选修21公式

高二数学选修2－1知识点
第一章 简单逻辑联结词
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．
当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．
用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．
对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．
若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．
10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命
第二章 圆锥曲线
11、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 12、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在x 轴上
焦点在y 轴上 图形 标准方程
范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A
()1,0b B -、()2,0b B
轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率 准线方程
13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则
121
2
F F e d d M M =
=．
14、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
15、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在x 轴上
焦点在y 轴上 图形
标准方程
范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈
y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A
轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =
焦点
()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 离心率 准线方程 渐近线方程 16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
17、设M 是双曲线上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，
则
121
2
F F e d d M M =
=．
18、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，
即2p AB =． 20、焦半径公式：
若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p
F x P =+； 若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02p
F x P =-+；
若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p
F y P =+；
若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02
p
F y P =-+．
21、抛物线的几何性质： 标准方程
图形
顶点
对称轴 x 轴
y 轴
焦点 准线方程
离心率 范围
第三章 空间向量与立体几何
1. 空间向量及其运算
①
a ==r
d AB =AB =
u u u r ② 共线向量定理：//a b a b λ⇔=r r r r (0)b ≠r r
③ 共面向量定理：,,(,)p a b p xa yb x y R ⇔=+∈u r r r u r r r
共面；
四点共面
(,)MP xMA yMB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ④ 空间向量基本定理 (,,)p xa yb zc x y z R =++∈u r r r r （不共面的三个向量,,a b c r r r
构成一组基
底，任意两个向量都共面）
2. 平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（,a b r r
是a,b 的方向向量，n r 是平面α的法向量）
线线平行：//a b ⇔//a b r r
线面平行：//a a n α⇔⊥r r 或 //a b r r ，b α⊂ 或 (a xb yc b c =+r r r r r
，
是α内不共线向量） 面面平行：12////n n αβ⇔u r u u r
3. 垂直
线线垂直：a b ⊥⇔0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r
线面垂直：//a a n α⊥⇔r r 或 , (a b a c b c ⊥⊥r r r r r r
，
是α内不共线向量） 面面垂直：12n n αβ⊥⇔⊥u r u u r
4. 夹角问题
线线角
线面角
二面角
③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由））
5. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P 到平面α的距离
（其中A 是平面α内任一点，n r 为平面α的法向量） 6. 立体几何解题一般步骤
坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。

基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；
④将向量形式的结果转化为最终结果。

异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）；
线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；
二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面.。