概率论与数理统计答案(东华大学出版)第三章复习题

第三章 连续型随机变量及分布
复习题（p.125）
1、 一批弹药，如果在规定的距离内试射5发而没有一发落在离开靶心2米之外，就可认为
合格予以接收。

在每次试射时，弹着点与靶心距离r 的密度函数为
()30,e
1e 29
2
<<-=--r r r f r
问该批弹药被接收的概率是多少？
解：{}()
9
4
20
9
2
09e 1e 1e
e 11d e 1e 222
2
--------=
--=-=<⎰r r r r r P ∴所求概率为5
94e 1e 1⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=--P
2、 设()ηξ,的联合密度函数为 ⎩⎨
⎧≤≤≤≤=y
x x y x y x f ,,
00,10,1),(其它当
试求 ⑴()x f ξ与()y f η；⑶{}1≥+ηξP 。

解：⑴当01x ≤≤时， ()()x y y y x f x f x
x
2d 1d ,===
⎰⎰
-+∞
∞
-ξ
()⎩
⎨⎧≤≤=其它01
02x x x f ξ
当1≤y 时，()()y x x y x f y f y
-===
⎰⎰
+∞
∞
-1d 1d ,1
η
()⎩⎨
⎧≤-=其它
11y y
y f η
⑵{}()4
1
d 12d d 11
2
111
2
1=
-==
≥+⎰⎰⎰-x x y x P x
x
ηξ 3、 设()ηξ,的密度函数为
()2221
2
e π21
),(y x y x f +-=σ
σ
求()ηξ,落在圆2
2
2
a y x ≤+内的概率。

解：{
}
22
2220
20
22
π
20
2
22e
1e
d e π21
d σσσσθa a
r a
r r r a
y x P -
-
-
-=-==
≤+⎰
⎰
极坐标
4、 设随机变量ηξ、独立同分布，都在[]3,1上服从均匀分布，令事件{
}a A ≤=ξ，{}a B >=η，已知{}7=B A P ，求a 。

解：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
03
1,21
x x f ξ且ηξ、独立同分布，所以
(){}()121d 211
-==≤=⎰
a x a P A P a ξ，(){}()a x a P B P a -==>=⎰32
1
d 213ξ
且事件B A 、相互独立，所以
{}()()()()()()7314
1
1=---=-+=a a B P A P B P A P B A P 09
35
42=+
-a a ，所以3735==a a 或
5、 设在半径为R 的圆周上随机任取两个点P 、Q ，用ξ表示弦PQ 的长度，求ξ的分布函
数和密度函数。

解：()()⎪⎩⎪
⎨
⎧≥<<≤=≤=R x R x p x x P x F 2120,0,
0ξ，其中圆扇S S p 2
1= 设x PQ =，圆心角为α2，⎪⎭
⎫
⎝⎛=R x 2arcsin α，2
R S α=扇
，所以π2α=p ()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≥<<⎪⎭⎫
⎝⎛≤=∴R x R x R x x x F 2120,2arcsin 20,0π，
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-='=其它,020,41π2
22R x x R x F x f
6、 设ηξ、独立同分布，其密度函数为
()0,21>=-a e a
x f a
x
为常数
求ηξ-的密度函数。

解：设ηξζ-=，则()()()()⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞--=
-=
x z x f x f x z x x f z f d d ,ηξζ独立性
⎰
⎰∞
+∞
--+-
∞
+∞---
-=⋅=x a
x a
a a
z x x a
z x a x
d e
41
d e
21e 212
⑴ 当0<z 时，
()()()()()a z
a z x x z a
z x x z a x z x z a a
x x x a z f e 41d e d e d e 412002-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞+-+--+--∞
--+--ζ
⑵ 当0>z 时，
()()()()()a z
z a z x x z a
x z x a x z x z a a
x x x a z f -∞+-+--+--∞
--+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰e 41d e d e d e 412002ζ
由⑴，⑵可知，()()a z
z a a
z f -+=e 41
2ζ 7、设随机变量ξ的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+=其它,
0π
π,π2π2x x x f ξ
求ξηsin =的密度函数。

解：ξηsin =，x y sin =，y x arcsin =
当10<≤y 时，()π,0∈x
()()()()()'
--+'=y y f y y f y f arcsin πarcsin πarcsin arcsin ξξη ()22221π2311π2πarcsin ππ2πarcsin y
y y y -=-⋅⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡+-++= 当01<<-y 时，()π,0-∈x
()()()()()'
+'---=y y f y y f y f arcsin arcsin arcsin -πarcsin πξξη ()22221π2111π2πarcsin π2πarcsin πy
y y y -=-⋅⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡+++--=
()⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧<<-<<--=∴其它
,
010,
1π2301,1π212
2
y y y y y f η 8、设随机变量ηξ、相互独立，其中ξ在()1,0上服从均匀分布，η的密度函数
()⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<<=其它021,210,
y y y y y f η
求ηξζ+=的密度函数。

解：()⎩⎨
⎧<<=其它,
010,1x x f ξ，
()()⎪⎩
⎪
⎨⎧-<≤--+<<--⎪⎩
⎪
⎨⎧=<-≤--<-<-=-其它其它012,21,
02
1,210,
z x z z x z x z x z x z x z x z x z x z f η ()()()⎰+∞
∞
--=x x z f x f z f d ηξζ
当0≤z 时，()0=z f ζ 当10<<z 时，()()2
2
1d z x x z z f z
=-=
⎰ζ 当21<<z 时，()⎪⎩
⎪
⎨⎧-<≤-+<<--=-其它010,211,z x z x x z x z x z f η
()()()2
33d d 221
1
1
0-+-=-+-+=
⎰⎰--z z x x z x z x z f z z ζ 当32<<z 时，()()2
9
321d 221
2
+-=-+=⎰
-z z x z x z f z ζ ()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
<<+-<<-+-<<=∴其它,032,293212
12
3310,2
1222z z z z z z z z z f ζ 9、设随机变量x 服从1=λ的指数分布，令随机变量
2,1,1,0=⎩⎨
⎧>≤=k k
x k x k 当当ξ
求()21,ξξ的联合分布律。

解：()⎩⎨⎧≤>=-0
0,0
,e x x x f x ，{}e
1e d e 11
1
=
-==>+∞-+∞-⎰x x x P ξ
表格中{}{}12,111<=<<=x P x x P p ；{}02112=><=x x P p 且（不可能事件）； {}{}⎰
-=<<=<>=2
1
21d e 212,1x x P x x P p x ；
{}{}22,122>=>>=x P x x P p 。