高中数学必修二 第一章立体几何 课时作业2.
2020版高中数学人教版必修2高一数学第一章 空间几何体的表面积与体积(课时作业) (2)
课时作业5 柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)基础巩固1．正方体全面积增大为原来的2倍，则它的体积增大为原来的( )A ．2倍B ．4倍C.倍D ．2倍22解析：S 全＝6a 2，S ′全＝6a ′2＝2S 全，∴a ′＝a . 2V ＝a 3，V ′＝a ′3＝2a 3＝2V . 22答案：D2．(2019年安徽高二模拟考试) 已知一个简单几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为( )图1A ．3π＋6B ．6π＋6C ．3π＋12D. 12解析： 由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为V ＝××π×32×4＋××3×3×4＝3π＋6，故选A. 14131312答案： A3．(2019年晋冀鲁豫高三月考) 若某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )图2A.B.C ．2D ．44323图3解析：据三视图分析知，该几何体是如图3所示的棱长为2的正方体被平面解得的三棱锥C －ADE ，且D 是正方体所在棱的中点，所以该几何体的体积V ＝××2＝.13(12×2×2)43答案： A4．(2019年重庆高二月考) 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图4所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12. 6(立方寸)，则图中的x 的值为________．图4解析：由图可得π××x ＋3×1×(5.4－x )(12)2＝12.6⇒x ＝1.6. 答案：1.65.某几何体的三视图如图5所示，则该几何体的体积为________．图5解析：由几何体的三视图得到该几何体是由底面直径为2，高为2的圆柱和底面直径为2高为1的半圆锥两部分组成，∴该几何体的体积为V ＝π×12×2＋×π×12×1×＝. 131213π6答案：13π6能力提升1．(2019年安徽高三检测) 一个三棱锥的三视图如图6所示，其中正视图、侧视图、俯视图都是直角三角形，则该三棱锥最长的棱长为( )图6A．7 B．2C．3 D.25解析：由三视图可得三棱锥为如图7所示的三棱锥B1ABD，其中底面三角形ABD是直角三角形，两直角边分别为AB＝1，AD＝3，BB1⊥底面ABD，且BB1＝2.图7结合图形可得最长的棱为DB 1＝＝2.故选B. 12＋（3）2＋222答案： B2．(2019年山东高三模拟)如图8, 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图8所示，则这个四棱锥的体积为( )图8A ．1B ．2C ．3D ．4解析： 由三视图可知高为h ＝＝3，∴V ＝××2（13）2－221312×2×3＝2，应选B.答案： B3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )图9A ．1∶1B. 1∶C. 1∶D. 1∶223解析：设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的表面积为S 2＝6a 2，且三棱锥D 1AB 1C 为各棱长均为a 的正四面体，其中一个面的面积为S ＝××a ×a ＝212322232a 2，所以三棱锥D 1AB 1C 的表面积为S 1＝4×a 2＝2a 2，所以三棱323锥D 1AB 1C 的体积与正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的表面积之比为S 1∶S 2＝1∶.故选C.3答案：C4．如图10，在正方体ABCD A 1B 1C1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )图10A ．1 B. 2C.D ．23解析：设正方体棱长为1，则三棱锥P BCD 的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为×1×1＝；1212三棱锥P BCD 的俯视图取最大面积时，P 在A 1处，俯视图面积的最大值为1×1＝1，故三棱锥P BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为2，故选D.答案：D5．如图11，三棱锥A BCD 中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且2AF ＝FD ，若三棱锥A BEF 的体积是2，则四棱锥B ECDF 的体积为________．图11解析：因为＝＝，S△AEFS△ACD 12AE ·AF ·sin A 12AC ·AD ·sin A16V 正＝6V A AEF ＝12，则V B ECDF ＝10. 答案：106．如图12，圆锥形封闭容器，高为h ，圆锥内水面高为h 1，且h 1＝h ，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为h 2，求h 2.13图12解：因为＝＝，所以＝.倒置后的体积V 圆锥SOV 圆锥SO ′(23h h)3 827V 水V 圆锥S ′O 11927关系为＝＝，所以h 2＝ ＝h .V 水V 圆锥S ′O 1h 23h 31927319h 32731937．如图13，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1, D 1C 1上，A 1E ＝ D1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．图13(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解：图14(1)交线围成的正方形EHGF 如图14.(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝＝6，AH ＝10，HB ＝6.EH 2－EM 2长方体被平面α分为两个高为10的直棱柱，其体积的比值为97. (79也正确)拓展要求1．(2019年安徽蚌埠高三第二次质量检查)如图15，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )图15A ．15B ．16C. D. 503533解析：本题主要考查空间几何体的三视图与体积，考查空间想象能力．由三视图可知，该几何体是四棱锥P ABCD ，如图16所示，则该几何体的体积V ＝×(×4×4＋×2×2)×5＝.131212503图16答案：C2．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm 和30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．解：如图17所示，在三棱台ABC A ′B ′C ′中，O ′，O 分别为上、下底面的中心，D ，D ′分别是BC ，B ′C ′的中点，连接OO ′，A ′D ′，AD ，DD ′，则DD ′是等腰梯形BCC ′B ′的高，记为h 0，所以S 侧＝3××(20＋30)h 0＝75h 0.12图17上、下底面面积之和为S 上＋S 下＝×(202＋302)＝325343(cm 2)．由S 侧＝S 上＋S 下，得75h 0＝325，311所以h 0＝(cm)． 1333又O ′D ′＝××20＝(cm), 13321033OD ＝××30＝5(cm)， 13323记棱台的高为h ，则h ＝O ′O ＝h 02－（OD －O ′D ′）2＝ (1333)2 －(53－1033)2 ＝4(cm)，3由棱台的体积公式，可得棱台的体积 V ＝(S 上＋S 下＋) h 3S 上S 下＝×(325＋×20×30) 433334＝1 900(cm 3).。
高中数学 第1章 立体几何初步 2 直观图课时作业 北师大版必修2(2021年整理)
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2 直观图时间：45分钟满分:80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．水平放置的梯形的直观图是( )A．梯形 B．矩形C．三角形 D．任意四边形答案：A解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选A。
2．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是（）A．①② B．①C．③④ D．①②③④答案：A解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法,所以①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变,所以不正确．3．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( ）答案:A解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为错误!，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线的长为2错误!.4．已知一条边在x轴上的正方形的直观图是一个平行四边形,此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是（）A．16 B．64C．16或64 D．以上都不对答案:C解析：根据直观图的画法，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x′轴，则正方形的边长为4，面积为16;长为4的边如果平行于y′轴，则正方形的边长为8，面积是64。
高中数学(苏教版,必修二) 第一章立体几何初步 第1章 章末检测(A) 课时作业(含答案)
第1章 立体几何初步（A ）(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括________________．2．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________．4．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的度数为________．5．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为________．6．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为________．7．一个水平放置的圆柱形储油桶(如图所示)，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的14，则油桶直立时，油的高度与桶的高度的比值是______．8．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．9．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是________(填序号)．10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于________．11．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为________．12．设平面α∥平面β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8，BS ＝6，CS ＝12，则SD ＝________．13．如图所示，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．14．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．其中正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；(2)求该几何体的体积(结果保留π)．16．(14分)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．17．(14分)沿着圆柱的一条母线将圆柱剪开，可将侧面展到一个平面上，所得的矩形称为圆柱的侧面展开图，其中矩形长与宽分别是圆柱的底面圆周长和高(母线长)，所以圆柱的侧面积S＝2πrl，其中r为圆柱底面圆半径，l为母线长．现已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？18．(16分) 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，为什么？19．(16分) 如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥面ACD；(2)面EFC⊥面BCD．20．(16分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：P A∥面BDE；平面P AC⊥平面BDE；(2)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．第1章立体几何初步(A) 答案1．一个圆柱、两个圆锥2．6 2解析原图与其直观图的面积比为4∶2，所以34S原＝24，所以S原＝62．3．24π解析如图所示，由V ＝Sh 得，S ＝4，即正四棱柱底面边长为2． ∴A 1O 1＝2，A 1O ＝R ＝6．∴S 球＝4πR 2＝24π．4．180°解析 S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即：2πr 2＝πrl ，得2r ＝l ．设侧面展开图的圆心角为θ， 则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°． 5．4R6．360解析 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体． ∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360．7．14－12π解析 设圆柱桶的底面半径为R ，高为h ，油桶直立时油面的高度为x ，则⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h ＝πR 2x ， 所以x h ＝14－12π． 8．2 3 解析 由主视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分(四棱锥C 1－ABCD)，还原在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，由正方体棱长AB ＝2知最长棱的长为23．9．②④解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．10．45°11．1256π 解析 球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝1256π． 12．9解析 由面面平行的性质得AC ∥BD ，AS BS ＝CS SD， 解得SD ＝9．13．B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)解析 由直四棱柱可知CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1D 1，要使B 1D 1⊥A 1C ，只要B 1D 1⊥平面A 1CC 1，所以只要B 1D 1⊥A 1C 1，还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形，正方形等条件．14．④解析 ①中b 可能在α内；②a 与b 可能异面；③a 可能与α内的直线异面．15．解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为2 m 的正方体，上半部分是半径为1 m 的半球．(1)几何体的表面积为S ＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m 2)． (2)几何体的体积为V ＝23＋12×43×π×13＝8＋2π3(m 3)． 16．解 S 表面＝S 圆台底面＋S 圆台侧面＋S 圆锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22＝(42＋60)π．V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π(r 21＋r 1r 2＋r 22)h －13πr 21h ′ ＝13π(25＋10＋4)×4－13π×4×2＝1483π． 17．解 (1)画圆锥及内接圆柱的轴截面(如图所示)．设所求圆柱的底面半径为r ，它的侧面积S 圆柱侧＝2πrx ．因为r R ＝H －x H ，所以r ＝R －R H·x ． 所以S 圆柱侧＝2πRx －2πR H·x 2． (2)因为S 圆柱侧的表达式中x 2的系数小于零，所以这个二次函数有最大值．这时圆柱的高x ＝H 2． 故当圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大．18．解 直线MN ∥平面A 1BC 1，证明如下：∵MD/∈平面A 1BC 1，ND/∈平面A 1BC 1．∴MN ⊄平面A 1BC 1．如图，取A 1C 1的中点O 1，连结NO 1、BO 1．∵NO 1綊12D 1C 1， MB 綊12D 1C 1，∴NO 1綊MB ． ∴四边形NO 1BM 为平行四边形．∴MN ∥BO 1．又∵BO 1⊂平面A 1BC 1，∴MN ∥平面A 1BC 1．19．解 (1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴EF ∥面ACD ．(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ．∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ．又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ， ∴面EFC ⊥面BCD ．20．(1)证明连结OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 中点，∴OE ∥PA ．∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ，∴PA ∥面BDE ．∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO ∩AC ＝0，∴BD ⊥面PAC ．又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE ．(2)解 取OC 中点F ，连结EF ．∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD ．∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角， ∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ， ∴EF ＝OF·tan 30°＝612a ， ∴OP ＝2EF ＝66a ． ∴S P －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3．。
2018版必修二课后作业：第一章 立体几何初步 1-2-1 含
1.2.1平面的基本性质学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案没有.水平放置的正方形的直观图梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示.梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在.思考2观察下图，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面.思考3观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解 在(1)中，α∩β＝l ，a ∩α＝A ，a ∩β＝B .在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题命题角度1点共线问题例3如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC ∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P 、Q 、R 三点共线. 方法二 ∵AP ∩AR ＝A ，∴直线AP 与直线AR 确定平面APR .又∵AB ∩α＝P ，AC ∩α＝R ，∴平面APR ∩平面α＝PR .∵B ∈平面APR ，C ∈平面APR ，∴BC ⊂平面APR .∵Q ∈BC ，∴Q ∈平面APR .又Q ∈α，∴Q ∈PR ， ∴P 、Q 、R 三点共线. 命题角度2 线共点问题例4 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点.求证：CE 、D 1F ，DA 三线交于一点.证明 如图，连结EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，∴EF 綊12A 1B .又∵A 1B 綊D 1C ， ∴EF 綊12D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面， ∴D 1F 与CE 相交，设交点为P . 又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ， CE ⊂平面ABCD ，∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点. 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理2，可得P ∈DA ， 即CE 、D 1F 、DA 相交于一点.反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交.设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.答案A∈l，l⊄α解析∵点A在直线l上，∴A∈l，∵l在平面α外，∴l⊄α.2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.答案无数解析由公理2可得.3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)答案①③④⑤4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.答案1或3解析若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面.5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面.证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，所以a，b，c都在α内.因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，所以a，b，c，d共面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.课时作业一、填空题1.下列推理正确的是________.(填序号)①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若A∈α，A∈l，则l⊂α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合.答案①②④解析由公理1可知①正确；由公理2可知②正确；若A∈α，A∈l，则l⊂α或l与α相交，即l⊂α不一定成立，③错误；由公理3可知④正确.2.下列说法中，正确的是________.(填序号)①一条直线和一个点确定一个平面；②三角形一定是平面图形；③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形.答案②④解析因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确.3.如图所示，用符号语言可表示为________.(填序号)①α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A；②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；③α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.答案①解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选①.4.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.答案PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.∵R∈l，∴R∈β.∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.5.空间任意4点最多可以确定的平面个数为________.答案 4解析可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.6.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是________.答案 6解析如四棱柱中四条侧棱两两平行，过其中两条可确定4个侧面和2个对顶面，共确定6个平面.7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8.下列命题中正确的是________.(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可以只有一个交点.答案①解析借助三棱柱，可知②错误；借助正四面体，可知③错误；由公理2，可知④错误；由推论1，可知①正确.9.在底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.答案 5解析如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一个面都是平行四边形，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________.答案 34a解析 延长DM 交D 1A 1的延长线于G 点，连结GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，B 1C 1的中点，那么正方体经过P ，Q ，R 的截面图形是________.答案 正六边形解析 如图，连结B 1D 1，作RG ∥B 1D 1交C 1D 1于G ，连结QP 并延长与CB 的延长线交于M ，连结MR 交BB 1于E ，连结PE ，PE 为截面与正方体的交线.同理，延长PQ 交CD 的延长线于N ，连结NG 交DD 1于F ，连结QF .∴截面PQFGRE 为正六边形.二、解答题12.已知：A ∈l ，B ∈l ，C ∈l ，D ∉l ，如图所示.求证：直线AD ，BD ，CD 共面.证明 因为D ∉l ，所以l 与D 可以确定一个平面α，因为A ∈l ，所以A ∈α.又D ∈α，所以AD ⊂α.同理，BD ⊂α，CD ⊂α，所以AD ，BD ，CD 在同一平面α内，即直线AD ，BD ，CD 共面.13.如图，直角梯形ABDC 中，AB ∥CD ，AB >CD ，S 是直角梯形ABDC 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线.解 由题意得点S 是平面SBD 和平面SAC 的一个公共点，即点S 在交线上. 由于AB >CD ，则分别延长AC 和BD 交于点E ， 如图所示，∵E ∈AC ，AC ⊂平面SAC ， ∴E ∈平面SAC . 同理可证E ∈平面SBD .∴点E 在平面SBD 和平面SAC 的交线上，则连结SE ，直线SE 就是平面SBD 和平面SAC 的交线. 三、探究与拓展14.空间中有A ，B ，C ，D ，E 五个点，已知A ，B ，C ，D 在同一个平面内，B ，C ，D ，E 在同一个平面内，那么这五个点________.(填序号) ①共面； ②不一定共面； ③不共面； ④以上都不对.答案 ②解析 当B ，C ，D 三点共线时，B ，C ，D 三点不能确定平面.A ，B ，C ，D 所在的平面和B ，C ，D ，E 所在的平面可能不同，所以A ，B ，C ，D ，E 五点不一定共面.15.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CB 上的点，G ，H 分别是CD 和AD 上的点，且AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD＝2.求证：EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点.证明 如图，连结EF ，GH .因为AE EB ＝CF FB ＝1，AH HD ＝CGGD ＝2，所以EF ∥AC ，HG ∥AC ，且EF ≠GH ，所以EH ，FG 共面，且EH ，FG 不平行.不妨设EH ∩FG ＝O ，因为O ∈EH ，EH ⊂平面ABD ，所以O ∈平面ABD .因为O ∈FG ，FG ⊂平面BCD ，所以O ∈平面BCD .又因为平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，所以O ∈BD ，所以EH ，BD ，FG 三条直线相交于同一点O .。
2018学年高中人教数学B版必修2课时作业与单元检测：第一章 立体几何初步 第2课时 1.1.2 棱柱、棱锥、棱台的
课时目标结合模型、动态的或静态的直观图，了解、认识和研究多面体、棱柱的结构特征．(2)(3)(1)(4)将所给的四个展开图均还原成正方体，在图(1)中，①⑤，②④，③⑥分别为相中，②⑤，①④，③⑥分别为相对的面；在图(3)中，②⑤，①④，③⑥分3．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是()答案：C解析：根据三棱柱的立体图，可以知道选项C中的图形不是三棱柱的展开图．4．下列说法正确的是()A．棱柱的侧面都是矩形B．棱柱的侧棱不全相等C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体D．棱柱中至少有两个面平行答案：D解析：根据棱柱的概念，可以知道棱柱中至少有两个面平行，所以选D.5．下列关于直棱柱的描述不正确的是()A．侧棱都相等，侧面是矩形B．底面与平行于底面的截面是全等的多边形C．侧棱长等于棱柱的高D．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱答案：D解析：由直棱柱的定义可知A，B，C描述均正确．对于D，举反例，如图是在直棱柱上过AD，B′C′分别作平行平面截得的棱柱ABCD－A′B′C′D′，该棱柱有两个侧面ADD′A′，BCC′B′都是矩形，但该棱柱不是直棱柱．6.如图，已知长方体ABCD—A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF、PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案：D解析：共有3个：棱柱AA1P—DD1Q，棱柱ABEP—DCFQ，棱柱BEB1—CFC1.个几何体中，有________个是棱柱．图中①③⑤都是棱柱，故有3个是棱柱．C1D1的棱长为a，P为AA1的中点，Q为棱________．如图所示，将侧面AA1B1B和侧面BB1C1C展开到同一平面内，可知当最小．ABCD－A′B′C′D′，当用平面各部分形成的多面体是棱柱吗？如果是，请指出底面及侧棱；如果不是，请右侧部分是棱柱．它是三棱柱BEB′－CFC是侧棱．左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′－′，EF，BC，AD为侧棱．直平行六面体各棱长都等于a，底面四边形的一个角为解：如图，直平行六面体AC 1的各棱长为a ，底面平行四边形ABCD 的∠BAD ＝60°. 对角面ACC 1A 1、BB 1D 1D 是矩形，则对角线AC 1＝A 1C ，BD 1＝B 1D . ∵此直平行六面体各棱长相等， ∴两底面是菱形．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，∠ABC ＝120°， 则BD ＝AB ＝a ，AC ＝2AO ＝3a ，在Rt △A 1AC 中，A 1C ＝A 1A 2＋AC 2＝2a . 在Rt △B 1BD 中，B 1D ＝B 1B 2＋BD 2＝2a .能力提升12．(5分)一个正三棱柱的底面边长是4，高是6，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积．解：如图，正三棱柱ABC —A ′B ′C ′，符合题意的截面为△A ′BC .在Rt △A ′B ′B 中，A ′B ′＝4，BB ′＝6，所以A ′B ＝A ′B ′2＋BB ′2＝42＋62＝213.在等腰三角形A ′BC 中，O 为BC 的中点，连接A ′O ，BO ＝12×4＝2.因为A ′O ⊥BC ，所以A ′O ＝A ′B 2－BO 2＝(213)2－22＝4 3.所以S △A ′BC ＝12BC ·A ′O ＝12×4×43＝8 3.所以截面的面积为8 3.13．(15分)如图所示，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝4，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N .求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和NC 的长．解：(1)正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面展开图是一个长为9、宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图所示，将侧面沿A 1A 剪开展平，由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路径为线段MP .设PC ＝x ，在Rt △MAP 中，有(3＋x )2＋22＝(29)2⇒x ＝2.故PC ＝2，NC ＝45.。
人教B版必修二：第一章-立体几何初步-课时作业【2.】及答案
人教B版必修二：第一章-立体几何初步-课时作业【2.】及答案一、选择题1．棱柱的侧面都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形【解析】由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．【答案】 B2．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解析】三棱锥的侧面和底面均是三角形．【答案】 A3．四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．【答案】 C图1－1－174．如图1－1－17，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3 C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4 D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【解析】由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体，所以要使结论成立，只需A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1 AC 便可．经验证C 选项正确．【答案】 C5．(2013·郑州高一检测)观察如图1－1－18的四个几何体，其中判断不正确的是( )图1－1－18A ．①是棱柱B ．②不是棱锥C ．③不是棱锥D ．④是棱台【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误．【答案】 B 二、填空题图1－1－196．在如图1－1－19所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC 所得的几何体是________．【解析】此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．【答案】四棱锥7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．【答案】5698．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成______个三角形．【解析】用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共4个三角形．【答案】 4三、解答题9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【解】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．10．如图1－1－20，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC 的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？图1－1－20【解】(1)三棱锥．(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．11．如图1－1－21，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－21【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.。
高中数学(苏教版,必修二) 第一章立体几何初步 1.2.3第3课时 课时作业(含答案)
第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B 的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F 分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法 (1)利用线面垂直的定义． (2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α；②若α∥β，a ⊥α，则a ⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时 直线与平面垂直的判定 答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a ⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m ∩n ＝O ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a ∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC ⊥面PBC ，所以AC ⊥BC ． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P 到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝⎛⎭⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA ⊥BC AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ， ∴直角三角形有△PAB 、△PAC 、△ABC 、△PBC ． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ． ∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ， ∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∴CD ⊥PD ．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G 、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF ． ∵PA ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ，∵CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD ⊥AG ．∴EF ⊥CD ．∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC ． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32， PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O ⊥PO ，又∵PO ∩AC ＝O ， ∴B 1O ⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BC ．又∵BC ⊥AB ，SA ∩AB ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC ⊥AQ ．又∵AQ ⊥SB ，BC ∩SB ＝B ， ∴AQ ⊥平面SBC ．(2)∵AQ ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ， ∴AQ ⊥SC ．又∵AP ⊥SC ，AQ ∩AP ＝A ， ∴SC ⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ ⊥SC ．。
高中数学 第一章 立体几何初步课时训练 北师大版必修2
第一章立体几何初步§1简单几何体1．1 简单旋转体1．2 简单多面体(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．(2)掌握简单几何体的分类．2．过程与方法通过对简单几何体结构的描述和判断，培养学生的观察能力和空间想象能力．3．情感、态度与价值观通过对简单几何体的学习，体会数学的应用价值，增加学生学习数学的兴趣．●重点难点重点：简单几何体的结构特征．难点：简单几何体的分类．教学时要从生活空间里各式各样的几何体的特点入手，引导学生观察、归纳出几何体的结构特征，进而认识旋转体与多面体，找准彼此的分类特征．(教师用书独具)●教学建议本节内容是学习立体几何的第一节，是对简单几何体的初步认识，为以后学习立体几何内容作好图形基础．本节课宜采用观察总结式教学模式，即在教学过程中，让学生观察现实生活的几何体，在老师的引导下，去认识简单的旋转体和简单的多面体，让学生观察、讨论、总结出各几何体的特征，让学生学会把具体生活空间几何体抽象到数学中的立体几何体．●教学流程创设问题情景，引出问题，旋转体与多面体的特征是什么？⇒引导学生结合现实空间几何体来认识圆柱、圆锥、圆台、球与棱柱、棱锥、棱台⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握平面图形的旋转问题⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握简单多面体的特征⇒通过例3及变式训练，使学生认识简单组合体的构成⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.认识简单旋转体、简单多面体的结构特征．并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(难点)．2．掌握简单几何体的分类(重点).简单旋转体观察下列图形思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？【提示】共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成．1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．2．圆柱、圆锥、圆台的概念及比较名称定义图形表示相关概念球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的圆心球的半径：连接球心和球面上任意一点的段球的直径：连接球面上两点并且过球心的段圆柱、圆锥、圆台分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台高：在旋转轴上这条边的长度底面：垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面母线：不垂直于旋转轴的边旋转，无论转到什么位置都叫作侧面的母线简单多面体观察下列图形思考它们有什么共同特征？【提示】组成几何体的每个面都是平面多边形．1．多面体的定义把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征图形表示棱柱AC′或棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′棱锥S－AC或棱锥S－ABCDE棱台AC′或棱台ABCD－A′B′C′D′结构特征有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行有一个面为多边形，其余各面为有一个公共顶点的三角形用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面平行四边形三角形梯形底面平行且全等的多边形多边形平行且边数相等的多边形平面图形的旋转一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？【思路探究】解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．【自主解答】图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．1．平面图形的旋转问题一方面要观察平面图形的形状，另一方面要注意旋转轴的位置．2．线段绕轴旋转一周后形成图形的意义(1)垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆面；(2)垂直于旋转轴但与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆环面；(3)不垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆锥侧面；(4)不垂直于旋转轴且与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆台侧面；(5)与旋转轴平行的线段旋转所得的图形是圆柱侧面．若将本例中的三角板绕直线l旋转360°(如图1－1－1，其中三角形斜边上的高与直线l垂直)，得到什么图形？图1－1－1【解】旋转360°，得一个圆柱挖去以圆柱上下两个底面为底面的两个圆锥而成的几何体．多面体的结构特征如图1－1－2所示是长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCEF把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体是棱柱吗？若不是，请说明理由；若是，请指出其底面和侧棱．图1－1－2【思路探究】(1)所得的两部分中哪两个面是互相平行的？(2)若用平行平面作为棱柱的底面，各部分是否是棱柱？【自主解答】截面BCEF右方部分是棱柱BB′F—CC′E，其中平面BB′F和平面CC′E 是其底面，BC，B′C′，FE是其侧棱，截面BCEF左方部分是棱柱ABFA′—DCED′，其中四边形ABFA′和DCED′是其底面，AD，BC，FE，A′D′是其侧棱．1．对于棱柱，不要只认为底面就是上、下位置，如本题，底面可放在前后位置．2．认识、判断一个多面体的结构特征，主要从侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其特征．下列几何体中棱柱的个数为( )图1－1－3A．5B．4C．3D．2【解析】①③是棱柱，②④⑤⑥不是棱柱．【答案】 D简单组合体的构成观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成？图1－1－4【思路探究】认真分析所给几何体的结构，根据简单几何体的特征来说明其组成．【自主解答】图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体．图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体．图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底面重合的三棱台组成的组合体．1．熟练掌握各简单几何体的特征是解决本题的关键．2．组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋转体与旋转体的组合体．试判断下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的．【解】图①是由一个圆锥，一个圆柱和一个圆台组合而成的；图②是由一个四棱柱和一个四棱锥组合而成的；图③是由一个三棱台和一个三棱柱组合而成的；图④是由一个球和一个圆柱组合而成的.忽视棱柱的定义致误有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？【错解】因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．【错因分析】题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．【防范措施】正确理解简单几何体的特征、定义可以避免错误．【正解】满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．1．棱柱、棱锥、棱台的共性棱柱、棱锥、棱台的各面都是平面多边形，因此可以看作是由平面多边形所围成的几何体，即多面体．多面体还含有除棱柱、棱锥、棱台之外的几何体．2．圆柱、圆锥、圆台、球的共性圆柱、圆锥、圆台、球从生成过程来看，它们分别是由矩形、直角三角形、直角梯形、半圆绕着某一条直线旋转而成的几何体，因此它们统称为旋转体．3．组合体的构成(1)组合体包括简单几何体的拼接和截去(或挖除)两种类型．(2)组合体――→组合类型错误!)错误!1．有下列命题，其中正确的是( )①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的．A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④【解析】 圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”，故①③错误，②④正确．【答案】 D2．如图1－1－5是由图中的哪个平面图形旋转后得到的( )【解析】 因为简单组合体由一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B 、D ，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.所以选A.【答案】 A3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥【解析】若是六棱锥，则顶点在底面上，不能构成几何体．【答案】 D4．矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，矩形ABCD绕AB旋转得圆柱，求其底面半径r及母线长l.【解】因为AB为旋转轴，所以r＝BC＝3，l＝AB＝2.一、选择题1．下列命题中正确的是( )A．圆锥的底面和侧面都是圆面B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【解析】A错误，圆锥的侧面应为曲面；B错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时，正确，其他情况则结论就是错误的；D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.【答案】 C2．下列说法中正确的是( )A．所有的棱柱都有一个底面B．棱柱的顶点至少有6个C．棱柱的侧棱至少有4条D．棱柱的棱至少有4条【解析】棱柱都有两个底面，A错误；三棱柱的顶点最少，6个；侧棱最少，3条；棱最少，9条．故选B.【答案】 B3．(2013·宿州高一检测)在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，取四棱锥A1－ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．【答案】 D4．下列命题中，正确的是( )①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；③圆台的所有母线的延长线交于同一点；④侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．A．①④ B．②③ C．③④ D．③【解析】①中棱锥的顶点位置不定，未必能保证侧面为全等的等腰三角形，故①错；②中棱锥，当底面多边形为圆内接多边形，且圆心的正上方为棱锥的顶点时，即可使棱锥的侧棱都相等，但并不一定为正棱锥(以后可证)；③正确，④不正确，反例如图：三棱锥S—ABC 中，SB＝SC＝AB＝AC＝2，SA＝BC＝1，显然满足条件，但并非正三棱锥．故选D.【答案】 D图1－1－65．如图1－1－6，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱 B．棱台C．棱柱与棱台的组合体 D．不确定【解析】水槽倾斜后，水有变动，但是根据棱柱的结构特征，其仍然是个棱柱，上、下两个底面发生变化．【答案】 A二、填空题6．(1)伐木工人将树伐倒后，再将枝杈砍掉，根据需要将其截成不同长度的圆木，圆木可以近似地看成________体；(2)用铁丝做一个三角形，在三个顶点上分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一个三角形，从而获得一个几何体模型，如果筷子的长度相同且所在直线平行，那么这个几何体是________．【解析】(1)由圆柱的结构特征可知此圆木近似地看作是一个圆柱体；(2)在该模型中已知一面为三角形，含有筷子的三个面为平行四边形，可知另一个铁丝三角形所在面与最先的铁丝三角形所在平面平行，故此几何体是三棱柱．【答案】(1)圆柱(2)三棱柱图1－1－77．图中阴影部分绕图示的直线旋转一周，形成的几何体是________．【解析】三角形旋转后围成一个圆锥，圆面旋转后形成一个球，阴影部分形成的几何体为圆锥中挖去一个球后剩余的几何体．【答案】圆锥挖去一个球的组合体8．(2013·日照高一检测)圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面的面积是________．【解析】画出轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝AB2－BM2＝9(cm)，∴S四边形ABCD＝4＋10×92＝63(cm2)．【答案】63 cm2三、解答题9．如图1－1－8所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．图1－1－8【解】先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：10．用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的圆台上、下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥母线长是3 cm，求圆台的母线长．【解】设圆台的母线长为y cm，圆台上、下底面半径分别是x cm、4x cm，作圆锥的轴截面如图．在Rt△SOA中，O′A′∥OA，所以SA′∶SA＝O′A′∶OA.即3∶(y＋3)＝x∶4x，解得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.图1－1－911．如图1－1－9所示，是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．【解】过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC －A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(教师用书独具)已知下列说法：①以直角三角形的一边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴，旋转一周所得的旋转体是圆台；③用一个平面截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台；④以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面叫作球．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【思路探究】利用旋转体的定义判断．【自主解答】甲圆锥是以直角三角形的直角边为轴旋转形成的，如果不是直角边，将得到图甲所示的几何体，故①错误．圆台是以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转形成的，故②错误．如图乙(1)所示，如果用来截圆锥的平面平行于圆锥的底面，则可得一圆锥和一圆台，否则将得不到圆锥与圆台(如图乙(2)所示)，故③错．乙④是球面的定义，球面所围成的几何体叫作球．如常见的篮球、足球可看作球面而不是球．【答案】 A1．本题主要考查对圆锥、圆柱、圆台、球的定义的理解．特别注意旋转面与旋转体的差别：旋转体包含旋转面所围成的空间中的部分．2．概念辨析题的判断方法：①利用定义、性质直接判断；②利用常见几何体举反例．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．【解析】球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．【答案】①§2直观图(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识．(2)掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图．2．过程与方法通过用斜二测画法画水平放置的平面图形和空间几何体的直观图，提高学生识图和画图的能力，培养学生转化与化归的数学思想方法．3．情感、态度与价值观通过画直观图培养学生的探究精神和意识，通过把空间图形在平面上反映，体会现实与抽象的关系，体会数学的科学价值、应用价值．●重点难点重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图．难点：直观图与原图形之间的转化关系．(教师用书独具)●教学建议通过观察正方体的直观图，让学生感受一下直观图的立体感，教师引导学生认识斜二测画法的规则，在教师的指导下画出平面图形的直观图进而过渡到立体图形的直观图，让学生在画图中体会斜二测画法．●教学流程创设问题情境引出问题：用什么方法画图使的图形立体感强，引出斜二测画法⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用斜二测画法画平面图形的直观图⇒通过例2及互动探究，使学生掌握立体几何图形的直观图的画法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直观图与原图形之间的转化⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正课标解读1.了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识．2．掌握斜二测画法的规则，会用斜二测画法画直观图．(重点).斜二测画法下面都是经典的图画与照片，反映着大自然、古今建筑、航空航天等真实、美丽、壮观、祥和、有意义的场景．从数学的角度看，它们都是空间图形在平面上的反映．我们怎样利用手中的纸和笔将空间几何体画为平面图形且不失真实感受呢？一个水平放置的平面图形，如果是正方形，那么它的直观图还是正方形吗？【提示】不再是正方形，是平行四边形．斜二测画法规则(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的12.空间立体图形的直观图画法【问题导思】如何由画平面图形直观图过渡到画立体图形的直观图？【提示】 画完水平放置的平面图形的直观图后，多画一条表示高度的数轴z 轴． 立体图形与平面图形相比多了一个z 轴，其直观图中对应于z 轴的是z ′轴，平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示直立平面．平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变.水平放置的平面图形直观图的画法图1－2－1如图1－2－1是正方形ABCE 和正三角形CDE 所组成的平面图形，试画出其水平放置的直观图．【思路探究】首先在所给图形中建立一个直角坐标系xOy→再对应画出x ′O ′y ′→按斜二测画法规则作图【自主解答】 (1)以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系如图(1)，建立坐标系x ′O ′y ′，使两轴的夹角为45°(图(2))．(2)以O ′为中点，在x ′轴上截取A ′B ′＝AB ，分别过A ′，B ′作y ′轴的平行线，截取A ′E ′＝12AE ，B ′C ′＝12BC .在y ′轴上截取O ′D ′＝12OD .(3)连接A ′E ′，E ′D ′，E ′C ′，C ′D ′，B ′C ′，并擦去作为辅助线的坐标轴，就得到所求的直观图(图(3))．1．本题原图形中没有坐标系，则选取适当的坐标系是解决本题的关键．2．在直观图中确定坐标轴上的对应点及与坐标轴平行的线段的端点的对应点比较简单，对原图中不在坐标轴上或者不在与坐标轴平行的线段上的点，常过这些点作坐标轴的平行线，以确定这些点在直观图中对应点的位置．图1－2－2如图1－2－2所示，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O(0,0)，A(1,3)，B(3,1)，C(4,6)，D(2,5)．试画出四边形ABCD的直观图．【解】(1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图(1))．(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1,0)．(3)在x′轴上截去O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.(4)同理确定点B′、C′、D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.(5)连线成图(擦去辅助线)(如图(2))．立体图形的直观图画法画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm、2 cm，高2 cm)．【思路探究】画立体图形的直观图与平面图形的直观图有何区别？【自主解答】(1)画轴，以底面△ABC的垂心O为原点，OC所在直线为y轴，过O点平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，以上底面△A′B′C′的垂心O′与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系．(2)画下底面，在xOy平面上画△ABC的直观图，在y轴上量取OC＝33cm，OD＝36cm.过D作AB∥x轴，且AB＝2 cm，以D为中点，则△ABC为下底面三角形的直观图．(3)画上底面，在z轴上截取OO′＝2 cm，过O′作x′轴∥x轴，y′轴∥y轴，在y′轴上量取O′C′＝36cm，O′D′＝312cm，过D′作A′B′∥x′轴，A′B′＝1cm，且以D′为中点，则△A′B′C′为上底面三角形的直观图．(4)连线成图，连接AA′，BB′，CC′，并擦去辅助线，则三棱台ABC－A′B′C′即为所要画的正三棱台的直观图．1．用斜二测画法作空间图形(立体图形)的直观图，原图形的高在直观图中长度保持不变，本题只要确定了三棱台的上、下底面，整个直观图也就确定了．2．若两次作底面较为繁琐时，可以先作相应的棱锥，运算确定上底面的位置后，用平面去截取(只需作平行线)．本例中将正三棱台改为上、下底面边长分别为6 cm、8 cm，高为4 cm的正四棱台呢？【解】(1)以底面四边形ABCD的两条对角线交点O为原点，过O点平行于AB的直线为x轴，过O点平行于AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系，以上底面四边形A1B1C1D1的两条对角线交点O1与O的连线为z轴，建立空间直角坐标系．(2)画下底面，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝8 cm，在y轴上取线段GH，使得GH ＝12EF ，GH 的中点为O ，再过G 、H 分别作AB ∥EF ，CD ∥EF ，AB ＝EF ＝CD ＝8 cm ，且使得AB 的中点为G ，CD 的中点为H ，连接AD 、BC ，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD 的直观图．(3)画上底面，在z 轴上截取线段OO 1＝4 cm ，过O 1点作O 1x ′∥Ox 、O 1y ′∥Oy ，则∠x ′O 1y ′＝45°.建立坐标系x ′O 1y ′，在x ′O 1y ′中重复步骤(1)的方法画出上底面的直观图A 1B 1C 1D 1(图①)．① ②(4)再连接AA 1、BB 1、CC 1、DD 1，并擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②)．直观图与原图形之间的转化如图1－2－3，一个水平放置的平面图形的斜二测画法的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，求原四边形的面积．图1－2－3【思路探究】 在由直观图转换为平面图形的过程中，要注意直观图中的哪些量不变？哪些量改变？怎么改变？【自主解答】 如图(1)是四边形的直观图，取B ′C ′所在直线为x ′轴．因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′所在直线为y ′轴．过D ′作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形．所以E ′C ′＝ 2. 再建立一个直角坐标系xOy ，则O 、B 重合，如图(2)所示，在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ＝1＋2，在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2.过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的平面图形．四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2，所以S 梯形ABCD ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.1．平面图形的直观图与原图形之间的关系要注意以下两个方面：(1)平行关系的不变性，充分利用与x 轴、y 轴平行的线段，是解题的关键．(2)长度关系的规律变化，尤其是与y 轴平行的线段计算时应特别注意长度的变化．2．求原图形的面积，关键是根据直观图还原成实际图形．如图1－2－4，已知△OBC 是△O 1B 1C 1的斜二测画法的直观图，求S △O 1B 1C 1.。
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一、选择题
1．棱柱的侧面都是()
A．三角形B．四边形
C．五边形D．矩形
【解析】由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形．
【答案】 B
2．棱锥的侧面和底面可以都是()
A．三角形B．四边形
C．五边形D．六边形
【解析】三棱锥的侧面和底面均是三角形．
【答案】 A
3．四棱柱有几条侧棱，几个顶点()
A．四条侧棱、四个顶点B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点D．六条侧棱、八个顶点
【解析】四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得)．【答案】 C
图1－1－17
4．如图1－1－17，能推断这个几何体可能是三棱台的是()
A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
【解析】 由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体，所以要使结论成立，只需A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1
AC 便可．
经验证C 选项正确． 【答案】 C
5．(2013·郑州高一检测)观察如图1－1－18的四个几何体，其中判断不正确的是( )
图1－1－18
A ．①是棱柱
B ．②不是棱锥
C ．③不是棱锥
D ．④是棱台
【解析】 结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误．
【答案】 B 二、填空题
图1－1－19
6．在如图1－1－19所示的长方体中，连接OA，OB，OD和OC所得的几何体是________．
【解析】此几何体由△OAB，△OAD，△ODC，△OBC和正方形ABCD围成，是四棱锥．
【答案】四棱锥
7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．
【解析】面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．
【答案】569
8．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成______个三角形．
【解析】用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共4个三角形．
【答案】 4
三、解答题
9．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
【解】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．
(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．
10．如图1－1－20，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，
重合后的点记为P.
问：(1)依据题意知该几何体是什么几何体？
(2)这个几何体有几个面构成，每个面的三角形是什么三角形？
图1－1－20
【解】(1)三棱锥．
(2)这个几何体由四个面构成，即面DEF，面DFP，面DEP，面EFP.由平面几何知识可知DE＝DF，∠DPE＝∠EPF＝∠DPF＝90°，所以△DEF为等腰三角形，△DFP、△DEP为直角三角形，△EFP为等腰直角三角形．
11．如图1－1－21，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)
请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．
图1－1－21
【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.。