关于矩阵行等价的一些思考(精)
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初等行变换 ( A | E) (E | A1 )
（6）求解线性方程组
含有 m 个方程 n 个未知量的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解
线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计 算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器，
Matlab(Octave), Mathematica,Maple等，这些工具都可
以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置
、简化行阶梯形、行列式、LU分解、QR分解，其中最
2、课后讨论、研究
（1）求解 AX B
( A B)初等行变换化成简化阶梯形 （E A B）=(E X )
1
(2)求向量的坐标[13]
(3)求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式[13]
实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题
（5）化二次型为标准型及判断矩阵正定[14]
行初等变换 ( A, E) (T , C ')
求解过程：
初等行变换，化为阶梯形(消元过程) 初等行变换，化为行简化阶梯形（回代过程） A A1 A2
的矩阵形式为：
AX b
【10】 应用行化简算法解线性方程组步骤：
1、写出方程组的增广矩阵. 果没有解则停止；否则进行下一步. 3、继续行化简算法得到它的简化阶梯形.
其中T是上三角阵
（6）把线性无关的向量组正交化[14] 1)
3)若欲在正交化后得到正交阵，可令
则D的列向量组为标准正交组。
(7)求正定阵A的分解式 A U U
[14]
（8）初等变换在多项式理论中的应用 [15] （判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的 根，求最大公因式）
（i）求两个多项式的最大公因式
2、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形. 确定方程组是否有解，如
4、写出由第3步所得矩阵所对应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程组.
5、把第4步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.
计算技术日益成熟： 计算器、Matlab、Octave、Sage、Maple、Mathematica等 Matlab中 “rref ” 命令是求矩阵的行最简形
重要的是简化行阶梯形 。但相比之下，其理论部分
【2】
相
二 、现状
对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没
有像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视
这种等价关系．国外的一些教材（如[3-5]）都有给出行简化 梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的, 但对“矩阵的行 标准形是唯一的”这一结论的证明或略去，或在后面用更多 更深刻的知识作为附录给出证明的过程．现在使用这些知识 的教材越来越多（如[6－9] 等），但很少将“矩阵行最简形 是唯一的” 的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在
性质1 （见[1,定理3]）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。 性质2 矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。
性质3(见[3,定理]) 对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列
向量的线性关系。
性质 4(见[1,定理 1])
矩阵的行等价是 P mn 的一个等价关系.
二 、现状
利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和 行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，
r i krj
要注意地是，第一种变换可以由第二、三种变换一起实施得到。
定义 2(见[1,定义 1])
mn
m n P 令 表示数域 P 上的所有 m n
矩阵， A P , A 的任意非零的行中第一个非零元素称为这一 行的“首”元素，如果矩阵 A 满足下列条件： (1)每个首元素是 1； (2)包含首元素 1 的每列中，其它的元素都是零； (3)每个零行（若有的话）都排在所有非零行的下面； (4)设在 A 的第 i 行首元素出现在 ti 列，A 的 r ( m) 个非零行中 首元所在列数满足 t1 < t 2 <……< t r ， 则称 A 为行简化梯形矩阵.
关于矩阵行等价的一些思考
杨忠鹏1 陈梅香1 晏瑜敏1 陈智雄1 林志兴1 林丽生1，2
1.莆田学院数学系 2.辽宁工业大学机械工程及其自动化学院
2008年10月11日
目
1 2 3 4 ５ 引 现 言 状
录
广泛的应用
理论研究
参考文献
一、引言
矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法 ，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换．
于“矩阵的行标准形是唯一的”这个结论的证明是复杂的．
三、广泛的应用
1、教学中的基本要求 2、课后讨论、研究 3、能力提升（毕业论文选题）
1、教学中的基本要求
（1）求行列式
初等行变换 A D(上三角阵)
（2）求矩阵或向量组的秩
初等行变换 A B(阶梯形矩阵)，r ( A) r (B) B的非零行的个数。
定义 1
[1]
mn A , B P 设 ， 如果 B 可以由 A 通过有限次
初等行变换得到，则称 B 与 A 行等价. 记作 A B .
数域 P 上的矩阵的初等行变换指以下三种变换： （1） 互换 k 矩阵中 i , j 两行，记为 ri rj （2） 以数 k 0 乘某一行中的所有元素，第 i 行乘 k 记为 kri （3） 把 矩 阵 的 第 j 行 元 素 的 k 倍 加 到 第 i 行 对 应 的 元 素 上 ， 记 为
f ( x)1 0 d ( x) u ( x) v( x) 行初等变换 g ( x ) 0 1 0 s ( x ) t ( x )
（3）判定向量组的线性相关性
A (1,2 ,
初等行变换 ,n ) B (1, 2 ,
, n )(阶梯形)
（4）求其极大无关组，并表示其他向量
A (1,2 ,
初等行变换 ,n ) B (1, 2 ,
, n )(行最简形)
（5）求矩阵的逆
（6）求解线性方程组
含有 m 个方程 n 个未知量的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
如研究讨论矩阵的逆、秩，向量线性相关性的判别，解
线性方程组等，日显其重要性。随着技术的发展，其计 算技术也日趋完善，可通过多种工具，如计算器，
Matlab(Octave), Mathematica,Maple等，这些工具都可
以做大部分常规的矩阵运算，如矩阵运算、求逆、转置
、简化行阶梯形、行列式、LU分解、QR分解，其中最
2、课后讨论、研究
（1）求解 AX B
( A B)初等行变换化成简化阶梯形 （E A B）=(E X )
1
(2)求向量的坐标[13]
(3)求基之间的过渡矩阵，坐标变换公式[13]
实质上是用初等变换的思想解线性方程组的问题
（5）化二次型为标准型及判断矩阵正定[14]
行初等变换 ( A, E) (T , C ')
求解过程：
初等行变换，化为阶梯形(消元过程) 初等行变换，化为行简化阶梯形（回代过程） A A1 A2
的矩阵形式为：
AX b
【10】 应用行化简算法解线性方程组步骤：
1、写出方程组的增广矩阵. 果没有解则停止；否则进行下一步. 3、继续行化简算法得到它的简化阶梯形.
其中T是上三角阵
（6）把线性无关的向量组正交化[14] 1)
3)若欲在正交化后得到正交阵，可令
则D的列向量组为标准正交组。
(7)求正定阵A的分解式 A U U
[14]
（8）初等变换在多项式理论中的应用 [15] （判断多项式的整除性，判断多项式有无重因式，以及求多项式的 根，求最大公因式）
（i）求两个多项式的最大公因式
2、应用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形. 确定方程组是否有解，如
4、写出由第3步所得矩阵所对应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程组.
5、把第4步所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式.
计算技术日益成熟： 计算器、Matlab、Octave、Sage、Maple、Mathematica等 Matlab中 “rref ” 命令是求矩阵的行最简形
重要的是简化行阶梯形 。但相比之下，其理论部分
【2】
相
二 、现状
对滞后。在国内的高等代数和线性代数教材中，一般地，没
有像对待矩阵间的相抵、合同、相似关系那样从理论上重视
这种等价关系．国外的一些教材（如[3-5]）都有给出行简化 梯形矩阵的定义及其应用,并指出它是唯一的, 但对“矩阵的行 标准形是唯一的”这一结论的证明或略去，或在后面用更多 更深刻的知识作为附录给出证明的过程．现在使用这些知识 的教材越来越多（如[6－9] 等），但很少将“矩阵行最简形 是唯一的” 的证明放在课堂上，这种现象产生的主要原因在
性质1 （见[1,定理3]）矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩。 性质2 矩阵的行初等变换不改变方阵的可逆性。
性质3(见[3,定理]) 对矩阵施行行初等变换不改变矩阵的列
向量的线性关系。
性质 4(见[1,定理 1])
矩阵的行等价是 P mn 的一个等价关系.
二 、现状
利用初等行变化，把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和 行最简形矩阵，是一种很重要的运算，应用十分广泛，
r i krj
要注意地是，第一种变换可以由第二、三种变换一起实施得到。
定义 2(见[1,定义 1])
mn
m n P 令 表示数域 P 上的所有 m n
矩阵， A P , A 的任意非零的行中第一个非零元素称为这一 行的“首”元素，如果矩阵 A 满足下列条件： (1)每个首元素是 1； (2)包含首元素 1 的每列中，其它的元素都是零； (3)每个零行（若有的话）都排在所有非零行的下面； (4)设在 A 的第 i 行首元素出现在 ti 列，A 的 r ( m) 个非零行中 首元所在列数满足 t1 < t 2 <……< t r ， 则称 A 为行简化梯形矩阵.
关于矩阵行等价的一些思考
杨忠鹏1 陈梅香1 晏瑜敏1 陈智雄1 林志兴1 林丽生1，2
1.莆田学院数学系 2.辽宁工业大学机械工程及其自动化学院
2008年10月11日
目
1 2 3 4 ５ 引 现 言 状
录
广泛的应用
理论研究
参考文献
一、引言
矩阵的初等变换是高等代数中一种非常重要的思想方法 ，而通常计算中使用最多的就是矩阵的行初等变换．
于“矩阵的行标准形是唯一的”这个结论的证明是复杂的．
三、广泛的应用
1、教学中的基本要求 2、课后讨论、研究 3、能力提升（毕业论文选题）
1、教学中的基本要求
（1）求行列式
初等行变换 A D(上三角阵)
（2）求矩阵或向量组的秩
初等行变换 A B(阶梯形矩阵)，r ( A) r (B) B的非零行的个数。
定义 1
[1]
mn A , B P 设 ， 如果 B 可以由 A 通过有限次
初等行变换得到，则称 B 与 A 行等价. 记作 A B .
数域 P 上的矩阵的初等行变换指以下三种变换： （1） 互换 k 矩阵中 i , j 两行，记为 ri rj （2） 以数 k 0 乘某一行中的所有元素，第 i 行乘 k 记为 kri （3） 把 矩 阵 的 第 j 行 元 素 的 k 倍 加 到 第 i 行 对 应 的 元 素 上 ， 记 为
f ( x)1 0 d ( x) u ( x) v( x) 行初等变换 g ( x ) 0 1 0 s ( x ) t ( x )
（3）判定向量组的线性相关性
A (1,2 ,
初等行变换 ,n ) B (1, 2 ,
, n )(阶梯形)
（4）求其极大无关组，并表示其他向量
A (1,2 ,
初等行变换 ,n ) B (1, 2 ,
, n )(行最简形)
（5）求矩阵的逆