控制系统仿真_薛定宇第四章 线性控制系统的数学模型
控制系统仿真4讲
2020/1/5
二、零极点增益模型
零极点模型是传递函数模型的另一种表现形式，是分 别对原系统传递函数的分子、分母进行因式分解，以 获得系统的零点和极点的表示形式。
一、连续系统的传递函数模型
G(s)
C(s) R(s)
b1sm a1sn
b2sm1 a2sn1
... bns ... ans
bm1 an 1
对线性定常系统，式中s的系数均为常数，这时系统 在MATLAB中可以方便地由分子和分母系数构成的 两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den表示。
Closed loop Transfer Function C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
To apply positive feedback, use the syntax
2020/1/5
sys = feedback(G(s),H(s),+1)
MATLAB的传递函数描述
Design of the controller
2020/1/5
Design and test the production
Selection of the hardware to used
Dynamic analysis of the complete system
控制系统 的数学描述与建模
在线性系统理论中，一般常用的数学模 型形式有：
2020/1/5
L[output] L[input] zero initial conditions
控制系统仿真 答案 薛定宇 第二版
第一部分：MATLAB 必备基础知识、控制系统模型与转换、线性控制系统的计算机辅助分析(4学时)1.2.3.答：（a）>> s=tf('s');G=(s^3+4*s+2)/(s^3*(s^2+2)*((s^2+1)^3+2*s+5))Transfer function:s^3 + 4 s + 2------------------------------------------------------s^11 + 5 s^9 + 9 s^7 + 2 s^6 + 12 s^5 + 4 s^4 + 12 s^3（b）>> num=[1 0 0.568];den=[1 -1.2 1.19 -0.99];H=tf(num,den,'Ts',0.1)Transfer function:z^2 + 0.568-----------------------------z^3 - 1.2 z^2 + 1.19 z - 0.99Sampling time: 0.14.设y（t）=x1；A=[0,1,0;0,0,1;-13,-4,-5];B=[0;0;2];C=[1,0,0];D=0;G=SS(A,B,C,D)a =x1 x2 x3x1 0 1 0x2 0 0 1x3 -13 -4 -5b =u1x1 0x2 0x3 2c =x1 x2 x3y1 1 0 0d =u1y1 0Continuous-time model.传递函数模型：对式子两联进行拉氏变换，G（s）=2/(s^3+13*s^2+4*s+5)对分子分母进行分解因式处理5.进行Z变换6.s=tf('s');syms J Kps Ki;G=(s+1)/(J*s^2+2*s+5);Gc=(Kps+Ki)/s;H=1;GG=feedback(G*Gc,H) 7.（a）s=tf('s');G=(211.87*s+317.64)/((s+20)*(s+94.34)*(s+0.1684));Gc=(169.6*s+400)/s/(s+4);H=1/(0. 01*s+1);GG=feedback(G*Gc,H)Transfer function:359.3 s^3 + 3.732e004 s^2 + 1.399e005 s + 127056----------------------------------------------------------------------------------0.01 s^6 + 2.185 s^5 + 142.1 s^4 + 2444 s^3 + 4.389e004 s^2 + 1.399e005 s + 1270568．Ga=feedback(1/s^2,50);G1=feedback((1/(s+1))*(s/(s^2+2)),(4*s+2)/((s+1)^2));G2=feedback(Ga* G1,(s^2+2)/(s^3+14));G=3*G2Transfer function:3 s^6 + 6 s^5 + 3 s^4 + 42 s^3 + 84 s^2 + 42 s-----------------------------------------------------------------------------------------------------s^10 + 3 s^9 + 55 s^8 + 175 s^7 + 300 s^6 + 1323 s^5 + 2656 s^4 + 3715 s^3 + 7732 s^2 + 5602 s + 14009.>> s=tf('s');G=(s+1)^2*(s^2+2*s+400)/(s+5)^2/(s^2+3*s+100)/(s^2+3*s+2500)Transfer function:s^4 + 4 s^3 + 405 s^2 + 802 s + 400-------------------------------------------------------s^6 + 16 s^5 + 2694 s^4 + 34040 s^3 + 393225 s^2+ 2.695e006 s + 6.25e006>> step(G)s=tf('s');G=(s+1)^2*(s^2+2*s+400)/(s+5)^2/(s^2+3*s+100)/(s^2+3*s+2500);G1=c2d(G,0.01)Transfer function:4.716e-005 z^5 - 0.0001396 z^4 + 9.596e-005 z^3 + 8.18e-005 z^2 - 0.0001289 z + 4.355e-005 ------------------------------------------------------------------------------------------z^6 - 5.592 z^5 + 13.26 z^4 - 17.06 z^3 + 12.58 z^2 - 5.032 z + 0.8521>> step(G1)Sampling time: 0.01>> s=tf('s');G=(s+1)^2*(s^2+2*s+400)/(s+5)^2/(s^2+3*s+100)/(s^2+3*s+2500);G1=c2d(G,0.1) Transfer function:0.0003982 z^5 - 0.0003919 z^4 - 0.000336 z^3+ 0.0007842 z^2 - 0.000766 z + 0.0003214-------------------------------------------------------z^6 - 2.644 z^5 + 4.044 z^4 - 3.94 z^3 + 2.549 z^2- 1.056 z + 0.2019Sampling time: 0.1>> step(G1)>> s=tf('s');G=(s+1)^2*(s^2+2*s+400)/(s+5)^2/(s^2+3*s+100)/(s^2+3*s+2500);G1=c2d(G,1) Transfer function:8.625e-005 z^5 - 4.48e-005 z^4 + 6.545e-006 z^3+ 1.211e-005 z^2 - 3.299e-006 z + 1.011e-007-------------------------------------------------------z^6 - 0.0419 z^5 - 0.07092 z^4 - 0.0004549 z^3+ 0.002495 z^2 - 3.347e-005 z + 1.125e-007Sampling time: 1>> step(G1)10.（a）>> s=tf('s');G=1/(s^3+2*s^2+s+2);eig(G)ans =-2.00000.0000 + 1.0000i0.0000 - 1.0000i临界稳定（b）>> s=tf('s');G=1/(6*s^4+3*s^3+2*s^2+s+1);eig(G) ans =-0.4949 + 0.4356i-0.4949 - 0.4356i0.2449 + 0.5688i0.2449 - 0.5688i不稳定（c）>> s=tf('s');G=1/(s^4+s^3-3*s^2-s+2);eig(G)ans =-2.0000-1.00001.00001.0000不稳定11.（a）>> z=tf('z');G=(-3*z+2)/(z^3-0.2*z^2-0.25*z+0.05);abs(eig(G))ans =0.50000.50000.2000稳定（b）z=tf('z');G=(3*z^2-0.39*z-0.09)/(z^4-1.7*z^3+1.04*z^2+0.268*z+0.024);abs(eig(G)) ans =1.19391.19390.12980.1298不稳定12.求矩阵A的特征根，判断其特征根是否全具有负实部，则稳定13.14.15.16.17.第二部分：Simulink 在系统仿真中的应用、控制系统计算机辅助设计、控制工程中的仿真技术应用（4 学时）3.4.5.6.7.8.9.。
控制系统的数学模型new
控制系统的数学模型一、控制系统的参数模型1多项式模型线性定常系统的数学模型传递函数 G(s) —般可以表示成:G(s) = ◎斗竺二土电 R(s) a n s +a nJL s +..^a 1^a 0其中分子分母多项式中的 a n 与b m 均为常系数。
MATLAB 语言描述：构造分子多项式： num=[b m ,b m-i ,…,b,b o ];或 num=[b m b m-i …b b o ]构造分母多项式： den=[a n ,a n-i ,…，a,a o ];或 den=[a n a n-i …a i a o ]构造并显示传递函数： printsys(num,den);其中num 与den 是习惯用法，也可用其它变量名代替，但在显示时会出现 通用输出显示格式，与输入变量名称无关。
例1:>>num=[1 12 44 48];>>de n=[1 16 86 176 105];>>pri ntsys( nu m,de n)显示：num/den =s A 3 + 12 s A 2 + 44 s + 48sA4 + 16 sA3 + 86 sA2 + 176 s + 105例2 :系统开环传递函数为写出多项式模型。
>>n=con v([5],[1 1]);>>d=co nv([1 0 0],co nv([1 2],[1 6 10]));>>pri ntsys (n,d)显示：num/den =sA5 + 8 sA4 + 22 sA3 + 20 sA2 2、模型的连接函数[num]=cloop()用于计算单位反馈时闭环传递函数多项式模型的参数向量, G(s)二5(s 1) s 2(s 2)(s 2 6s 10) num/den ,这是 右变量为开环参数，左变量返回系统的闭环参数，反馈极性 例3:系统开环传递函数为 5(S °写出单位负反馈时闭环传递函数的多项式模型。
控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。
线性控制系统的建模与仿真
线性控制系统的建模与仿真控制系统是现代工程技术中的基石之一，常见的控制系统包括电机控制、飞行器控制、机器人控制等。
线性控制系统是一种较为常见的控制系统，其恒定的输入和输出之间呈线性关系。
本文将探讨线性控制系统的建模与仿真。
一、线性控制系统的基本概念为了更好地理解线性控制系统的建模和仿真，首先需要了解线性控制系统的一些基本概念。
1.系统模型系统模型是指对于一个复杂的系统，通过抽象和简化的方式，将系统刻画成一个具有输入、输出和状态的数学模型，以便对系统进行研究和设计。
2.控制器控制器是指控制系统中负责对输入信号进行处理，从而实现对输出信号的控制的一种设备或程序。
控制器通常采用数学模型的方式来描述。
3.传感器传感器是指在控制系统中负责传感外部信号的一种设备或器件，重要的传感器包括温度传感器、压力传感器、光传感器等。
二、线性控制系统的数学建模线性控制系统的建模是指将线性控制系统抽象成一个数学模型，以便进行控制器的设计和仿真。
线性控制系统的数学建模通常包括以下几个步骤：1.建立系统框图建立系统框图就是将线性控制系统分解成其各个组成部分的框图。
通常，系统框图包括输入信号、输出信号、控制器、传感器和其他外部设备。
2.列方程根据系统框图，可以列出线性控制系统的数学模型，该模型通常是一个或一组线性微分方程。
例如，在电机控制系统中可以使用电机方程，包括速度方程、电动势方程等，来描述电机系统的动态行为。
3.求解模型参数求解模型参数是指确定控制系统中各个元件的参数、控制器的参数等，以便对系统进行仿真和分析。
4.仿真模型将控制系统的数学模型建立成仿真模型，用计算机程序模拟系统的运行过程，进行系统的仿真和分析。
仿真模型可以使用模拟软件、Matlab等工具来实现。
三、线性控制系统的仿真系统的仿真是指用计算机程序模拟线性控制系统的运行行为，以便对系统进行分析和设计。
1.模拟软件模拟软件是一种特殊的仿真工具，例如LabVIEW，该软件可以利用图形化的编程语言，快速建立控制系统的仿真模型，进行仿真和分析。
自动控制系统的建模与仿真
自动控制系统的建模与仿真自动控制系统的建模和仿真是实现控制系统设计、分析、调试和优化的一种重要方法。
本文将从控制系统建模的概念入手，介绍控制系统建模的基本方法，并通过实例介绍控制系统的仿真过程。
一、控制系统建模的基本概念1. 控制系统建模的概念控制系统建模是指将控制系统抽象为数学模型的过程，其目的是方便对控制系统进行设计、分析和优化。
2. 控制系统的分类根据输入输出信号的性质，控制系统可分为模拟控制系统和数字控制系统。
模拟控制系统是指输入输出信号为模拟信号的控制系统，数字控制系统是指输入输出信号为数字信号的控制系统。
3. 控制系统的基本结构控制系统由控制器、执行器和被控对象三部分组成。
控制器负责对被控对象进行信号处理和决策，输出控制信号；执行器接收控制信号，通过转换为相应的动力或能量信号控制被控对象的运动；被控对象是控制系统的实际操作对象，其状态受执行器控制信号影响而改变。
4. 控制系统的数学模型控制系统的数学模型是描述其输入输出关系的数学方程或模型，可将其简化为传递函数的形式。
控制系统的数学模型有两种主要表达方式，一种是状态空间表达式，一种是等效传递函数式。
二、控制系统建模的基本方法1. 确定控制系统类型和目标在建模之前，需要对控制系统的类型和目标进行确定，包括控制系统的输入和输出信号的特征、被控对象的特性等。
2. 建立被控对象的数学模型被控对象的数学模型包括其动态特性和静态特性。
动态特性即描述被控对象内部变化规律的数学模型，静态特性即描述被控对象输入输出关系的数学模型。
3. 建立控制器的数学模型控制器的数学模型要根据被控对象的数学模型和控制系统的控制目标进行设计。
4. 建立控制系统的数学模型将被控对象的数学模型和控制器的数学模型相结合，得到控制系统的数学模型，可推导得到控制系统的传递函数。
5. 对控制系统进行仿真通过仿真软件对控制系统进行仿真，可以实现在不同工作条件下模拟出控制系统的工作状态和性能，以验证控制系统的可行性。
《控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用第2版》薛定宇_课后习题答案
【17】
（1)z＝ｘy
＞>[x,y]=mesｈgrid(-3:0.01:3，-3：0.０1:３);
z=x.*y；
mesh(x,ｙ，z);
>> contoｕr3(x,ｙ,z,５0)；
(１)ｚ=sin（xｙ)
>> [x,y］=mesｈgrid(-3:０.01:3，-3:０.０1：3);
【２】
相应的ＭATＬAB命令:B=A(２：2:end,：）
>>Ａ=ｍagic(8)
A=
64２361６06７57
95５5412１3 51５01６
1７47４6 20２１43 42２4
40262737３6 30313３
3２３435 29２838 392５
41２32244４5１91８48
4９１514 5253 11 10 5６
【１0】
fｕｎcｔion y＝fｉb(ｋ)
if nargin~=1,ｅrror（＇出错：输入变量个数过多，输入变量个数只允许为１!')；ｅｎdﻭif narｇout＞１,ｅｒrｏr(＇出错：输出变量个数过多！'）;end
if k<=０,error('出错:输入序列应为正整数！＇）;endﻭiｆk==1|k＝=2,y＝１;ﻭｅｌsｅy=ｆib（k-１)＋fib(k-２);ｅnｄﻭeｎｄ
8５8 5954 62 6３1
＞＞Ｂ=Ａ(2:2:ｅnd，:)
B =
9５5 54１21３515０16
402６27３7 3６30３1３3
4１２3２24４4519１8 4８
858 5954 6２631
第三章线性控制系统的数学模型综述
2019/3/22
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采用上面第一种方法很容易输入，方法真 直观，但如果分子或分母多项式给出的不 是完全的展开式，而是若干个因式的乘积， 则事先需要将其变换为完全展开式的形式， 两个多项式的乘积在matlab中可以用conv（） 函数得出：p＝conv（p1，p2） 其中p1和p2是两个多项式，调用这个函数 就能返回多项式乘积p 如果有3个多项式的乘积，就需要嵌套使用 此函数。
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conv的嵌套使用
p=conv(p1,conv(p2,p3))或者 p=conv(conv(p1,p2），p3) 例如上面的例子： num=3*[1 0 3]; den=conv(conv(conv(conv([1 2 1],[1 0 5]),[1 2]),[1 2]),[1 2]); G=tf(num,den)
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获得零极点模型之后，可以给出pzmap（） 命令在复数平面上表示出该系统的零极点 位置，用×表示极点位置，用o表示零点位 置。
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例3-5
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带时间延迟的状态方程
数学模型
MATLAB输入语句
其他延迟属性：ioDelay
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3.1.3 线性系统的零极点模型Βιβλιοθήκη 零极点模型是因式型传递函数模型
零点 、极点 零极点模型的 MATLAB表示
和增益
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传递函数可以表示成两个多项式的比值， 在matlab中，多项式可以用向量表示。 将多项式的系数按s降幂次序排列可以得到 一个数值向量，用这个向量就可以表示多 项式。
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4.3.3 控制系统的状态方程实现
由传递函数到状态方程的转换 不同状态变量选择，结果不唯一 默认变换方式，采用MATLAB函数
G可以是传递函数、状态方程和零极点模型 适用于有延迟的、离散的或多变量模型 可以将延迟传递函数模型转成内部延迟
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4.1.1 线性连续系统数学模型及 MATLAB 表示
线性系统的常系数线性常微分方程模型
为阶次， 为常数， 物理可实现 线性定常系统 LTI （linear time invariant）
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传递函数的理论基础 ——Laplace变换
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均衡实现 （banlanced realization）
由一般状态方程输入输出关系显著程度不 明显，需要进一步变换 均衡实现是一种很有用的方式 用MATLAB直接求解
得出均衡实现的模型 得出排序的 Gram 矩阵
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离散系统也有内部延迟模型
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4.3 系统模型的相互转换
前面介绍的各种模型之间的相互等效变换
主要内容
连续模型和离散模型的相互转换 系统传递函数的获取 控制系统的状态方程实现 状态方程的最小实现 传递函数与符号表达式的相互转换
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例
原系统模型
引入
(内部坐标变换)
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4.3.4 状态方程的最小实现
例4-15 观察传递函数模型
未见有何特殊 求取零极点模型
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得出结果
离散延迟系统与输入
数学模型
延迟为采样周期的整数倍 MATLAB输入方法
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滤波器型描述方法
滤波器型离散模型
分子、分母除以 记 ，则
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零极点型模型可以用zpk函数输入 例4-9 零极点型传递函数
数学表示 （z 变换代替Laplace变换）
MATLAB表示 （采样周期 ）
算子输入方法：
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例4-8 离散传递函数，采样周期
MATLAB输入方法
另一种输入方法
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MATLAB的传递函数对象
传递函数对象属性：新版本
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传递函数属性修改
例4-4 延迟传递函数
，即
若假设复域变量为 ，则
直接赋值方法
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传递函数参数提取
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4.1.4 线性系统的零极点模型
零极点模型是因式型传递函数模型
零点 、极点 零极点模型的 MATLAB表示
和增益
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例4-6 零极点模型
MATLAB输入方法
也可以定义算子 本例有复数极点，不适合用此方法
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4.2.2 离散状态方程模型
数学形式
注意兼容性 MATLAB表示方法
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离散延迟系统的状态方程
数学模型
MATLAB表示方法
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例4-10 双输入模型，
输入模型、变换
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例4-11 时间延迟系统的离散化
MATLAB求解 零阶保持器变换
变换结果
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第四章 线性控制系统的数学模型
东北大学信息学院 薛定宇
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系统的数学模型
系统数学模型的重要性
系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础
系统数学模型的获取
建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推 导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型
矩阵是 方阵， 为 矩阵 为 矩阵， 为 矩阵 可以直接处理多变量模型 给出 矩阵即可 注意维数的兼容性
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例4-5
MATLAB 模型输入
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带时间延迟的状态方程
数学模型
MATLAB输入语句
其他延迟属性：ioDelay
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4.1.3 带有内部延迟的状态方程输入
框图描述，更一般的状态方程模型
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数学描述
其中
内部延迟
、
为内部信号，提取模型
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线性状态方程
时变模型
线性时不变模型 (linear time invariant, LTI)
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线性时不变模型的MATLAB描述
MATLAB 输入方法
例4-2 如何处理如下的传递函数？
定义算子
，再输入传递函数
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应该根据给出传递函数形式选择输入方法 例4-3 输入混合运算的传递函数模型
显然用第一种方法麻烦，所以
不同方法有不同的适用范围
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4.3.1 连续模型和离散模型的相互转换
连续状态方程的解析阶
采样周期 选择
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这样可以得出离散模型
记
则可以得出离散状态方程模型 MATLAB函数直接求解 还可以采用Tustin变换（双线性变换）
则
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因此可以得出传递函数
难点 基于Fadeev-Fadeeva算法能得出更好结果
由零极点模型，直接展开分子分母 用MATLAB统一求解
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例4-13 多变量模型，求传递函数矩阵
两种输入方法
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4.2 线性离散时间系统的数学模型
单变量系统：差分方程取代微分方程
主要内容
离散传递函数 离散状态方程 离散的零极点模型
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4.2.1 离散传递函数模型
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例4-12 对前面的连续状态方程模型离散化， 对结果再连续化，则
可以基本上还原连续模型
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4.3.2 系统传递函数的获取
已知状态方程
两端Laplace变换
相同位置的零极点，可以对消 问题：状态方程如何处理？ MATLAB解决方法
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