高2021届成都石室中学理科试题(0920)
22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点 为曲线 上的动点，点 在线段 的延长线上且满足 点 的轨迹为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，求 面积的最小值.
B．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项
C．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项
D．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项
6．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
7．已知点 是正方体 的面ABCD上一动点，且满足 ，设 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
8．已知a、b、c分别是 内角A、B、C的对边， ， ，则 面积的最大值是（）
20．已知椭圆 ： 过点 且离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ， 分别为 的左右顶点， 为直线 上的任意一点，直线 ， 分别与 相交于 、 两点，连接 ，试证明直线 过定点，并求出该定点的坐标.
21．已知函数 ，其中 为非零常数.
（1）讨论 的极值点个数，并说明理由；
（2）若 ，
①证明： 在区间 内有且仅有 个零点；
B．“ ”是“ ”的充分不必要条件
C．“ ”的必要不充分条件是“ ”
D．若命题 ，则命题
4．执行如图所示的程序框图，若输出的 为4，则输入的 应为( )
A．－2B．16
C．－2或8D．－2或16
5．我们将 称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（）
A．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项
（Ⅱ）设 ,数列{ }的前 项和为 ，求证： .
18．学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：
古文迷
非古文迷
合计
男生
26
24
50
女生
30
20
50
12．已知 ， ，则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．已知单位向量 ， ，满足 ，则 与 的夹角是______．
14．已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为______．
15.已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处的切线方程是.
16．已知定义在 上的函数 ， ，其中 为偶函数，当 时， 恒成立；且 满足：①对 ，都有 ；②当 时， .若关于 的不等式 对 恒成立，则 的取值范围是
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17． 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
A．2B． C．3D．
9．已知 ，若点 是抛物线 上任意一Leabharlann ，点 是圆 上任意一点，则 的最小值为
A．3B．4C．5D．6
10．设函数 若关于 的方程 有四个实数解 ，其中 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知点O是 内部一点，并且满足 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则
A． B． C． D．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.321
3.841
5.024
6.635
19．已知四棱锥 ，底面 为菱形， , 为 上的点，过 的平面分别交 ， 于点 ， ，且 平面 ．
（1）证明： ；
（2）当 为 的中点， ， 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 所成锐二面角．
合计
56
44
100
（Ⅰ）根据表中数据能否判断有 的把握认为“古文迷”与性别有关？
（Ⅱ）现从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；
（Ⅲ）现从（Ⅱ）中所抽取的5人中再随机抽取3人进行调查，记这3人中“古文迷”的人数为 ，求随机变量 的分布列与数学期望．
成都石室中学高2021届高三周考（03）
理科试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2.复数 满足 ，则 （）．
A． B． C．1D．
3．下列有关命题的说法错误的是（）
A．若“ ”为假命题，则 均为假命题
四川省成都市石室中学(文庙校区)2020-2021学年高二数学理联考试题含解析
四川省成都市石室中学(文庙校区)2020-2021学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 不等式＜0的解集为（）A．{} B．{}C．D． {}参考答案：C2. 已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2] B．（1，2）C．[2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e2=，∴e≥2，故选C【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．3. 关于随机误差产生的原因分析正确的是（）(1)用线性回归模型来近似真实模型所引起的误差（2）忽略某些因素的影响所产生的误差（3）对样本数据观测时产生的误差A.（1）（2）B.（1）（3）C.（2）（3）D.（1）（2）（3）参考答案：D4. 若集合，,则A. B. C.D.参考答案：B5. 过点M（2，1）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q两点，O为原点，且S△OPQ=4，则符合条件的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条参考答案：C【考点】直线的截距式方程．【分析】设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．可得S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，解出即可得出．【解答】解：设直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则P（2﹣，0），Q（0，1﹣2k）．∴S△OPQ=4=，化为：﹣4=±8，化为：4k2﹣12k+1=0，4k2+4k+1=0，解得k=，或k=﹣．因此符合条件的直线l有3条．故选：C．6. 若且，则下列四个数中最大的是A. B. C. 2ab D.参考答案：C略7. 已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则角B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°或120°D．60°参考答案：C【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理即可得出．【解答】解：∵，∴ ==，∵b＞a，B∈[0°，180°），∴B=60°或120°．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．8. 在△ABC中，已知a=2，则bcosC+ccosB=（）A. 1B.C. 2D. 4参考答案：C9. 已知为第二象限角，，则A．B．C．D．参考答案：B略10. 已知函数则F（x）的极小值为（）A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 光线自点射到直线上的点后又被反射且反射线恰好过点，则点的坐标为。
成都石室中学高2021届高三上期期末考试试题(理科)
0,0
2
的图象关于点
6
,
0
成中心对称，且与直线
y
a 的两个
相邻交点间的距离为 ，则下列叙述正确的是（ ） 2
A．函数 f x 的最小正周期为
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B．函数
f
x
图象的对称中心为
k
6
,
0
k
Z
C．函数 f x 的图象可由 y tan 2x 的图象向左平移 得到 6
第 4 页，共 4 页
sin B sin C 2 sin2 A sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.在 ABC 中，已知内角
A, B,C 所对的边分别为 a,b, c 若 c ( 3 1)b ，______.
（Ⅰ）求 C 的值； （Ⅱ）若 ABC 的面积为 3 3 ，求 b 的值.
成都石室中学 2020—2021 学年度上期高 2021 届期末考试
理科数学试题
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1．设集合 A {x 2 x 3}, B {x 2x a 0}，且 A B {x 2 x 1}，则 a=（ ）
A．–4
B．–2
C．2
D．4
2. 抛物线 y2 = 8x 的准线方程为（ ）
统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为________．
2021-2022学年四川省成都石室中学高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年成都石室中学高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，3210x x -+≤ B ．x R ∀∈，3210x x -+> C ．0x R ∃∈，320010x x -+≤ D ．不存在0x R ∈，320010x x -+≤【答案】A【解析】根据特称命题的否定，直接得出结果.【详解】命题“0x R ∃∈，320010x x -+>”的否定是“x R ∀∈，3210x x -+≤”.故选：A.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.2．若1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 、b 的夹角为（ ）A ．45B ．60C ．120D ．135【答案】B【分析】利用平面向量垂直可得出()0a a b ⋅-=，求出cos ,a b <>的值，利用平面向量夹角的取值范围可求得向量a 、b 的夹角.【详解】由题意可得()22cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅<>=-<>=， 可得1cos ,2a b <>=，因为0,180a b ≤<>≤，故,60a b <>=.故选：B.3．抛物线24x y =的焦点到准线的距离为 A ．8 B ．2 C ．12D ．18【答案】D【分析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得 p ＝18，由焦点到准线的距离为p ，从而得到结果．【详解】解：抛物线24x y =，y 2＝14x 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得p ＝18，故选D ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，判断焦点到准线的距离为p 是解题的关键．4．{}11,A x x x R =-≥∈，{}2log 1,B x x x R =>∈，则“x B ∈”是“x A ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式可得集合，进而可得解.【详解】解不等式可得{}{11,0A x x x R x x =-≥∈=≤或}2x ≥， {}{}2log 1,2B x x x R x x =>∈=>，故B A ⊆，所以“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件， 故选：A.5．已知命题p ：0x ∀>，44x x+>，命题q ：()00,x ∃∈+∞，0122x =，则下列判断正确的是（ ） A ．p ⌝是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题 D ．()p q ⌝∨是真命题【答案】D【分析】根据均值不等式得到p 为假命题，根据指数函数单调性得到q 为假命题，对比选项得到答案. 【详解】0x >时，4424x x x x+≥⋅=，当2x =时等号成立，所以44x x +≥，所以p 为假命题；p ⌝为真命题，()p q ∧⌝为假命题，故A 和C 错误. 当0x >时，0221x >=，故q 为假命题，则()p q ⌝∧是假命题. 所以B 错误，D 正确. 故选：D.6．函数()()2sin ,0,2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭R 的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是（ ）A ．2，3π-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，3π 【答案】A【分析】根据三角函数图象可得周期与对称轴，进而可得参数值. 【详解】由已知得35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故T π=，又0>ω，则222T ππωπ===， 即()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数经过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，即52sin 2=212πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又2πϕ<，故3πϕ=-，故选：A.7．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．12-D ．110【答案】B【分析】画出满足条件的可行域，目标函数化为22y x z =-，求出过可行域点，且斜率为2的直线在y 轴上截距的最大值即可.【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的可行域，如下图所示：目标函数12z x y =-化为22y x z =-， 由12310x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，设(1,1)A -，当直线22y x z =-过A 点时， 12z x y =-取得最小值为32-. 故选：B.8．以双曲线221916x y -=的焦点为椭圆C 的长轴顶点，且过点5794⎫⎪⎪⎝⎭的椭圆C 的方程为（ ）A ．2212516x y +=B ．221259x y +=C ．221169x y +=D ．221925x y +=【答案】B【分析】求出双曲线的焦点坐标，得出椭圆的半长轴长，设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b +=>>，代入已知点，求解即可得到椭圆的标准方程. 【详解】解：双曲线221916x y -=的焦点为()()5,0,5,0-， 设椭圆标准方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则5a =，又椭圆过点5794⎫⎪⎪⎝⎭，所以2222579415b ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，解得3b =， 所以椭圆的标准方程为221259x y +=. 故选：B.9．已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ） A 2B 3C 2D 3【答案】A【分析】由题可得ABC 为等腰直角三角形，得出ABC 外接圆的半径，则可求得O 到平面ABC 的距离，进而求得体积. 【详解】,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，2AB ∴=则ABC 2，又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ， 则2222122d ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1112211332212O ABC ABCV Sd -=⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.10．以过圆2210x y x +=内一点()5,3的最短弦长为等差数列{}n a 的首项1a ，最长弦长为其末项n a ，若等差数列{}n a 的公差11,32d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则项数n 的取值不可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】由圆的弦长公式，求得18a =，10n a =，结合等差数列的公式，求得21n d=+，进而求得实数n 的范围，结合选项，即可求解.【详解】由题意，将圆2210x y x +=化为22(5)25x y -+=，可得圆心坐标为(5,0)C ，半径=5r ，设(5,3)A ，可得3AC =，由圆的弦长公式，可得2212538a =-=，10n a =， 设等差数列的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，即8(1)10n d +-=，所以21n d=+， 因为1132d ≤≤，所以2517d ≤+≤，即57n ≤≤，结合选项，可得n 的取值不可能是选项A. 故选：A.11．如图，在ABC 中，30CAB CBA ︒∠=∠=，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点、且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的乘积为（ ）A ．1B 31C ．2D 31【答案】C【分析】先设2AB c =，由条件分别得到AE 、BD ，BE 、AD 的值， 根据椭圆焦点和所过的点，由椭圆定义得到2a BD AD =+，求出a ， 代入离心率公式求解即可；根据双曲线焦点和所过的点，由双曲线定义得到2a AD BD =-， 求出a ，代入离心率公式求解即可.【详解】根据题意，设2AB c =，则AE BD c ==，3BE AD c ==， 所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆中，23a BD AD c c =+=，)312c a =，即椭圆离心率31ce a==； 所以在以A 、B 为焦点，且过D 、E 的双曲线中，23a AD BD c c =-=-，)312c a =，即双曲线离心率31==ce a， 所以椭圆与双曲线的离心率的乘积为：))31312⨯=，故选：C.12．点P 是直线l ：2x =-上一动点，点()2,0F ，点Q 为PF 的中点，点M 满足MQ ⊥PF ，()MP OF R λλ=∈，过点M 作圆()2251x y -+=的切线，切点为S ，当MS 取得最小值时，则直线MF 的方程为（ ） A ．()2y x =±- B ．)22y x =±- C ．)32y x =±- D ．)222y x =±-【答案】D【分析】由题意首先求出M 的轨迹方程，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ，利用勾股定理得到2||||1MS MN -||MN 最小时，||MS 有最小值，设(),M x y ，利用两点的距离公式表示出MN ，即可求出MN 的最小值，从而求出M 的坐标，即可求出MF 的方程．【详解】解：依题意，因为MP OF λ=，所以向量MP 与向量OF 共线， 所以MP 与x 轴平行，故||MP 即为点M 到直线2x =-的距离d ， 又因为M 在线段PF 的垂直平分线上，所以||||MP MF d ==，所以M 点在以(2,0)F 为焦点，以2x =-为准线的抛物线28y x =上，设圆22(5)1x y -+=的圆心为()5,0N ，过点M 作圆22(5)1x y -+=的切线，切点为S ，连接MS ，NS ，MN ， 则MNS 为直角三角形，且90MSN ∠=︒， 所以222||||||MS NS MN +=， 所以2||||1MS MN =-，当||MN 最小时，||MS 有最小值， 设(),M x y ，则()()22222510258225124MN x y x x x x x x =-+=-++=-+=-+，所以当1x =时min 26MN =，所以281y =⨯，解得22y =±，所以()1,22M 或()1,22M -，当()1,22M 时222212MF k ==--，此时MF 为()222y x =--；当()1,22M -时222212MF k -==-，此时MF 为()222y x =-；故选：D二、填空题13．在△4BC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin cos 2a A B b A a ⋅+，则ba=______． 2【分析】根据正弦定理化简后计算【详解】由正弦定理得2sin sin sin sin cos 2A A B B A A +，即sin 2B A 故sin 2sin B bA a== 214．若直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>没有公共点，则该双曲线离心率的取值范围为___________. 【答案】(5⎤⎦【解析】由直线2y x =与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>没有公共点，分析出2b a ≤，再求e 的范围.【详解】∵双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程：b y x a =±，且直线2y x =与双曲线没有公共点， ∴2ba≤ 即2215b e a =+又1e >， ∴15e <≤故答案为：(5⎤⎦【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．15．已知斜率为k 的直线l 过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与抛物线C 交于A ，B 两点，抛物线C 的准线上一点()1,1M --满足0MA MB ⋅=，则AB =______． 【答案】5【分析】求出抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．直线l 的方程为(1)y k x =-．利用0MA MB ⋅=，说明M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用平方差法求出斜率，设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，推出02y k=．通过点0(Q x ，0)y 在直线l 上，结合点222(1,)Q k k+是以AB 为直径的圆的圆心．转化求解直线的斜率，求解弦长即可． 【详解】解：由题意知，抛物线C 的准线为1x =-，即12p=，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，其焦点为(1,0)F ．因为直线l 过抛物线的焦点(1,0)F ，所以直线l 的方程为(1)y k x =-． 因为0MA MB ⋅=，所以M 在以AB 为直径的圆上．设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程组2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减可得1212124y y k x x y y -==-+．设AB 的中点为0(Q x ，0)y ，则02y k=．因为点0(Q x ，0)y 在直线l 上， 所以0221x k=+，所以点222(1,)Q k k +是以AB 为直径的圆的圆心． 由抛物线的定义知，圆Q 的半径012222222222x x x AB r k+++====+， 因为2222222||(2)(1)QM r k k =+++=，所以22222222(2)(1)(2)k k k+++=+，解得2k =-， 所以弦长222||22(2)2(2)54AB r k ==+=+=． 故答案为：5．16．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题： （A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切； （B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切; （D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切. 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）. 【答案】（B ）（D ）【分析】根据圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r ，然后求出圆心到已知直线的距离d ，利用两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数与半径r 比较大小即可得到直线与圆的位置关系，得到正确答案即可．【详解】由题意可得圆心坐标为(cos ,sin )θθ-，圆M 的半径为1，且圆心到直线l ：y kx =的距离为222cos sin 1sin()sin()111k k d kkθθθϕθϕ--++==+≤++（其中2sin 1k ϕ=+2cos 1k ϕ=+）.∴直线l 与圆M 有公共点，且对于任意实数k ，必存在实数θ，使直线l 与圆M 相切. 故答案为（B ）（D ）.【点睛】本题考查考查直线与圆的位置关系的应用，要求学生会利用圆心到直线的距离与半径比较大小来判断直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道中档题． 三、解答题17．已知命题:p 实数m 满足22540m am a -+<，其中0a >；命题:q 方程22135xy m m +=--表示双曲线.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()3,4；（2）5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）当1a =时，求得不等式22540m am a -+<的解，再由方程22135x y m m +=--表示双曲线，可求得对应的实数m 的取值范围，由p q ∧可知p 、q 均为真命题，由此可求得实数m 的取值范围；（2）求得p ⌝和q ⌝中对应的m 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】命题p ：由题得()()40m a m a --<，又0a >，解得4a m a <<. 对于命题q ，由于方程22135x y m m +=--表示双曲线，则()()350m m --<，解得35m <<. （1）若1a =，命题p 为真时，14m <<.当p q ∧为真时，则p 真且q 真，1435m m <<⎧∴⎨<<⎩，34m ∴<<，因此，实数m 的取值范围是()3,4；（2）:p m a ⌝≤或4m a ≥，:3q m ⌝≤或5m ≥.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则{m m a ≤或}4m a ≥{3m m ≤或}5m ≥，345a a ≤⎧∴⎨≥⎩，解得534a ≤≤.当54a =时，则有54m m ⎧≤⎨⎩或}5m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意； 当3a =时，则有{3m m ≤或}12m ≥{3m m ≤或}5m ≥，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查计算能力，属于中等题.18．已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=. （Ⅰ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析（2）121n n S n =-⋅+（） 【详解】分析：（Ⅰ）利用定义证明数列{}n b 为等比数列.( Ⅱ)先求出12n n a n -=⋅，再利用错位相减求出数列{}n a 的前n 项和n S .详解：（Ⅰ）由条件可得111n n a b n ++=+，n n a b n =，所以121n n a a n n +=⋅+，即bn +1=2bn ，又b 1=1，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得12n na n-=，所以12n n a n -=⋅． ①01221122232122n n n S n n --=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（） ②12312122232122n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅（）③012311-2-222222212nn nn n S n n -=+++++-⋅=-⋅-整理得：121n n S n =-⋅+（） （n N +∈） 点睛：（1）本题主要考查数列性质的证明和错位相减求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 数列{}·n n b c ，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，则采用错位相减法.19．已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=. (Ⅰ)求tan 2A 的值； (Ⅱ)若4B π=，3AB =，求ABC ∆的面积S .【答案】（Ⅰ）43- ；（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）由已知和三角形面积公式可得1cos sin 2A A =，进而得到tan 2A =，由二倍角的正切公式可得答案;(Ⅱ)由（1）式中的tan 2A =，可得sin cos A A ，由两角和的正弦公式可得sin C ，结合正弦定理可得边b ，代入面积公式可得答案.【详解】解：（Ⅰ）设ABC ∆的角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， ∵AB AC S ⋅=，∴1cos sin 2bc A bc A =，∴1cos sin 2A A =，∴tan 2A =∴22tan 4tan21tan 3A A A ==--. （Ⅱ）3CB CA -=，即3AB c ==， ∵tan 2A =，02A π<<，∴25sin A =5cos A =∴()25252310sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=由正弦定理知：sin 5sin sin sin c b cb B C B C=⇒=⋅ 1125sin 53322S bc A ===.【点睛】本题主要考查利用正弦、余弦定理求解三角形的基本量及两角和的正弦公式等，需牢记三角函数各公式并灵活运用.20．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点.(1)求证：1//D F 平面11A EC ；(2)求平面AA 1C 1与平面A 1C 1E 夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)13【分析】（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，求得平面11A EC 的一个法向量，由空间向量的数量积运算可得证；（2）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-，根据面面角的向量求解方法可求得答案.【详解】(1)证明：以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =-,()112,2,0AC =,()12,1,2AE =-, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111220220m AC x y m A E x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令12x =，则()2,2,1m =-，因为1220m D F =⋅-=，所以1m D F ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；(2)解：由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =-， 则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅，所以二面角11A AC E --的正弦值为211cos,3DB m -=.21．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点1,02且与直线12x =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）设P 是曲线E 上的动点，点B 、C 在y 轴上，△PBC 的内切圆的方程为()2211x y -+=，求△PBC 面积的最小值． 【答案】（1）22y x =；（2）8.【详解】试题分析：（1）圆心到定点与到定直线距离相等符合抛物线定义，可直接写出标准方程22y x =；（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=，由点到直线的距离公式得()2000220x b y b x -+-=，同理()2000220x c y c x -+-=可得022x b c x -=-，面积表示为关于0x 的函数，进而利用基本不等式求最值.试题解析：解：（1）由题意可知圆心到1,02的距离等于到直线12x =-的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：22y x =.（2）设()00,x y P ，()0,b B ，()C 0,c ，直线PB 的方程为：()0000y b x x y x b --+=， 又圆心（1，0）到PB 的距离为1，()0022001y b x by b x-+=-+，整理得：()2000220x b y b x -+-=，同理可得：()2000220x c y c x -+-=，所以，可知b ，c 是方程()2000220x x y x x -+-=的两根，所以：0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，依题意0bc <，即02x >，则()()222000204482x y x b c x +--=-，因为2002y x =，所以：022x b c x -=-，所以()0001424822S b c x x x =-=-++≥-，当04x =时上式取得等号，所以C PB 面积最小值为8.【解析】1、抛物线的定义；2、点到直线的距离公式及基本不等式求最值.【方法点晴】本题主要考查抛物线的定义、点到直线的距离公及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.22．如图，设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．(1)求点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点．（i ）证明：11MB NB+为定值； （ii ）求四边形MPNQ 面积的取值范围． 【答案】(1)221(0)43x y y +=≠ (2)（i ）证明见解析；（ii ）12,83⎡⎣【分析】（1）推出||||EB ED =，转化求解圆A 的标准方程，利用椭圆定义可得点E 的轨迹方程．（2）（i ）设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出||MB ，||NB ，代入计算可得；（ii ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得||MN ，由PQ l ⊥，设PQ 方程，求得A 到PQ 的距离，再由圆的弦长公式可得||PQ ，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【详解】(1)解：圆A ：222150x y x ++-=即为22(1)16x y ++=，可得圆心(1,0)A -，半径4r =， 由//BE AC ，可得C EBD ∠=∠， 由AC AD =，可得D C ∠=∠， 即为D EBD ∠=∠，即有EB ED =， 则||||||||||4||2EA EB EA ED AD AB +=+==>=，故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆，且有24a =，即2a =，1c =，223b a c =-=， 则点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠；(2)解：（i ）证明：依题意：l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ，不妨设121x x ．由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120k x k x k +-+-=．则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以)1212||1111MB k x k x +-+-，)2222||1111NB k x k x +-+- 所以()()()()()2112122112222211111111111MB NB k x k x k x x k x x x x +==+-+-+--++--其中()22222211212228412121444343k k k x x x x x x k k ⎛⎫-+-=+--⋅ ⎪++⎝⎭2221122228412911434343k k x x x x k k k -+--=--=+++ 所以()2212122122121114439311143k k MB NB k x x x x k k +++===++--++故1143MB NB +=为定值；（ii ）椭圆221:143x y C +=，设直线:1l x my =+，由PQ l ⊥，设:(1)PQ y m x =--，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩可得22(34)690m y my ++-=， 设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ， 可得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+， 则322422223636||1||1(34)34m MN m y y m m m =+⋅-=++++2222236(44)111234m m m m +++=⋅+， A 到PQ 的距离为2211d m m ++，2222224434||1611m m PQ r d m m +=-=-++则四边形MPNQ 面积为2222114341||||1222341m m S PQ MN m m ++=⋅=⋅++22211242413431m m m +==+++当0m =时，S 取得最小值12，又2101m >+，可得32483S <=即有四边形MPNQ 面积的取值范围是12,83⎡⎣．。
四川省成都石室中学2021届高三数学上学期开学考试试题理 【含答案】
y kx m
由
x
2
4y2
4
可得
(1
4k 2 )x2
8kmx
4m2
4
0
，…………5分
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个交点，
所以△ 1 (8km)2 4(1 4k 2 )(4m2 4) 0 ，即 m2 1 4k 2 ，…………6分
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2 3 ， b 2 ， A 60 ，则 B 为（
）
A．60°
B．60°或120° C．30°
D．30°或150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 单调递减的函数是（ ）
bx
i 1
i 1
18．已知三次函数 f (x) x3 ax2 4x 1 ( a 为常数).
（1）当 a 1 时，求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
（2）若
a
0
，讨论函数
f
(x)
在
x
0,
的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC ，且 DAB DBF 60 ． （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）求直线 AD 与平面 AEF 所成角的正弦值．
18．（1）当 a 1 时，函数 f (x) x3 x2 4x 1 Q f (x) 3x2 2x 4 f (2) 20 即切线的斜率 k 20 ..................2分 Q f (2) 21 切线方程为 20(x 2) y 21即切线为： 20x y 19 0 ..................4分
四川省成都市石室中学2021届高三一诊模拟测试理科综合试题(含答案)
四川省成都石室中学高2021届高三一诊模拟考试理科综合本试卷分选择题和非选择题两部分。
第Ⅰ卷（选择题）1至21题，第Ⅱ卷（非选择题）22至38题。
试卷共12页，满分300分，考试时间150分钟。
注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 P-31 Cu-64 Sn-119 Ag-108 Pb-207第Ⅰ卷（共126分）一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．原核生物核糖体直径约为20 nm，由65% rRNA和35%蛋白质组成。
研究表明，在大肠杆菌核糖体的肽键形成区域内没有蛋白质，只有RNA。
下列说法正确的是A．使用高倍镜观察大肠杆菌核糖体需调节细准焦螺旋B．大肠杆菌核糖体在核仁中合成好之后运送到细胞质C．大肠杆菌核糖体中的蛋白质在翻译过程中不起作用D．大肠杆菌核糖体中催化蛋白质肽键形成的是rRNA2．细胞色素C（Cyt C）是线粒体内膜上的嵌入蛋白，位于线粒体内膜的外侧，参与细胞呼吸过程。
细胞凋亡发生时，都伴随着Cyt C从线粒体释放出来，从而体现出线粒体在细胞凋亡中的重要作用。
下列说法正确的是A．Cyt C含量减少，线粒体内CO2的生成将会直接受影响B．阻碍Cyt C从线粒体释放，细胞凋亡过程将会受到抑制C．被病毒感染的细胞清除时，细胞质基质中Cyt C含量降低D．线粒体内膜上的Cyt C的合成和释放不受细胞核基因控制3．淡化海水可以采用反渗透技术。
反渗透技术通过对半透膜一侧的海水施加压力，让水分子可以通过半透膜，但其他物质不能通过，如图所示。
2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷(理科)(解析版)
2021年四川省成都市石室中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（3，﹣2）2．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}，B＝{y|y＝2}，则A∪B＝（）A．（﹣4，4]B．（0，1）C．（﹣∞，4]D．（﹣4，+∞）3．设命题p：∀x≤0，＝﹣x，则￢p为（）A．∀x≤0，≠﹣x B．∃x0≤0，＝﹣x0C．∀x＞0，＝﹣x D．∃x0≤0，≠﹣x04．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，≈1.73）A．220平方米B．246平方米C．223平方米D．250平方米5．已知双曲线8x2﹣8y2＝﹣1有一个焦点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A．2B．1C．D．6．已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7＝20，a4•a7＝64，则＝（）A．B．C．D．7．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P＝B．P＝C．P＝D．P＝8．已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，且sinθ≠0，则tan（θ+）的值为（）A．B．C．2﹣D．2+9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，且S1＝λS2，则λ＝（）A．1B．C．D．10．已知AB是半径为2的圆M的一条直径，四边形ABCD是圆M内接四边形，∠CMD＝120°，若P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则•的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，3）11．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），双曲线C2：﹣＝1，F1，F2分别为C2的左、右焦点，P为C1和C2在第一象限内的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为，则该内切圆的半径为（）A．4﹣2B．4+2C．4﹣2D．4﹣212．已知函数f（x）＝+，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A．（1，+1）B．（0，+1）C．（1，）D．（0，）二、填空题（共4小题）.13．如图，动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，则z＝2x﹣4y的最小值为．14．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有种放法．（用数字作答）15．已知函数f（x）＝，若f（x）≥f（1）恒成立，则正实数a的取值范围是．16．已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝e x，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，ln2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，则实数ω的最大值为．三、解答题(一）必考题:共60分17．已知数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．（1）设b n＝a n+1﹣a n，判断数{b n}是否为等差数列或等比数列．（2）若a2＝5，c n＝，求数列{c n}的前2n项的和S2n．18．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i12345678y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望．参考数据：x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57．参考公式：相关系数r＝19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，CD＝，F为棱PA上一点，且AF＝λAP（0＜λ＜1），M为AD的中点，四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）若λ＝，N是PB的中点，求证：平面MNF∥平面PCD，（2）是否存在λ，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为？20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1、l2距离d的取值范围．21．已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＞﹣ln4．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为，（θ为参数），P（x0，y0）是曲线C上的任意一点，动点Q（x，y）满足，记Q（x，y）轨迹为E，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），A点的极坐标为（5，0）．（1）求E的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，证明：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）≥36．参考答案一、选择题（共12小题）.1．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（）A．（3，2）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（3，﹣2）解：∵z＝＝，∴在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为（3，﹣2）．故选：D．2．已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}，B＝{y|y＝2}，则A∪B＝（）A．（﹣4，4]B．（0，1）C．（﹣∞，4]D．（﹣4，+∞）解：∵集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣3x+4）}＝{x|﹣4＜x＜1}，B＝{y|y＝2}＝{x|0＜y≤4}，∴A∪B＝{x|﹣4＜x≤4}＝（﹣4，4]．故选：A．3．设命题p：∀x≤0，＝﹣x，则￢p为（）A．∀x≤0，≠﹣x B．∃x0≤0，＝﹣x0C．∀x＞0，＝﹣x D．∃x0≤0，≠﹣x0解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即，∃x0≤0，≠﹣x0，故选：D．4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝（弦+矢）×矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为，半径等于20米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（）（参考数据：π≈3.14，≈1.73）A．220平方米B．246平方米C．223平方米D．250平方米解：如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝20，在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×20＝10，可得：矢＝20﹣10＝10，由AD＝AO•sin＝20×＝10，可得：弦＝2AD＝2×10＝20，所以：弧田面积＝（弦+矢）×矢＝（20+10）×10≈223平方米．故选：C．5．已知双曲线8x2﹣8y2＝﹣1有一个焦点在抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线上，则p的值为（）A．2B．1C．D．解：双曲线8x2﹣8y2＝﹣1即为﹣＝1，∴c2＝+＝，∴c＝，∵抛物线C：x2＝2py（p＞0）准线为y＝﹣，∴﹣＝﹣，即p＝1，故选：B．6．已知正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4+a7＝20，a4•a7＝64，则＝（）A．B．C．D．解：∵正项递增等比数列{a n}的前n项和为S n，a4+a7＝20，a4•a7＝64，∴a4，a7是一元二次方程x2﹣20x+64＝0的两个根，且a4＜a7，解方程x2﹣20x+64＝0，得a4＝4，a7＝16，∴，解得a1＝1，q3＝4，∴＝＝＝＝．故选：B．7．如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．P＝B．P＝C．P＝D．P＝解：随机输入X i∈（0，1），Y i∈（0，1），Z i∈（0，1），那么点P（X i，Y i，Z i）构成的区域为以1为边长的正方形，判断框内x2i+y2i+z2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i，z i）在单位球内部（球）内，并累计记录点的个数M，若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（球）外，并累计记录点的个数N，第2个判断框i＞2000，是进入计算此时落在单位球内的点的个数为M，一共判断了2000个点，那么球的体积/正方体的体积＝，即＝，解得：π＝，（π的估计值），即执行框内计算的是P＝．故选：B．8．已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，且sinθ≠0，则tan（θ+）的值为（）A．B．C．2﹣D．2+解：∵sin（θ﹣）cos（π+θ）＝（sinθ﹣cosθ）•（﹣cosθ）＝cos2θ﹣sinθcosθ，∵cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ，而已知sin（θ﹣）cos（π+θ）＝cos2θ，∴cos2θ﹣sinθcosθ＝cos2θ﹣sin2θ，即sinθcosθ＝sin2θ．∵sinθ≠0，∴tanθ＝2，则tan（θ+）＝＝＝2+，故选：D．9．某柱体的正视图与侧视图是全等的正方形，俯视图是圆，记该柱体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，且S1＝λS2，则λ＝（）A．1B．C．D．解：由题意知，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为R，则圆柱的母线长为2R，内切球的半径也为R，则圆柱体的表面积为S1＝2πR2+2πR•2R＝6πR2，其内切球的表面积为S2＝4πR2，又S1＝λS2，则λ＝＝＝．故选：C．10．已知AB是半径为2的圆M的一条直径，四边形ABCD是圆M内接四边形，∠CMD＝120°，若P在线段CD上（端点C、D除外）运动，则•的取值范围是（）A．（0，3）B．（1，3）C．[﹣3，0）D．（﹣3，3）解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示；不妨设CD∥AB，由AB＝4，∠CMD＝120°，得M（0，0），A（﹣2，0），B（2，0），C（，1），D（﹣，1），由P在线段CD上（端点C、D除外），可设P（x，1），其中x∈（﹣，）；则＝（﹣2﹣x，﹣1），＝（2﹣x，﹣1），所以•＝（﹣2﹣x）（2﹣x）+1＝x2﹣3；又x∈（﹣，），所以γx2﹣3∈[﹣3，0），即•的取值范围是[﹣3，0）．故选：C．11．已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0），双曲线C2：﹣＝1，F1，F2分别为C2的左、右焦点，P为C1和C2在第一象限内的交点，若△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为2，C1和C2的离心率之积为，则该内切圆的半径为（）A．4﹣2B．4+2C．4﹣2D．4﹣2解：设△PF1F2的内切圆的圆心为I，且与PF1，PF2，F1F2的切点为M，N，K，可得|PM|＝|PN|，|F2N|＝|F2K|，|MF1|＝|F1K|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2b，即有|F1K|﹣|F2K|＝2b，又|F2K|+|F1K|＝2c，可得|F1K|＝c+b，可得内切圆的圆心I的横坐标为b＝2，C1和C2的离心率之积为，可得•＝，解得a＝4，可得椭圆方程为+＝1，即有|PF1|﹣|PF2|＝4，|PF1|+|PF2|＝8，解得|PF2|＝2，可得4﹣x P＝2，解得x P＝，P的纵坐标为，设内切圆的半径为r，可得r（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）＝•4•，即r＝＝4﹣2．故选：A．12．已知函数f（x）＝+，若关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）A．（1，+1）B．（0，+1）C．（1，）D．（0，）解：因为f（x）＝+，所以f′（x）＝，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设t＝f（x），则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0可化为t2﹣mt+m2﹣1＝0，设关于t的方程t2﹣mt+m2﹣1＝0有两根t＝t1，t＝t2，则关于x的方程f2（x）﹣mf（x）+m2﹣1＝0恰好有4个不相等的实根，等价于函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2的交点个数为4个，函数t＝f（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2位置关系如图，得：关于t的方程t2﹣mt+m2﹣1＝0有两不等实根，且t1，t2∈（0，），设g（t）＝t2﹣mt+m2﹣1，则有：，解得：1，故选：C．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，则z＝2x﹣4y的最小值为﹣12．解：由动点P（x，y）在平行四边形ABCD内部（含边界）运动，可行域如图，＝＝（1，0）+（﹣1，2）+（3，2）＝（2，4）．可得C（2，4）化目标函数z＝2x﹣4y的最小值为×2﹣4×4＝﹣12．故答案为：﹣12．14．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法．（用数字作答）解：根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，在5个空位中任选3个，插入挡板，有C53＝10种情况，可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可，则有10种不同的放法；故答案为：10．15．已知函数f（x）＝，若f（x）≥f（1）恒成立，则正实数a的取值范围是（0，]．【解答】因为由f（x）≥f（1）恒成立，又f（1）＝0，故f（x）≥0恒成立．因为a＞0，故当x≥1时，f（x）＝alnx是增函数，所以f（x）≥f（1）＝0成立；当0≤x＜1时，恒成立，此时f′（x）＝x2﹣a，故f（x）在上单调递减，在（上单调递增，当a≥1时，f（x）在[0，1）上单调递减，故，解得；当0＜a＜1时，成立；综上可知，a的取值范围是．故答案为：（0，]．16．已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx（m＞0，ω＞0），g（x）＝e x，若对∀x1∈R，∃x2∈[0，ln2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，若f（x）在区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，则实数ω的最大值为．解：已知f（x）＝m sinωx﹣cosωx＝sin（ωx+θ），其中tanθ＝；可得f（x）的最大值为，由g（x）＝e x在x∈[0，ln2]的最大值2，∴≤2，可得：0＜m≤．要使ω最大，周期T最小，那么x∈[0，π]上必然单调．∴．则ω≤2．根据区间[0，π]上的值域为[﹣1，]，可得（0＜m≤）∴m＝1，那么θ＝或，当θ＝时，则＝，k∈Z；∴ω＝．ω最大值为．当θ＝时则＝，k∈Z；∴ω＝﹣．可得ω最大值为．故答案为：．三、解答题(一）必考题:共60分17．已知数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．（1）设b n＝a n+1﹣a n，判断数{b n}是否为等差数列或等比数列．（2）若a2＝5，c n＝，求数列{c n}的前2n项的和S2n．解：（1）数列{a n}，a1＝3，且对任意n∈N*，都有＝a n+1．所以：a n+2﹣a n+1＝a n+1﹣a n，所以：数列{a n}的公差为0时，b n+1＝b n＝0，所以：数列{b n}是等差数列，不是等比数列．当数列{a n}的公差不为0时，b n+1＝b n≠0，所以：数列{b n}既是等差数列，又是等比数列．（2）若a2＝5，由（1）知：a n+1﹣a n＝a2﹣a1＝2，所以：a n＝2n+1．则：，则：S2n＝S奇+S偶，＝（3+7+11+…+2n+1）+（42+44+…+42n），＝．18．某房产中介公司对2018年成都市前几个月的二手房成交量进行统计，y表示2018年x 月该中介公司的二手房成交量，得到统计表格如下：x i12345678y i1214202224202630（1）通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（计算结果精确到0.01）；（2）该房产中介为增加业绩，决定针对二手房成交客户开展抽奖活动．若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获3千元奖金；抽中“祝您平安”，则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为，现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X（千元）的分布列及数学期望．参考数据：x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57．参考公式：相关系数r＝解：（1）由题意，计算＝4.5，＝21，又x i y i＝850，x i2＝204，y i2＝3776，≈4.58，≈5.57；所以相关系数r＝＝＝＝≈0.92；因为0.92非常趋近1，所以变量x、y线性相关性很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系；（2）二人所获奖金总额X的所有可能取值有0，3，5，6，8，10千元，计算P（X＝0）＝×＝，P（X＝3）＝2××＝，P（X＝5）＝2××＝，P（X＝6）＝×＝，P（X＝8）＝2××＝，P（X＝10）＝×＝；所以随机变量X的分布列为：X0356810P数学期望为E（X）＝0×+3×+5×+6×+8×+10×＝5.5（千元）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，CD＝，F为棱PA上一点，且AF＝λAP（0＜λ＜1），M为AD的中点，四棱锥P﹣ABCD的体积为．（1）若λ＝，N是PB的中点，求证：平面MNF∥平面PCD，（2）是否存在λ，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为？【解答】证明：（1）∵，∴F是A的中点，∵N是PB的中点，∴FN∥AB，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，故FN∥CD，∵CD⊂平面PCD，FN⊄平面PCD，∴FN∥平面PCD，FM∥DP，DP⊂平面PCD，FM⊄平面PCD，∴FM∥平面PCD，FM∩FN＝F，FM，FN⊂平面FMN，∴平面FMN∥平面PCD．解：（2）连结PM，过M作ME∥CD，交BC于E，由△PAD是等边三角形，得PM⊥AD，面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，PM⊥AD，PM⊂面PAD，∴PM⊥平面ABCD，以M为原点，MA为x轴，ME为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，假设存在λ，满足题意，设，λ∈（0，1），则A（1，0，0），P（0，0，），B（1，，0），M（0，0，0），＝（1，，0），＝＝（﹣），则＝＝（1﹣），设面FMN的法向量＝（x，y，z），则，即，取y＝﹣，得＝（2，﹣，），取PAD的法向量＝（0，1，0），由题知|cos＜＞|＝＝＝，解得，∴存在λ＝，使得平面FMB与平面PAD所成的二面角余弦的绝对值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上任意一点到其两个焦点F1，F2的距离之和等于2，焦距为2c，圆O：x2+y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，若直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l1与l2平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1、l2距离d的取值范围．解：（1）椭圆C：＝1（a＞b＞0）中，2a＝2，解得a＝；又圆的直径AB⊥x轴时四边形A1AA2B的面积最大，最大为2ac＝2，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆C的方程为+＝1；（2）由直线l1：y＝kx+m（m≠0）与圆O相切，得＝1，即|m|＝；再设直线l2：y＝kx+n，联立，消去y得（5k2+4）x2+10knx+5n2﹣20＝0；所以△＝（10kn）2﹣4（5k2+4）（5n2﹣20）＝0，化简得n2＝5k2+4；因为d＝＝＝|1﹣|，且＝＝5﹣；由k2≥0，得0＜≤1，所以4≤＜5；由O、P两点位于l1的同侧，m、n异号，所以﹣＜≤﹣2；所以d＝1﹣∈[3，1+），即直线l1、l2距离d的取值范围是[3，1+）．21．已知函数f（x）＝x2+mln（1﹣x），其中m∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＞﹣ln4．解：（1）函数的定义域为（﹣∞，1），f′（x）＝x﹣＝，1﹣x＞0，令﹣x2+x﹣m＝0，判别式△＝1﹣4m，当△≤0，则f′（x）≤0恒成立，即f（x）在（﹣∞，1）上是减函数，当△＞0，即m＜时，由x2﹣x+m＝0，得x1＝，x2＝，若0＜m＜，则x1＜x2＜1，则当x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x2＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．若m≤0，则x1＜1≤x2，则x＜x1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x1＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增综上m≤0时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），单调递增区间为（，1）．0＜m＜时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（，1），单调递增区间为（，），m≥时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）．（2）函数的定义域为（﹣∞，1），f′（x）＝x﹣＝，若函数f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，∴f′（x）＝0在（﹣∞，1）上有两个不同的根x1，x2，设g（x）＝﹣x2+x﹣m，则，得0＜m＜，从而，且x1＜x2，得0＜x1＜，0＜x2＜，f（x1）+f（x2）＝x12+mln（1﹣x1）+x22+mln（1﹣x2）＝（x12+x22）+mln（1﹣x1）（1﹣x2）]＝[（x1+x2）2﹣2x1x2]+mln[（1﹣（x1+x2）+x1x2]＝（1﹣2m）+mlnm，构造函数h（x）＝xlnx﹣x+，0＜x＜，则h′（x）＝lnx＜0，即h（x）在0＜x＜上单调递减，∴h（x）＞h（）＝﹣ln4．即证．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系，曲线C的参数方程为，（θ为参数），P（x0，y0）是曲线C上的任意一点，动点Q（x，y）满足，记Q（x，y）轨迹为E，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），A点的极坐标为（5，0）．（1）求E的普通方程；（2）若l与E交于M，N两点，求△AMN的面积；解：（1）由已知Q（x，y）满足及得，∴曲线E：x2+y2＝9，（2）由于l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），即为y＝x，A（5，0）∵|MN|＝6，d＝，S＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x|．（1）求不等式f（x﹣1）+f（2x﹣1）≤2x的解集；（2）若a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，证明：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）≥36．解：（1）f（x﹣1）+f（2x﹣1）＝|x﹣1|+|2x﹣1|，当x＞1时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝3x﹣2≤2x，解得：x≤1，故1＜x≤2，当≤x≤1时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝x≤2x，解得：x≥0，故≤x≤1，当x＜时，|x﹣1|+|2x﹣1|＝2﹣3x≤2x，解得：x≥，故≤x＜，综上，不等式的解集是{x|≤x≤2}；（2）由绝对值不等式的性质得：f（x+a）+f（x﹣b﹣c）＝|x+a|+|x﹣b﹣c|≥|x+a﹣x+b+c|＝a+b+c，∵a＞0，b＞0，c＞0，且＝1，∴a+b+c＝（a+b+c）（）＝1+4+9+++≥14+2+2+2＝36，当且仅当b＝2a，c＝3a时“＝”成立，故原命题成立．。
四川省成都石室中学2021届高三理综期中考试试题
成都石室中学2021届高三上学期期中考试理科综合能力试题本试卷分第一卷〔选择题〕第II卷〔非选择题〕两局部。
可能用到的相对原子质量：可能用到的相对原予质量：H-1C-12 N-14 0-16Na -23 Mg- 24 Al- 27 S.32 Cl- 35.5 Ca -40 K-39 11-7 Mn- 55第一卷〔选择题，共126分〕一、选择题〔此题共13小题。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
〕1．以下实验中表达正确的选项是〔〕A．利用洋葱根毛细胞进行质壁别离实验，应该增大光圈或换凹面反光镜B．植物生长素和人的胰岛素均能与双缩脲试剂发生显色反响C．使用适宜浓度的硝酸钾溶液观察到洋葱表皮细胞的质壁别离现象后，不再滴加清水可能看到质壁别离复原现象D．发芽的小麦种子中含有复原糖，将其研磨液置于试管中，参加斐林试剂A液，再加B 液，试管内会立即出现砖红色沉淀2．以下为某高等雄性动物(2Nr)肝脏里的一个细胞分裂如图①，结合曲线②分析以下表达不正确的选项是〔〕A．图①对应于图②中的BC段中，此细胞产生AB精子的概率是OB．CD段将出现细胞膜内陷，细胞中有4个染色体组C．图②中C—D形成的原因与着丝点的分裂有关D．CD段可以表示同源染色体别离，非同源染色体自由组合3．有一瓶混合酵母菌和葡萄糖的培养液，当通入不同浓度的氧气时，其产生的酒精和CO2的2B．氧浓度为d时，只进行有氧呼吸C．氧浓度为c时，有50%的葡萄糖用于酒精发酵D．a值约为0，此时酵母菌细胞形成ATP的部位仅有细胞质基质4．以下关于人体健康与营养物质关系的说法，不正确的选项是〔〕A．脂肪和蛋白质的分解代谢强度受糖类分解代谢强度的制约B．胰高血糖素促进肝脏和肌肉细胞的糖元分解为葡萄糖C．肾上腺素的分泌受下丘脑直接控制，与血糖浓度有关D．大病初愈者适宜进食蛋白质含量丰富的食物5．以下用动物细胞工程技术获取单克隆抗体的实验步骤中，错误的选项是〔〕A．培养杂交瘤细胞获得单克隆抗体的过程利用了细胞的全能性B．将抗原注人小鼠体内，获得能产生抗体的B淋巴细胞C．用灭活的仙台病毒作诱导剂，促使B淋巴细胞与小鼠骨髓瘤细胞融合D．筛选杂交瘤细胞，并从中选出能产生所需抗体的细胞，培养后提取单克隆抗体6．以下判断正确的选项是〔〕A．酸酐一定是氧化物B ．晶体中一定存在化学键C ．碱性氧化物一定是金属氧化物D ．同主族元素形成的氧化物的晶体类型均相同7．以下有关化学研究的正确说法是 〔 〕A ．同时改变两个变量来研究反响速率的变化，能更快得出有关规律B ．对有机物化学键研究，1 mol 三十烷的极性键键数为62N AC ．依据丁达尔现象可将分散系分为溶液、胶体与浊液D ．从HF 、HC1、HBr 、HI 酸性递增的事实，推出F 、Cl 、Br 、I 的非金属递增的规律8．在298K 、100kPa 时，：2H 2O 〔g 〕=O 2〔g 〕+2H 2〔g 〕 △H 1C12〔g 〕+H 2〔g 〕=2HC1〔g 〕 △H 22C12〔g 〕+2H 2O 〔g 〕=4HC1〔g 〕+O 2〔g 〕 △H 3那么△H 3与△H 1和△H 2间的关系正确的选项是 〔 〕A ．△H 3=△H 1+2△H 2B ．△H 3=△H 1+△H 2C ．△H 3=△H 1—2△H 2D ．△H 3=△H 1—△H 2 9，常温下，以下各组离子在指定溶液中能大量共存的是A ．pH=l 的溶液中：Fe 2+、NO 3—、SO 42—、Na +B ．由水电离的c(H +)=1×10-10mol·L —1的溶液中：Ca +、K +、C1—、HCO 3—C ．c 〔H +〕/c(OH —〕=1012的溶液中：NH 4+、A13+、NO 3—、C1—D ．c 〔Fe 3+〕=0.lmol·L —1的溶液中：K +、C1O —、SO 32—、SCN —10．以下表达正确的选项是 〔 〕A ．在醋酸溶液的pH =a ，将此溶液稀释1倍后，溶液的pH=6，那么a>bB ．在滴有酚酞溶液的氨水里，参加NH 4CI 至溶液恰好无色，那么此时溶液的pH<7C ．常温下，1.0×l0—3mol ／L 盐酸的pH=3.0，l.0 ×l0-8mol ／L 盐酸的pH=8 0D ．常温下，假设1 mL pH =1的盐酸与100 mL NaOH 溶液混合后溶液的pH =7，那么NaOH溶液的pH =1111．将0. 0lmol 以下物质分别参加100mL 蒸馏水中，恢复至室温，所得溶液中阴离子浓度的大小顺序是〔溶液体积变化忽略不计〕 〔 〕 ①Na 2O 2 ②Na 2O ③Na 2CO 3 ④NaC1A ．①>②>③>④B ．①>②>④>③C ．①=②>③>④D ．①=②>③=④12．短周期元素W 、X 、Y 、Z 的原子序数依次增大，且W 、X 、Y +、Z 的最外层电子数与其电子层数的比值依次为2、3、4、2〔不考虑零族元素〕。
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(理)含答案
⽯室中学⾼2021届2020-2021学年度上期⼊学考试理科数学试卷⼀、选择题（共12⼩题；共60分）1.已知集合，则集合的元素个数是（）A．0B．1C．2D．32．i为虚数单位，，则的共轭复数为（）A.B． C.D．3．⽯室中学为了解1000名学⽣的身体素质，将这些学⽣编号为1，2，…，1000，从这些学⽣中⽤系统抽样⽅法等距抽取100名学⽣进⾏体质测验，若46号学⽣被抽到，则以下4名学⽣中被抽到的是（）A．8号学⽣B．200号学⽣C．616号学⽣D．815号学⽣4．函数的零点所在的⼤致区间是（）A．B．C．D．5．已知向量，，则是//的（）A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件6．已知的内⻆的对边分别为，若，，，则为（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数⼜在单调递减的函数是（）A．B．C．D．8．抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点在抛物线上，当时，的⾯积为（）A．1B．C．2D．9.如图是⽤模拟⽅法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空⽩框内应填⼊（）A．B．C．D．10.已知，则的⼤⼩关系为（）A．B．C．D．11.某⼏何体的三视图如图所示，则该⼏何体外接球表⾯积为（）A．B．C．D．12.已知a为常数，函数有两个极值点x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确的是（）A． B.C．D．⼆、填空题（共4⼩题；共20分）13.已知双曲线的离⼼率为2，则该双曲线的渐近线⽅程为_______________14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五⼈分五钱，令上⼆⼈所得与下三⼈等．问各得⼏何．”其意思为“已知甲、⼄、丙、丁、戊五⼈分5钱，甲、⼄两⼈所得与丙、丁、戊三⼈所得相同，且甲、⼄、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五⼈各得多少钱？”（“钱”是古代的⼀种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱.15．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成⽴的的取值集合是___________．16.已知棱⻓为1的正⽅体，过对⻆线作平⾯交棱于点，交棱于点，则：①平⾯分正⽅体所得两部分的体积相等；②四边形⼀定是平⾏四边形；③平⾯与平⾯不可能垂直；④四边形的⾯积的最⼤值为.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6⼩题；共70分）17.(本题满分12分)⽯室中学⾼三学⽣摸底考试后，从全体考⽣中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩()和物理成绩()，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点．经调查得知，考⽣由于重感冒导致物理考试发挥失常，考⽣因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到⼀些统计的值：其中分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，，与的相关系数．（Ⅰ）若不剔除两名考⽣的数据，⽤组数据作回归分析，设此时与的相关系数为．试判断与的⼤⼩关系（不必说理由）；（Ⅱ）求关于的线性回归⽅程，并估计如果考⽣参加了这次物理考试（已知考⽣的数学成绩为分），物理成绩是多少？附：回归⽅程中,。
成都石室中学高2021届高三下入学考试理综答案
成都石室中学2021届高三下期入学考试理综参考答案1.D2.B3.B4.A5.C6.D7.B8.D9.C 10.C 11.D 12.A 13.C14.C 15.C 16.C 17 A 18.B 19.BC. 20.AC 21.BD22.答案 (1)5.90 (2)d 22gLt 2 (3)偏小 解析 (1)游标卡尺的读数为d ＝5 mm ＋18×120mm ＝5.90 mm ； (2)小滑块通过光电门时的速度为v ＝d t ，根据动能定理可得－μmgL ＝0－12m ⎝ ⎛⎭⎪⎫d t 2，解得μ＝d 22gLt2； (3)小滑块做匀减速直线运动，因为小滑块通过光电门的速度为其平均速度，即中间时刻的速度，此时挡光片中心已经通过光电门，相比中心通过光电门的速度偏小，根据－μmgL ＝0－12mv 2可得μ＝v 22gL，故测量值偏小．23.答案 (1)如图所示(2)R 5 1.80 0.50 (3)0.90解析 (1)实验小组将灵敏电流计G 与两个定值电阻组装，改装成一量程为0.6 A 的电流表，所以先将灵敏电流计G 与R 2串联，满偏电压为U g ＝I g (R 2＋R g )＝0.9 V ，再与R 1串联，电流量程为I ＝I g ＋U gR 1＝0.15 A ＋0.45 A ＝0.6 A ，电路图为 (2)根据欧姆定律R ＝U I 可知，接在电路中滑动变阻器最大值为R ＝1.700.05Ω＝34 Ω，滑动变阻器应该选用R 5；根据U ＝E －I (r ＋R A )，代入其中两组数据，可得1.70＝E －0.05(r ＋R A )，1.00＝E －0.4(r ＋R A )其中R A ＝R 1(R 2＋R g )(R 2＋R g )＋R 1＝1.5 Ω， 解得E ＝1.80 V ，r ＝0.50 Ω；(3)调节滑动变阻器阻值，当滑动变阻器的阻值为R 滑＝R A ＋r ＝2 Ω时，其在该电路中的功率最大，直流电压传感器的示数为U ＝ER 滑r ＋R A ＋R 滑＝0.90 V. 24. (1)由图像知t 1＝12 s 时的速度v 1＝9 m/s a ＝v 1－0t 1＝0.75 m/s 2。
2020-2021学年四川省成都市青羊区石室中学高三(上)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年四川省成都市青羊区石室中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|2x−a≤0}，且A∩B={x|−2≤x≤1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 42.抛物线y2=−8x的准线方程为()A. x=−2B. x=−1C. y=1D. x=23.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7=28，a2+a4=7，则a6=()A. 3B. 4C. 5D. 64.欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(e iπ+i)⋅z=i，则|z|=()A. 1B. √22C. √32D. √25.2020年初，新型冠状病毒(COVID−19)引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的由表格可得y关于x的线性回归方程为ŷ=3x+â，则此回归模型第4周的残差(实际值与预报值之差)为()A. 4B. 1C. 0D. −16.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为2π3，a⃗=(1,2)，a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=0，则|b⃗ |等于()A. √5B. 2√5C. √153D. 2√1537.已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是()A. 若l//α，l⊥β，则α⊥βB. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC. 若l//α，l//β，则α//βD. 若α⊥β，l//α，则l⊥β8.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象关于点(π6,0)成中心对称，且与直线y=a的两个相邻交点间的距离为π2，则下列叙述正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 函数f(x)图象的对称中心为(kπ+π6,0)(k∈Z)C. 函数f(x)的图象可由y=tan2x的图象向左平移π6得到D. 函数f(x)的递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)9.设f(x)=x+a和g(x)=lnx是定义在(0,+∞)上的函数，且图象都是一条连续不断的曲线.定义：d(f,g)=|f(x)−g(x)|min，则“a>2”是“d(f,g)>2”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 圆C ：x 2+y 2−10x +16=0上有且仅有两点到双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. (54,52)B. (√2,√5)C. (52,5√22) D. (√5,√2+1)11. 已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)对定义域内任意x ，有f(x)+f(2+x)=0，f(x)+f(2−x)=0，且x ∈[−1,0]时，f(x)=x −[x]，则函数g(x)=f(x)+2√e x 在区间[−1,2021]的零点个数为( )A. 1009B. 1010C. 1011D. 1012 12. 2020年12月17日，嫦娥五号返回器在内蒙古安全着陆，激动人心!“切线数列”在航空航天中应用广泛，若数列{x n }满足x n+1=x n −f(x n)f′(x n)，则数列{x n }为函数f(x)的“切线数列”.若函数f(x)=x 2−3x +2的“切线数列“为{x n }，其中x n >2，数列{a n }满足a 1=2，a n =ln x n−2x n−1上，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2020=( )A. (12)2021−12B. 2⋅(12)2021−2 C. 22021−2D. 22021−1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在“一带一路”(英文：TheBel tan dRoad ，缩写B&R)知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为______．14. 已知a ，b ∈R +，若直线(a −1)x +2y −1=0与直线x +by +7=0互相垂直，则ab 的最大值等于______ ．15. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若△ABC 是边长为6√3的等边三角形，AA 1=5，则V的最大值为______ ．16. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数t(t ∈R)，使得f(x +t)+tf(x)=0对任意的实数x 成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是______ ．①若f(x)是t =12的回旋函数，则函数f(x)至少有一个零点；②若y =a x (a >1)为回旋函数，则t >0； ③函数f(x)=x 2不是回旋函数：④函数y =tanω1x(ω1>0)，函数y =sinω2x(ω2>0)是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 在①csinB+C 2=asinC ，②2cosA(bcosC +ccosB)=a ，③(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c =(√3−1)b ，_____． (1)求C 的值；(2)若△ABC 的面积为3−√3，求b 的值．18.2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务.已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X(40≤X<200，单位：件)．蔬菜量X[40,80)[80,120)[120,160)[160,200)天数255010025(1)该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；(2)该物流公司拟一次性租赁−批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输.已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车.若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元.该物流公司负责人甲提出的方案是租赁3辆货车，负责人乙提出的方案是租赁4辆货车，为使该物流公司此项业务的营业利润最大，应该选用哪种方案？19.如图(1)，在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC=CE=EF=FD.沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图(2)．(1)试判断图(2)中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；(2)若平面DFA∩与平面CEB=l，求直线l与平面DEF所成角的正弦值．20.已知函数f(x)=x2lnx−2x．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求证：存在唯一的x0∈(1,2)，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为f(2)−f(1)(Ⅲ)比较f(1.01)与−2.01的大小，并加以证明．21. 设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，定义椭圆C 的“相关圆”方程为x 2+y 2=a 2b 2a 2+b 2.若抛物线y 2=4x的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形(Ⅰ)求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；(Ⅱ)过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点 (i)证明：∠AOB 为定值；(ii)连接PO 并延长交“相关圆”E 于点Q ，求△ABQ 面积的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =1−my =k(m −1)(m 为参数)，直线l 2的参数方程{x =ny =2+n k(n 为参数).若直线l 1，l 2的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l ：ρcos(θ−π6)=2，已知点P 在曲线C 上，点P 到直线l 和极轴的距离分别为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值．23. 已知函数f(x)=|2x −1|−|x −3|．(Ⅰ)解不等式f(x)>0；(Ⅱ)若不等式m 2−4|m|+|x −3|>f(x)对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|2x−a≤0}={x|x≤a2}，且A∩B={x|−2≤x≤1}，∴a2=1，解得a=2．故选：C．求出B={x|x≤a2}，由A∩B={x|−2≤x≤1}，得到a2=1，由此能求出a．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．抛物线y2=−8x的开口向左，2p=8，从而可得抛物线y2=−8x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=−8x的开口向左，2p=8，∴抛物线y2=−8x的准线方程为x=p2=2故选D．3.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7=28，a2+a4=7，∴7a1+21d=28，2a1+4d=7．解得：a1=52，d=12．则a6=52+5×12=5．故选：C．利用等差数列的通项公式求和公式直接计算即可得出答案．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．由已知可得e iπ=−1，再把(e iπ+i)⋅z=i变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的计算公式求解．【解答】解：由e iθ=cosθ+isinθ得e iπ=cosπ+isinπ=−1，则由(e iπ+i)⋅z=i，得z=i−1+i =i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=12−12i，∴|z|=√(12)2+(−12)2=√22． 故选：B ． 5.【答案】B【解析】解：x −=1+2+3+4+55=3，y −=2+7+9+13+145=9，则样本点的中心坐标为(3,9)，代入y ̂=3x +a ， 得a =9−3×3=0，∴线性回归方程为y ̂=3x ，取x =4，可得y ̂=12， 则此回归模型第4周的残差为13−12=1． 故选：B ．由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a ，得到线性回归方程，取x =4求得y ^，进一步得到残差，则答案可求．本题考查线性回归方程，考查残差的求法，是基础题． 6.【答案】A【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为2π3，a ⃗ =(1,2)，a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=0， 所以：|a ⃗ |=√5；∴a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b⃗ =5+2×√5×|b ⃗ |⋅cos 2π3=0⇒|b⃗ |=√5； 故选：A ．由已知求出向量|a⃗ |，利用数量积公式可求． 本题考查了平面向量的数量积运算；熟练运用数量积公式是关键． 7.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了线线平行及面面垂直的判定定理，属中档题．由线线、线面平行及面面垂直的判定定理可得：设m ⊂α，且m//l ，由l ⊥β，则m ⊥β，则α⊥β，得解． 【解答】解：设m ⊂α，且m//l ，由l ⊥β，则m ⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β.选项A 正确 若α⊥β，l ⊥α，则l //β或l ⊂β.选项B 错误 若l//α，l//β，α与β的关系不能确定.故C 错误 若α⊥β，l//α，l 与β的关系不能确定.故C 错误 即选项A 正确， 故选A ． 8.【答案】D【解析】解：∵f(x)与直线y =a 的两个相邻交点间的距离为π2， ∴函数f(x)的最小正周期为π2，A 错，∴ω=ππ2=2，∵图象关于点(π6,0)成中心对称，∴2×π6+φ=kπ2，k∈Z，0<φ<π2，∴φ=π6.∴f(x)=tan(2x+π6)，∴函数f(x)图象的对称中心为(kπ4−π12,0)，k∈Z，B错；∴函数f(x)的图象可由y=tan2x的图象向左平移π12得到，C错；∵−π2+kπ<2x+π6<π2+kπ，k∈Z∴函数f(x)的递增区间为(kπ2−π3,kπ2+π6)(k∈Z)，D对．故选：D．根据题意求出周期，求出ω和φ，然后根据正切函数的性质判断选项．本题考查正切函数的性质，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，f(x)=x+a，g(x)=lnx，设F(x)=f(x)−g(x)=x−lnx+a，则F′(x)=1−1x =x−1x，在区间(0,1)上，F′(x)<0，F(x)为减函数，在区间(1,+∞)上，F′(x)>0，F(x)为增函数，则F(x)在(0,+∞)的最小值为F(1)=1−ln1+a=a+1，当a>−1时，F(x)>0恒成立，则f(x)的图象在g(x)的上方，此时d(f,g)=a+1>0，当a≤−1时，F(x)=0有解，f(x)与g(x)的图象有交点，此时d(f,g)=0，若“a>2”，则d(f,g)=a+1>3>2，则“a>2”是“d(f,g)>2”充分条件，反之，若d(f,g)>2，即a+1>2，解可得a>1，则“a>2”是“d(f,g)>2”的不必要条件，故“a>2”是“d(f,g)>2”的充分不必要条件，故选：A．根据题意，设F(x)=f(x)−g(x)=x−lnx+a，求出F(x)的导数，利用导数分析F(x)的单调性以及最小值，即可得d(f,g)的表达式，结合充分必要条件的定义分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的最值，涉及充分必要条件的判断，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：圆C：x2+y2−10y+16=0可化为x2+(y−5)2=9，∵圆C：x2+y2−10y+16=0上有且仅有两点到双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=bax，即bx−ay=0，∴2<√a2+b2<4，即2<5ac<4，解得：54<ca<52．即双曲线离心率的取值范围是(54,5 2 ).故选：A．由圆的方程求出圆心坐标与半径，写出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得圆心到双曲线渐近线的距离大于且小于4，由此列式求解双曲线离心率的取值范围．本题考查双曲线的离心率e的取值范围，考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：x∈[−1,0)时，[x]=−1，所以f(x)=x+1，因为f(x)+f(2+x)=0，所以f(x+2)=−f(x)，则有f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，故函数f(x)的周期为4，又f(x)+f(2−x)=0，则有f(x+2)=−f[2−(x+2)]=−f(−x)，又f(x+2)=−f(x)，所以f(−x)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，令ℎ(x)=−ex2√e x，则ℎ′(x)=4√e x，令ℎ′(x)=0，解得x=2，当x<2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(−∞,2)上单调递减，当x>2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(2,+∞)上单调递增，所以，当x=2时，ℎ(x)min=ℎ(2)=−2√e2=−1，函数g(x)=f(x)+2√e x的零点个数等价于y=f(x)与y=ℎ(x)图象的交点个数，作出函数y=f(x)和y=ℎ(x)的图象如图所示，在区间[−1,3)内有2个交点，在[3,7)上有2个交点，即每个周期都有2个交点，将区间[−1,2021]分为两部分[−1,3)和[3,2021]，在[3,2021]上共有504个周期余前半个周期，而在[3,2021]上，每个周期的前半个周期都没有交点，后半个周期有2个交点，所以在区间[−1,2021]上的交点个数为2+504×2=1010，故函数g(x)=f(x)+2√e x在区间[−1,2021]的零点个数为1010个．故选：B．先利用新定义，求出f(x)的解析式，然后再利用已知的恒等式判断出函数f(x)时周期为4的偶函数，令ℎ(x)=−ex2√e x ，将函数g(x)=f(x)+ex2√e x在区间[−1,2021]的零点个数转化为函数y=f(x)与y=ℎ(x)图象的交点个数，利用导数研究函数y=ℎ(x)的性质，然后再同一坐标系内作出两条函数的图象，利用图象和函数的周期性进行分析求解，即可得到答案．本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了利用导数研究函数的性质、函数周期性与奇偶性的应用，对于函数零点个数问题，经常将它转化为两个图象的交点问题来研究，属于中档题． 12.【答案】C【解析】解：因为f(x)=x 2−3x +2，所以f′(x)=2x −3， 由题意可得x n+1=x n −f(x n )f′(x n)=x n −x n 2−3x n+22x n −3=x n2−22x n −3，所以x n+1−2xn+1−1=x n 2−22x n −3−2x n 2−22x n −3−1=x n 2−4x n+4x n2−2xn+1=(x n −2x n−1)2， 因为a 1=2，a n =ln x n−2x n−1，所以a n+1=ln x n+1−2x n+1−1=2ln x n−2x n−1=2a n ，所以数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列， 则a n =2n ， 所以S 2020=2(1−22020)1−2=22021−2．故选：C ．求出导函数f′(x)，可得x n+1=x n2−22x n−3，计算可得x n+1−2xn+1−1=(x n −2x n−1)2，从而求得a n+1=2a n ，可得数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式即可求解．本题主要考查函数与数列的综合，考查等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }为等比数列是解题的关键，属于中档题．13.【答案】85【解析】解：在“一带一路”(英文：The Belt and Road ，缩写B&R)知识问答竞赛中， “江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示， 去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为： 84，84，84，86，87，∴所剩数据平均数为x −=15(84+84+84+86+87)=85， ∴所剩数据的方差为：S 2=15[(84−85)2+(84−85)2+(84−85)2+(86−85)2+(87−85)2]=85．故答案为：85．去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84，84，84，86，87，由此能求出所剩数据平均数和所剩数据的方差．本题考查平均数、方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】18【解析】解：∵直线(a −1)x +2y −1=0与直线x +by +7=0互相垂直， ∴(a −1)×1+2×b =0， 解得a +2b =1， ∵a ，b ∈R +， ∴2ab ≤(a+2b 2)2=14， 当且仅当2a =b ，即a =12，b =14时取等号， ∴ab 的最大值等于18． 故答案为：18．由直线(a −1)x +2y −1=0与直线x +by +7=0互相垂直，得到a +2b =1，再由a ，b ∈R +，利用基本不等式的性质能求出ab 的最大值．本题考查两数积的最大值的求法，考查直线与直线垂直、基本不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】1256π【解析】解：如图，等边三角形内切球的半径r =3>52，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的上下底面相切， ∴球半径R =52，∴V max =43π×(52)3=1256π．故答案为：1256π.等边三角形内切球的半径r =3>52，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的上下底面相切，球半径R =52，由此能求出V 的最大值．本题考查直三棱柱内的球的体积的最大值的求法，考查直三棱柱、三角形内切球、球的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 16.【答案】①③④【解析】解：对于①，若f(x)是t =12的回旋函数，则f(x +12)+12f(x)=0， 即f(x +12)=−12f(x)恒成立，∴f(x)⋅f(x +12)≤0，∴由零点存在性定理可得，函数f(x)在区间[x,x +12]上至少有一个零点，故①正确；对于②，若指数函数y =a x 为阶数为t 回旋函数，则a x+t +ta x =0，a t +t =0，∴t <0，故②错误； 对于③，若(x +a)2+ax 2=0对任意实数都成立，令x =0，则必须有a =0，令x =1，则有a 2+3a +1=0，a =0不是这个方程的解， 故假设不成立，该函数不是回旋函数，故③正确；对于④，∵函数y =tanω1x(ω1>0)，函数y =sinω2x(ω2>0)是回旋函数， ∴tanω1(x +t)+t ⋅tanω1x =0，sinω2(x +t)+t ⋅sinω2x =0， ∴ω1，ω2的取值的集合是相等的，故④正确． 故答案为：①③④．对于①，若f(x)是t =12的回旋函数，则f(x +12)+12f(x)=0，推导出f(x)⋅f(x +12)≤0，由零点存在性定理可得，函数f(x)在区间[x,x +12]上至少有一个零点；对于②，若指数函数y =a x 为阶数为t 回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论；对于③，利用回旋函数的定义，令x =0，则必须有a =0；令x =1，则有a 2+3a +1=0，故可判断；对于④，由回旋函数定义、正切函数和正弦函数的性质求解．本题考查了新定义问题，解答此类问题时，首先必须要理解掌握这个新定义，再利用这个定义来解题，所以要解答本题，首先必须理解回旋函数的定义，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①，csinB+C 2=asinC ，由正弦定理可得sinCsinB+C 2=sinAsinC ，因为C 为三角形内角，sinC >0， 所以sinB+C 2=sinA ，即cos A 2=2sin A 2cos A2，因为A 为三角形内角，A2∈(0,π2)， 所以sin A2=12，可得A2=π6，可得A =π3， 可得B =2π3−C ，又c =(√3−1)b ，由正弦定理可得sinC =(√3−1)sinB ，即sinC =(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC +√3−12sinC ， 可得sinC −cosC =0，即√2sin(C −π4)=0， 又C ∈(0,π)， 所以C −π4∈(−π4,3π4)，所以C −π4=0，即C =π4．选②，2cosA(bcosC +ccosB)=a ，由正弦定理可得2cosA(sinBcosC +sinCcosB)=sinA ， 所以2cosAsin(B +C)=2cosAsinA =sinA ， 因为sinA ≠0， 所以cosA =12，又A 为三角形内角，A ∈(0,π)， 所以A =π3，可得B =2π3−C ，又c =(√3−1)b ，由正弦定理可得sinC =(√3−1)sinB ，即sinC =(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC +√3−12sinC ，可得sinC −cosC =0，即√2sin(C −π4)=0， 又C ∈(0,π)， 所以C −π4∈(−π4,3π4)，所以C −π4=0，即C =π4．选③，(sinB −sinC)2=sin 2A −sinBsinC ，由正弦定理可得(b −c)2=a 2−bc ，即b 2+c 2−a 2=bc ， 因此cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，又A 为三角形内角，A ∈(0,π)， 所以A =π3，可得B =2π3−C ，又c =(√3−1)b ，由正弦定理可得sinC =(√3−1)sinB ，即sinC =(√3−1)sin(2π3−C)=3−√32cosC +√3−12sinC ， 可得sinC −cosC =0，即√2sin(C −π4)=0， 又C ∈(0,π)， 所以C −π4∈(−π4,3π4)，所以C −π4=0，即C =π4．(2)因为△ABC 的面积为3−√3=12bcsinA =√34bc =3−√34b 2，所以解得b =2．【解析】(1)选①，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC >0，可得cos A2=2sin A2cos A2，结合范围A2∈(0,π2)，可得A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C 的值．选②，由正弦定理，两角和的正弦公式，结合sinA ≠0，可得cosA =12，结合A ∈(0,π)，可求A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C的值．选③，由正弦定理，余弦定理可求cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，可求A ，可得B =2π3−C ，由正弦定理，两角差的正弦函数公式可得√2sin(C −π4)=0，结合范围C −π4∈(−π4,3π4)，可求C 的值．(2)由(1)利用三角形的面积公式即可解得b 的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则：P(A)=75200=38，∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p =C 32(38)258+C 3138(58)2+C 30(58)3=485512；(2)由题意得每天配送蔬菜量X 在[40,80)，[80,120)，[120,160)，[160,200)的概率分别为18，14，12，18， 设物流公司每天的营业利润为Y ．若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200， P(Y =6000)=58，P(Y =3600)=14，P(Y =1200)=18， Y 6000 3600 1200P581418∴E(Y)=6000×58+3600×14+1200×18=4800元； 若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，P(Y =8000)=18，P(Y =5600)=12，P(Y =3200)=14，P(Y =800)=18， Y 8000 5600 3200 800 P18121418∴E(Y)=8000×18+5600×12+3200×14+800×18=4700，∵4800>4700，∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车， 故选择负责人甲提出的方案．【解析】(1)记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P(A)=38，再由独立事件的的概率公式求3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；(2)由题意得每天配送蔬菜量X 在[40,80)，[80,120)，[120,160)，[160,200)的概率分别为18，14，12，18，设物流公司每天的营业利润为Y ，求出租赁3辆车及租赁4辆车营业利润Y 的期望，比较大小得结论． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)CD//AB ，理由如下：连结CD ，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ，如图1，则有△ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形且全等， 则DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM =CN ，因为平面ADF ⊥平面ABEF ，平面ADF ∩平面ABEF =AF ，DM ⊂平面ADF ，DM ⊥AF ， 所以DM ⊥平面ABEF ， 同理可证CN ⊥平面ABEF ， 所以DM//CN ， 又因为DM =CN ，所以四边形CDMN 为平行四边形， 所以CD//MN ，因为M ，N 分别为AF ，BE 的中点， 所以MN//AB ， 所以CD//AB ；(2)因为DM//CN ，CN ⊄平面DFA ，DM ⊂平面DFA ， 所以CN//平面DFA ，因为CN ⊂平面CEB ，平面DFA ∩与平面CEB =l ， 所以CD//l ， 因为DM//CN ， 所以DM//l ，所以直线l 与平面DEF 所成的角即为直线DM 与平面DEF 所成的角， 在AB 边上取一点P ，使AP =AE ，由图(1)可知，四边形ADFP 为正方形，即AP =FP ， 因为M 为AF 的中点，所以MP ⊥MA ， 由(1)可知，MD ⊥平面ABEF ， 所以MA ，MP ，MD 两两垂直，以M 为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设AF =2，则M(0,0，0)，D(0,0，1)，A(1,0，0)，P(0,1，0)，F(−1,0，0)，所以FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)， 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有{m⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅FE⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +z =0−x +y =0， 令x =1，则y =1，z =−1，所以m⃗⃗⃗ =(1,1,−1)， 设直线DM 与平面DEF 所成的角为θ，则sinθ=|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=|0×1+0×1+1×(−1)|1×√1+1+1=√33， 故直线l 与平面DEF 所成角的正弦值为√33．【解析】(1)连结CD ，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ，通过翻折前的几何关系得到△ADF与△BCE 都是等腰直角三角形且全等，再利用面面垂直的性质定理得到DM ⊥平面ABEF ，同理可证CN ⊥平面ABEF ，再利用垂直于同一个平面的两条直线平行，从而可以证明四边形CDMN 为平行四边形，即可得到CD//MN ，再利用平面几何知识即可证明CD//AB ；(2)利用线面平行的判定定理得到CN//平面DFA ，再利用线面平行的性质定理得到CD//l ，从而得到直线l 与平面DEF 所成的角即为直线DM 与平面DEF 所成的角，M 为坐标原点，直线MA ，MP ，MD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，再求出直线DM 的方向向量和平面DEF 的法向量，然后利用线面角的求解公式计算即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了由平面图形翻折得到立体图形的应用，在求解空间角的时候，常会选用空间向量法进行求解，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，将空间角转化为空间向量的夹角进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=x2lnx−2x的定义域是(0,+∞)，导函数为f′(x)=2xlnx+x−2，所以f′(1)=−1，又f(1)=−2，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−x−1；(Ⅱ)证明：由已知f(2)−f(1)=4ln2−2，所以只需证明方程2xlnx+x−2=4ln2−2在区间(1,2)有唯一解．即方程2xlnx+x−4ln2=0在区间(1,2)有唯一解．设函数g(x)=2xlnx+x−4ln2，则g′(x)=2lnx+3．当x∈(1,2)时，g′(x)>0，故g(x)在区间(1,2)单调递增．又g(1)=1−4ln2<0，g(2)=2>0，所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得g(x0)=0．综上，存在唯一的x0∈(1,2)，使得曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为f(2)−f(1)；(Ⅲ)f(1.01)>−2.01.证明如下：首先证明：当x>1时，f(x)>−x−1．设ℎ(x)=f(x)−(−x−1)=x2lnx−x+1，则ℎ′(x)=x+2xlnx−1．当x>1时，x−1>0，2xlnx>0，所以ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在(1,+∞)单调递增，所以x>1时，有ℎ(x)>ℎ(1)=0，即当x>1时，有f(x)>−x−1．所以f(1.01)>−1.01−1=−2.01．【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到所求切线的方程；(Ⅱ)求得f(2)−f(1)，只需证明方程2xlnx+x−2=4ln2−2在区间(1,2)有唯一解．设函数g(x)=2xlnx+x−4ln2，求得导数，判断单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；(Ⅲ)f(1.01)>−2.01，设ℎ(x)=f(x)−(−x−1)=x2lnx−x+1，求得导数，单调区间，运用单调性可得f(x)>−x−1(x>1)．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查转化思想和函数零点存在定理的运用，考查构造函数法和化简整理的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆C的方程为x22+y2=1．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=23．证明：(Ⅱ)(i)当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=√63，则A(√63,√63)，B(√63,−√63)，∴∠AOB=π2，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组{y =kx +mx 22+y 2=1，得x 2+2(kx +m)2=2， 即(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)=8(2k 2−m 2+1)>0， 即2k 2−m 2+1>0，(∗) {x 1+x 2=−4km1+2k 2x 1x 2=2m 2−21+2k 2， ∵直线与圆相切， ∴d =2=√m 21+k 2=√23，∴3m 2=2+2k 2， ∴x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)(2m 2−2)1+2k 2−4k 2m 21+2k2+m 2 =3m 2−2k 2−21+2k 2=0，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴∠AOB =π2为定值．解：(ii)∵PQ 是“相关圆”的直径， ∴S △ABQ =12|AB||PQ|=√63|AB|， ∴要求△ABQ 的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围， 当直线AB 的斜率不存在时，由(i)知|AB|=2√63， |AB|=√(1+k 2)(x 1−x 2)2=√(1+k 2)⋅8(2k 2−m 2+1)(1+2k 2)2=√83⋅4k 4+5k 2+14k 4+4k 2+1=√83[1+k 24k 4+4k 2+1]， ①当k ≠0时，|AB|=√83(1+14k 2+1k 2+4)，∵4k 2+1k 2+4≥8，∴0<14k 2+1k 2+4≤18，∴83<83(1+14k 2+1k 2+1)≤3，∴23√6<|AB|≤√3，当且仅当k =±√22时，取“=”号．②当k =0时，|AB|=2√63.|AB|的取值范围为23√6≤|AB|≤√3，∴△ABQ 面积的取值范围是[43,√2].【解析】(Ⅰ)由抛物线y 2=4x 的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b =c =1，由此能求出椭圆C 的方程． ∴“相关圆”E 的方程为x 2+y 2=23．(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，直线AB 方程为x =√63，∠AOB =π2；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程，得x 2+2(kx +m)2=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出∠AOB =π2为定值．(ii)要求△ABQ 的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ 面积的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查相关圆的方程的求法，考查角为定值的与求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、椭圆弦长公式的合理运用． 22.【答案】解：(1)直线l 1的参数方程{x =1−my =k(m −1)(m 为参数)，转换为直线l 1的普通方程为y =k(−x)， 直线l 2的参数方程{x =n y =2+n k (n 为参数).转化为直线l 2的普通方程为y −2=2k ，联立直线l 1，l 2方程，消去参数k ，得曲线C 的普通方程为y(y −2)=−x 2， 整理得x 2+(y −1)2=1(x ≠0)．(2)直线l ：ρcos(θ−π6)=2，即为ρ(√32cosθ+12sinθ)=2，即√3ρcosθ+ρsinθ−4=0，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得√3x +y −4=0， 由x 2+(y −1)2=1(x ≠0)，可得C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数，且0≤α<2π，且α≠π2)， 可设P(cosα,1+sinα)， d 1=√3cosα+1+sinα−4|√3+1=|√3cosα+sinα−3|2=12(3−√3cosα−sinα)，又d 2=1+sinα，则d 1+d 2=52+12sinα−√32cosα=sin(α−π3)+52，当α=5π6时，sin(α−π3)取得最大值1， 则d 1+d 2取得最大值72．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)将直线l 的方程化为直角坐标方程，求得圆C 的参数方程，设出P 的坐标，由点到直线的距离公式可得d 1，d 1+d 2，结合三角函数的和差公式和最值，可得所求最大值．本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)>0即为|2x −1|>|x −3|， ∴|2x −1|2>|x −3|2，即4x 2−4x +1>x 2+9−6x ， ∴3x 2+2x −8>0，解得x >43或x <−2，,+∞)；∴不等式的解集为(−∞,−2)∪(43(Ⅱ)m2−4|m|+|x−3|>|2x−1|−|x−3|即m2−4|m|>|2x−1|−|2x−6|恒成立，由||2x−1|−|2x−6||≤|(2x−1)−(2x−6)|=5(x=3时等号成立)，可知m2−4|m|>5，解得|m|>5，∴m>5或m<−5，即实数m的取值范围为(−∞,−5)∪(5,+∞)．【解析】(Ⅰ)由f(x)>0得|2x−1|>|x−3|，两边平方后，化为一元二次不等式，解出即可；(Ⅱ)问题即为m2−4|m|>|2x−1|−|2x−6|恒成立，利用绝对值不等式的性质可得m2−4|m|>5，解出即可．本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量思想，属于基础题．。