二项式定理1最新版
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二项式定理1
L
Cnn 3n 1]
1 [(1 3)n 1] 1 (4n 1)
3
3
13
例 求(2a+b)5的展开式的(1)第三项；(2)第三
题
2 项的二项式系数；(3)第三项的系数。
解:
(1)
T3＝T2+1＝C
2 5
(2a)5-2b2
=80a
3b2
(2) C52 =10
∴第三项的二项式系数是10
等号右边的积的展开式的每一项,是从每个 括号里任取一个字母的乘积.
3
寻找 规 律
(a+b)4的展开式中各项的系数是什么?
(a+b)4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
=
c 40a4
+c 14a3b1
+c 42a2b2
+
c 43a1b3
+c
4 4
b4
每个都不取b的情况有1种,即
c
0 4
,所以 a4的系数是
(1 3)10 210 1024
(2).(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(x 11)5 1 x5 1
(3).Cn1 3Cn2 9Cn3 L
3n
C 1 n n
1[1 3
Cn1
3
Cn2
32
8
本节课的课题杨《辉二简项式介定理》就是研究
（• a+南b宋）末的年平钱方塘，人（，a是+当b）时的有三名次的方数…学…家 （和a教+b育）家的，n杨次辉方一的生乘编法写展的开数式学的书规很律多，， 法但国散数佚学严家重帕。斯卡在17世纪发现了它，国外 把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学
第3节 二项式定理
C.-56
√
D.-28
)
解析:(1)因为只有第5项的二项式系数最大,
8
所以 n=8,(x- ) 的展开式的通项为 Tk+1=(-1)
- (k=0,1,2,…,8),
k
所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等,偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数,而展开式中
解析:(2)(1+3x) 的展开式中前三项的二项式系数和为 + + =
n
1+n+
(-)
12
2
*
=79,整理可得 n +n-156=0,因为 n≥2 且 n∈N ,解得 n=12,
(1+3x) 的展开式通项为
r
r r
Tr+1= ·(3x) = ·3 x (r=0,1,2,…,12),
因为r∈N,故r=9,因此,展开式中系数最大的项为第10项.故选D.
(1)二项式系数最大值直接利用二项式系数的性质求解.
(2)二项展开式系数最大项的求法常采用不等式法.
如求(a+bx)n(a,b∈R,n∈N*)的展开式系数最大的项,一般是先用
待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数
3.杨辉三角
下面的数表称为杨辉三角:
其中第n行是
-
-
1, , ,…, , ,1
.
n
在(a+b) 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项
n-1
式系数的和,即 + + +…= + + +…=2 .
二项式定理 课件
系数； (2)求x－1x9 的展开式中 x3 的系数． 解 (1)(1＋2x)7 的展开式的第 4 项是 T3＋1＝C37×17－3×(2x)3 ＝C73×23×x3＝35×8x3＝280x3. 所以展开式的第 4 项的二项式系数是 35，系数是 280.
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)
①
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底 数化成两数的和与差的情势，且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*，求证：1＋2＋22＋…＋25n－1能被31整除.
证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n－1＝11－－225n＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1 ＝31n＋C1n×31n－1＋…＋Cnn－1×31＋1－1＝31×(31n－1＋C1n×31n－2＋… ＋Cnn－1)， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a ＋ bx)n(s＋tx)m 的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Cknan－k(bx)k·Crmsm－r(tx)r，再 依据题目中对指数的特殊要求，确定 r 与 k 所满足的条件，进而求 出 r，k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x－
1
6
x
的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
解 第 3 项的二项式系数为 C26＝15，
又 T3＝C26(2
x)4－
1x2＝240x，
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk＋1＝Ck6(2
x)6－k－
1xk＝(－1)k26－kCk6x3－k，
令3－k＝2，解得k＝1，
(2)(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为
A.10
B.－10
√C.2
D.－2
二项式定理公式大全
二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。
- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。
- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。
- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。
二项式定理 课件
100 的余数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
二项式定理(1)
2 6
6−2
(2x)
2
= 4860y x
4 2
第三项的系数分别是 2160、4860 2160、 2 第三项的二项式系数是 C6 =15 注意系数与二项式系数的区别. 注意系数与二项式系数的区别.
例 3 求(x-2)10的展开式中x6的系数. 的展开式中x 的系数.
解：二项展开式的通项 为 Tm+1 = C x （− 2） m 10 − m = (−1) 2 C10 x Q 10 − m = 6 ∴m = 4
−
n
+C 通项公式 T = C
m n
a
n−m
m
m +1
a n−mb m n
b + LL + C n b n
m n
(a + b) n 的展开式的特点：
是关于a与 的齐次多项式 ①项数：共n+1项,是关于 与b的齐次多项式 项数： 项 是关于 的指数从n逐项递减到 是降幂排列； ②指数:a的指数从 逐项递减到 是降幂排列； 指数 的指数从 逐项递减到0,是降幂排列 b的指数从 逐项递增到 ，是升幂排列。 的指数从0逐项递增到 的指数从 逐项递增到n，是升幂排列。
a （ + b) = C a + C a b +L+ C a b +L+ C b
n
0 n n 1 n-1 n m n-m m n
二项式定理: 二项式定理:
n n n
右边的多项式叫( 右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式, 的二项展开式, 二项式系数: 二项式系数: C（m = 0，⋅ ⋅ ⋅，n） 1，
二 项 式 定 理
回顾：
（a + b) = a + 2ab + b 3 ( a + b) = ( a + b)( a + b)( a + b) 2 2 = ( a + b)( a + ab + ba + b ) 2 2 3 2 = a + a b+ aba + ab + ba 2 3 + bab + b a+ b 3 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b
6−2
(2x)
2
= 4860y x
4 2
第三项的系数分别是 2160、4860 2160、 2 第三项的二项式系数是 C6 =15 注意系数与二项式系数的区别. 注意系数与二项式系数的区别.
例 3 求(x-2)10的展开式中x6的系数. 的展开式中x 的系数.
解：二项展开式的通项 为 Tm+1 = C x （− 2） m 10 − m = (−1) 2 C10 x Q 10 − m = 6 ∴m = 4
−
n
+C 通项公式 T = C
m n
a
n−m
m
m +1
a n−mb m n
b + LL + C n b n
m n
(a + b) n 的展开式的特点：
是关于a与 的齐次多项式 ①项数：共n+1项,是关于 与b的齐次多项式 项数： 项 是关于 的指数从n逐项递减到 是降幂排列； ②指数:a的指数从 逐项递减到 是降幂排列； 指数 的指数从 逐项递减到0,是降幂排列 b的指数从 逐项递增到 ，是升幂排列。 的指数从0逐项递增到 的指数从 逐项递增到n，是升幂排列。
a （ + b) = C a + C a b +L+ C a b +L+ C b
n
0 n n 1 n-1 n m n-m m n
二项式定理: 二项式定理:
n n n
右边的多项式叫( 右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式, 的二项展开式, 二项式系数: 二项式系数: C（m = 0，⋅ ⋅ ⋅，n） 1，
二 项 式 定 理
回顾：
（a + b) = a + 2ab + b 3 ( a + b) = ( a + b)( a + b)( a + b) 2 2 = ( a + b)( a + ab + ba + b ) 2 2 3 2 = a + a b+ aba + ab + ba 2 3 + bab + b a+ b 3 2 2 3 = a + 3a b + 3ab + b
二项式定理(一)ppt课件
从特殊 ——一般 ——特殊 的数学思想
19
课后巩固
1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4 ( 1) (2) 5 2、思维拓展型作业： (查阅相关资料) (1) 查阅有关杨辉一生的主要成就。 (2) 探究二项式系数
有何性质.
巩固一：求
的展开式并写出展开式的第k项；
解
:
展开式的第k项:
二项展开式与式子的顺序有关，是按后者的升幂排列。
巩固二：
？
解 :
(想一想) 第一天是星期一，第 8100天是星期几呢
∴ 被7除的余数是1，因此第 天是星期二.
巩固三：1.写出
的展开式；
2.上述展开式中第四项为什么？第四项的系数为什么？
9
二项式定理: 一般地，对于n N*，有：
把各项的系数
叫做二项式系数
(1)二项式系数:
式中 第k+1项，用
叫做二项展开式的通项，为展开式的 表示
(2)二项展开式的通项:
10
拓展：二项式定理，又称牛顿二项 式定理，由艾萨克 ·牛顿于16641665年间提出． 二项式定理在组合 理论、开高次方、高阶等差数列求 和，以及差分法中都有广泛的应用 ．
项的系数为： 二项式系数与数字系数的积 (除未知数以外的 所有数的乘积)
思考：求
的展开式
课堂小结
1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达 式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。
第
二项式定理：
项的二项式系数 通项
二项式
二项式展开式
2.方法收获： 正确区分“项的系数”和“二项式系数”
3.思维收获：
冬1.3.1二项式定理 (一)
课堂目标：
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二项式 定理（二）
N
复习
(a+b) n= C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
（n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ，
其中CCrnarn（nrr=b0r,1,2,…叫…做,二n）项叫展做开二式项的式通系项数， ，
向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个 人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多 的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许， 我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守 着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵， 赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的 初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都 比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，
A. 15
x
2. (3 a
1 )15 a
B.
6x2 a3
20
C. x
D. 15 x
的展开式中，不含a的项是第（A
）
A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项
分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.
思考：1中如何求第五项的系数和二项式系 数？ 2中的第五项是什么？
Tr1Crnanrbr
例 题
3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复 数z.
分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480，得到z的方程解之.
答案： z 2i
4.求二项式 ( 3 3 1 )7 的展开式中的有理项.
2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用）
答案： 105 4
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0，
第二项b的次数由0升到n.
3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项
4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
例 题
Tr1Crnanrbr
x
1.(பைடு நூலகம்a2
a )6 x
的展开式中，第五项是……（B ）
练 习 Tr1Crnanrbr 与 练习：见学习卷 小 小结： 结
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
通项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有n+1 个项.
定理 ( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
特 征
1.系数规律：
C n 0、 C 1 n 、 C n 2、 、 C n n
N
复习
(a+b) n= C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
（n ）,这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n的展开式 ，
其中CCrnarn（nrr=b0r,1,2,…叫…做,二n）项叫展做开二式项的式通系项数， ，
向；我们习惯了飞翔，却成了无脚的鸟。年轻时我们并不了解自己，不知道自己需要什么。不知道什么才是自己最想要的，什么才是最适合自己的，自己又是怎么样的一个 人。”时光叠加，沧桑有痕，终究懂得，漫漫人生路，得失爱恨别离，不过是生命的常态。原来，人生最曼妙的风景，就是那颗没被俗世河流污染的初心。大千世界，有很多 的东西可以去热爱，或许一株风中摇曳的小草，一朵迎风招展的小花，一条弯弯曲曲的小河，都足够让我们触摸迷失的初心。紫陌红尘，芸芸众生，皆是过客。若时光允许， 我愿意一生柔软，爱了樱桃，爱芭蕉，静守于轮回的渡口，揣一颗云水禅心，将寂寞坐断，将孤独守成一帧最美的山水画卷。一直渴盼着，与心悦的人相守于古朴的小院，守 着老旧的光阴，只闻花香，不谈悲喜，读书喝茶，不争朝夕。阳光暖一点，再暖一点，日子慢一些，再慢一些，从容而优雅地老去。浮生荡荡，阳春白雪，触目横斜千万朵， 赏心不过两三枝；任凭弱水三千，只取一瓢饮。有梦的季节，有爱的润泽，走过的日子，都会成为笔尖温润如玉的诗篇。相信越是走到最后，剩下的唯有一颗向真向善向美的 初心。似水流年，如花美眷，春潮带雨晚来急，野渡无人舟自横朝花夕拾，当回望过往，你是此生无憾，还是满心懊悔呢？随着芳华的流逝，我们终究会明白：任何的财富都 比不上精神上的愉悦，任何的快感都不及对初心的执着。愿你不趋炎附势，不阿谀奉迎，不苟且偷生，不虚掷有限的年华，活出属于自己的风采，活在每一个当下，不忘初心，
A. 15
x
2. (3 a
1 )15 a
B.
6x2 a3
20
C. x
D. 15 x
的展开式中，不含a的项是第（A
）
A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项
分析：求指定项通常用通项公式，这是一 类常见问题，必须熟练掌握.
思考：1中如何求第五项的系数和二项式系 数？ 2中的第五项是什么？
Tr1Crnanrbr
例 题
3.二项式(z-2)6的展开式中第5项是-480，求复 数z.
分析：由通项公式写出第五项，并令其等于 -480，得到z的方程解之.
答案： z 2i
4.求二项式 ( 3 3 1 )7 的展开式中的有理项.
2
分析：方法一用通项公式（适用于任意次幂） 方法二用定理展开（次数较小时使用）
答案： 105 4
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0，
第二项b的次数由0升到n.
3.项数规律： 二项和的n次幂的展开式共有n+1个项
4.展开式中的每一项都来自于n个括号的各个 括号.
例 题
Tr1Crnanrbr
x
1.(பைடு நூலகம்a2
a )6 x
的展开式中，第五项是……（B ）
练 习 Tr1Crnanrbr 与 练习：见学习卷 小 小结： 结
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
通项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有n+1 个项.
定理 ( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C r n a n r b r C n n b n
特 征
1.系数规律：
C n 0、 C 1 n 、 C n 2、 、 C n n