【X2304】二项式定理1
数学：《二项式定理》课件可编辑全文
5.注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 Crn(r 0,1, 2, , n)
项的系数为：二项式系数与数字系数的积.
二项式定理
例题讲解
例 1．求 (2 x 1 )6 的展开式. x
64 x 3
192x2
240 x
160
60 x
12 x2
1 x3
.
二项式定理
【1】求 (3x 1 )4 的展开式. x
(3x
1 x
)4
81x4
5
108x 2
54 x
12
x
1 2
x 2
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数； （2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
解：（1） (1 2x)7 的展开式的第 4 项是
T31 C73 173 (2 x)3 C73 23 x3 35 8x3 280x3 .
所以展开式的第4项的系数是280.
二项式定理
例 2．（1）求 (1 2x)7 的展开式的第 4 项的系数；
（2）求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数. x
（2）解： (x 1 )9 的展开式通项是 x
C9r
x9r
(
1 x
)
r
(1)r C9r x92r ,
根据题意，得 9 2r 3,
r 3.
因此， x3 的系数是 (1)3C93 84 ．
二项式定理
1. 求 (2a 3b)6 的展开式的第 3 项. 答案：T3 2160a4b2 .
二项式定理的应用与实例解析
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理(PPT课件)
根据二项式定理的组合证明，我们可以证明组合数等于需要求和的系数。在$n$个元素中 选取$k$个的方案总数是$C_n^k$。而展开$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k$中项的 系数分别是选取$k$项$a$和$n-k$项$b$的方案数$C_n^k$。
总结和要点
牛顿二项式公式
$(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b+C_n^2a^{n2}b^2+...+C_n^nb^n $
应用
1
概率统计
二项式分布常用来描述在$n$次独立重复的伯努利试验中出现$k$个成功的概率。
2
金融衍生品定价
期权定价中可能涉及到二项式树模型，具体方法是根据期权的类型和权利金预算 构建二叉树。
3
数学知识扩展
二项式定理为许多初等研究的基础知识，常被作为高中和大学的数学课程的一部 分。
杨辉三角
构造方法
每个数等于它上方两数之和。
性质
每行左右对称，从第$0$行开始， 第$n$行的数为 $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$。
个性化拓展
最大数和最小数为1，三角形中 的数有很多特殊性质，可以用来 引入更高维数的图形。
公式
基本形式
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^{n-k}b^k$
二项式反演公式
$\sum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ia^k=(a-1)^n$
常见结论
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2$
二项式定理 课件
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
二项式定理(一)ppt课件
从特殊 ——一般 ——特殊 的数学思想
19
课后巩固
1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4 ( 1) (2) 5 2、思维拓展型作业： (查阅相关资料) (1) 查阅有关杨辉一生的主要成就。 (2) 探究二项式系数
有何性质.
巩固一：求
的展开式并写出展开式的第k项；
解
:
展开式的第k项:
二项展开式与式子的顺序有关，是按后者的升幂排列。
巩固二：
？
解 :
(想一想) 第一天是星期一，第 8100天是星期几呢
∴ 被7除的余数是1，因此第 天是星期二.
巩固三：1.写出
的展开式；
2.上述展开式中第四项为什么？第四项的系数为什么？
9
二项式定理: 一般地，对于n N*，有：
把各项的系数
叫做二项式系数
(1)二项式系数:
式中 第k+1项，用
叫做二项展开式的通项，为展开式的 表示
(2)二项展开式的通项:
10
拓展：二项式定理，又称牛顿二项 式定理，由艾萨克 ·牛顿于16641665年间提出． 二项式定理在组合 理论、开高次方、高阶等差数列求 和，以及差分法中都有广泛的应用 ．
项的系数为： 二项式系数与数字系数的积 (除未知数以外的 所有数的乘积)
思考：求
的展开式
课堂小结
1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达 式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。
第
二项式定理：
项的二项式系数 通项
二项式
二项式展开式
2.方法收获： 正确区分“项的系数”和“二项式系数”
3.思维收获：
冬1.3.1二项式定理 (一)
课堂目标：
二项式定理求解技巧和方法
二项式定理求解技巧和方法二项式定理是高中数学中一个很重要的概念，它描述了一个二次多项式的展开式中，每一项的系数和指数的关系。
在解题过程中，我们可以利用二项式定理来求解一些复杂的多项式表达式。
下面我将介绍一些二项式定理求解的技巧和方法。
1. 使用二项式定理展开二项式定理可以表达为：$ (a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + C_n^2a^{n-2}b^2 + \\ldots + C_n^na^0b^n $。
这个定理可以帮助我们将一个二元系数的多项式展开为单项式的和。
我们可以利用这个定理来求解一些复杂的多项式表达式，例如 $(x+1)^n$ 或者 $(2x+3y)^n$。
2. 利用二项式系数的性质二项式系数$C_n^k$ 的计算公式为：$C_n^k = \\frac{n!}{k!(n-k)!}$。
在计算二项式系数时，我们可以利用其性质来简化计算。
例如，对于$C_n^k$ 来说，如果$k>n-k$，我们可以使用$C_n^k = C_n^{n-k}$ 来简化计算。
另外，由于$C_n^k = C_n^{n-k}$，我们也可以利用对称性简化计算。
3. 利用二项式定理求解系数和指数在一些问题中，我们需要求解多项式展开式中某一项的系数和指数。
对于二项式定理，可以通过将多项式展开式中各项的系数和指数与二项式系数进行配对，来求解。
例如，对于$(a+b)^7$ 的展开式，我们要求解其中系数为 35 的项的指数是多少，可以使用二项式系数的计算公式，得到 $C_7^k = 35$，然后求解 $k$ 的值。
4. 应用二项式定理进行变形有时候，在解决实际问题时，我们需要对给定的表达式进行变形，以便更好地应用二项式定理。
在变形过程中，我们可以使用二项式定理的展开式，将表达式转化为二项式定理的形式。
例如，对于表达式 $(x+y)^4 - (x-y)^4$，我们可以将其变形为$(u+v)^4 - (u-v)^4$ 的形式，然后应用二项式定理进行展开。
二项式定理(通项公式)
二项式定理二项式知识回顾1. 二项式定理0111()n n n k n k kn nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++,以上展开式共n+1项,其中k n C 叫做二项式系数,1k n k kk n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.〔请同学完成如下二项展开式〕0111()(1)(1)n n n k k n k kn n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-,1(1)k k n k kk n T C a b -+=-01(1)n k kn nn n n n x C C x C x C x +=+++++①1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++②① 式中分别令x=1和x=-1,如此可以得到012nn n n n C C C +++=,即二项式系数和等于2n ；偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和,即021312n n n n n C C C C -++=++=② 式中令x=1如此可以得到二项展开式的各项系数和.2. 二项式系数的性质〔1〕对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等,即m n mn n C C -=.〔2〕二项式系数kn C 增减性与最大值： 当12n k +<时,二项式系数是递增的；当12n k +≥时,二项式系数是递减的. 当n 是偶数时,中间一项2nnC 取得最大值.当n 是奇数时,中间两项12n nC -和12n nC+相等,且同时取得最大值.3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f<x >= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n⑴a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f<1>⑵a 0-a 1+a 2-a 3……+<-1>na n =f<-1> ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2)1()1(-+f f⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2)1()1(--f f经典例题1、"n b a )(+展开式：例1．求4)13(xx +的展开式； [练习1]求4)13(xx -的展开式2.求展开式中的项例2.在n 的展开式中,第6项为常数项.（1） 求n ； 〔2〕求含2x 的项的系数；〔3〕求展开式中所有的有理项. [练习2]假如n 展开式中前三项系数成等差数列.求：〔1〕展开式中含x 的一次幂的项；〔2〕展开式中所有x 的有理项. 3.二项展开式中的系数例3.22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)nx -的展开式的二项式系数和大992,求21(2)n x x-的展开式中：〔1〕二项式系数最大的项；〔2〕系数的绝对值最大的项[练习3]*22)()n n N x∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.<1>求展开式中含32x 的项；<2>求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项. 4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例4．72)2)(1-+x x （的展开式中,3x 项的系数是 ； 5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例5〔04某某改编〕3)21(-+xx 的展开式中,常数项是 ； 6、求中间项例6求〔103)1xx -的展开式的中间项；例7 103)1(xx -的展开式中有理项共有 项；8、求系数最大或最小项（1） 特殊的系数最大或最小问题例8〔00某某〕在二项式11)1(-x 的展开式中,系数最小的项的系数是 ； （2） 一般的系数最大或最小问题例9求84)21(xx +展开式中系数最大的项；（3） 系数绝对值最大的项例10在〔7)y x -的展开式中,系数绝对值最大项是 ；9、利用"赋值法〞与二项式性质3求局部项系数,二项式系数和例11．假如443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+, 如此2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；[练习1]假如2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-, 如此=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；[练习2]设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-, 如此=++++6210...a a a a ； [练习3]92)21(xx -展开式中9x 的系数是；。
二项式定理(一)课件
概率统计
二项分布可以通过二项式定理得到，应用于概 率和统计学中的相关计算。
组合数学
二项式系数与组合数密切相关，可用于求解排 列组合问题。
数学建模
二项式定理可以应用于数学建模中的各类排列 组合问题求解。
二项式定理的证明
1
几何证明
通过几何方法，如组合图形等，可以证明二项式定理的几何意义。
二项式定理(一)课件
本课件将详细介绍二项式定理及其应用。
二项式定理的定义
1 简介
二项式定理是描述二项式的求解过程的数学公式。
2 公式
二项式定理的公式表达为(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n。
3 含义
二项式定理告诉我们，当一个二项式被提升到一个非负整数次幂时，它展开后的每一项 的系数可以通过组合数C(n, k)来计算。
二项式系数的求解
1
计算公式
二项式系数可以使用组合数公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)。
2
性质
二项式系数具有对称性，即C(n, k) = C(n, n-k)。
3
例题演练
通过实例演示如何计算二项式系数，加深理解和培养计算能力。
二项式的展开
公式展开
二项式定理提供了展开二项式的 公式，可以将二项式展开为一系 列项的加和。
计算方法
通过依次计算每一项的系数，可 以逐步展开二项式。
常见模式
展开后的二项式常见模式有等差 数列模式、幂函数模式等。
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高二同步之每日一题【X2304】
二项式定理【1】
X2-3041.在5)21(x +的展开式中,2
x 项的系数为 . 解:由二项式定理的通项公式得 51551(2)2r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=.
令2r =可得222235240T C x x ==.
故2x 项的系数为40.
X2-3042.在12)13(x
x -展开式中,3-x 的系数为 . 解:由二项式定理的通项公式得
11212122
11212(3)
(3(1)r r r r r r r r r T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 312122123
(1)r r r r C x --=⋅-⋅⋅. 令31232
r -=-可得10r =, 即121010103311123
(1)594T C x x ---=⋅-⋅⋅=. 故3-x 项的系数为594.
X2-3043.若n x x x )1
(3+的展开式的常数项为84,则n = .
解:由二项式定理的通项公式得
33332
1()
r r n r r r n r r n n T C x C x x ---+=⋅⋅=⋅⋅ 932n r r n C x
-=⋅. 令9302
n r -=可设3,2n k r k ==,其中k N +∈. 故有23384r k k n k k C C C ===,解得3k =.
故39n k ==.
X2-3044.在10)31(x
x -
的二项展开式中含x 的正整数指数幂的项的系 数为 . 解:由二项式定理的通项公式得
15
1021101011()()33
r r
r r r r r
r T C C x x x ---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅ 352101()3
r r r C x -=-⋅⋅. 由352
r -为正整数可得0r =,或2r =. 当0r =时,
350005
21101()3
T C x x -⨯=-⋅⋅=. 当2r =时,
352222
23101()53
T C x x -⨯=-⋅⋅=. 故所求项的系数为1,或5.
X2-3045.在84)1(x
x +
展开式中,含x 的整数次幂的所有项的系数之 和为 .
解:由二项式定理的通项公式得 114
824
188r r r r r r r T C C x x ---+=⋅⋅=⋅⋅ 3448r r C x
-=⋅. 由352
r -为整数可得0r =,或4r =,或8r =. 当0r =时, 34004418T C x
x -⨯=⋅=.
当4r =时, 344445870T C x
x -⨯=⋅=.
当8r =时,
3488
2458T C x x -⨯-=⋅=.
故所求项的系数之和为170172++=.
X2-3046.若n x
x )13(-的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为 .
解:由各项系数之和为64,故令1x =可得(31)64n
-=6n ⇒=.
由二项式定理的通项公式得 113
6622
166(3(1)r r r
r r r r r r T C C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 6363(1)r r r r C x --=⋅-⋅⋅.
令30r -=可得3r =.
故展开式的常数项为63330463(1)540T C x -=⋅-⋅⋅=-.
X2-3047.若在n x x )1
3(32-的展开式中各项系数之和为128,则展开式 中31x
的系数为 . 解:由各项系数之和为128,故令1x =可得(31)128n -=7n ⇒=.
由二项式定理的通项公式得
27773
177(3)
(3(1)r r r r r r r r r T C x C x x ----+=⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅ 577373
(1)r r r r C x --=⋅-⋅⋅. 令5733
r -=-可得6r =. 故有766633773(1)21T C x x ---=⋅-⋅⋅=, 即展开式中
3
1x 的系数为21.。