椭圆的经典知识总结
椭圆知识点总结
椭圆知识点知识要点小结：知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b a c -=；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆12222=+by a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
椭圆的相关知识点总结
椭圆的相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1、F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴。
椭圆的短轴的长度为2b，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。
椭圆上到焦点的距离等于常数2a的性质可以用数学语言表示为：|PF1|+|PF2|=2a。
椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
显然，0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一条线段；当e=1时，椭圆退化为一个圆。
二、椭圆的性质1. 焦点离心率椭圆的离心率大于0小于1。
2. 焦点公式椭圆长轴长度为2a，半短轴长度为b。
其中a、b分别是半长轴和半短轴的长度。
焦点坐标为(f1,0)和(-f1,0)。
其中f1=\sqrt{a^2-b^2}。
3. 针焦直线椭圆的焦点圆椭圆的大小只和a、b两轴有关，与焦点的远近无关。
4. 椭圆的直径垂直于直径的直线，称为轴；椭圆的两条轴相互垂直，且它们的交点是中心。
三、椭圆的方程1. 标准方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中a、b分别为半长轴和半短轴的长度。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。
一般方程的椭圆可以通过平移和旋转变换为标准方程。
四、椭圆的焦点椭圆的焦点离中心的距离c=\sqrt{a^2-b^2}。
五、椭圆的参数方程设椭圆的焦点为(f,0)和(-f,0)，半长轴为a，半短轴为b，则椭圆的参数方程为：x=a\cos t,y=b\sin t,其中0\leq t\leq 2\pi。
六、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为：r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta},其中e为椭圆的离心率。
七、椭圆的图形椭圆的图形是一种闭合的曲线，形状类似于椭子。
椭圆的长轴和短轴分别是轴、横轴。
椭圆是关于两条坐标轴对称的曲线。
椭圆的认识知识点总结
椭圆的认识知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a＞0）的点P的轨迹。
这两个固定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆上距离F1和F2的距离之差等于2b（b＞0），其中b称为椭圆的短半轴。
椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦距。
二、椭圆的性质1. 椭圆的长轴和短半轴椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，而短半轴是垂直于长轴并且通过椭圆中心的直线。
椭圆的长轴和短半轴的长度分别为2a和2b。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率e决定了椭圆形状的“扁平程度”，e的取值范围是0<e<1。
当e=0时，椭圆的形状是一个圆；当e→1时，椭圆的形状趋近于一个长而狭窄的椭圆。
3. 椭圆的焦点和焦准线椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和是一个常数2a，这个定理称为定义定理。
椭圆的长轴是两个焦点之间的直线，称为主轴。
两个焦点之间的直线称为焦准线。
4. 椭圆的轴线方程椭圆的长轴和短半轴分别平行于坐标轴，可以通过坐标轴和焦点的位置来确定椭圆的轴线方程，通常有(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1和(x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1两种形式。
5. 椭圆的参数方程和焦点方程椭圆的参数方程是一对参数方程x=a*cosθ，y=b*sinθ。
椭圆的焦点方程是通过焦点和参数θ来表示椭圆上的点的坐标方程。
6. 椭圆的面积椭圆的面积可以通过长轴和短半轴的长度计算得出，通常为πab。
7. 椭圆的周长椭圆的周长可以通过参数方程和积分计算得出，通常为4aE(e)，其中E(e)是第二类椭圆积分。
8. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过焦点、焦准线、长轴和短轴的长度来表示，通常为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
三、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹方程在天文学中有广泛的应用，例如行星的轨道运动就可以用椭圆轨迹方程描述。
(完整版)椭圆知识点归纳总结
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆知识点总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程 12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
知识点三：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）弦长公式：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=2122124)(1x x x x k-++=1.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是 , 离心率是________，准线方程是_________. 2.已知F 1、F 2是椭圆191622=+y x 的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，则△MNF 2的周长为( )A ．8B ．16C ．25D ．323.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.104.已知椭圆方程为1112022=+y x ,那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.331 D.315.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A.（0，+∞）B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)6．设21,F F 为定点，|21F F |=6，动点M 满足6||||21=+MF MF ，则动点M 的轨迹是（ ）A.椭圆B.直线C.圆D.线段7.已知方程12-m x +my -22=1，表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为 .8.已知椭圆的两个焦点坐标是F 1（-2，0），F 2（2，0），并且经过点P （23,25-），则椭圆标准方程是 __ ___9.过点A （-1，-2）且与椭圆19622=+y x 的两个焦点相同的椭圆标准方程是__ __10.过点P （3，-2），Q （-23，1）两点的椭圆标准方程是_ __ ___11.若椭圆19822=++y k x 的离心率是21，则k 的值等于 .12.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC 的周长是 .13.F 1、F 2分别为椭圆22a x +22b y =1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是14.设M 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1、F 2为焦点，621π=∠MF F ，则=∆21F MF S15.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为(A)2 (B)22 (C) 21 (D)4216.设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（ ）（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既非充分也非必要17.如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++=18、已知定点A （a ，0），其中30<<a ，它到椭圆14922=+y x 上的点的距离的最小值为1，求a 的值。
椭圆的知识点总结
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
椭圆知识点总结
椭圆知识点总结一、椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别代表椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的焦点到中心的距离是c，满足c^2 = a^2 - b^2。
二、椭圆的性质1. 椭圆对称性：椭圆关于x轴和y轴对称。
2. 焦点性质：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 长短轴性质：椭圆的长轴和短轴互相垂直，长轴的长度是2a，短轴的长度是2b。
4. 离心率：椭圆的离心率e定义为c/a，表示椭圆拉伸的程度，离心率介于0到1之间。
5. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t)，y = b*sin(t)，其中t为参数。
6. 弦长：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，因此椭圆上任意一条弦的长度小于或等于2a。
7. 焦准线性质：椭圆上任意一点到两个准线的距离之差等于常数2a。
三、椭圆与圆的关系1. 圆是椭圆的特殊情况：当椭圆的长轴和短轴相等时，椭圆就变成了圆。
2. 椭圆的离心率介于0到1之间，当离心率等于0时，椭圆就是一个圆。
因此，椭圆和圆可以看作是同一种几何图形的不同特例。
四、椭圆的应用1. 天体运动：椭圆轨道是描述天体运动的重要数学工具，如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动等。
2. 光学：椭圆镜片和椭圆抛物面反射器是光学领域常用的元件，用于聚焦和成像。
3. 工程设计：椭圆的性质在设计椭圆形建筑、椭圆形机械零件、椭圆形轨迹等方面有重要应用。
4. 地理测量：椭圆在地图投影和地理测量中有广泛应用，如椭球面测量、椭圆地图投影等。
五、椭圆的求解1. 椭圆的参数方程可以通过消除参数t来得到椭圆的标准方程。
2. 根据椭圆的焦点性质和准线性质，可以求解椭圆的焦点和准线方程。
3. 椭圆的面积可以通过积分求解，面积公式为S = πab。
4. 椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程求解，周长公式为L = 4aE(e)，其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分。
六、椭圆的变换1. 平移变换：椭圆的平移变换可以用矩阵形式表示，通过平移变换可以将椭圆移动到任意位置。
与椭圆有关知识点总结
与椭圆有关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是一个平面上所有点到两个给定点的距离之和等于常数的集合。
这两个给定点称为“焦点”，常数之和称为“椭圆的半长轴长度2a”。
在椭圆上的一条线段，它的两个端点分别与两个焦点相连，且到这条几何线段的两个焦点的距离之和等于椭圆的半长轴长度，这条线段称为“椭圆的主轴”。
椭圆的中心是位于两个焦点的连线的中点。
椭圆上的点到中心的距离的最大值称为椭圆的半长轴长度，对应的方向是椭圆的主轴，椭圆上的点到中心的距离的最小值等于椭圆的半短轴长度，对应的方向是椭圆的短轴。
二、椭圆的性质1.对称性：椭圆具有两个对称轴，分别是主轴和短轴。
椭圆相对于这两个对称轴是对称的。
2.焦点：椭圆上的每一个点到两个焦点的距离之和是常数。
3.离心率：椭圆的形状由椭圆的离心率来决定。
离心率的定义是e=c/a，其中c是焦距，a是椭圆半长轴的一半长度。
离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为圆；当e=1时，椭圆退化为一条直线。
4.焦半径：椭圆上任意一点到两个焦点的距离的平方和等于主轴的平方和。
5.参数方程：椭圆的参数方程通常是x=a*cos(t),y=b*sin(t)。
6.切线和法线：椭圆上的切线和法线都经过焦点。
三、椭圆的方程1.标准方程：椭圆的标准方程为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b>0)，(h,k)是椭圆的中心。
2.离心率方程：椭圆的离心率方程为e=√(1-b²/a²)。
3.参数方程：椭圆的参数方程为x=a*cos(t),y=b*sin(t)，其中0≤t≤2π。
四、椭圆的应用椭圆作为一种重要的几何图形，在物理、工程和生活中有广泛的应用。
1.太阳系椭圆轨道：太阳系中行星的运行轨道是椭圆形的，行星绕太阳运动的轨迹就是以太阳为焦点的椭圆。
2.摄影：在摄影学中，摄影镜头和摄影胶片的焦距、对焦误差等问题都可以用椭圆的性质来进行分析和计算。
椭圆知识点总结归纳
椭圆知识点总结归纳一、椭圆的定义和基本概念椭圆可以通过平面上的一个固定点F（称为焦点）和一条固定线段2a（称为主轴）上的所有点P的路径定义为椭圆。
具体而言，椭圆的定义如下：给定平面内的一条固定线段2a，再给定一个固定点F（焦点），点S（焦点）到线段上所有的点P的距离之和等于一个常数2a。
即|PF1| + |PF2| = 2a。
一个椭圆可以有很多不同的特点和性质，其中一些重要的概念包括椭圆的长轴、短轴、焦距、离心率等，这些概念对于理解和分析椭圆的性质和特点非常重要。
椭圆上的点P满足以下条件：|PF1| + |PF2| = 2a，其中F1和F2为椭圆的两个焦点，2a为椭圆的长轴的长度。
椭圆也具有一个参数e，叫做离心率，满足e=c/a，其中c为焦距。
二、椭圆的标准方程和参数方程椭圆的标准方程是椭圆上的所有点（x，y）满足以下条件的方程：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的参数方程是另一种表示椭圆的方式，通常用参数方程表示的椭圆更容易进行计算和分析。
三、椭圆的性质和特点1. 椭圆的离心率是一个重要的性质，它决定了椭圆的形状。
离心率e的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个点；当e=1时，椭圆退化为一条线段。
2. 椭圆的长轴和短轴的长度分别为2a和2b，其中a>b。
3. 椭圆的焦点和两个顶点都在椭圆的长轴上。
4. 椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a。
5. 椭圆上的对称轴是椭圆的长轴和短轴，对称中心是椭圆的中心。
6. 椭圆与坐标轴的交点分别为（±a, 0）和（0, ±b）。
7. 椭圆上的点P（x，y）与主轴和副轴之间的关系满足x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
8. 椭圆的周长和面积分别为π(a+b)和πab。
9. 椭圆是一种闭合曲线，不同于抛物线和双曲线，它没有渐近线。
四、椭圆的相关定理和公式1. 椭圆上的点P(x，y)与焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度2a，即|PF1| + |PF2| = 2a。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆知识总结 班级 姓名椭圆的定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ；ﻫ 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222ba c-=;注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程;2.在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和222b ac -=;3.椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x 轴上时椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；当焦点在y 轴上时,椭圆的焦点坐标为),0(c ,),0(c -知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆:12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质1(ﻫ）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a : 说明:把x 换成x -、或把y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变,所以椭圆12222=+b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤,b y ≤。
ﻫ（3)顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为)0,(1a A -,)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
(4)离心率：ﻫ ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作ac ac e ==22。
ﻫ ②因为)0(>>c a ,所以e 的取值范围是)10(<<e 。
e 越接近１，则c 就越接近a ，从而22c a b -=越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0,c 就越接近0,从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。
当且仅当b a =时，0=c ,这时两个焦点重合,图形变为圆，方程为a y x =+22。
注意椭圆12222=+b y a x 的图像中线段的几何特征(如下图)：(１）)2(21a PF PF=+;ePM PF PM PF ==2211;)2(221ca PM PM =+; （2）)(21a BF BF ==;)(21c OF OF ==;2221b a B A B A +==;（3）c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221; c a PF c a +≤≤-1； 知识点四:椭圆12222=+by ax与 12222=+b x ay)0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+by a x )0(>>b a12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -,)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221=c F F 221=范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率 )10(<<=e ace 准线方程ca x 2±=ca y 2±= 注意：椭圆12222=+b y a x ，122=+b x a y )0(>>b a 的相同点：形状、大小都相同;参数间的关系都有)0(>>b a 和)10(<<=e ac e ，222c b a +=；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。
规律方法： 1．如何确定椭圆的标准方程？ ﻫ任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。
当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。
此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义ﻫ椭圆标准方程中,c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数,且三个量的大小关系为：)0(>>b a ,)0(>>c a ,且)(222c b a +=。
可借助右图理解记忆：显然:c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边,b 、c 为两条直角边。
3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置ﻫ 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是：看2x ,2y 的分母的大小，哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程均不为零）C B A C By Ax ,,(22=+是表示椭圆的条件 方程C By Ax =+22可化为122=+CBy CAx,即122=+BC By A C x ,所以只有Ａ、B 、C 同号，且A ≠B 时,方程表示椭圆。
当BC AC >时，椭圆的焦点在x 轴上;当BC A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。
5.求椭圆标准方程的常用方法： ﻫ①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程,再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。
其主要步骤是“先定型，再定量”；ﻫ②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
６．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点,则ｃ相同。
与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->,此类问题常用待定系数法求解。
７．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据: ﻫ① 若把曲线方程中的x 换成x -,方程不变，则曲线关于y 轴对称;② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称;③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变,则曲线关于原点对称。
８．如何求解与焦点三角形△PF １F 2(P 为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF １F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理)、三角形面积公式2121sin 2121PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的方法进行计算解题。
将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ （21PF F ∠≤21BF F ∠）结合起来，建立21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系.９.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率)10(<<=e ac e ，因为222b a c -=，0>>c a ,用b a 、表示为)10()(12<<-=e a b e 。
显然：当a b 越小时,)10(<<e e 越大，椭圆形状越扁;当ab越大，)10(<<e e 越小，椭圆形状越趋近于圆。
1. 椭圆的定义：（1)椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x (222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==(参数方程，其中ϕ为参数),焦点在y 轴上时2222bx a y +=１(0a b >>)。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠０，且A,B ，C 同号,A ≠B ）。
2． 椭圆的几何性质:(1)椭圆(以12222=+by a x (0a b >>）为例)：①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±；③对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心（０,０)，四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为２b ;④准线：两条准线2a x c =±; ⑤离心率：ce a=，椭圆⇔01e <<,e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁。
⑥通径22b a2．点与椭圆的位置关系:(1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；(2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220by a x +=1；（3)点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系：（1)相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；(2)相切:0∆=⇔直线与椭圆相切； （３)相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；如:直线ｙ―kx ―１=０与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则ｍ的取值范围是＿______（答：[1，5）∪（５,+∞）);４、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离,即焦半径0r ed a ex ==±，其中d 表示P 到与F 所对应的准线的距离。
如（１）已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点Ｐ到右准线的距离为_＿__（答:1０／３）；（2）椭圆13422=+y x 内有一点)1,1(-P ,F 为右焦点,在椭圆上有一点Ｍ,使MF MP 2+ 之值最小,则点M 的坐标为＿__＿＿__（答：)1,362(-);5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题:20tan ||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时,m ax S 的最大值为bc ；6、弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点Ａ、Ｂ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则AB12x -,若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB =21211y y k -+,若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB12y -。