简易逻辑——函数单调性

第一章 集合与简易逻辑第2课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础练习】1.下列语句中：①；②你是高三的学生吗？③；④． 其中，不是命题的有________．2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 ，逆否命题可表示为；原命题与互为逆否命题，否命题与 互为逆否命题． 【范例解析】例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假. （1） 平行四边形的对边相等； （2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设，若，则. 分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p 则q ”的形式，找出其条件p 和结论q ，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p 的否定即时，要注意对p 中230x -=315+=536x ->,,,a b c d R ∈,a b c d ==a c b d +=+p ⌝的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”形式的命题，并判断真假.（1）p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；（2）p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；（3）p ：方程的两实根的符号相同，q ：方程的两实根的绝对值相等.分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p ，q 的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p ：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； （2）p ：每一个非负数的平方都是正数；（3）p ：存在一个三角形，它的内角和大于180°； （4）p ：有的四边形没有外接圆； （5）p ：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“”的否定是“”，特称命题“”的否定是“” .210x x -+=210x x -+=,()x M p x ∀∈,()x M p x ∃∈⌝,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若，则”的逆否命题是__________________. 2．已知命题：，则.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____ ____.4．命题“若，则”的否命题为________________________．5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． （1）设，若，则或； （2）设，若，则． 解：a M ∈b M ∉p 1sin ,≤∈∀x R x :p ⌝b a >122->b a ,a b R ∈0ab =0a =0b =,a b R ∈0,0a b >>0ab >第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论： 若集合，则是的充分条件；若集合，则是的必要条件；若集合，则是的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力． 【基础练习】 1.若，则是的充分条件．若 ，则是的必要条件．若，则是的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知，，那么是的___ __条件．（2）已知两直线平行，内错角相等，那么是的_ ____条件．（3）已知四边形的四条边相等，四边形是正方形，那么是的___ _条件．3.若，则的一个必要不充分条件是 ． 【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”P Q ⊆P Q P Q ⊇P Q P Q =P Q p q p q p q :2p x >:2q x ≥p q :p :q p q :p :q p q x R ∈1x >填空.（1）是的___________________条件；（2）是的___________________条件； （3）是的___________________条件；（4）是或的___________________条件.分析：从集合观点“小范围大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用. 点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若q 则p ”的真假. 【反馈演练】1．设集合，，则“”是“”的 条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件． 3．已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：2,2.x y >⎧⎨>⎩4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩(4)(1)0x x -+≥401x x -≥+αβ=tan tan αβ=3x y +≠1x ≠2y ≠⇒⌝⌝}30|{≤<=x x M }20|{≤<=x x N M a ∈N a ∈2:{10}p A x R x ax =∈++≤2:{320}q B x R x x =∈-+≤q ⌝p ⌝第二章 函数 第1课 函数的概念【考点导读】1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___ ___．2.设集合，，从到有四种对应如图所示：其中能表示为到的函数关系的有_________． 3.写出下列函数定义域：(1) 的定义域为______________； (2) 的定义域为______________；(3) 的定义域为______________； (4)_________________．4．已知三个函数:(1)； (2)； (3)．写出使y x =y =y x=y =y =y =1(0),1(0),x y x >⎧=⎨-<⎩x y x =lg 1y x =-lg 10x y={02}M x x =≤≤{02}N y y =≤≤M N M N ()13f x x =-21()1f x x =-1()f x x =0()f x =()()P x y Q x =y =(*)n N ∈()log ()Q x y P x =① ② ③④各函数式有意义时，，的约束条件：(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________． 5.写出下列函数值域：(1) ，；(2) ；(3) ，．【范例解析】例1.设有函数组：①，；②，③；④，．其中表示同一个函数的有 ．分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可． 例2.求下列函数的定义域：①②例3.求下列函数的值域：（1），；()P x ()Q x 2()f x x x =+{1,2,3}x ∈2()22f x x x =-+()1f x x =+(1,2]x ∈21()1x f x x -=-()1g x x =+()f x =()g x =()f x =()1g x x =-()21f x x =-()21g t t =-12y x =+-()f x =242y x x =-+-[0,3)x ∈（2）；（3）分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围． 【反馈演练】1．函数f (x )＝的定义域是___________．2．函数的定义域为_________________． 3. 函数的值域为________________． 4. 函数的值域为_____________．5．函数的定义域为_____________________．6.记函数f (x )=的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ；(2) 若B A ，求实数a 的取值范围．221x y x =+()x R ∈y x =-x21-)34(log 1)(22-+-=x x x f 21()1y x R x =∈+23y x =-)34(log 25.0x x y -=132++-x x ⊆第2课 函数的表示方法(解析式)【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】1.设函数，，则_________；__________．2.设函数，,则___________；；．3.已知函数是一次函数，且，,则_____．4.设f (x )＝，则f [f ()]＝_____________．5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________． 【范例解析】例1.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．()23f x x =+()35g x x =-(())f g x =(())g f x =1()1f x x =+2()2g x x =+(1)g -=[(2)]f g =[()]f g x =()f x (3)7f =(5)1f =-(1)f =2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩21()y f x =(0)(2)6f f ==()f x 第5题例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出的函数解析式．分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式． 解点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域． 【反馈演练】1．若，，则（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．2．已知，且，则m 等于________．3. 已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．求函数g (x )的解析式． 解：第3课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．()y f x =()2x x e e f x --=()2x xe e g x -+=(2)f x =2()f x 2[()()]f xg x +2()g x 2[()()]f x g x ⋅1(1)232f x x -=+()6f m =1.下列函数中： ①； ②； ③； ④．其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有______．2.函数的递增区间是___ ___．3.函数的递减区间是__________．4.已知函数在定义域R 上是单调减函数，且，则实数a 的取值范围__________．5.已知下列命题：①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数； ②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数． 其中正确命题的序号有___________．【范例解析】例 . 求证:函数在区间和上都是单调递增函数． 分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．1()f x x =()221f x x x =++()f x x =-()1f x x =-y x x=y =()y f x =(1)(2)f a f a +>R ()f x (2)(1)f f >()f x R R ()f x (2)(1)f f >()f x R R ()f x (,0]-∞[0,)+∞()f x R R ()f x (,0]-∞(0,)+∞()f x R 21()1x f x x -=+(,1)-∞-(1,)-+∞1x 2x 12()()f x f x -1．已知函数，则该函数在上单调递____，（填“增”“减”）值域为_________． 2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则_____.3. 函数. .4. 函数的单调递减区间为 ．5. 已知函数在区间上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：1()21x f x =+R 2()45f x x mx =-+(,2)-∞-(2,)-+∞(1)f =y 2()1f x x x =-+1()2ax f x x +=+(2,)-+∞。