网络社区划分算法
复杂网络中的社区划分算法研究
复杂网络中的社区划分算法研究复杂网络是指由大量节点和连接在它们之间的边构成的网络。
这些网络由于具有高度的随机性、不确定性和异质性而显得复杂。
社区划分是指将网络中的节点划分成若干个互不相交的子集，每个子集内的节点之间连通度相对较高，而不同子集间的连通度较低。
社区划分算法在复杂网络中具有重要的应用，如社交网络分析、生物信息学、信用评价等。
本文将讨论复杂网络中的社区划分算法及其研究进展。
一、社区划分算法概述社区划分算法着重考虑节点之间的连通性，具体包括以下几类：1. 基于聚类的算法：此类算法通过节点之间的相似性判断节点是否属于同一个社区。
该算法的优点是简单易懂，但存在精度低的问题。
2. 基于图谱的算法：此类算法以图中的节点为基础，采用图中最大匹配算法将图分为两个部分。
该算法的缺点是只能分为两个社区，不适用于多社区。
3. 基于社区传播的算法：此类算法以一小部分节点为种子节点，通过节点之间的传播来分析整个网络社区。
该算法的优点是简单易懂，但在节点数量多的情况下，时间复杂度高，效果不好。
4. 基于模块度的算法：此类算法以网络中节点之间的相似性为基础，通过最小化模块度来分析社区数量与大小。
该算法可以适用于多社区的情况，但可能出现局部最优解的情况。
5. 基于谱方法的算法：此类算法采用线性代数工具谱分析来分析节点之间的连通性。
该算法具有高效率和精准度，是目前最为流行的社区划分算法之一。
二、社区划分算法研究进展社区划分算法在近年来得到了广泛研究，其中以基于谱方法为主要研究方向。
该方法的优点是能够适用于各种类型的网络结构，且能够有比较高的精准度。
1. 基于拉普拉斯矩阵的算法拉普拉斯矩阵是描述网络节点之间连通性的工具，其基本思路是将网络中节点之间的联系表示为一个代数矩阵，从而将网络的分析转换为矩阵计算问题。
此类算法通过最小化谱划分问题来实现网络的社区划分。
2. 基于模块度的算法模块度是衡量社区划分好坏的一个重要指标，它衡量了节点在与社区内的联系相对于社区外联系的比重。
louvain算法实例
louvain算法实例Louvain算法是一种用于社区发现的无监督图分区算法，从图的顶点的视角出发，通过优化模块度指标来划分网络的社区结构。
它的目标是使同一个社区内的节点具有更多的内部连边，而不同社区之间具有较少的连边。
Louvain算法基于一种贪心的策略，通过不断合并顶点来增加图中社区的模块度，直到无法再增加为止。
这个过程分为两个阶段，第一阶段是为每个顶点分配一个不同的社区编号，然后在第二阶段将相同社区编号的顶点合并到一起。
整个过程是迭代进行的，直到找不到更合适的合并为止。
在第一阶段，Louvain算法首先为每个顶点分配一个不同的社区编号。
然后，算法遍历每一个顶点，并计算将该节点移动到它一个邻近节点所属社区时的模块度增益。
如果模块度增益为正，则移动该节点到相应社区，并重新计算社区内部的相邻节点。
重复这一过程，直到没有顶点可以移动为止，进入第二阶段。
在第二阶段，Louvain算法将第一阶段中属于同一个社区的顶点合并到一起，构建一个新的图。
这个新图的节点是原来的社区，边的权重是两个社区间所有顶点间连接边的权重之和。
这样，问题便转化为在新的图上进行第一阶段的迭代。
重复上述两个阶段，直到无法再增加模块度为止。
Louvain算法的时间复杂度是O(nlogn)，其中n是图中顶点的数量。
这使得Louvain算法适用于大规模图网络的社区发现问题。
Louvain算法的优点之一是它能够发现具有不同尺度的社区结构。
也就是说，算法可以将网络划分为不同大小的社区，从局部结构到整个网络的全局结构都能较好地体现出来。
此外，该算法还具有高效性和较快的计算速度。
然而，Louvain算法也存在一些局限性。
首先，它对初始划分很敏感，可能得到不同的结果。
其次，它只能发现有效连接社区的顶点，对孤立节点无法进行准确划分。
此外，Louvain算法倾向于生成较大的社区，因此不适用于需要较小粒度社区划分的场景。
总的来说，Louvain算法是一种有效的无监督图分区算法，适用于社区发现问题。
基于改进的PSO算法的网络社区划分方法
ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ’ ｔ ｉ ｍｅ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｅ ｘ ｉ ｔ ｙ ｉ ｓ ｈ ｉ ｇ ｈ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｉ ｒ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｓ ｔ ｏ ｏ ｈ ｅ ａ ｖ ｉ ｌ ｙ ｕ ｐ ｏ ｎ ｐ ｒ ｅ ｒ ｅ ｑ ｕ ｉ ｓ ｉ ｔ ｅ ｋ ｎ ｏ ｗ ｌ ｅ ｄ ｇ ｅ ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｆ ｏ ｒ ｅ ｍａ ｎ ｙ ｐ ｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｍｍｕ ｎ ｉ ｔ ｙ ｄ ｅ —
关键词 ．复杂 网络
中 图分 类 号 Ｔ Ｐ ３ ９ ３
社 区划分
Ｐ Ｓ Ｏ算法
Hale Waihona Puke 社 区结构 Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ０ — ３ ８ ６ ｘ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ８ ． ０ ０ ７
文 献标 识 码
Ａ
Ｉ Ｍ ＰＲｏＶＥＤ ＰＳ ｏ ＡＬＧ ｏＲＩ ＴＨＭ ＢＡＳ ＥＤ ＮＥＴＷ ｏ ＲＫ ＣｏＭ Ｍ ＵＮＩ ＴＹ ＤＥＴＥＣＴＩ ｏＮ Ｍ ＥＴＨｏＤ
Ｚ ｈ ａ ｎ ｇ Ｙ ｕ ｓ ｈ ａ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ Ｓ ｈ ｅ ｎ ｇ ｙ ｉ Ｘｉ ｅ Ｂ ａ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｔ ａ ｎ ｇ Ｋａ ｉ
（ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｂｕ ｓ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ，Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆＦ ｏ ｒ ｅ ｉ ｇ ｎ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｓ ， Ｇ ａｎ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ５ ４ ５， Ｇ ａｎ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ） （ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｆＩ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｅ ｉ ｓ ，Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｆＦ ｏ ｏ ｒ ｅ ｉ ｇ ｎ Ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｓ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ５ １ ０ ４ ２ ０ ， Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｄ ｏ ｎ ｇ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
louvain算法例子
louvain算法例子Louvain算法（Louvain algorithm），也被称为Modularity Optimization算法，是一种用于社区发现的图算法。
它通过最大化网络中节点的模块度（modularity）来划分节点所属的社区，从而识别出图中的子群体。
下面将通过一个例子来介绍Louvain算法的原理和应用。
假设我们有一个社交网络，其中包含10个节点和15条边。
我们希望通过Louvain算法来识别出这个社交网络中的社区结构。
我们需要将这个社交网络表示为一个图。
为了方便起见，我们使用邻接矩阵来表示图的连接关系。
该邻接矩阵如下所示：```0 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 0 0 0 00 1 1 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 1 1 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 1 1 0```接下来，我们使用Louvain算法来划分社区。
Louvain算法的核心思想是不断地合并社区，直到无法继续提高模块度为止。
我们将每个节点视为一个社区，并计算每个节点的模块度增益。
模块度增益是指将某个节点从其当前社区移动到其他社区后，整个网络的模块度提高的程度。
然后，我们选择模块度增益最大的节点进行移动，并更新社区划分。
重复这个过程，直到无法再提高模块度为止。
在这个例子中，我们通过Louvain算法得到了以下的社区划分结果：```社区1：0 2 6社区2：1 3社区3：4社区4：5社区5：7 8 9```通过Louvain算法，我们成功地将这个社交网络划分成了5个社区，每个社区内的节点都有着紧密的连接，而不同社区之间的连接相对较少。
Louvain算法不仅可以用于社交网络的社区发现，还可以应用于其他领域，如生物信息学、交通网络分析等。
动态演化网络中的社区划分算法及应用研究
动态演化网络中的社区划分算法及应用研究近年来，互联网的高速发展和信息技术的不断创新，使得网络结构日益变得复杂多样。
在这样的背景下，如何对网络进行分析和划分，成为了研究的热点之一。
社区划分算法是其中的重要一环。
本文将介绍动态演化网络中的社区划分算法及其应用研究。
一、动态演化网络的特点动态演化网络是指网络结构会因为节点之间的相互作用、节点属性的改变等外部因素而不断演化。
相较于静态网络，动态演化网络更加复杂、难以把握，具有以下特点：1. 网络的节点和边是不断变化的。
2. 网络的结构会发生不可预测的变化。
3. 网络的属性和演化规律也是难以预测的。
二、社区划分算法的概念和分类社区划分算法是将网络中的节点划分为若干个社区，使得同一社区内部的节点之间具有很强的相似性，而不同社区之间的节点差异较大，这种划分有利于深入研究网络的结构和演化规律。
社区划分算法可以分为两类：1. 基于网络结构的社区划分算法。
这类算法主要利用网络中节点和边的联系信息进行社区划分，通常采用聚类、划分等方法。
2. 基于网络特征的社区划分算法。
这类算法主要是基于节点的属性信息对网络进行社区划分，通常采用分类、回归等方法。
三、动态演化网络中的社区划分算法随着网络的演化，社区结构也会发生变化，这就要求社区划分算法不仅要考虑网络的结构信息，还要整合节点的属性信息，将社区结构与节点特征相结合，解决动态演化网络中的社区划分问题。
下面介绍一些常用的动态演化网络社区划分算法。
1. AP-GRNN算法基于保持核密度函数不变的条件下使用逆距离权重算法所实现聚类操作，将聚类中心作为自身的状态变量，同时引入链接紧密度作为动态更新边权值的权重，最后合并聚类中心生成社区的划分结果。
2. IGBS算法IGBS（Incremental Graph-based Sociality）算法先记录每个节点的社区归属，再在压缩图上使用Max-flow算法找到最大流最小割，实现社区的划分。
网络社区划分算法
网络社区划分算法目录• 1 简介• 2 构建一个点击流网络• 3 网络社区划分的两种主要思路:拓扑分析与流分析• 4 拓扑分析o4、1 计算网络的模块化程度Q-Modularityo4、2 计算网络的连边紧密度Edge betweennesso4、3 计算网络拉普拉斯矩阵的特征向量Leading eigenvectoro4、4 通过fast greedy方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值o4、5 通过multi level方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值• 5 流分析o5、1 随机游走算法Walk Trapo5、2 标签扩散算法label propagationo5、3 流编码算法the Map Equationo5、4 流层级算法Role-based Similarity• 6 总结使用许多互联网数据,我们都可以构建出这样的网络,其节点为某一种信息资源,如图片,视频,帖子,新闻等,连边为用户在资源之间的流动。
对于这样的网络,使用社区划分算法可以揭示信息资源之间的相关性,这种相关性的发现利用了用户对信息资源的处理信息,因此比起单纯使用资源本身携带的信息来聚类(例如,使用新闻包含的关键词对新闻资源进行聚类),就是一种更深刻的知识发现。
假设我们手头有一批用户在一段期间内访问某类资源的数据。
为了减少数据数理规模,我们一般只考虑最经常被访问的一批资源。
因此在数据处理中,我们考虑UV(user visit)排名前V的资源,得到节点集合|V|,然后对于一个用户i在一段时间内(例如一天)内访问的资源,选择属于|V|的子集vi。
如果我们有用户访问资源的时间,就可以按照时间上的先后顺序,从vi中产生vi-1条有向边。
如果我们没有时间的数据,可以vi两两间建立联系,形成vi(vi-1)/2条无向边。
因为后者对数据的要求比较低,下文中,暂时先考虑后者的情况。
对于一天内的n个用户做这个操作,最后将得到的总数为的连边里相同的边合并,得到|M|个不同的边,每条边上都带有权重信息。
三种经典复杂网络社区结构划分算法研究
论文导读:：复杂网络是复杂系统的高度抽象。
即社区结构特性[3]。
算法是一种试探优化法[4]。
算法。
关键词：复杂网络，社区结构，Laplace图谱，Kernighan-Lin 算法，GN算法1引言现实生活中存在着各种各样的网络系统，如人际关系网、合作网、交通运输网、计算机网等。
网络模型是描述这些复杂系统的最有效模型。
通过对现实系统网络模型的研究，人们发现许多现实系统的网络模型是介于完全规则和完全随机之间的。
由于这种网络是真实复杂系统的拓扑抽象因此它被称为复杂网络。
复杂网络是复杂系统的高度抽象，除具备小世界[1]、无标度[2]等重要特性外，还拥有另外一个重要特征，即社区结构特性[3]。
也就是说，整个网络是由若干个“群（group）”或“团（cluster）”构成的。
每个群内部的节点之间的连接相对非常紧密，但是各个群之间的连接相对来说却比较稀疏。
如图1所示。
图中的网络包含三个社团，分别对应图中三个圆圈包围的部分。
在这些社团内部，节点之间的联系非常紧密，而社团之间的联系就稀疏的多。
在大型复杂网络中进行社区搜寻或发现社区，具有重要的实用价值。
如，社会网络中的社区代表根据兴趣或背景而形成的真实的社会团体；引文网络中的社区代表针对同一主题的相关论文；万维网中的社区就是讨论相关主题的若干网站而生物化学网络或者电子电路网络中的社区则可能是某一类功能单元。
发现这些网络中的社区有助于研究人员更加有效地理解和开发这些网络。
Kernighan-Lin算法图1 一个小型的具有社团结构性质的网络网络社团结构的研究起源于社团学，已经有很长的历史期刊网。
它与计算机科学中的图形分割和社会学中的分级聚类有着密切的关系。
目前GN算法，关于复杂网络中的社区发现算法已有很多，这些方法的核心思想、执行效率、使用范围等方面差别较大。
本文着重叙述了三种典型的复杂网络社区识别算法，Kernighan-Lin 算法、Laplace图特征值的谱二分法和GN算法，并对此三种方法进行了适当的分析和比较。
复杂网络中的社区结构划分算法研究
复杂网络中的社区结构划分算法研究第一章简介复杂网络有着广泛的应用，例如社交网络、物流网络、生物网络等等。
在一个复杂网络中，不同的节点之间存在着不同的联系。
社区结构是指网络中一个节点集合，这些节点之间存在着紧密的联系，而这些联系又与网络外部的联系却相对松散。
在许多实际应用中，社区结构是非常有用的，例如社交网络中的好友圈、科研领域中的研究团队等等。
因此，社区结构划分算法的研究变得越来越重要。
本文将介绍一些常见的社区结构划分算法，包括Louvain算法、GN算法、Spectral Clustering算法等等，探讨它们的原理和优缺点。
第二章 Louvain 算法Louvain算法是一种基于模块度优化的社区结构划分算法。
其主要思想是通过不断合并最优的社区结构来达到最优的全局划分。
具体来说，Louvain算法分为两个阶段：第一阶段是在保持当前社区划分不变的前提下，每个节点都移动到与其相邻节点中度最大的社区中；第二阶段是对第一阶段的结果进行优化，合并可以提高模块度的社区划分，直到无法继续提高为止。
优点：Louvain算法是一种高效、可扩展的算法，可以在大规模网络中使用。
并且在实验中，Louvain算法的划分结果表现出了很好的社区行为。
此外，Louvain算法的实现代码也比较简单，易于理解。
缺点：Louvain算法对于具有重叠社区的网络进行划分的效果并不好。
此外，该算法的运行时间较长，在大规模网络中可能需要1小时以上的时间。
第三章 GN 算法GN（Girvan-Newman）算法是一种基于边介数来度量网络中重要性的社区结构划分算法。
边介数是指在一个无向图中，如果一条边所连通的节点对越多，说明这条边的介数越高。
算法的核心思想是通过不断删除网络中介数最高的边来分离网络，从而获得社区结构。
优点：GN算法适用于对于一些轮廓明显的社区结构进行划分，同时该算法的实现也相对简单。
缺点：GN算法对于重叠社区的网络划分效果较差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
网络社区划分算法目录• 1 简介• 2 构建一个点击流网络• 3 网络社区划分的两种主要思路：拓扑分析和流分析• 4 拓扑分析o 4.1 计算网络的模块化程度Q-Modularityo 4.2 计算网络的连边紧密度Edge betweennesso 4.3 计算网络拉普拉斯矩阵的特征向量Leading eigenvectoro 4.4 通过fast greedy方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值o 4.5 通过multi level方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值• 5 流分析o 5.1 随机游走算法Walk Trapo 5.2 标签扩散算法label propagationo 5.3 流编码算法 the Map Equationo 5.4 流层级算法 Role-based Similarity• 6 总结使用许多互联网数据，我们都可以构建出这样的网络，其节点为某一种信息资源，如图片，视频，帖子，新闻等，连边为用户在资源之间的流动。
对于这样的网络，使用社区划分算法可以揭示信息资源之间的相关性，这种相关性的发现利用了用户对信息资源的处理信息，因此比起单纯使用资源本身携带的信息来聚类（例如，使用新闻包含的关键词对新闻资源进行聚类），是一种更深刻的知识发现。
假设我们手头有一批用户在一段期间访问某类资源的数据。
为了减少数据数理规模，我们一般只考虑最经常被访问的一批资源。
因此在数据处理中，我们考虑UV（user visit）排名前V的资源，得到节点集合|V|，然后对于一个用户i在一段时间（例如一天）访问的资源，选择属于|V|的子集vi。
如果我们有用户访问资源的时间，就可以按照时间上的先后顺序，从vi中产生vi-1条有向边。
如果我们没有时间的数据，可以vi两两间建立联系，形成vi(vi-1)/2条无向边。
因为后者对数据的要求比较低，下文中，暂时先考虑后者的情况。
对于一天的n个用户做这个操作，最后将得到的总数为的连边里相同的边合并，得到|M|个不同的边，每条边上都带有权重信息。
这样，我们就得到了V个节点，M条边的一个加权无向网络，反应的是在一天之用户在主要的信息资源间的流动情况。
在这个网络上，我们可以通过社区划分的算法对信息资源进行分类。
社区划分的算法比较多，但我个人认为大致可以分为两大类：拓扑分析和流分析。
前者一般适用于无向无权网络，思路是社区部的连边密度要高于社区间。
后者适用于有向有权网络，思路是发现在网络的某种流动（物质、能量、信息）中形成的社区结构。
这两种分析各有特点，具体应用取决于网络数据本身描述的对象和研究者想要获得的信息。
我们可以将已知的一些算法归入这两类：算法优化目标计算复杂度适用情况局限R拓扑分析Q Modularity 最大化Q-modularity V|^2无向无权多分量不适用小网络spinglass.communityEdge-Betweenness最小化社区间连边的betweennessV|*|E|^2有向有权多分量慢edge.betweenness.communityLeading Eigenvector对拉普拉斯矩阵第二小特征根对应的特征向量聚类V|^2+ |E|无向无权多分量leading.eigenvector.communityFast Greedy使用社区合并算法来快速搜索最大Q-modularityE|*log(|V|)无向有权多分量不适用小网络fastgreedy.communityMulti Level使用社区展开算法来快速搜索最大Q-modularityV|无向有权多分量不适用小网络multilevel.community流分析Walk Trap 最大化社区间的流距离E|*|V|^2无向有权单分量不太适合网络数量较小的情况walktrap.communityLabel Propagation每个节点取邻居中最流行的标签，迭代式收敛V| + |E|无向有权单分量结果不稳定label.propagation.communityInfo map 最小化随机流的编码长度V|*(|V|+|E|)有向有权单分量clique.communityRole-based community 划分出在流中地位类似的节V|^3 有向有权单分结果不稳定点量上表中的分量（component）指在网络中的独立“团块”。
有向网络里，分量有强弱之分，强分量（strong component ）中任意一个节点都可到达另外一个节点，弱分量（weak component）中如果忽略连边方向，则构成强分量。
无向网里分量没有强弱之分。
在网络中识别强分量的算法有Kosaraju算法，Tarjan算法及其变形Gabow算法等。
在这里不展开叙述。
接下来，我们逐一讨论拓扑分析和流分析中的各种算法的具体思路。
[4]拓扑分析[4.1]计算网络的模块化程度Q-ModularityQ-Modularity是一个定义在[-0.5,1)区间的指标，其算法是对于某一种社区结构，考虑每个社区连边数与期待值之差。
实际连边越是高于随机期望，说明节点越有集中在某些社区的趋势，即网络的模块化结构越明显。
Newman在2004年提出这个概念最初是为了对他自己设计的社区划算法进行评估，但因为这个指标科学合理，而且弥补了这个方面的空白，迅速成为一般性的社区划分算法的通用标准。
Q的具体计算公式如下：其中A是网络G对应的邻接矩阵，如果从i到j存在边，则Aij=1，否则为0。
m是总连接数，2m是总度数，Aij/2m 是两节点之间连接的实际概率。
Ki和kj分别是i和j的度数。
如果我们保持一个网络的度分布但对其连边进行随机洗牌，任意一对节点在洗牌后存在连接的概率为kikj/(2m)2。
上式中中括号表达的就是节点之间的实际连边概率高于期待值的程度。
后面跟着一个二元函数，如果节点ij属于同一个社区，则为1，否则为0，这就保证了我们只考虑社区部的连边。
刚才这个定义是以节点为分析单位。
实际上，如果以社区为分析单位看Q指标，可以进一步将其化简为eii和ai之间的差。
其中eii是在第i个社区部的link占网络总link的比例，ai是第i个社区和所有其他社区的社区间link数。
上式已经清楚定义了Q，但在实际计算里，上式要求对社区及其部节点进行遍历，这个计算复杂度是很大的。
Newman(2006)对上式进行了化简，得到矩阵表达如下：我们定义Sir为n * r的矩阵，n是节点数，r是社区数。
如果节点i属于社区r，则为1，否则为0。
则有于是有其中B是modularity matrix，其元素为该矩阵的行列和都是0，因为实际网络和随机洗牌后的网络度分布是不变的。
特别地，在仅仅有两个社区的情况下（r=2），可以s定义为一个n长的向量，节点属于一个社区为1，属于另一个社区为-1，Q可以写成一个更简单的形式：通过对社区的划分可能空间进行搜索，可以得到最大化Q值的社区划分。
在这个过程会涉及数值优化的部分，例如表一中的fast greedy和multilevel就是用不同方法进行快速搜索的例子。
以fast greedy为例Newman（2006），它通过不断合并社区来观察Q的增加趋势，得到了一个在最差的情况下复杂度约为O( |E|*log(|V|) )，在最好的情况下接近线性复杂度的算法。
[4.2]计算网络的连边紧密度Edge betweenness这个思路出现得比较早(Newman, 2001)。
Freeman (1975) 提出过一个叫betweenness的指标，它衡量的是网络里一个节点占据其他n-1节点间捷径的程度。
具体而言，首先对每一对节点寻找最短路径，得到一个n * (n-1)/2的最短路径集合S，然后看这个集合中有多少最短路径需要通过某个具体的节点。
Newman借鉴了这个标准，但不是用来分析节点而是分析连边。
一个连边的edge betweenness就是S集合里的最短路径包含该连边的个数。
定义了连边的betweenness后，就可以通过迭代算法来进行社区划分了。
具体做法是先计算所有连边的betweenness，然后去除最高值连边，再重新计算，再去除最高值连边，如此反复，直到网络中的所有连边都被移除。
在这个过程中网络就逐渐被切成一个个越来越小的component。
在这个过程中，我们同样可以用Q-modularity来衡量社区划分的结果。
这种算法定义比较清晰，也不涉及矩阵数学等运算，但问题是计算复杂度比较大。
[4.3]计算网络拉普拉斯矩阵的特征向量Leading eigenvector一个有n个节点的网络G可以被表达为一个n x n的邻接矩阵（adjacency matrix）A。
在这个矩阵上，如果节点i 和j之间存在连边，则Aij=1，否则为0。
当网络是无向的时候，Aij=Aji。
另外我们可以构造n x n的度矩阵（degree matrix）D。
D对角线上的元素即节点度数，例如Dii为节点i的度数，所有非对角线的元素都是0。
无向网的分析不存在度数的选择问题，有向网则要根据分析目标考虑使用出度还是入度。
将度数矩阵减去邻接矩阵即得到拉普拉斯矩阵，即L = D-A。
L的特征根存在一些有趣性质。
首先，最小的特征根总等于0。
因为如果将L乘以一个有n个元素的单位向量，相当于计算每一行的和，刚好是节点的度的自我抵消，结果等于0。
其次，特征根中0 的个数即无向网G中分量的个数。
这意味着如果除了最小特征根，没有别的特征根为0，则整个网络构成一个整体。
在这些特征根里，第二小的特征根（或者最小的非零特征根）又叫做代数连通性（algebraic connectivity），其对应的特征向量叫做Fidler vector。
当，说明网络是一个整体。
越大，说明网络彼此间的越紧密。
从这个定义来看，非常像前面讨论的Q-Modularity，实际上在Newman2006的文章里，确实讨论了二者在数学上的对应关系。
例如对示例网络所对应的进行分析，可以得到拉普拉斯矩阵如下：这个矩阵的特征根如下：{5.5, 4.5, 4.0, 3.4, 2.2, 1.3, 1.0, 0}。
取时， Fidler vector={0.29, 0.00,0.29, 0.29, 0.29, -0.58, -0.58, 0.00}。
因为Fidler vector的值分别对应着图里的节点，于是可以写成{a:0.29, b: 0.00, c:0.29, d:0.29, e:0.29, f:-0.58, g:-0.58, h:0.00}。
仅仅从元素的正负号就可以看出，该分析建议我们把f和g节点与其他节点分开，更细致的，对元素值大小的考察则建议把矩阵分成三个社区，{{a, c, d, e}, {b, h}, {e, f}}。