二元函数连续性
二元函数连续性
lim
P→ P0
f (P) =
f ( P0 )
（ P 0 ∈定义区域）
例４ 求极限
lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2
( x, y)→(0,0)
解：函数f (x, y) = (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2是二元初等函数， 定义域是R2 ,并且它在点（0,0）(∈ R2 )处连续,
=.
x→0 y→0
xy + 1 + 1
2
三、在有界闭区域上连续函数的性质
性质1 （有界性与最大值最小值定理）
如果函数f在有界闭区域D上连续，则f在 D上有界，且能取得最大值和最小值。
说明：性质1是说，若f(P)在有界闭区域D 上连续，则必定存在大于0的常数M，使得 对一切属于D的点P，有
f (P) ≤ M ,且存在P1、P2 ∈ D,使得 f (P1) = max{ f (P) P ∈ D}, f (P2 ) = min{ f (P) P ∈ D}.
它是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数
经过有限次四则运算和复合运算得到的。
如 = f ( x, y)
lnsin( xy) +
x x2
− +
y y2
等等
3、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区 域．
注：在多元初等函数定义区域内的连续点处求 极限可用“代入法”。
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0 (x0 , y0)的全增量 ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0),则
高等数学第16章第3节二元函数的连续性
§ 3 二元函数的连续性一 二元函数的连续性定义 设f 为定义在点集2R D ⊂上的二元函数．()。
的孤立点的聚点，或者是它或者是D D D P ∈0对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()，；D P U P δ0∈，就有 ()()ε<-0P f P f ，()1则称f 关于集合D 在点0P 连续。
在不至于误解的情况下，也称f 在点0P 连续。
若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数。
由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点，则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点，则f 关于D 在连续等价于()().lim 00P f P f DP P P =∈→()2如果0P 是D 的聚点，而()2式不成立()应情形相同其含义与一元函数的对，则称0P 是f 的不连续点或称间断点。
特别当()2式左边极限存在但不等于)(0P f 时，0P 是f 的可去间断点．如上节例1、2给出的函数在原点连续；例4给出的函数在原点不连续，又若把例3的函数改为{}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠=∈+=),0,0(),(,1,0,|),(),(,),(222y x m m x m x y y x y x y x xyy x f其中m 为固定实数，亦即函数f 只定义在直线mx y =上，这时由于(),0,01),(lim 2),(),(00f m my x f mx y y x y x =+==→ 因此f 在原点沿着直线mx y =是连续的。
设()000,y x P 、()00,,,y y y x x x D y x P -=∆-=∆∈则称()()()0000,,,y x f y x f y x f z -=∆=∆ ()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=为函数f 在点0P 的全增量。
和一元函数一样，可用增量形式来描述连续性，即当0l i m ),()0,0(),(=∆∈→∆∆z Dy x y x时，f 在点0P 连续。
二元函数为什么连续不可推出可导
二元函数为什么连续不可推出可导的探讨一、探讨二元函数的连续性和可导性1. 二元函数在数学中是一种常见的函数形式，它由两个自变量和一个因变量构成。
通常来说，我们会对二元函数的连续性和可导性进行研究。
在数学分析中，连续性是指函数在某一点附近的变化趋势和稳定性，而可导性则是指函数在某一点处存在切线，也即函数在该点有斜率。
2. 连续性和可导性是函数的重要性质，它们直接关系到函数在某一点的变化趋势和变化速率。
一般来说，连续性是可导性的必要条件，但不一定是充分条件。
也就是说，一个函数在某一点处可导，则它必然是连续的；然而，一个函数在某一点处连续，并不代表它在该点可导。
3. 回顾一元函数的情况，我们知道连续性是可导性的必要条件，而可导性则并不是连续性的充分条件。
这一点在二元函数中同样适用，即二元函数的连续性不一定能推出它的可导性。
二、二元函数为什么连续不可推出可导的原因1. 二元函数连续不可推出可导的原因主要在于函数在某一点处的变化性和斜率的关系。
对于一元函数来说，连续性意味着函数在某一点附近没有跳跃或间断，这使得在该点可以定义函数的斜率，从而可导。
然而，对于二元函数来说，情况并不完全相同。
即使函数在某一点处连续，也不能保证函数在该点处有确定的斜率，因此也不能保证可导。
2. 一种常见的例子是多元复合函数。
在多元复合函数中，即使外层函数和内层函数都在某一点处连续，也不能保证复合函数在该点可导。
这是因为函数的连续性不足以确定函数在该点的斜率，从而不能推出可导性。
3. 二元函数的可导性还与偏导数的存在性相关。
即使函数在某点处连续，但它的偏导数不一定存在，也就意味着函数在该点处不可导。
这进一步说明了二元函数连续不可推出可导的现象。
三、个人观点和理解1. 二元函数连续不可推出可导是因为连续性不足以确定函数在某一点的变化性和斜率，而函数的变化性和斜率是可导性的关键。
我们在研究二元函数的性质时，应该特别关注函数在某一点处的变化趋势和斜率是否能被准确确定。
二元函数的连续性
D R 2 上连续, 则 f (P)在 D上有界 .
定理6 ( 最值性 ) 若二元函数 f (P)在有界闭区域
D R 2上连续, 则 f (P)在 D上有最大值和最小值 .
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
定理7( 介值性 ) 若二元函数f ( P )在有界闭区域
D R 上连续， 且m和M 分别是函数f ( P )在D的
若函数u ( x , y )和
且二元函数f ( u, v )在 v ( x , y )在点P0 ( x0 ,y0 )连续，
则复合函数 ( u0 , v0 ) [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]连续，
f [ ( x , y ), ( x , y )]在点P0 ( x0 ,y0 )也连续.
综合起来, 当 | x x0 | , | y y0 | 时, 便有
| f [ ( x , y ), ( x , y )] f [ ( x0 , y0 ), ( x0 , y0 )]| .
所以 f [ ( x , y ), ( x, y )] 在点 P0 ( x0 , y0 ) 连续.
都连续。但反之f ( x , y )关于每一变量连续，不能推出 它关于双变量连续.
二元函数的连续性
§10.2 二元函数的极限与连续
x0 lim f x , 0 lim 2 0 f 0, 0 , x 0 x 0 x 0
f x , y 关于变量x在 0, 0 点连续.
§10.2 二元函数的极限与连续
若 lim z y 0,
y0
f 则表示当 固定 x x0 时， ( x0 , y ) 在 y0 连续.
3 二元函数的连续性
数,即
1, 当 (x, y) D时, f (x, y) = 无定义, 当(x, y) D时.
lim f ( x , y ) 1 f ( x0 , y0 )
x
1 o
可知, (x0, y0) D
x x0 y y0
但曲面 z = f (x, y)不是通常意义下的连续曲面.
xy 1 1 . 例 6 求 lim x 0 xy y 0
xy 1 1 xy 1 1 解 lim lim x 0 xy ( x 0 xy xy 1 1) y 0 y 0
1 1 . lim x 0 xy 1 1 2 y 0
例 7 设 D x , y x , y Q R 2 . z f x , y 定义 在 D 上, 且在 D 上恒等于 1, 在别的点上无定义的函
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x , y ) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 2
x2 y2 时
f ( x , y ) f (0,0) 0 连续.
由定义知：
则 P 0 是 f 关于 D 的连续点. 若 P 0 是 D 的孤立点，
若 P 0 是 D 的聚点,则 f 关于 D 在 P 0 连续等价于
lim f P f P 0 .
若 lim f P f P 0 , 则 P 0 是 f 的不连续点.
§3 二元函数的连续性
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
二元函数连续性
所以 lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2 ( x, y)→(0,0) = f (0,0) =1
例５ 求极限 lim ln(x + ey )
f
(x,
y)在P0 (x0 ,
y 0 )连续
⇔
lim
( ∆x ,∆y )→( 0, 0 )
∆z
=
0
即，二元函数在某点连续的充要条件是它 在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是 区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室 Hale Waihona Puke 明清一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
设二元函数f (x, y)的定义域为D ⊂ R2 ,
P0 (x0 , y0 )是D的聚点，且P0 ∈ D.如果
lim
( x, y)→( x0 , y0 )
f (x, y) =
f (x0 , y0 )
则称函数f (x, y)在P0 (x0 , y0 )连续。否则， 称f (x, y)在P0 (x0 , y0 )间断，P0 (x0 , y0 )为 f (x, y)的间断点。
0,
x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性．
解：取 y = kx
lim
x→0 y→0
xy x2 + y2
=
lim
x→0 y = kx
二元函数的连续性
f
(Qn )
0
由于D为有界闭域，因此存在收敛子列 Pnk
Pn
，并设lim k
Pnk
P0 D
再在Qn 中取出与 Pnk 下标相同的子列 Qnk ，
则因
0 (Pnk , Qnk )
1 nk
0， k
得到
而有lim k
Qnk
lim
k
Pnk
P0，最后，由f在P0连续，
lim
证明 由f在点Q0连续可知：任给正数 ，存在相应正数 ， 使得当u u0 , v v0 时，有 f (u,v) f (u0 ,v0 ) 又由、在点P0连续可知：对上述正数，总存在正数，使得当x x0 ,
y y0 时，都有 u u0 (x, y) (x0 , y0 ) v v0 (x, y) (x0 , y0 )
从而P0 D 由于f在D上连续，当然在点 P0也连续，因此有
lim
k
f (Pnk )
f (P0 )
这与不等式 (3)相矛盾，所以 f是D上的有界函数。
下面证明f在D上能取到最大、最小值 。设 m inf f (D), M sup f (D)
可证必有一点 Q D，使f (Q) M。否则对任意 P D，都有M f (P) 0
例如 函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
m, 1 m2
(x, y) (x, y) | y mx, x 0
(x, y) (0,0)
其中m为固定实数，即函数 f只定义在直线 y mx上。
由于
lim f (x, y) m f (0,0)
( x, y)(0,0)
1 m2
ymx
因此f在原点沿着直线 y mx是连续的。
二元函数连续性
性质2 （介值定理） 有界闭区域D上的多元连续函数一定能取得 介于最大值和最小值之间的任何值。
说明：性质2告诉我们， 设f在有界闭区域D上连续，记m, M为f在D上的 最小值和最大值，则对于任意满足不等式
m C M
的实数C,必存在点P0 D, 使得 f (P0) C.
1、连续性的定义（两种形式）。 2、多元初等函数的连续性。 3、有界闭区域上多元连续函数 的性质。
解：取 y kx
lim xy x0 x2 y2
y0
lim
x0
x
2
y kx
kx2 k2x2
k 1 k2
其值随k的不同而变化，故极限不存在．
所以函数在(0,0)处不连续．
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0(x0 , y0 )的全增量 z f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ),则
1、 若 f ( P ) 在 D 上 任 何 点 都 连 续 ， 则称f (P)是D上的连续函数。 2、二元函数连续性概念，可类似地
推广到n元函数f (P)上去。 3、二元函数函数f (x, y)在点P0连续 必须满足三个条件：1）在P0点有定义； 2）在P0点极限存在；3）极限值和函数 值相等。
f (x, y)在P0(x0 , y0)连续
lim z 0
(x,y )(0,0)
即，二元函数在某点连续的充要条件是它 在该点的全增量极限为零。
3. 二元连续函数的几何意义
二元函数f (x, y)在区域D上连续，表示它的图形是 区域D上一片无“洞”，无“裂缝”的连续曲面。
二、多元连续函数的运算性质
公共数学教研室 戴明清
一、二元函数的连续性概念
1、连续的定义
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上的连续函数.
P 由上述定义知道: 若 是 D 的孤立点,则 必定是 0
P f 的连续点. 若 是 D 的聚点, 则 f 关于集合 D 在点 0
P0 连续等价于
lim
P P0
f (P)
f (P0 ).
PD
P 如果 是 D 的聚点, 而 (2) 式不成立 (其含义与一元 0
P 函数的对应情形相同 ), 则称 是 f 的不连续点 (或 0
量形式来描述连续性, 即当
时, f 在点 连续P.0
如果在全增量中取
lim z 0
( x, y) (0, 0) ( x, y)D
x 0 或 y 0, 则相应得到的
增量称为偏增量, 分别记作
x f ( x0 , y0 ) f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ), y f ( x0, y0 ) f ( x0, y0 y) f ( x0, y0 ).
一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和.
若一个偏增量的极限为零, 如
lim
x0
x
f ( x0 ,
y0 ) 0,
则表示当固定
y y0 时, f ( x, y0 ) 作为 x 的函数, 它
在 x0 连续. 同理,
若
lim
y0
y
f ( x0 ,
y0 ) 0,
则表示当
固定 x 时x，0
此时 f
※ 全增量与偏增量
设 P0( x0 , y0 )、P( x, y) D, x x x0 , y y y0, 称 z f ( x0 , y0 ) f ( x, y) f ( x0, y0 )
f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 )
P 为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增 0
§3 二元函数的连续性
无论是单元微积分还是多元微积分, 其中 所讨论的函数, 最重要的一类就是连续函数. 二元函数连续性的定义比一元函数更一般化 了些; 而它们的局部性质与在有界闭域上的 整体性质, 二者完全相同.
一、二元函数的连续性概念 二、有界闭域上连续函数的性质
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一、二元函数的连续性概念
※ 连续性的定义
f ( x0 , y) 在 y0 连续.
容易证明: 当 f 在其定义域的内点
( x0 , y0 ) 连续时,
f ( x, y0 ) 在 x0 与 f ( x0 , y) 在 y0 都连续. 但是反过来,
由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该
函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数
1， xy 0, f ( x, y) 0， xy 0
y mx
上，这时由于
m
lim
( x, y) (0, 0)
f (x,
y)
1 m2
f (0, 0Байду номын сангаас,
y mx
因此 f 在原点沿着直线 y m是x连续的．
例1 讨论函数
x
f
(
x,
y)
x2 y2
,
( x, y) (0,0),
( 0)
0,
( x, y) (0,0),
在坐标原点的连续性．
则复合函数 连续.
g( x, y) f ( ( x, y), ( x, y) ) 在点 P0 也
二、有界闭域上连续函数的性质
本段讨论有界闭域上多元连续函数的整体性质. 这 可以看作闭区间上一元连续函数性质的推广.
定理16. 8 ( 有界性定理与最大、小值定理 ) 若二元
函数 f 在有界闭域
D R2 上连续, 则 f 在 D上有界,
解 由于当 2 且 r 0 时,
f (r cos , r sin ) r 2(cos ) r 2 0,
因此 lim f ( x, y) 0 f (0,0), 此时 f 在原点连 ( x, y) (0,0)
续; 而当 2 时, lim f ( x, y) 不存在， ( x, y) (0,0) 在原点间断．
D R2
上连续, 若P1 , P2 为 D 中任意两点, 且
f (P1 ) f (P2 ),
则对任何满足不等式
f (P1 ) f (P2 )
(4)
的实数 , 必存在点
P0 D , 使得 f ( P0 ) .
注1 定理16. 8 与 16. 9 中的有界闭域 D 可以改为有 界闭集 (证明过程无原则性变化). 但是介值性定理 中所考察的点集 D 只能假设是一区域, 这是为了保 证它具有连通性, 而一般的开集或闭集是不一定具 有连通性的.
定义1 设 f 为定义在点集
D R2上的二元函数,
P0
D. 若 0, 0, 只要 P U (P0; ) I D , 就有
| f (P) f (P0 ) | ,
(1)
P 则称 f 关于集合 D 在点
连续.在不致误解的情形
0
下, 也称 f 在点 连续.P0
若 f 在 D 上任何点都关于集合 D 连续,则称 f 为 D
且能取得最大值与最小值.
定理16.9 (一致连续性定理) 若函数 f 在有界闭域
D R2上连续, 则 f 在 D 上一致连续. 即
0, 存
在只依赖于
的 0,使得对一切满足
(P, Q)
的点 P,Q D, 必有 | f (P) f (Q) | .
定理16.10 ( 介值性定理 ) 设函数 f 在区域
定理16.7 (复合函数的连续性) 设函数
u (x, y)和
v ( x, y) 在点 P0 ( x0的, y某0邻) 域内有定义, 并在
点 P连0 续; f (u, v) 在点
Q0 (u0 , v0 ) 的某邻域内有定
义, 并在点 Q0 连续, 其中
u0 ( x0 , y0 ), v0 ( x0 , y0 ).
称间断点). 特别当 (2) 式左边极限存在, 但不等于
f ( P0 ) 时, P0 是 f 的可去间断点.
P0 (2)
若把上述例3 的函数 改为
f
( x,
y)
xy
x2 y m
1 m2
2
,
,
( x, y) ( x, y) | y mx, x 0,
( x, y) (0, 0),
其中 m 为固定实数, 亦即函数 f 只定义在
在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续.
※ 连续函数的局部性质 若二元函数在某一点连续, 则与一元函数一样, 可以 证明它在这一点近旁具有局部有界性、局部保号性
以及相应的有理运算的各个法则. 下面只证明二元 复合函数的连续性定理.