(新课程)高中数学《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》课件1 新人教A版选修1-2
RZ＝RS＋SZ＝PZ1＋QZ2＝b＋d. 于是，点 Z 的坐标是(a＋c，b＋d)， → 这说明OZ就是复数(a＋c)＋(b＋d)i 对应的向量．
2．复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义：如果复数 z1，z2 分别对应复平面内的向 → → 量OP1，OP2，那么以 OP1，OP2 为两边作平行四边形 OP1SP2， → 对角线 OS 表示的向量OS就是 z1＋z2 的和所对应的向量． 复数减法的几何意义：两个复数的差 z1－z2 与连接这两个向量 终点并指向被减向量的向量对应． 拓展：由复数加减法的几何意义可得如下结论： ||z1|－|z2||≤|z1± 2|≤|z1|＋|z2|. z
[规范解答] 法一 设w＝z－3＋4，∴z＝w＋3－4i，∴z＋1－i＝w＋4－5i. 又|z＋1－i|＝1， ∴|w＋4－5i|＝1.(6分)
可知 w 对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1 为半径的圆．(8 分) 如图(1)所示，∴|w|max＝ 41＋1，|w|min＝ 41－1.(12 分)
【变式1】 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)；
(2)(－3＋2i)－(4－5i)；
(3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 解 (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i
规律方法
(1)根据复数的两种几何意义知：复数的加减运算可以
转化为点的坐标运算或向量运算． (2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用 提供了可能．
→ → 【变式 2】 (1) 设OZ1及OZ2分别与复数 z1＝5＋3i 及复数 z2＝4＋i → → 对应，计算 z1－z2，并在复平面内作出OZ1－OZ2. → → (2)设OZ1及OZ2分别与复数 z1＝1＋3i 及复数 z2＝2＋i 对应， → → 计算 z1＋z2，并在复平面内作出OZ1＋OZ2.
【示例】 复平面内点 A，B，C 对应的复数分别为 i,1,4＋2i，由 → A→B→C→D 按逆时针顺序作▱ABCD，则|BD|等于( A．5 C. 15 B. 13 D. 17 )．
[思路分析] 首先由 A、C 两点坐标求解出 AC 的中点坐标， 然后再由点 B 的坐标求解出点 D 的坐标．
解析 如图，设 D(x，y)，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点 F
解 (1)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i
＝1＋2i(如图①)
(2)z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i.(如图②)
题型三 复数加减法几何意义的综合应用 【例3】 已知|z＋1－i|＝1，求|z－3＋4i|的最大值和最小值． 审题指导 利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想 解题．
题型一
复数的加减运算
【例 1】 (1)z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i.求 z1＋z2，z1－z2.
1 1 4 3 (2)计算：3＋2i＋(2－i)－3－2i.
(3)计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋„＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)． [思路探索] 掌握复数的加减运算法则，正确计算即可．
3．2 复数代数形式的四则运算
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
【课标要求】 1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．
2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解
题． 【核心扫描】 1．复数加减运算的几何意义．(重点) 2．本节内容与平面向量的联系．(难点)
自学导引 1．复数加减法的运算法则及加法运算律
＝－11i.
题型二
复数加减法的几何意义
【例 2】 已知复平面内平行四边形 ABCD， 点对应的复数为 2＋i， A → → 向量BA对应的复数为 1＋2i，向量BC对应的复数为 3－i，求： (1)点 C，D 对应的复数；(2)平行四边形 ABCD 的面积． [思路探索]
→ → 解 (1)∵向量BA对应的复数为 1＋2i， 向量BC对应的复数为 3－i， → ∴向量AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. → → → 又OC＝OA＋AC， ∴点 C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. → → ∵AD＝BC， → → ∴向量AD对应的复数为 3－i，即AD＝(3，－1)．
＋2 009i)＋(2 009－2 010i) ＝[(1－2)＋(3－4)＋„＋(2 007－2 008)＋2 009]＋ [(－2＋3)＋(－4＋5)＋„＋(－2 008＋2 009)－2 010]i ＝(－1 004＋2 009)＋(1 004－2 010)i＝1 005－1 006i.
法二
(1－2i)＋(－2＋3i)＝－1＋i，(3－4i)＋(－4＋5i)＝－1＋
解 (1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i， z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
4 3 1 4 1 3 1 1 (2)3＋2i＋(2－i)－3－2i＝3＋2－3＋2－1＋2i＝1＋i.
(3)法一
(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋„＋(－2 008
法二
由条件知复数 z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1 为半 (4 分)
径的圆，
而|z－3＋4i|＝|z－(3－4i)|表示复数 z 对应的点到点(3，－4)的距离， (8 分) 在圆上与(3，－4)距离最大的点为 A，距离最小的点为 B，(10 分) 如图(2)所示，所以|z－3＋4i|max＝ 41＋1，|z－3＋4i|min＝ 41－1. (12 分)
想一想：若复数z1，z2满足z1－z2>0，能否认为z1>z2? 提示 不能，如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．
2．复数加减法的几何意义 → → 如图：设复数 z1，z2 对应向量分别为OZ1，OZ2，四边形 OZ1ZZ2 → 为平行四边形，则与 z1＋z2 对应的向量是OZ与 z1－z2 对应的向 → 量是Z2Z1.
(1)加减法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1 ＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ，z1－z2＝ (2)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C， (a－c)＋(b－d)i .
①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1
.
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
方法技巧 数形结合思想在复数中的应用 数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一
定条件下可以相互转化．数形结合，不仅是一种重要的解题方法，
而且也是一种重要的思维方法．本章中有关复数的几何意义包括
三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运 算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的 数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．
想一想：从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？
提示 表示Z1与Z2两点间的距离．
名师点睛 1．理解用向量法确定两个复数的和 → → 先画出与这个复数对应的向量OZ1，OZ2. → → 设OZ1及OZ2分别与复数 a＋bi， → → → c＋di 对应，且OZ1，OZ2不共线(如右图)，以OZ1及 → OZ2为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，作 x 轴的垂 线 PZ1，QZ2 及 RZ，并且作 Z1S⊥RZ.容易证明△ ZZ1S≌△Z2OQ，并且四边形 Z1PRS 是矩形，因此 OR ＝OP＋PR＝OP＋Z1S＝OP＋OQ＝a＋c，
3 的坐标为2，2， x＋1＝4， 所以 y＋0＝3， x＝3， 即 y＝3.
所以点 D 对应的复数为 z＝3＋3i， → → → 所以BD＝OD－OB＝3＋3i－1＝2＋3i， → 所以BD＝ 13. 答案 B
方法点评 解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形， 然后根 据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解．
→ 设 D(x，y)，则AD＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
x－2＝3， ∴ y－1＝－1， x＝5， 解得 y＝0，
∴点 D 对应的复数为 5.
→ → → → (2)∵BA· ＝|BA||BC|cos B， BC → → 3－2 BA· BC 1 2 ∴cos B＝ ＝ ＝ ＝ . → → 5× 10 5 2 10 |BA||BC| 7 2 ∴sin B＝ ＝ ， 5 2 10 7 2 → → ∴S＝|BA||BC|sin B＝ 5× 10× ＝7， 10 ∴平行四边形 ABCD 的面积为 7. 7
满足|z＋2－2i|＝1，即|z－(－2＋2i)|＝1. 复数 z 所对应的点是以 C(－2,2)为圆心， r＝1 为半径的圆． 而 |z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的几何意义是：复数 z 对应的点与点 A(3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r， 最大值为|AC|＋r. ∴|z－3－2i|min＝ 3＋22＋2－22－1＝4. |z－3－2i|max＝ 3＋22＋2－22＋1＝6.
【题后反思】 |z1－z2|表示复平面内 z1， 2 对应的两点间的距离． z 利 用此性质， 可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题， 从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．
【变式 3】 已知复数 z 满足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最大值 与最小值． 解 由复数及其模的几何意义知：
方法一：复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
方法二：把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项． (2)加法法则的合理性： ①当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致． ②加法交换律和结合律在复数集中仍成立．
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3.2.1《复数代数形式的加减法运算及其几何意义》课件
在讲述复数代数形式的加减法运算及其几何意义的应用时， 采用例题与变式结合的方法。例题和练习的设计遵循由浅入深,循 序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次 的学生．采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解复数代数形 式的加减法运算及其几何意义的应用。
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
解：
(1).(2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i
(2).(1 2i) (1 2i) (11) ( 2 2)i 0 (3).(2 3i) (5 2i) (2 5) (3 2)i 3 5i (4).(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数的减法法则
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减 法法则吗?
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c di) (x yi) a bi
的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差，
记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义有
,
uuur BA
对应的复数,并指出
AB= 9 i第三u象uur限
其对应的复数位于第几象限.BA=9 i，第一象限
3 .复平面上三点 A, B,C 分别对应复数 1, 2i,5 2i ,则 由 A, B,C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.
4 .求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离． 5
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1.—z2 两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的 两个点之间的距离．
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
解：
(1).(2 3i) (5 i) (2 5) (3 1)i 3 2i
(2).(1 2i) (1 2i) (11) ( 2 2)i 0 (3).(2 3i) (5 2i) (2 5) (3 2)i 3 5i (4).(5 6i) (2 i) (3 4i) (5 2 3) (6 1 4)i
法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
复数的减法法则
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减 法法则吗?
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足
(c di) (x yi) a bi
的复数x yi叫做复数a bi减去c di的差，
记作(a bi) (c di).根据复数相等的定义有
,
uuur BA
对应的复数,并指出
AB= 9 i第三u象uur限
其对应的复数位于第几象限.BA=9 i，第一象限
3 .复平面上三点 A, B,C 分别对应复数 1, 2i,5 2i ,则 由 A, B,C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.
4 .求复数 2 i , 3 i 所对应的两点之间的距离． 5
(4)复平面内的两点间距离公式: d z1.—z2 两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的 两个点之间的距离．
高中数学3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(共13张PPT)
(1) (6 5i) (3 2i)
9 3i
(2) ( 2 3i) ( 2 3 i) 1 2
1 3 i 2
三、复数代数形式的减法运算法则
1.规定：复数的减法是加法的逆运算
如果c di x yi a bi ,那么复数
x yi 叫做复数 a bi 减去 复数c di 的差,
2、复数加法的运算律：
复数的加法满足交换律和结合律
例1.计算
(1) (2 4i) (3 4i)
(2) 5 (3 2i)
解：(2 4i) (3 4i) (2 3) (4 4)i 5
练习一、
解：5 (3 2i) (5 0i) (3 2i) (5 3) (0 2)i 8 2i
a bi c di a c b d i
思考：对任意z1 a bi, z2 c di, z3 m ni
z1 z2 ？ z2 z1 z1 z2 z3 ？ z1 z2 z3 .
满足加法交换律
满足加法结合律
3.2.1 复数代数形式的加减运算 及其几何意义（第1课时）
一、复习回顾
1.复数的代数形式：z a bi
a c
2.复数相等的充要条件：a bi c di b d
3.复数的几何意义:
y
b
•Oax来自二、复数代数形式的加法运算法则
1、规定:复数的加法法则如下：
设z1 a bi, z2 c di是任意两个复数,那么
即：x yi （a bi）c di
(a c) (b d)i
2.复数的减法法则：
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课件人教新课标
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．复数加法运算的理解 (1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加， 虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形． (2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则 一致． (3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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1．计算：(1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)； (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2)．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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3．复数加、减法的几何意义
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若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为两邻边的_平__行__四__边__形___的对角线O→Z所对应的 ___复__数___，即复数的加法可以按照向量的____加__法____来进行，
＝(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线 O→B ＝O→A ＋O→C ，所以对角线 O→B 表示的复
数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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1.根据复数加减运算的几何意义 可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算．
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
1 |复数加、减法的应用 对复数加、减法运算的五点解读: 1.一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算. 特殊情形:当复数的虚部为零时,与实数的加、减法法则一致. 2.运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数 集中仍然成立. 3.运算结果:两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 4.适当推广:可以推广到多个复数的加、减运算. 5.虚数单位i:在进行复数加、减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号, 合并同类项即可.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
(★★☆)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R,i为虚数单位)分别对应向
量OZ1 、OZ2 (O为原点),若向量 Z1Z2 对应的复数为纯虚数,求a的值. 思路点拨
根据向量减法的几何意义表示出 Z1Z2 对应的复数,根据纯虚数的定义,列满足条件 的关系式,求出a的值.
第1讲 描第述三运章动的基数本概系念的扩充与复数的引入
2 |复数加、减法的几何意义及应用
复数可以用向量来表示,因此复数的加、减法可以利用向量的加、减法来表 示.如果复数对应的向量不共线,那么这些复数的加、减法就可按平行四边形法则 求解. 用复数加、减运算的几何意义解题的技巧: 1.形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. 2.数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几 何之中.
解析 ∵ Z1Z2 =OZ2 -OZ1 ,
∴ Z1Z2 对应的复数为z2-z1=[a-1+(a2+2a-1)i]-[a2-3+(a+5)i]=-(a2-a-2)+(a2+a-6)i,
高中数学3-2-1《复数代数形式加减运算及其几何意义》课件新人教A版选修
2 1
O
x
oz :(a+c)+(b+d)i
复数的加法可以按照向量的加法来进行
4、复数的减法
思考：复数是否有减法？如何理解复数的减法？
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加 法的逆运算，即把满足 (c+di)+(x+yi)=a+bi
的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作 (a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有 c+x=a, d+y=b, 因此 x=a-c, y=b-d
所以
容易得到，对任意z1,z2,z3 z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
C,有
（同学们课后证明）
3、复数加法的几何意义ຫໍສະໝຸດ 探究：复数与复平面内的向量有一一对应关系。 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发 讨论复数加法的几何意义吗？ y 设 oz1，oz2 分别与复数a+bi,c+di对应 Z Z (c,d) oz1 =（a,b） oz2 =(c,d) oz1 + oz2 =（a+c,b+d） Z (a,b)
4、在复平面上复数-1+I,、0、 3+2i所对应的分别是A、 B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为多少？
小结：
1、复数的加法、减法法则 2、复数加法、减法的几何意义
所以 即 x+yi=(a-c)+(b-d)i (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
O
x
oz :(a+c)+(b+d)i
复数的加法可以按照向量的加法来进行
4、复数的减法
思考：复数是否有减法？如何理解复数的减法？
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加 法的逆运算，即把满足 (c+di)+(x+yi)=a+bi
的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作 (a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有 c+x=a, d+y=b, 因此 x=a-c, y=b-d
所以
容易得到，对任意z1,z2,z3 z1+z2=z2+z1 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
C,有
（同学们课后证明）
3、复数加法的几何意义ຫໍສະໝຸດ 探究：复数与复平面内的向量有一一对应关系。 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发 讨论复数加法的几何意义吗？ y 设 oz1，oz2 分别与复数a+bi,c+di对应 Z Z (c,d) oz1 =（a,b） oz2 =(c,d) oz1 + oz2 =（a+c,b+d） Z (a,b)
4、在复平面上复数-1+I,、0、 3+2i所对应的分别是A、 B、C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为多少？
小结：
1、复数的加法、减法法则 2、复数加法、减法的几何意义
所以 即 x+yi=(a-c)+(b-d)i (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
最新人教版高中数学选修3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义 (1)ppt课件
方法2：∵O→A＝(1,2)，O→C＝(－1，－2)， ∴点A与点C关于原点对称． ∴原点O为正方形的中心． 设D(x，y)，则O→D对应的复数为x＋yi， ∵O→D＋O→B＝0， ∴x＋yi＝－(－2＋i)＝2－i. 故正方形的第四个顶点对应的复数为2－i.
方法 3：∵点 A 与 C 点关于原点对称，
(1)A→O表示的复数； (2)C→A表示的复数； (3)B点对应的复数．
解 (1)A→O＝－O→A， ∴A→O表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)C→A＝O→A－O→C， ∴C→A表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)
＝5－2i.
(3)O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C ∴O→B表示的复数为
解 设平行四边形的对角线 AC 与 BD 相交于点 P，由复数
加减法的几何意义，得 D→A＝P→A－P→D＝12C→A－12B→D＝12(C→A－B→D) 12[(－6－8i)－(－4＋6i)]＝12(－2－14i)＝－1－7i.
变式训练2 已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C 对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)|z－(1+2i)| 点A到点(1,2)的距离
(2)|z+(1+2i)|
点A到点(－1, －2)的距离
(3)|z－1|
点A到点(1,0)的距离 (4)|z+2i|
点A到点(0, －2)的距离
练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足等式|z －m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?
以点(2, －3)为圆心, 1为半径的圆上
3.过程：如图所示
y
Z2(c,d)
O
设OZ1，OZ
分别与
2
高中数学3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
-1-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
学习目标
思维脉络
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算 法则. 2.理解复数代数形式的加法、减法运算
的几何意义.
3.能够利用复数代数形式的加法、减法 运算法则及几何意义解决问题.
-14-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复
数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量������������ 对应的复数;(2)向量������������ 对应的复数;(3)向量������������ 对应 的复数.
解:(1)因为������������=-������������,所以向量������������对应的复数为-3-2i. (2)因为������������ = ������������ − ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为������������ = ������������ + ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. -8-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
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3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课堂篇探究学习
学习目标
思维脉络
1.掌握复数代数形式的加法、减法运算 法则. 2.理解复数代数形式的加法、减法运算
的几何意义.
3.能够利用复数代数形式的加法、减法 运算法则及几何意义解决问题.
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3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复
数0,3+2i,-2+4i.求:
(1)向量������������ 对应的复数;(2)向量������������ 对应的复数;(3)向量������������ 对应 的复数.
解:(1)因为������������=-������������,所以向量������������对应的复数为-3-2i. (2)因为������������ = ������������ − ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为������������ = ������������ + ������������,所以向量������������对应的复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
(方法二)因为z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. -8-
3.2.1 复数代数形式的加、 减运算及其几何意义
高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义课件 新人教A版选修12
第二十二页，共41页。
【误区警示】注意运算格式及范围避免出错(chū cuò) (1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个 复数,其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用 “+”号,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1z2=(a-c)-(b-d)i. (2)复数中出现字母时,首先要判断其是否为实数,再确定复数的实部与 虚部,最后把实部与虚部分别相加.
第二十三页，共41页。
【补偿训练(xùnliàn)】计算(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 【解析】原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
第二十四页，共41页。
类型二 复数的加法、减法(jiǎnfǎ)运算的几何意义
【典例2】
(1)在复平面内,平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个
用向量 表示.
CA
OA，OC
(3)借助向量的运算
【解析】(1)
则 对O应B 的 O复A数(fOùCs.hù)为－(3＋2i)，
即－3－2i. AO＝－OA， AO
(2)
所以 对应的复数(fùshù)为(3＋2i)－(－2+4i)
＝5－C2Ai＝. OA－OC，
CA
(3)
”改为3
【解析】设复数(fùshù)z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由
|z1|=|z2|=1，|z1-z2|=1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是
菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，
Байду номын сангаас
【误区警示】注意运算格式及范围避免出错(chū cuò) (1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个 复数,其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用 “+”号,如z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1z2=(a-c)-(b-d)i. (2)复数中出现字母时,首先要判断其是否为实数,再确定复数的实部与 虚部,最后把实部与虚部分别相加.
第二十三页，共41页。
【补偿训练(xùnliàn)】计算(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 【解析】原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
第二十四页，共41页。
类型二 复数的加法、减法(jiǎnfǎ)运算的几何意义
【典例2】
(1)在复平面内,平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个
用向量 表示.
CA
OA，OC
(3)借助向量的运算
【解析】(1)
则 对O应B 的 O复A数(fOùCs.hù)为－(3＋2i)，
即－3－2i. AO＝－OA， AO
(2)
所以 对应的复数(fùshù)为(3＋2i)－(－2+4i)
＝5－C2Ai＝. OA－OC，
CA
(3)
”改为3
【解析】设复数(fùshù)z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由
|z1|=|z2|=1，|z1-z2|=1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是
菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，
Байду номын сангаас
复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课件
(2)因为―C→A ＝―O→A －―O→C ，所以对角线―C→A 表示的复数为 (3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线―O→B ＝―O→A ＋―O→C ，所以对角线―O→B 表示的 复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点 的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终 点所对应的复数可能改变．
因为|z＋i|＋|z－i|＝2， |Z1Z2|＝2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2. 问题转化为：动点 Z 在线段 Z1Z2 上移动，求|ZZ3|的最小值， 因为|Z1Z3|＝1. 所以|z＋i＋1|min＝1.
[答案] A
(2)如图所示，|―OM→|＝ － 32＋－12＝2. 所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
加法
减法
运算 法则
z1＋z2 ＝_(_a_＋__c_)_＋__(_b_＋__d_)i_
z1－z2 ＝_(a_－___c)_＋__(_b_－__d_)_i _
几何
意义
复数的和 z1＋z2 与向量―OZ→1 ＋―OZ→2 ＝―O→Z 的坐标对应
复数的差 z1－z2 与向量
―→ OZ1
－
―→ OZ2
＝
――→ Z2Z1
复数模的最值问题
[典例] (1)如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i
＋1|的最小值是
()
A．1
B．12
C．2
D． 5
(2)若复数 z 满足|z＋ 3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
[解析] (1)设复数－i，i，－1－i 在复平面内 对应的点分别为 Z1，Z2，Z3，
高中数学(新课标)选修2课件3.2.1复数代数形式的加、减运算及其集合意义
状元随笔 (1)复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与
虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数，但是两 个虚数之和不一定是一个虚数．
(2)当 b＝d＝0 时，z1＝a，z2＝c，z1＋z2＝a＋c，即当两个复数 虚部等于零时，复数的加法法则与实数的加法法则一致．
(3)复数的加法可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部 分别相加，虚部分别相加．
方法归纳
1．设出复数 z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念， 可把条件转化为 x，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本 章“复数问题实数化”思想的应用．
2．在复平面内，z1，z2 对应的点为 A，B，z1＋z2 对应的点为 C， O 为坐标原点，①四边形 OACB 为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－ z2|，则四边形 OACB 为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边 OACB 为菱形； ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形 OACB 为正方形．
4．复数 z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯 虚数，则实数 a＝________，b＝________.
解析：z1＋z2＝(a－3)＋(b，由已
知得 ba＋ ＋43＝ ＝00 4－b≠0
，解得ba＝＝－－43 ，∴a＝－3，b＝－4.
(4)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数 的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加．
跟踪训练 1 计算：(1)(－ 2＋ 3i)－[( 3－ 2)＋( 3＋ 2)i]； (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i](a，b∈R)； (3)(i2＋i)＋| 3－i|＋(i－2)．
答案：－3 －4