2 连续函数的性质
连续函数的性质
连续函数的性质
有界性：闭区间上的连续函数在该区间上肯定有界。
最值性：闭区间上的连续函数在该区间上肯定能取得最大值和最小值。
介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。
则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
连续函数有何性质
有界性
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
最值性
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。
最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
介值性
这共性质又被称作介值定理，其包含了两种特别状况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值
之间的一切数值。
全都连续性
闭区间上的连续函数在该区间上全都连续。
所谓全都连续是指，对任意ε0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满意|x1-x2|δ时，有|f(x1)-f(x2)|ε，就称f(x)在I上是全都连续的。
函数的连续性
对于连续性，在自然界中有很多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。
这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
简洁地说，假如一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。
(高等数学)第二章 连续函数
周 世 国 讲 义第二章 连续函数第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。
例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。
通常我们说物理量()t f 随时间t 的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量()t f 在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t 的改变量非常小，相应地量()t f 的改变也应该非常小.用极限的语言来说： ()()00l i m t t f t f t →=.推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.1.定义1.设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：（1）由定义1可见，函数在0x 点处连续，则0x 点必属于()x f 的定义域,这()0lim x x f x A →=定义的前提有本质的区别；（2）如果()x f 在0x 点处连续，则函数()x f 在0x 点首先必有极限，而且极限值就 是函数()x f 在0x 点处的定义值，因此()x f 在连续点处的极限很好求； （3）如果()x f 在0x 点处连续，则()()lim x x x x f x f lim x →→=.2.连续的第一个等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果对0,0>∃>∀δε，使当0x x ε-<时，就有()()0f x f x ε-<成立，称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点. 注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求00x x <-（为何？） 函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念----增量.3.定义2.若自变量从初始值0x 变化到终值x ,相应地函数值由()0f x 变化到()x f ，则称0x x -为自变量的增量，并计为0x x x ∆=-；而称()()0f x f x -为函数的增量，计为()()0y f x f x ∆=-.注意：显然()()0y f x f x ∆=-又可表示为：()()00y f x x f x ∆=+∆-由此可见()()0y f x f x ∆=-是0x x x ∆=-的函数.4.连续的第二种等价定义：设函数()x f 在0x 的邻域()0U x 内有定义，如果lim 0x y ∆→∆=，则称()x f 在0x 点处连续，并称0x 点为函数()x f 的连续点.二.左、右连续1.定义3.如果()()00lim x x f x f x -→=，则称()x f 在0x 点处左连续，并称0x 点为函数()x f 的左连续点；2.定义4.如果()()00lim x x f x f x +→=，则称()x f 在0x 点处右连续，并称0x 点为函数()x f 的右连续点.定理1.()x f 在x 0点处连续⇔()x f 在x 0点处既左连续又，右连续. 注意：连续函数的几何意义是：函数()x f y =的曲线在0x 点处没有断.三.函数在区间上连续定义5.若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，则称函数()x f 在开区间()b a ,内连续；若函数()x f 在开区间()b a ,内每一点0x 处都连续，而且在点a 处右连续，在点b 处左连续则称函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续.注意：在在闭区间[]b a ,上连续的函数的图形特征是曲线位于[]b a ,上方的一段是连续不间断的.例1.证明常值函数()c x f ≡在()+∞∞-,连续.证明：任取0x ()+∞∞-∈,，下证()x f 在0x 点处连续，即要证()()00lim x x f x f x →=，也就是要证： c c x x =→0lim .事实上，对,0>∀ε要使()()0||||0f x f x c c ε-=-=<，可取δ为任意正实数，则当0||x x ε-<时，就有 ()()0||f x f x ε-<成立。
连续函数的性质
Oa
bx
定理（介值性定理） 设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之 间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证 由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义 定义 设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若 存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值 点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解 因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初
数学分析4.2连续函数的性质(讲义)
第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。
.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。
连续函数的性质
连续函数的性质引言连续函数是数学中一个重要的概念，它在数学分析、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
连续函数的性质是研究连续函数的一种方法，可以帮助我们更好地理解和运用连续函数。
在这篇文档中，我们将介绍连续函数的性质，以及它的重要性。
连续函数是一类函数，它在某一区间上的定义域内无间断，即函数值在定义域内可以无限接近于某个常数或趋于无穷。
这种特性使得连续函数在建模、预测、优化等问题中起到关键作用。
了解连续函数的性质可以帮助我们分析函数的行为、研究函数的变化趋势以及解决一些实际问题。
通过研究连续函数的性质，我们可以推导出函数的导数、极值、范围等重要信息，从而更好地理解和运用连续函数。
在接下来的内容中，我们将探讨连续函数的性质及其在不同领域中的应用。
通过对连续函数的性质进行深入研究，我们可以更好地理解和运用这一重要的数学概念。
定义连续函数是一种在数学上具有很重要性质的函数。
下面我们来解释连续函数的严格定义和符号表示。
连续函数的严格定义：设函数 f(x) 在区间 (a。
b) 上有定义。
如果对于任意给定的ε。
0，存在一个δ。
0，使得当。
x ∈ (a。
b) 且 |x - x0| < δ时，都有 |f(x) - f(x0)| < ε 成立，则称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
符号表示：函数 f(x) 在点 x0 处连续的符号表示为：f(x) |x = x0.连续函数是数学中一类重要的函数类型，具有许多特殊的性质。
下面将概述连续函数的主要性质，包括介值定理、最大最小值定理等。
介值定理介值定理是连续函数的重要性质之一。
对于一个在闭区间[a。
b]上连续的函数f(x)，如果f(a)和f(b)有不同的符号，那么对于任意一个介于f(a)和f(b)之间的数c，都存在a和b之间的某个数x0，使得f(x0)=c。
换句话说，介值定理保证了连续函数在一个闭区间上可以取到所有介于函数值之间的值。
最大最小值定理最大最小值定理也是连续函数的重要性质之一。
函数二次连续可微
函数二次连续可微1.引言1.1 概述函数二次连续可微是数学中一个重要的概念。
当一个函数在某个区间上的两个导数都存在且连续，我们称这个函数为二次连续可微函数。
这个概念的提出是为了更好地研究函数的性质和行为。
在实际问题中，许多函数的导数可能不仅存在，而且还连续。
这种函数在数值计算、最优化等领域中有着广泛的应用。
二次连续可微函数的引入，可以更准确地描述这些函数的特性，从而更好地解决相关问题。
对于一个函数而言，二次连续可微性质的要求相对较高。
它要求函数的导数不仅存在，而且还要连续。
这就意味着函数在给定区间上的曲线是平滑且光滑的。
通过这样的函数，我们可以更好地了解它在区间上的变化规律。
在进行函数的二次连续可微性质的研究时，我们可以通过计算函数的导数和二阶导数来确定函数是否满足这一条件。
如果函数的导数和二阶导数在给定区间上都存在且连续，那么我们就可以称这个函数为二次连续可微函数。
总之，函数的二次连续可微性质对于研究和分析函数的特性具有重要的意义。
它可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质，从而解决实际问题中的各种计算和优化任务。
在接下来的文章中，我们将进一步探讨二次连续可微函数的性质和应用。
1.2文章结构文章结构是指文章的组织框架和部署布局。
一个清晰的文章结构可以使读者更好地理解文章的逻辑和内容，有助于文章的阅读和理解。
文章结构部分主要介绍文章的各个部分和它们之间的关系，以及各个部分的主要内容和作用。
在本篇长文中，文章结构可以按照以下方式进行组织和布局：1. 引言部分：引言部分位于文章的开头，主要是对函数二次连续可微的背景和概念进行简要介绍，并说明文章的目的和重要性。
2. 正文部分：正文部分是文章的核心内容，主要讨论函数二次连续可微的相关概念、性质和定理。
可以选择按照不同的要点进行组织，可以考虑以下结构：2.1 第一个要点：介绍函数二次连续可微的基本定义和性质。
可以讨论二次连续可微函数的导数和二阶导数存在的条件，以及它们的几何和物理意义。
连续函数的性质
§2.2 连续函数的性质♦ 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。
从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。
定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。
定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。
注： 在具体应用局部保号性时，常取01()2r f x =，则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01()()2f x f x >。
定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,,f fg f g g±⋅（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。
关于复合函数的连续性，有如下定理:定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数gf在点0x 连续。
证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ∀>∃>，使得当01||u u δ-<时有0|()()|g u g u ε-<。
（1）又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε-<。
这就证明了gf在点0x 连续。
注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==定理 5 ()x f xx 0lim →存在的充要条件是()()0lim 000+=+→x f x f x x 与()()0lim 000-=-→x f x f x x 存在并且相等．证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→00lim ()x f x x 00lim -→=，从而对任给的0>ε，存在01>δ和02>δ，当 100δ<-<x x 时，()ε<-A x f ①当 －002<-<x x δ时， ()ε<-A x f ②取{}0,m in 21>=δδδ时，当δ<-<00x x 时，则δ<-<00x x 和00<-<-x x δ二者必居其一，从而满足①或②，所以()ε<-A x f ．定理6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续． 证明：()x f 在x 点连续即为()()00lim x f x f xx =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．定理7 海涅（Heine ）定理：()x f xx 0lim →存在的充分必要条件是对任给的序列{}n x ，若满足0lim x x n n =∞→（0x x n≠），则有()n n x f ∞→lim 存在．分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法．证明：必要性。
§2 连续函数的性质 一 连续函数的局部性质 - 山东师范.
即方程 f (x) 0 在 (a,b) 内至少有一个根.
若 Aa, f a 与 Bb, f b 分别在 x 轴的两侧, 则连接 A, B
的连续曲线 y f x 与x 轴至少有一个交点.
这个推论的几何解释如图4—3所示：
首页 ×
首页 ×
下面举例说明介值性定理的应用
若函数连续使得对一切连续若函数定理42局部有界性定理43局部保号性在具体应用局部保号性时常取使在其内有定理44四则运算上的连续性在其定义域的每一点都是连续的
§2 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质 二、闭区间上连续函数的基本性质 三 、反函数的连续性 四、一致连续性——数学分析的一个难点
首页 ×
§2 连续函数的性质
（1）
又由 u0 f (x0)及 u f (x)在点 x0 连续, 故对上述 1 0, 存在
0 使得当 x x0 时，有| u u0 || f (x) f (x0) | 1 .
联系(1)得: 对任给的 0, 存在 0 , 当 | x x0 | 时有
g( f (x)) g( f (x0)) .
这就证明了 g f 在点 x0连续.
注1 根据连续性的定义, 上述定理的结论可表为
lim
x x0
g(
f
( x))
g( lim x x0
f
( x))
g(
f
( x0 )).
首页 ×
二、闭区间上连续函数的基本性质
数学分析课程中主要的研究对象是连续函数,很自然地, 闭区 间上的连续函数的整体性质在微积分理论中具有相当的重要性.
右连续与左连续, 所以 f 1 在 f a, f b 上连续.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§2 连续函数的性质
内容：1 连续函数的局部性质
2 区间上的连续函数的基本性质
3 反函数的连续性
4 一致连续性
重点：连续函数的局部性质性质；区间上的连续函数的基本性质
难点：连续函数的保号性；一致连续性.
一连续函数的局部性质
根据函数的在点连续性，即
可推断出函数在点的某邻域内的性态。
定理4.2（局部连续性）若函数
在点连续，则在点的某邻域内有界。
定理4.3 （局部保号性）若函数在点连续，且
，则对任意
存在某邻域
时，
定理4.4（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在连续，则
（）在点连续。
例因连续，可推出多项式函数
和有理函数为多项式）在定义域的每一点连续。
同样,由上的连续性，可推出与在定义域的每一点连续。
定理4.5（复合函数的连续性）若函数在点连续，在
点连续，，则复合函数在点连续。
证明由于在连续，对任给的，存在，使
时有
（1）
又由及在连续，故对上述，存在，使得当时，有
. 联系（1）得: 对任给的，存在
，当时有
.
这就证明了在点
连续.
注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为
(2)
例1 求.
解可看作函数
与的复合.由(2)式,可得
注：若复合函数的内函数
当时极限为，而
或在无定义
（为的可去间断点），又外函数在处连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有
(3)
读者还可证明(3)式对于
或
等类型的极限也是成立的。
例2 求极限：（1）
；
（2）.
解(1)
(2)
二闭区间上连续函数的基本性质
前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。
定义1 设f为定义在数集D上的函数，若存在，使得对一切
有，
则称f在D上有最大（最小值）值，并称为f在D上的最大（最小值）值.
例如在上有最大值1,最小值0.但一般而言f在定义域D 上不一定有最大值或最小值（即
使f在D上有界）。
如在上既无最大值又无最小值，
又如
(4)在闭区间上也无最大、最小值。
定理4.6 (最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有最大值与最小值。
该定理及以后的定理4.7 和定理4.9将在第七章§2给出证明.
推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界。
定理4.7(介值性定理) 若函数
在闭区间上连续，且
，若为
介于之间的任何实数
（或
）,则在开区间
内至少存在一点，使得 :
推论（根的存在定理）若函数
在闭区间上连续，且
异号，则至少存在一点使得.即
在内至少有一个实根.
应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若在区间[a,b]上连续且不是常量函数,则值
域也是一个区间；特别若为区间[a,b], 在[a,b]上的最大值为,最小值为，则
；又若为[a,b]上的增（减）连续函数且不为常数，则
例3 证明：若为正整数，则存在唯一正数，使得. 证明先证存在性。
由于当
时有，故存在正数，使得.因在上连续，并有
，故有介值性
定理，至少存在一点
使得.
再证唯一性。
设正数使得
由于第二个括号内的数为正所以只能，即.
例4 设在[a,b] 连续，满足
（5）
证明：存在，使得
（6）
证条件（5）意味着：对任何
有
，特别有
以及 .
若或，则取
，从而（6）式成立。
现设与。
令，则
，
.
由根的存在性定理，存在
，使得即
.
三反函数的连续性
定理4.8（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数
在相应的定义域
（）上递增（递减）且连续。
证明（只证明f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为。
设
，且
则，对任给的可在的两侧各取异于的两点
（），使它们与
的距离小于（参见上图）. 设，由函数的严格递增性，必分别落在的两侧，即当
时，令
，则当
时，对应的
的值必落在之间，从而
.
应用单侧极限的定义，同样可证
在区间端点也是连续的。
例5 由于在区间
上严格单调且连续，故反函数在区间[-1，1]上连续。
同理，由反函数连续性定理可得其他反三角函数
在其定义域内是连续的。
例6由于（为正整数）在
严格上单调且连续，所以它的反函数在上连续。
又若把（为正整数）看作由与的复合，综上可知，（q为非零整数）其定义域内是连续的。
例7 证明：有理幂函数在其定义区间上连续.
证明：设有理数，这里
为整数。
因为与
均在其定义区间上连续，所以复合函数也是其定义区间上的连续函数。
四一致连续性
前面介绍的函数在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。
这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的不仅与有关，而且与有关。
下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性
质，其定义中的只与有关，而与无关。
定义2（一致连续性）设函数
在区间I上有定义，若
只要
，，都有
，则称
在区间I上一致连续。
这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。
直观的说在区间I一致连续意味着：不论两点
在I中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使
. 显然I必然在I 上每一点连续，反之，结论不一定成立（参见例9）。
按照一致连续的定义，在区间I不一致连续意味着：对于某个
对任何的（无论多么小），总存在两点尽管，但却有
例8 证明在
内一致连续。
证明:
对，取，不管
是中的怎样两点，只要
，就有：
，所以
在内一致连续。
例9 证明在内一致连续，但在内不一致连续。
证明在内一致连续：
对，取，不管是中的怎样两点，只要
，就有：
，所以在内一致连续。
但在内不一致连续。
取, 对任意的，都存在两点，尽管
，
但.
所以，在内不一致连续。
在区间I上的一致连续性是
又一个整体性质，可推出
在区间I上每点都连续的这一
局部性质（只要在一致连续的定义中把看作定点和动点）；但
区间上I上每点连续并不能保证在区间I上一致连续，两者在概念上有本质的差别。
因为函数在区间I上每点连续是指：对于每一点及
，当
（）时，
有
注意这里的不仅与有关，还与的位置有关，如果能做到
只与有关即能找不到适合I上所有
点的公共，则在I 上每点连续，且一致连续；否则
在I上每点连续，但不一致连续。
一般说来对I上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零。
如果这无穷多个的下确界为零，则不存在适合I上所有点的公共
，这种情况在I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对I上每一点都适用的公共
，比如
我们可取取，则对I上任意两点，只要
时，便有
.这种情况，
在I上不仅逐点连续，而且是一致连续。
定理4.9 （一致连续性）若函数在闭区间上连续，则
在上一致连续。
例10 设区间的右端点为，区间的左端点也为（可为有限或无限区间）。
试证明：若分别在上一致连续，则在区间
上也一致连续。
证明：任给，由在
上的一致连续性，分别存在
正数和使得对任何
，只要，就有
；（7）又对任何，只要
也有上面（7）式成立。
点作为右端点，在点
为左连续，作为左端点，在点为右连续，所以在点为连续。
故对上述，存在，当时有
. （8）
令，对任何的
，，分别考虑下列两种情形：
i）若或则（7）式成立；
ii）分别属于和，不妨设和，则。