网络社区划分算法
大规模动态网络的社区发现算法
大规模动态网络的社区发现算法社区发现是网络分析中一个重要的研究领域，目的是发现网络中的子群体，这些子群体可以通过相似性特征或交互行为相互联系。
然而，现实中的网络不仅数量庞大，而且是动态的，社区结构也随时间不断演化。
因此，在大规模动态网络中发现社区结构成为了一项挑战性的任务。
传统的聚类算法在大规模动态网络中会遇到一些问题，例如巨大的计算时间、存储空间和精度。
因此，近年来，一些新的算法和框架被提出来解决这些问题。
在这篇文章里，我们将重点介绍几种主流的大规模动态网络的社区发现算法。
1. 静态方法静态方法是最简单的社区发现算法之一，因为它是针对一个固定的网络进行计算。
其中有一个经典的聚类算法叫作Louvain算法。
这种算法使用一种称为“模块度”的指标来评估社区结构的质量，并且能够搜寻整个社区空间以找到最优和最稳定的社区划分，得到了广泛的应用。
然而，静态方法在处理大规模动态网络时并不是特别有效。
因为在动态网络中，每时每刻都会有新的节点和边加入，社区结构也随之不断演化。
因此，需要一种可以处理动态网络的算法。
2. 动态网络的增量方法在动态网络中，边的加入和节点的加入不可避免。
因此，增量聚类算法是一种直接处理动态网络中的方法。
其中有一种增量聚类算法叫做IGF（Incremental Growing of Finite Increment）。
这种方法首先将每个节点作为一个独立的社区，然后在每个时间步中重新分配每个节点的社区，直到达到最优的社区结构。
3. 基于社区结构演化的方法社区结构是动态网络中最为重要的部分，也是最具相似性的部分。
因此，在社区结构变化时，是有可能用过去的社区结构来预测未来的社区结构。
其中有一种基于社区结构演化的方法叫做COSMIC（Community Structure Monitoring and Identification in Changing networks）。
该方法会在整个网络结构上进行社区划分，并利用网络演化过程中的结构相似性来维护社区的一致性。
复杂网络中的社区划分算法研究
复杂网络中的社区划分算法研究复杂网络是指由大量节点和连接在它们之间的边构成的网络。
这些网络由于具有高度的随机性、不确定性和异质性而显得复杂。
社区划分是指将网络中的节点划分成若干个互不相交的子集，每个子集内的节点之间连通度相对较高，而不同子集间的连通度较低。
社区划分算法在复杂网络中具有重要的应用，如社交网络分析、生物信息学、信用评价等。
本文将讨论复杂网络中的社区划分算法及其研究进展。
一、社区划分算法概述社区划分算法着重考虑节点之间的连通性，具体包括以下几类：1. 基于聚类的算法：此类算法通过节点之间的相似性判断节点是否属于同一个社区。
该算法的优点是简单易懂，但存在精度低的问题。
2. 基于图谱的算法：此类算法以图中的节点为基础，采用图中最大匹配算法将图分为两个部分。
该算法的缺点是只能分为两个社区，不适用于多社区。
3. 基于社区传播的算法：此类算法以一小部分节点为种子节点，通过节点之间的传播来分析整个网络社区。
该算法的优点是简单易懂，但在节点数量多的情况下，时间复杂度高，效果不好。
4. 基于模块度的算法：此类算法以网络中节点之间的相似性为基础，通过最小化模块度来分析社区数量与大小。
该算法可以适用于多社区的情况，但可能出现局部最优解的情况。
5. 基于谱方法的算法：此类算法采用线性代数工具谱分析来分析节点之间的连通性。
该算法具有高效率和精准度，是目前最为流行的社区划分算法之一。
二、社区划分算法研究进展社区划分算法在近年来得到了广泛研究，其中以基于谱方法为主要研究方向。
该方法的优点是能够适用于各种类型的网络结构，且能够有比较高的精准度。
1. 基于拉普拉斯矩阵的算法拉普拉斯矩阵是描述网络节点之间连通性的工具，其基本思路是将网络中节点之间的联系表示为一个代数矩阵，从而将网络的分析转换为矩阵计算问题。
此类算法通过最小化谱划分问题来实现网络的社区划分。
2. 基于模块度的算法模块度是衡量社区划分好坏的一个重要指标，它衡量了节点在与社区内的联系相对于社区外联系的比重。
复杂网络中的社区发现算法
复杂网络中的社区发现算法在当今信息爆炸的时代，人们在不断地创造着各种各样的数据，其中网络数据也是其中之一。
在大规模的网络数据中，我们往往需要对这些数据进行挖掘和分析，而其中一个重要的问题就是社区发现问题。
社区发现算法可以将网络中的节点划分为若干个社区，每个社区内部的节点连通度较高，而与其他社区的节点的连通度较低。
然而，复杂网络的拓扑结构千变万化，如何寻找到一个较好的社区划分是一个复杂而困难的问题。
在社区发现算法中，一般使用的指标为模块度，而模块度的求解可以转化为一个优化问题，即如何最大化社区内部的连通度，最小化社区之间的连通度。
随着社区发现算法的发展，出现了许多传统的基于聚类或者图分区的算法，如K-means、谱聚类、Louvain等算法。
但是这些算法在处理大规模网络数据时存在复杂度高、收敛速度慢、鲁棒性不强等问题。
于是，随着人们对网络科学的深入了解，也涌现出许多新的社区发现算法，比如Markov聚类、拉普拉斯谱聚类、模块度优化模型等算法。
这些算法能够处理大规模网络数据，并且可以发现更加合理的社区结构。
以下我将列举一些常见的社区发现算法以及它们的特点和优缺点。
1. 高效快速种子扩张算法高效快速种子扩张算法是一种较为简单的社区发现算法，其基本思想是从一些已知社区内的种子节点开始扩散，形成一个社区。
具体实现是从种子节点开始不断向外扩张，直接某个条件后停止。
这个条件可以是节点的个数、节点的度数或者其他的信息。
优点是算法简单易实现，速度非常快，但是对于社区的分辨率不够高，可能会将比较松散的节点也纳入同一个社区中。
2. 层次聚类算法层次聚类算法是一种自底向上的社区发现算法，其基本思想是将每个节点每次都当做一个社区，然后逐步将相邻的社区合并，形成一个聚类层次。
最终层次中的每一层就代表了一个划分，而选择哪一层则是一个权衡的问题。
优点是算法比较稳定，鲁棒性强，并且可以生成一个社区结构的序列。
缺点是算法的时间复杂度比较高，不适合处理大规模数据。
网络社区划分算法_图文
网络社区划分算法目录1 简介2 构建一个点击流网络3 网络社区划分的两种主要思路：拓扑分析和流分析4 拓扑分析o 4.1 计算网络的模块化程度Q-Modularityo 4.2 计算网络的连边紧密度Edge betweennesso 4.3 计算网络拉普拉斯矩阵的特征向量Leading eigenvectoro 4.4 通过fast greedy方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值o 4.5 通过multi level方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值5 流分析o 5.1 随机游走算法Walk Trapo 5.2 标签扩散算法label propagationo 5.3 流编码算法the Map Equationo 5.4 流层级算法Role-based Similarity6 总结[]简介使用许多互联网数据，我们都可以构建出这样的网络，其节点为某一种信息资源，如图片，视频，帖子，新闻等，连边为用户在资源之间的流动。
对于这样的网络，使用社区划分算法可以揭示信息资源之间的相关性，这种相关性的发现利用了用户对信息资源的处理信息，因此比起单纯使用资源本身携带的信息来聚类（例如，使用新闻包含的关键词对新闻资源进行聚类），是一种更深刻的知识发现。
假设我们手头有一批用户在一段期间内访问某类资源的数据。
为了减少数据数理规模，我们一般只考虑最经常被访问的一批资源。
因此在数据处理中，我们考虑UV（user visit）排名前V的资源，得到节点集合|V|，然后对于一个用户i在一段时间内（例如一天）内访问的资源，选择属于|V|的子集vi。
如果我们有用户访问资源的时间，就可以按照时间上的先后顺序，从vi中产生vi-1条有向边。
如果我们没有时间的数据，可以vi两两间建立联系，形成vi(vi-1)/2条无向边。
因为后者对数据的要求比较低，下文中，暂时先考虑后者的情况。
对于一天内的n个用户做这个操作，最后将得到的总数为的连边里相同的边合并，得到|M|个不同的边，每条边上都带有权重信息。
大规模复杂网络中的社区发现算法研究
大规模复杂网络中的社区发现算法研究随着互联网的快速发展，大规模复杂网络成为了人们生活和工作中不可或缺的一部分。
这些网络包含了海量的节点和边，形成了一个庞大而错综复杂的网络结构。
在这种网络中，节点之间的连接关系对于了解网络的组织结构以及节点之间的相互作用起着至关重要的作用。
而社区发现算法则可以帮助我们理解和分析这些复杂网络中节点之间的聚类方式和关系。
社区发现算法是一种将网络节点划分为不同社区的方法。
社区指的是在网络中相互关联紧密、内部密度较大的节点子集。
社区发现算法的目标是找到这些社区并将其划分出来，以便更好地理解网络结构和节点之间的交互。
在大规模复杂网络中，社区发现算法面临着挑战，因为网络规模庞大且结构复杂，难以直观地判断节点之间的聚类方式。
在研究大规模复杂网络中的社区发现算法时，一些常见的算法方法包括谱聚类、模块度优化、标签传播和深度学习等。
谱聚类是一种基于矩阵特征向量分解的方法，通过计算网络的特征向量进行聚类划分。
模块度优化算法通过最大化网络中节点聚类的内部连边数和减少与其他社区的连边数来实现社区发现。
标签传播算法则基于节点之间的局部信息传播划分社区。
深度学习是近年来应用广泛的方法，通过使用神经网络模型来学习网络节点之间的特征和相互关系。
然而，在大规模复杂网络中应用这些算法时也遇到了一些挑战。
首先，网络规模庞大，算法的效率需要得到提高。
其次，网络结构复杂，社区表达方式多样，导致算法的准确性和鲁棒性存在一定的问题。
此外，由于网络中包含大量的噪声和异常节点，算法需要具备一定的鲁棒性和可靠性以应对这些干扰因素。
因此，针对这些挑战，研究者们提出了一系列的改进算法和优化策略。
为了提高算法的效率，研究者们提出了一些加速算法的方法。
例如，可以通过节点采样的方式减少计算量，或者使用分布式计算框架来实现算法的并行计算，以提高算法的速度和效率。
此外，由于网络中存在一些重要的节点和核心社区，可以对这些节点和社区进行优化，减少计算的复杂度。
复杂网络社区结构划分算法研究的开题报告
复杂网络社区结构划分算法研究的开题报告一、选题背景及研究意义复杂网络的社区结构划分一直是网络科学研究领域的研究热点，对于理解网络结构和功能具有重要的意义。
社区结构划分的目的是将网络结构划分为若干个子图，使得子图内部连接紧密，子图之间连接稀疏，同时具有一定的内聚性和外离性。
社区结构是网络中一种重要的组织形式，对于社交网络、生物网络、交通网络等领域都有着广泛的应用。
当前的社区结构划分算法主要有基于模块度、基于流和基于密度的算法三类。
基于模块度的算法适用于分析大小较小的网络，但研究表明在大型复杂网络中其表现效果欠佳，基于流的算法虽然具有高效性，但无法处理带权网络，基于密度的算法能够处理各种类型的网络，但由于社区结构的多样性，算法的效果难以得到保障。
因此，如何实现高效、准确的社区结构划分算法始终是当前研究的热点问题。
本论文旨在研究新的社区结构划分算法，探索划分算法的优化方法，提高算法的可靠性、高效性、精确性和鲁棒性。
二、研究内容和目标本论文将重点探讨以下内容：1. 综述当前常用的社区结构划分算法的优缺点，列举其应用场景及不足之处；2. 提出一种新的社区划分算法，并设计相应的模型及算法流程；3. 针对新算法中的关键问题，提出相关的解决方案；4. 对新算法进行实验验证，与现有算法的性能进行比较分析。
本研究的主要目标是设计一种高效、准确的社区结构划分算法，该算法能够在大型复杂网络中实现精确的社区划分。
同时，将研究中发现的优化方法和具体实现方案分享给其他学者和研究者，以期能够为相关领域的研究提供新思路和新技术。
三、研究方法和步骤本研究的基本方法和步骤如下：1. 阅读相关文献，了解当前常用的社区结构划分算法及其优缺点；2. 设计一种新的社区划分算法，并探讨其可行性；3. 对新算法进行建模、实现，加入相应的优化技术、解决方案；4. 进行大规模数据实验，并与现有的社区结构划分算法进行对比分析；5. 最终对新算法进行总结和优化，同时撰写完整的论文。
三种经典复杂网络社区结构划分算法研究
论文导读:：复杂网络是复杂系统的高度抽象。
即社区结构特性[3]。
算法是一种试探优化法[4]。
算法。
关键词：复杂网络，社区结构，Laplace图谱，Kernighan-Lin 算法，GN算法1引言现实生活中存在着各种各样的网络系统，如人际关系网、合作网、交通运输网、计算机网等。
网络模型是描述这些复杂系统的最有效模型。
通过对现实系统网络模型的研究，人们发现许多现实系统的网络模型是介于完全规则和完全随机之间的。
由于这种网络是真实复杂系统的拓扑抽象因此它被称为复杂网络。
复杂网络是复杂系统的高度抽象，除具备小世界[1]、无标度[2]等重要特性外，还拥有另外一个重要特征，即社区结构特性[3]。
也就是说，整个网络是由若干个“群（group）”或“团（cluster）”构成的。
每个群内部的节点之间的连接相对非常紧密，但是各个群之间的连接相对来说却比较稀疏。
如图1所示。
图中的网络包含三个社团，分别对应图中三个圆圈包围的部分。
在这些社团内部，节点之间的联系非常紧密，而社团之间的联系就稀疏的多。
在大型复杂网络中进行社区搜寻或发现社区，具有重要的实用价值。
如，社会网络中的社区代表根据兴趣或背景而形成的真实的社会团体；引文网络中的社区代表针对同一主题的相关论文；万维网中的社区就是讨论相关主题的若干网站而生物化学网络或者电子电路网络中的社区则可能是某一类功能单元。
发现这些网络中的社区有助于研究人员更加有效地理解和开发这些网络。
Kernighan-Lin算法图1 一个小型的具有社团结构性质的网络网络社团结构的研究起源于社团学，已经有很长的历史期刊网。
它与计算机科学中的图形分割和社会学中的分级聚类有着密切的关系。
目前GN算法，关于复杂网络中的社区发现算法已有很多，这些方法的核心思想、执行效率、使用范围等方面差别较大。
本文着重叙述了三种典型的复杂网络社区识别算法，Kernighan-Lin 算法、Laplace图特征值的谱二分法和GN算法，并对此三种方法进行了适当的分析和比较。
复杂网络中的社区结构划分算法研究
复杂网络中的社区结构划分算法研究第一章简介复杂网络有着广泛的应用，例如社交网络、物流网络、生物网络等等。
在一个复杂网络中，不同的节点之间存在着不同的联系。
社区结构是指网络中一个节点集合，这些节点之间存在着紧密的联系，而这些联系又与网络外部的联系却相对松散。
在许多实际应用中，社区结构是非常有用的，例如社交网络中的好友圈、科研领域中的研究团队等等。
因此，社区结构划分算法的研究变得越来越重要。
本文将介绍一些常见的社区结构划分算法，包括Louvain算法、GN算法、Spectral Clustering算法等等，探讨它们的原理和优缺点。
第二章 Louvain 算法Louvain算法是一种基于模块度优化的社区结构划分算法。
其主要思想是通过不断合并最优的社区结构来达到最优的全局划分。
具体来说，Louvain算法分为两个阶段：第一阶段是在保持当前社区划分不变的前提下，每个节点都移动到与其相邻节点中度最大的社区中；第二阶段是对第一阶段的结果进行优化，合并可以提高模块度的社区划分，直到无法继续提高为止。
优点：Louvain算法是一种高效、可扩展的算法，可以在大规模网络中使用。
并且在实验中，Louvain算法的划分结果表现出了很好的社区行为。
此外，Louvain算法的实现代码也比较简单，易于理解。
缺点：Louvain算法对于具有重叠社区的网络进行划分的效果并不好。
此外，该算法的运行时间较长，在大规模网络中可能需要1小时以上的时间。
第三章 GN 算法GN（Girvan-Newman）算法是一种基于边介数来度量网络中重要性的社区结构划分算法。
边介数是指在一个无向图中，如果一条边所连通的节点对越多，说明这条边的介数越高。
算法的核心思想是通过不断删除网络中介数最高的边来分离网络，从而获得社区结构。
优点：GN算法适用于对于一些轮廓明显的社区结构进行划分，同时该算法的实现也相对简单。
缺点：GN算法对于重叠社区的网络划分效果较差。
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网络社区划分算法目录• 1 简介• 2 构建一个点击流网络• 3 网络社区划分的两种主要思路:拓扑分析与流分析• 4 拓扑分析o4、1 计算网络的模块化程度Q-Modularityo4、2 计算网络的连边紧密度Edge betweennesso4、3 计算网络拉普拉斯矩阵的特征向量Leading eigenvectoro4、4 通过fast greedy方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值o4、5 通过multi level方法搜索网络模块化程度Q-Modularity的最大值• 5 流分析o5、1 随机游走算法Walk Trapo5、2 标签扩散算法label propagationo5、3 流编码算法the Map Equationo5、4 流层级算法Role-based Similarity• 6 总结使用许多互联网数据,我们都可以构建出这样的网络,其节点为某一种信息资源,如图片,视频,帖子,新闻等,连边为用户在资源之间的流动。
对于这样的网络,使用社区划分算法可以揭示信息资源之间的相关性,这种相关性的发现利用了用户对信息资源的处理信息,因此比起单纯使用资源本身携带的信息来聚类(例如,使用新闻包含的关键词对新闻资源进行聚类),就是一种更深刻的知识发现。
假设我们手头有一批用户在一段期间内访问某类资源的数据。
为了减少数据数理规模,我们一般只考虑最经常被访问的一批资源。
因此在数据处理中,我们考虑UV(user visit)排名前V的资源,得到节点集合|V|,然后对于一个用户i在一段时间内(例如一天)内访问的资源,选择属于|V|的子集vi。
如果我们有用户访问资源的时间,就可以按照时间上的先后顺序,从vi中产生vi-1条有向边。
如果我们没有时间的数据,可以vi两两间建立联系,形成vi(vi-1)/2条无向边。
因为后者对数据的要求比较低,下文中,暂时先考虑后者的情况。
对于一天内的n个用户做这个操作,最后将得到的总数为的连边里相同的边合并,得到|M|个不同的边,每条边上都带有权重信息。
这样,我们就得到了V个节点,M条边的一个加权无向网络,反应的就是在一天之内用户在主要的信息资源间的流动情况。
在这个网络上,我们可以通过社区划分的算法对信息资源进行分类。
社区划分的算法比较多,但我个人认为大致可以分为两大类:拓扑分析与流分析。
前者一般适用于无向无权网络,思路就是社区内部的连边密度要高于社区间。
后者适用于有向有权网络,思路就是发现在网络的某种流动(物质、能量、信息)中形成的社区结构。
这两种分析各有特点,具体应用取决于网络数据本身描述的对象与研究者想要获得的信息。
我们可以将已知的一些算法归入这两类:算法优化目标计算复杂度适用情况局限R拓扑分析Q Modularity 最大化Q-modularity V|^2 无向无权多分量不适用小网络spinglass、communityEdge-Betweenness 最小化社区间连边的betweennessV|*|E|^2有向有权多分量慢edge、betweenness、communityLeading Eigenvector 对拉普拉斯矩阵第二小特征根对应的特征向量聚类V|^2+ |E|无向无权多分量leading、eigenvector、communityFast Greedy 使用社区合并算法来快速搜索最大Q-modularityE|*log(|V|)无向有权多分量不适用小网络fastgreedy、communityMulti Level 使用社区展开算法来快速搜索最大Q-modularityV|无向有权多分量不适用小网络multilevel、community流分析Walk Trap 最大化社区间的流距离E|*|V|^2 无向有权单分量不太适合网络数量较小的情况walktrap、communityLabel Propagation 每个节点取邻居中最流行的标签,迭代式收敛V| + |E|无向有权单分量结果不稳定label、propagation、communityInfo map 最小化随机流的编码长度V|*(|V|+|E|) 有向有权单分量clique、communityRole-based community 划分出在流中地位类似的节点V|^3有向有权单分量结果不稳定上表中的分量(component)指在网络中的独立“团块”。
有向网络里,分量有强弱之分,强分量(strong component )中任意一个节点都可到达另外一个节点,弱分量(weak component)中如果忽略连边方向,则构成强分量。
无向网里分量没有强弱之分。
在网络中识别强分量的算法有Kosaraju算法,Tarjan算法及其变形Gabow算法等。
在这里不展开叙述。
接下来,我们逐一讨论拓扑分析与流分析中的各种算法的具体思路。
[4]拓扑分析[4、1]计算网络的模块化程度Q-ModularityQ-Modularity就是一个定义在[-0、5,1)区间内的指标,其算法就是对于某一种社区结构,考虑每个社区内连边数与期待值之差。
实际连边越就是高于随机期望,说明节点越有集中在某些社区内的趋势,即网络的模块化结构越明显。
Newman在2004年提出这个概念最初就是为了对她自己设计的社区划算法进行评估,但因为这个指标科学合理,而且弥补了这个方面的空白,迅速成为一般性的社区划分算法的通用标准。
Q的具体计算公式如下:其中A就是网络G对应的邻接矩阵,如果从i到j存在边,则Aij=1,否则为0。
m就是总连接数,2m就是总度数,Aij/2m 就是两节点之间连接的实际概率。
Ki与kj分别就是i与j的度数。
如果我们保持一个网络的度分布但对其连边进行随机洗牌,任意一对节点在洗牌后存在连接的概率为kikj/(2m)2。
上式中中括号表达的就就是节点之间的实际连边概率高于期待值的程度。
后面跟着一个二元函数,如果节点ij属于同一个社区,则为1,否则为0,这就保证了我们只考虑社区内部的连边。
刚才这个定义就是以节点为分析单位。
实际上,如果以社区为分析单位瞧Q指标,可以进一步将其化简为eii与ai之间的差。
其中eii就是在第i个社区内部的link占网络总link的比例,ai就是第i个社区与所有其她社区的社区间link数。
上式已经清楚定义了Q,但在实际计算里,上式要求对社区及其内部节点进行遍历,这个计算复杂度就是很大的。
Newman(2006)对上式进行了化简,得到矩阵表达如下: 我们定义Sir为n * r的矩阵,n就是节点数,r就是社区数。
如果节点i属于社区r,则为1,否则为0。
则有于就是有其中B就是modularity matrix,其元素为该矩阵的行列与都就是0,因为实际网络与随机洗牌后的网络度分布就是不变的。
特别地,在仅仅有两个社区的情况下(r=2),可以s定义为一个n长的向量,节点属于一个社区为1,属于另一个社区为-1,Q可以写成一个更简单的形式:通过对社区的划分可能空间进行搜索,可以得到最大化Q值的社区划分。
在这个过程会涉及数值优化的部分,例如表一中的fast greedy与multilevel就就是用不同方法进行快速搜索的例子。
以fast greedy为例Newman(2006),它通过不断合并社区来观察Q的增加趋势,得到了一个在最差的情况下复杂度约为O( |E|*log(|V|) ),在最好的情况下接近线性复杂度的算法。
[4、2]计算网络的连边紧密度Edge betweenness这个思路出现得比较早(Newman, 2001)。
Freeman (1975) 提出过一个叫betweenness的指标,它衡量的就是网络里一个节点占据其她n-1节点间捷径的程度。
具体而言,首先对每一对节点寻找最短路径,得到一个n * (n-1)/2的最短路径集合S,然后瞧这个集合中有多少最短路径需要通过某个具体的节点。
Newman借鉴了这个标准,但不就是用来分析节点而就是分析连边。
一个连边的edge betweenness就就是S集合里的最短路径包含该连边的个数。
定义了连边的betweenness后,就可以通过迭代算法来进行社区划分了。
具体做法就是先计算所有连边的betweenness,然后去除最高值连边,再重新计算,再去除最高值连边,如此反复,直到网络中的所有连边都被移除。
在这个过程中网络就逐渐被切成一个个越来越小的component。
在这个过程中,我们同样可以用Q-modularity来衡量社区划分的结果。
这种算法定义比较清晰,也不涉及矩阵数学等运算,但问题就是计算复杂度比较大。
[4、3]计算网络拉普拉斯矩阵的特征向量Leading eigenvector一个有n个节点的网络G可以被表达为一个n x n的邻接矩阵(adjacency matrix)A。
在这个矩阵上,如果节点i与j 之间存在连边,则Aij=1,否则为0。
当网络就是无向的时候,Aij=Aji。
另外我们可以构造n x n的度矩阵(degree matrix)D。
D对角线上的元素即节点度数,例如Dii为节点i的度数,所有非对角线的元素都就是0。
无向网的分析不存在度数的选择问题,有向网则要根据分析目标考虑使用出度还就是入度。
将度数矩阵减去邻接矩阵即得到拉普拉斯矩阵,即L = D-A。
L的特征根存在一些有趣性质。
首先,最小的特征根总等于0。
因为如果将L乘以一个有n个元素的单位向量,相当于计算每一行的与,刚好就是节点的度的自我抵消,结果等于0。
其次,特征根中0 的个数即无向网G中分量的个数。
这意味着如果除了最小特征根,没有别的特征根为0,则整个网络构成一个整体。
在这些特征根里,第二小的特征根(或者最小的非零特征根)又叫做代数连通性(algebraic connectivity),其对应的特征向量叫做Fidler vector。
当,说明网络就是一个整体。
越大,说明网络彼此间的链接越紧密。
从这个定义来瞧,非常像前面讨论的Q-Modularity,实际上在Newman2006的文章里,确实讨论了二者在数学上的对应关系。
例如对示例网络所对应的进行分析,可以得到拉普拉斯矩阵如下:这个矩阵的特征根如下:{5、5, 4、5, 4、0, 3、4, 2、2, 1、3, 1、0, 0}。
取时, Fidler vector={0、29, 0、00,0、29, 0、29, 0、29, -0、58, -0、58, 0、00}。
因为Fidler vector的值分别对应着图里的节点,于就是可以写成{a:0、29, b: 0、00, c:0、29, d:0、29, e:0、29, f:-0、58, g:-0、58, h:0、00}。
仅仅从元素的正负号就可以瞧出,该分析建议我们把f与g节点与其她节点分开,更细致的,对元素值大小的考察则建议把矩阵分成三个社区,{{a, c, d, e}, {b, h}, {e, f}}。