高中数学选修23121排列二[2]
人教版数学高二选修2-3 1.2排列组合常见错解剖析
排列组合常见错解剖析山东枣庄二中（277400）张夫娥排列组合问题类型繁多、方法丰富、富于变化，稍不注意，极易出错.本文结合实例介绍同学们中存在的普遍错误，以飨读者.1.没有理解两个基本原理出错排列组合问题基于两个基本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提.例1.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有2种取法.剖析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机”是完成任务的两“类”办法，每类办法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 例2．在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.剖析：误解是没有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有3×3×3×3=34种.说明：本题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四种情况，由乘法原理得34.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2．判断不出是排列还是组合出错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3．有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有88A 种方法.剖析：误解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.正解：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有：5638=C 排法. 3．重复计算出错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意避免重复计数，产生错误。
高中数学选修2-3精品课件7：1.2.1 排列(二)
(2)方法一(特殊元素法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 A22种；再让其他 4 个人在中间 4 个位置作全排列，有 A44种，根据分步乘法 计数原理，共有 A22·A44＝48 种站法．
方法二(特殊位置法)：首先考虑两端两个位置，由甲、乙去站，有 A22种 站法；再考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 个人去站，有 A44种站法，根据分 步乘法计数原理，共有 A22·A44＝48 种站法．
2．(1)某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程， 如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ (2)用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的 数： ①五位奇数； ②大于30 000的五位偶数．
解： (1)不考虑任何条件限制共有 A66种排法，其中包括不符合条件的 有：
(3)方法一(间接法)：甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种， 而甲在左端且乙在右端的站法有 A44种，故共有 A66－2A55＋A44＝504 种站法．
方法二(直接法)：以元素甲的位置进行考虑，可分两类：第 1 类，甲站 右端有 A55种；第 2 类，甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端，可先排甲 后排乙，再排其余 4 个，有 A14·A14·A44种，故共有 A55＋A14·A41·A44＝504 种站法．
“在”与“不在”的问题
例2.6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端．
[思路点拨]
解： (1)方法一(位置分析法)：因左右两端不站甲，故第一步先从甲以 外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有 A25种；第二步再让剩下的 4 个人 站在中间的四个位置上，有 A44种，由分步乘法计数原理共有 A52·A44＝480 种 站法．
人教版高中数学 选修2-3 1.2.1排列教案
本课作业:课本P20 A组1，3
第二课时
情境设计：从1~9这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数的个数是多少？
新知教学:
排列数公式的应用：
例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？
解：见书本18页例2
变式：(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？
引出排列的定义
（1）在学中教，在学中悟
（2）通过例1的分析让学生明确什么是排列为后面的学习做好准备。
（3）例1的分析中可以让学生作一部分树形图
利用上例中的树形图或结合引入的实例分析排列的个数引出排列数定义。
1、重视排列数公式的等式证明
2、重视排列数公式的应用
复习排列数公式
（1）在学中教，在学中悟
（2）通过例1的分析让学生进一步理解排列数公式的应用。
(2)放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？
例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
解：见书本18页例3
例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
同理，数字1，2，3，4在十位及个位上时，都有18个数；
于是，所有这些数的和为：
24×（1+2+3+4）×1000+18×（1+2+3+4）×100+18×（1+2+3+4）×10+18×（1+2+3+4）=259980。
高中数学选修2-3优质课件：1.2.1 排列(二)
位，有4种选择，其他数字不受条件限制，其排列方法为A44 种， 所 以 当 数 字 “1” 不 在 首 位 时 ， 满 足 条 件 的 六 位 数 共 有 2×4× A44 ＝ 192(个). 根据分类加法计数原理，满足条件的六位数共有120＋192＝312(个).
解析答案
题型三 排列的综合应用 例3 从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不 同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？
反思与感
解析答案
跟踪训练3 从1,2,3，…，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一 个对数的底数和真数，一共可以得到多少个不同的对数值？其中比1大 的有几个？
解析答案
(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ 解 (插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的 男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两 个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证 每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻. 由于五个男生排成一排有 A55 种不同排法，对于其中任意一种排法，从 上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有A36 种排法， 因此共有A55·A36 ＝14 400(种)不同的排法.
反思与感
解析答案
跟踪训练1 (1)由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间无重复数字的六 位数有多少个？
解析答案
(2)在由0,1,2,3,4,5六个数字组成的数中，数字1排在奇数位上的六位数
有多少个？ 解 第一类，当数字“1”在首位时，数字“0”有5种选择，其他数字
不受限制，其排列方法为A44 种， 所以当数字“1”在首位时，满足条件的六位数共有1×5×A44＝120(个)； 第二类，当数字“1”不在首位时，根据数字“1”只能在奇数位上，
高中数学选修2-3精品教案6：1.2.1 排列(二)教学设计
1.2.1 排列（二）知识与技能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学过程复习回顾提出问题1：判断下列两个问题是不是排列问题，若是求出排列数，若不是，说明理由．(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？活动设计：学生自己独立思考，教师提问．活动成果：解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．本题中两个小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算．设计意图：引导学生通过具体实例回顾排列的概念和排列数公式．典型例题类型一：直接抽象为排列问题的计数问题例1.某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A214＝14×13＝182.点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同元素，按一定顺序排成一列的问题．巩固练习某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是：A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．变式演练将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A44种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A44种方法．利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数．解：由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．类型二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路分析：在本问题的0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此0是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题．解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有A19种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A29种选法(如图)．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A19×A29＝9×9×8＝648.解法二：如图所示，符合条件的三位数可分成3类．每一位数字都不是0的三位数有A39个，个位数字是0的三位数有A29个，十位数字是0的三位数有A29个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为A39＋A29＋A29＝648.解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A310，其中0在百位上的排列数是A29，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是A310－A29＝10×9×8－9×8＝648.点评：对于例2这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法一根据百位数字不能是0的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法二以0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0的排列数(即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．巩固练习从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：(从特殊位置考虑)A19A59＝136 080；解法二：(从特殊元素考虑)若选：5·A59；若不选：A69，则共有5·A59＋A69＝136 080种；解法三：(间接法)A610－A59＝136 080.变式演练A、B、C、D、E五个人排成一排照相，其中A、B不能排在两端，C不能排在中间，共有多少种不同的排法？解法一：若A、B排在中间，则从A、B中选一个排在中间有A12种排法，另一个不在两端的位置上有A12种排法，其余三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若A、B不排在中间，则有A22种排法，C不排在中间有A12种排法，其余两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．解法二：若C排在两端，有A12种排法，另一端从D、E中选一个人，有A12种排法，剩下三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若C不排在两端，有A12种排法，两端排列D、E，有A12种排法，剩下两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．达标检测1．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火车)?2．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？3．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有…() A．30种B．360种C．720种D．1 440种【答案】1.A48＝8×7×6×5＝1 680 2.A44＝4×3×2×1＝24 3.C课堂小结1．知识收获：对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算．2．方法收获：“化归”的数学思想方法．3．思维收获：“化归”的数学思想方法．补充练习基础练习1．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有__________种不同的种植方法．2．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有__________种不同的方法．3．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有__________种．4．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有多少个？【答案】1.24 2.60 3.6解答：4.解法一：(正向思维法)个位数上的数字排列数有A12种(从2、4中选)；万位上的数字排列数有A13种(5不能选)，十位、百位、千位上的排列数有A33种，故符合题意的偶数有A12A13A33＝36个．解法二：(逆向思维法)由1、2、3、4、5组成无重复数字的5位数有A55个，减去其中奇数的个数A13A44个，再减去偶数中大于50 000的数A12A33个，符合题意的偶数共有：A55－A13A44－A12A33＝36个．拓展练习5．一天要排语、数、英、化、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？解：若数学排在第一节，班会课的排法为A12种，其余4节课的排法有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A12A44＝48种；若第一节课不排数学，第一节课的排法有A13种，数学课的排法有A13种，班会课的排法为A12种，其余3节课的排法有A33种，根据分步乘法计数原理，共有A13A13A12 A33＝108种．根据分类加法计数原理得，共有48＋108＝156种．设计说明本节课是排列的第二课时，本节课的主要目标是在老师的带领下，体会排列数公式的应用，体会把具体计数问题划归为排列问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例1.(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是()A．36种B．120种C．720种D．1 440种(2)把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为()A．A515A510B．A515A510A55A33C．A1515D．A515A510A55÷A33(3)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A66＝720种排法，选C.【答案】C(2) 【答案】C(3)解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A24种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A14种，其余5个元素任排在5个位置上有A55种，故共有A14A24A55＝5 760种排法．。
高中数学选修2-3精品课件1：1.2.1 排列
n种 (n-1)种 (n-2)种
(n-m+1)种
n (n-1) (n-2) … (n-m+1)种
基本概念
排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn (m、 ∈N*)
排列数公式： Amn =n (n-1) (n-2) … (n-m+1)种 注1.排列与排列数的区别与联系; 2.排列数公式的特征： （１）等号右侧有m项相乘； （２）等号右侧从左至右依次呈公差为－１的等差数列.
的八个数字中选取,共A种取法.所以共有2×7× A83种不同情况.
②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9
中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A83种选法， 所以共有3×6×A83 种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000
大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A83 ＋3×6× A83=10752(个)．
A124 14 13 182
理论迁移
例3（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有
多少种不同的送法？
A53 = 60(种)
（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少
种不同的送法？
53 = 125 (种)
典型例题
题型一 数字排列的问题 例1.用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条 件的且没有重复数字的数： (1)五位奇数； (2)大于30 000的五位偶数．
第一章 计数原理 §1.2.1排列
高中数学选修2-3·同步课件
【课标要求】
1． 掌握几种有限制条件的排列． 2． 能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．
选修2-3课件1.2.1 排列2
例3.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个 队参加，每队要与其余各队在主、客场分别 比赛一次，共进行多少场比赛？ 解：任意两队间进行1次主场比赛与 1次客场比赛，对应于从14个元素中 任取2个元素的一个排列．因此，比 赛的总场次是
A 14 13 182
2 14
本 例4(1）从5本不同的书中选3本送给3名同学， 选 每人各1本，共有多少种不同的送法？ 种 买 (2）从5种不同的书中买3本送给3名同学， 每人各1本，共有多少种不同的送法？
(1) A A A A
1 4 2 4 3 4
4 4
(2)5 A 4 A
3 5
m n m n
2 4
m 1 n 1 m 1 n
(3) A ____ A
(4) A ____ A
(m 1)! (5) n1 _______ Am1 (m n)!
练习2：选择
n! (1)若x ，则x等于（ ） 3! n n A: A 3 B:A n 3 C:A 3 D:A n 3 n n
3 10 2 9
练习3：解答
问题:用0,1,2,3,4这5个数字。 1.组成几个五位数？ 2.组成几个五位偶数？ 3.组成几个百位数不为4的五位数?
解法 1
：
A A 9 9 8 648
1 9 2 9
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？ 解法 2 ：
A A A 648
3 9 2 9 2 9
例5.用0到9这10个数字，可以组成 多少个没有重复数字的三位数？
解法 3Βιβλιοθήκη ：A A 10 9 8 9 8 648
两个问题的区别： (1)是从5本不同的书中选出3本分送3名同学，各人得到的书不同， 属于求排列数问题； (2)由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件， 只能用分步乘法计数原理进行计算．
高中数学新课标人教A版选修2-3 排列 1.2.2 排列的应用 课件
注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”
是指：从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按照一．定．
的．顺．序．排成一列，不是数；“排列数”是指从 n 个 不同元素中，任取 m（ m n ）个元素的所有排列的 个数，是一个数所以符号 Anm 只表示排列数，而不表 示具体的排列 3．排列数公式及其推导： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1) （ m, n N, m n ）
甲在两端共有 2A55种站法，从总数中减去这两种情
况的排列数即得所求的站法数，共有
A
6 6
－
2A
பைடு நூலகம்
5 5
＝
480(种)站法．
(2)先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个
人，有 A55种站法，再把甲、乙进行全排列，有 A22种 站法，根据分步乘法计数原理，共有 A55·A22＝240(种)
站法．
(3) 因 为 甲 、 乙 不 相 邻 ， 所 以 可 用 “ 插 空
课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念， 排列数公式的推导
第十二页，编辑于星期一：点 二十二分。
课堂练习： 1、六人按下列要求站一排，分别有多少种不
同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间恰间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站
故共有 A24·A33·A22＝144(种)站法． (5)首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A22种站法，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22·A44＝ 48(种)站法． (6)甲在左端的站法有 A55种站法，乙在右端的站法
第十六页，编辑于星期一：点 二十二分。
苏教版高中数学选修2-3 1.2 排 列(二)课件(44张)
1.2 排 列(二)
35
跟踪训练3 从1,2,3，…，9这9个数字中任取2个不同的数 分别作为一个对数的底数和真数，一共可以得到多少个不 同的对数值？其中比1大的有几个？ 解 从2,3，…，9这8个数中任取2个数组成对数，有A28个， 在这些对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49， log32＝log94，重复计数4个，又1不能作为对数的底数，1作 为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0.
1.2 排 列(二)
12
(2)大于30 000的五位偶数. 解 要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要得比30 000 大的五位偶数，可分两类： ①末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个， 共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上 的数字之外的八个数字中选取 ，共A38种取法.所以共有 2×7×A38种不同情况.
1.2 排 列(二)
7
(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？
解 分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数 字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位 奇数共有3×4×4＝48(个).
1.2 排 列(二)
8
(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？
解 分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)； ③三位数共有5×5×4＝100(个).因此，比1 000小的自然数共 有6＋25＋100＝131(个).
1.2 排 列(二)
32
由分步计数原理知，共组成一元二次方程 A14·A24＝48(个). 方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0. 分类讨论如下： 当 c＝0 时，a，b 可以从 1,3,5,7 中任取两个，有 A24种； 当c≠0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个. 当 b 取 5 时，a，c 只能取 1,3 这两个数，有 A22种；
高中数学选修2-3--1.2-排列与组合---1.2.1--排列与排列数
【解】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但 票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问 题；
(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；
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(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员 是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；
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2．对于排列数公式注意以下三点： (1)这个公式在m，n∈N*，m≤n的情况下成立，m＞n时 不成立． (2)排列数公式的推导过程是不完全归纳法，不是严格 的证明，要严格证明排列数公式，可采用数学归纳法证 明．这个证明不作要求，今后直接应用公式即可． (3)要从以下几点加深对排列数公式的记忆和理解：① 排列规律，从大到小；②最后一个数为(n－m＋1)；③数字 个数m个；④公式的正、逆应用.
第十二页，共41页。
判断下列问题是否为排列问题． (1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞 机票的价格(假设来回的票价相同)； (2)选2个小组分别去植树和种菜；
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(3)选2个小组分别去种菜； (4)选10人组成一个学习小组； (5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； (6)某班40名学生在假期相互通信． 【分析】 解决本题的关键是要明确排列的定义，看 选出的元素在安排时，是否与顺序有关，若与顺序有关， 则是排列问题，否则就不是排列问题．
所以①正确；
第三十九页，共41页。
nAmn－－11＝[n－n×1－n－m1－！1]！＝n－n！m！＝Amn ，所以②正 确；
Amn－－11＝[n－1n－－1m！－1！]＝nn－－m1！！(分母为(n－m)！， 而不是(m－n)！)，所以④不正确．
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有约束条件的排列问题 例8：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求 上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上 午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不 同的排法？
高中数学选修23121排列二
小结： 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？
万位 千位 百位 十位 个位
解法二：（逆向） 思由 维 1、 2、 法 3、 4、 5组成无重复 数字的 5位数有 A55个，减去其中奇数 数A31的 A44个 个，再 减去偶数中5大 00于 0的0 数A21A33个，符合题意的偶 共有： A55 A31A44 A21A33 36个
A333216
高中数学选修23121排列二
有约束条件的排列问题
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？
万位 千位 zxxkw
百位 十位 个位
A
1 3
A
3 3
A
1 2
解法一：（正向思）考个法位上的数字排列
有A21种（从 2、4中选）；万位上的排数列字数有 A31种（5不能选），十位、、百千位位上的排列 有A33种，故符合高中题 数学选意 修231的 21有 排列偶 二A21A数 31A33个。
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通 常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理 特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
高中数学选修23121排列二
素的排列数
A
m n
高中数学选修23121排列二
3.全排列的定义： n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不 同元素的一个全排列.
4.有关公式：
1.阶乘：n1 !2 3 •••( n 1n )
（2）排列数公式:
Anm n(n1)(nm1)(nnm！ )！ (m、 Nn*m,n)
A n! (3)全排列数公式： n n 高中数学选修23121排列二
高中数学选修23121排列二
有约束条件的排列问题
例6：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那
么不同的排法共有（ C ）
A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 例7：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种 不同排法：
（1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾； （3）三个女生排在一起； 对于相邻问题，常用“捆绑法” （4）三个女生两两都不相邻；对于不相邻问题，常用 “插空法” （5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
上进行试验，有 24 种不同的种植方法？
A4343224
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，
并排定他们的出场顺序，有 60 种不同的方法？ A5354360
4．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能
打出不同的信号有（ C ）
A . 1 种 种B C 种 ..36D种 .27
课堂练习
1．计算：（1）5A53 4A42 348 （2） A4 1A42A43A44 64
A 4 1 A 4 2 A 4 3 A 4 4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 6
5 A 5 3 4 A 4 2 5 5 4 3 4 4 3 348
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
1.2.1排列(二)
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高中数学选修23121排列二
复习巩固
1、排列的定义：
从n个不同元素中，任取m( mn)个元素（m
个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出n个不同元素中，任取m( mn)个元素的
所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元