力学（2）
应力
浙大宁波理工学院土建学院 钢材的应力-应变关系图
简化
应变
应力
A
弹性阶段
塑性阶段（塑性流动阶段）
B
o
应变
结构力学（2）
应力
浙大宁波理工学院土建学院 理想弹塑性模型图（P266 图17-1）
弹性设计例
Fp
s 许用应力 k
最大应力
l
max
M max Fpl Ws Ws
l
截面系数
柱的验算 …….
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弹性变形
塑性变形
结构力学（2）
应力
浙大宁波理工学院土建学院 钢材的应力-应变关系图
当截面弯矩达到极限弯矩时，两个无限靠近的相邻截面可产生有限的相
对转角，产生局部弯曲变形，这种情况与带铰的截面相似，称为塑性铰。
极限荷载（P266）
结构破坏时所能承担的的荷载。
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§17-2 极限弯矩、塑性铰、极限荷载 、极限状态
基本假设(一般针对钢材料) 1、材料为“理想弹塑性材料” 。 2、材料均匀，各向同性。 3、平面假定。即无论弹、塑性阶段，都保持平截面不变。
塑性设计法的要点 1.计算极限荷载 2.极限荷载除以荷载安全系数得出容许荷载 3.以此为依据进行设计, 判断是否荷载小等于容许荷载… *必须先算杆件极限内力才可以计算结构极限荷载
极限内力
极限弯矩 极限剪力 极限轴力
极限荷载
极限集中荷载 极限分布(均布)荷载 极限力偶 极限分布力偶
结构力学（2）
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结构力学（2）
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结 构 力 学（2）
第17章 结构的极限荷载
结构力学（2）
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17-1概述
弹性设计： 利用弹性计算的结果，以许用应力为依据来确定截 面尺寸或进行强度验算的设计法。在计算中假设应力与 应变为线性关系，结构在卸载后没有残余变形。其特点 是通过计算弹性阶段各杆件最大应力的方法进行强度验 算，确保不超过许用应力。
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对于简单的超静定梁，可先判断塑性铰出现的位置，利用 静力平衡方程或虚功方程计算极限荷载。
FP Mu
弹性状态下的变形图
3 Fp l 16
FP
极限状态下的变形图（破坏机构图）
Mu
Mu
5 Fp l 32
Mu
极限状态下的弯矩图
弹性状态下的弯矩图
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A C B
s
o
s
s
D
应变
r
s
屈服应力 yield stress （弹性阶段最大应力）
s
屈服应变 yield strain（弹性阶段最大应变）
残余应变 residual strain
r
结构力学（2）
应力
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