2020年高三一模理科数学试卷(大教育全国名校联盟)(含答案及解析)
13. 已知向量
，
，且 与 的夹角为 ，则
D. ②③④ ．
14. 定义在 上的函数 满足：①对任意的 ，
，都有
时，
，则函数 的解析式可以是
．
；②当
15. 设数列 的前 项和为 ，且
，若
，则
．
16. 已知四棱锥
的底面
是边长为 的正方形，且
的五个顶点在以 为半径的同一球面上，当 最长时，则
棱锥
的体积为
．
2020年高三一模理科数学试卷（大教育全国名校联盟）
一、选择题
（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1. 已知集合 A.
，
B.
C.
,则
（ ）．
D.
2. 若复数 A.
是纯虚数，则
（ ）．
B.
C.
D.
3. 已知 ， 是两条不同的直线； 、 是两个不同的平面．且
，
，，，
则” ”是
”的（ ）．
A. 充分不必要条件
的前 项和为 ，且 B.
， C.
，则
（ ）． D.
8. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆
直线 A.
的距离为 B.
，则 的离心率为（ ）． C.
的右焦点为 D.
．若 到
9. 已知函数 A. 函数 B. 函数 C. 函数
．则下列结论错误的是（ ）．
的最小正周期为
的图象关于点
对称
在
上单调递增
D. 函数 的图象可由
开始
输出
是
否 结束
A.
B.
C.
D.
/
【答案】 A
【解析】
（ 不是素数），
（ 不是素数）；
，
；
，
；
，
；
（ 不是素数），
（ 不是素数），
此时
，不适合
，循环结束，
输出的数中，
符合题意的梅森素数分别为 ， ， ，共 个．
故选 ．
6. 小明有 本作业本，小波有 本作业本．将这 本作业本混放在一起，小明从中任取两本，则他取
一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的．最小小到
秒，最长的也不
过
秒．某一天文研究机构观测并统计了 颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，
绘制了如图的频率分布直方图．
频率 组距
（ 1 ）在 颗新发现的脉冲星中，自转周期在 至 秒的大约有多少颗？ （ 2 ）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值．
得
，
，
再结合 为 的中点，得
，
又因为 是
的中位线，
又
，且
，
从而直线 与双曲线的左支只有一个交点，
在
中
，
由
，得
，
由①②，解得
，即
，
则渐近线方程为
．
故选 ．
12. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美，对称美，
和谐美的结合产物．曲线
恰好是四叶玫瑰线．
给出下列结论：
①曲线 经过 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；
（其中 是. 素. 数. ）的素
数，称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）．
/
开始
输出
是
否 结束
A.
B.
C.
D.
6. 小明有 本作业本，小波有 本作业本．将这 本作业本混放在一起，小明从中任取两本，则他取
到的均是自己的作业本的概率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
7. 设等差数列 A.
故选 ．
5. 马林·梅森（
，
）是 世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时
欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得，费马等人研究的基础上对
作了大量的
计算，验证工作，人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如
（其中 是. 素. 数. ）的素
数，称为梅森素数．若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）．
1. 已知集合 A.
， B.
【答案】 D
【解析】 因为 故选 ．
，所以
,则 C.
．
（ ）． D.
2. 若复数
A.
B.
【答案】 C
【解析】 由 是纯虚数，得 因此 : 故选 ．
是纯虚数，则 C.
（ ）． D.
且
，所以
，
，
．
3. 已知 ， 是两条不同的直线； 、 是两个不同的平面．且
，
，，，
则” ”是
”的（ ）．
，若四棱锥 ；四
由
及
，得
平面
，
即 点在与 垂直的圆面 内运动，
易知，当 、 、 三点共线时， 达到最长，
此时， 是圆 的直径，则
；
又
，所以
平面
，
此时可将四棱锥
补形为长方体
，底面边长为 的正方形，
易求出，高
，
故四棱锥体积
．
故答案为： ；
．
，其体对角线为
三、解答题
/
（本大题共5小题，每小题12分，共60分。）
到的均是自己的作业本的概率为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【答案】 A【解析】．故选 ．7. 设等差数列 A.
的前 项和为 ，且 B.
， C.
，则
（ ）． D.
【答案】 A 【解析】 设公差为 ，则
故选 ．
，解得
所以
．
8. 在平面直角坐标系 中，已知椭圆
直线 A.
的距离为 B.
，则 的离心率为（ ）． C.
（ 2 ）设 、 是曲线 上的两点，若
，求
面积的最大值．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知不等式
对于任意的
（ 1 ）求实数 的取值范围．
（ 2 ）若 的最大值为 ，且正实数 ， ， 满足
．
恒成立． ，求证：
2020年高三一模理科数学试卷（大教育全国名校联盟）
答案及解析
一、选择题
（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
的右焦点为 D.
．若 到
/
【答案】 A
【解析】 由 到直线
得直线
所以
，
即
的距离 ， 的倾斜角为 ，
，
解得：
．
故选 ．
9. 已知函数 A. 函数 B. 函数 C. 函数
．则下列结论错误的是（ ）．
的最小正周期为 的图象关于点
对称
在
上单调递增
D. 函数 的图象可由
，的图象向左平移 个单位长度得到
【答案】 D
的面积取的最大值时，求
． 的长．
【答案】（ 1 ）
．
（2）
．
/
【解析】（ 1 ）由正弦定理及已知得
结合
，得
因为
，所以
，
由
，得
．
（ 2 ）在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
当且仅当
时，
的面积取得最大值，此时
在
中，
由余弦定理得
， ，
．
．
即
．
19. 在三棱柱
中，
，
，
．
，且
（ 1 ）求证：平面 （ 2 ）设二面角
17. 我国在贵州省平塘县境内修建的 米口径球面射电望远镜（
）是目前世界上最大单口径
射电望远镜．使用三年来，已发现 颗优质的脉冲星候选体，其中有 颗已被确认为新发现的
脉冲星．脉冲星是上世纪 年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每
一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是一定的．最小小到
/
15. 设数列 的前 项和为 ，且
，若
，则
．
【答案】
【解析】 由
，得
即
；又
为 的等比数列，所以
故答案为： ．
，两式相减，得
，
，解得
，数列 为首项为 ，公比
．
16. 已知四棱锥
的底面
是边长为 的正方形，且
的五个顶点在以 为半径的同一球面上，当 最长时，则
棱锥
的体积为
．
【答案】 ; 【解析】 如图：
【解析】 A 选项：由题知
B 选项：当
时，
C 选项：当
时，
，最小正周期
，所以 正确；
，所以 正确；
，所以 正确；
D 选项：由 得
的图象向左平移 个单位，
，所以 错误． 故选 D .
10. 已知函数 A.
（ ）． B.
（ ， 均为常数）的图象关于点
对称，则
C.
D.
【答案】 C
【解析】 将曲线
先向左平移 个单位，再向下平移 个单位，
，的图象向左平移 个单位长度得到
10. 已知函数 A.
（ ）． B.
（ ， 均为常数）的图象关于点
对称，则
C.
D.
/
11. 已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线 上的
一点，且
，若直线
则双曲线 的渐近线方程为（ ）．
A.
B.
与双曲线 的渐近线交于点 ，且 为
C.
D.
的中点，
12. 数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美，对称美，
②曲线 上任意一点到坐标原点 的距离都不超过 ；
③曲线 围成区域的面积大于 ；
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2020年深圳市高三一模理科数学试卷(含答案及解析)
2020年广东深圳高三一模理科数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分。
）1. A.B.C.D.已知集合，，则（ ）．2. A.B.C.D.设，则的虚部为（ ）．3. A.B.C.D.某工厂生产的个零件编号为，，，，，现利用如下随机数表从中抽取个进行检测．若从表中第行第列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第个零件编号为（ ）．4. A.B.C.D.记为等差数列的前项和，若，，则为（ ）．5. A.B.C. D.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）．6. A.B.C.D.已知，则（ ）．7.A.B.C.D.的展开式中的系数为（ ）．8. A.B.C. D.函数的图像大致为（ ）．9. A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（ ）．10.A.B.C.D.已知动点在以，，为焦点的椭圆 ，动点在以为圆心，半径长为的圆上，则的最大值为（ ）．11.A.B.C.D.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则（ ）．12.A.B. C. D.已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
）13.若，满足约束条件，则的最小值为 ．14.设数列的前项和为，若，则 ．15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是的概率为 ．16.已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线：相切，则的最大值为 ．三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共计60分。
2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)
绝密 ★ 启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（ ） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（ ）A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（ ） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B 2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos 2cos 0222x xxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。
百师联盟2020届全国高三毕业班下学期开学摸底大联考(全国Ⅰ卷)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前百师联盟2020届全国高三毕业班下学期开学摸底大联考(全国Ⅰ卷)数学(理)试题(解析版)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|31A x x =-<≤，集合{|B x y ==，则A B =（ ）A. ⎡⎤⎣⎦B. (⎤⎦C. ⎡-⎣D. (- 【答案】D【解析】【分析】由题意{|B x x =≤≤，再由集合并集的概念直接计算即可得解.【详解】由题意{{}{2||20|B x y x x x x ===-≥=≤≤，所以{{}{(|31|3|x x A B x x x x ⋃=-<≤=-<≤=≤≤⋃-． 故选：D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法和集合并集的运算，属于基础题.2.已知命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<，则命题 P 的否定为（ ）A. ,(0,1)∀∈x y ，2x y +≥B. ,(0,1)∀∉x y ，2x y +≥C. 00,(0,1)∃∉x y ，002+≥x yD. 00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y 【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.【详解】命题:,(0,1)∀∈P x y ，2x y +<的否定为“00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x y ”． 故选D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改写量词与结论即可，属于基础题型.3.已知实数,x y 满足2,2,10,y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩则32x y +的最大值为( )A. 7B. 5C. 4D. 92【答案】A【解析】【分析】画出已知约束条件对应的可行域，求出直接，代入目标函数，得到结果． 【详解】解：实数x ，y 满足2210y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩对应的可行域如下图所示：由210y x y =⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A ，32z x y =+经过可行域的A 时， 目标函数取得最大值．当1x =，2y =时，327z x y =+=，故32z x y =+的最大值为7，故选：A ．。
2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷及答案解析(附答题卡)
高三级数学（理科）答卷 第1页（共6页）2020届高三年级第二学期第一次模拟考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆ 2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为 A ．2 B ． 2 C ． D ．3．已知函数f (x )＝xax x 212++，若4))0((=f f ，则log 6a =A ．B ．2C ．1D ．6 4．命题p ：数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，命题q ：数列{}n a 是常数列，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0<b ，0>cB ．0>b ，0>cC ．0>b ，0<cD ．0<b ，0<ci aii1+2--1-21212()()2c x bx x f ++-=高三级数学（理科）答卷 第2页（共6页）6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机 抽取一个数，则它小于8的概率是A ．710 B ．35 C ．12 D ．257．在平行四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-=AD AB ＝，则该四边形的面积为A．B ．C ．5D ．108．设实数y x ,满足⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x ，则y x 2+的最大值和最小值分别为A ．1，1-B ．2，2-C ．1，2-D ．2，1-9．设{}n a 是公比不为－1的等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ， 则下列等式中恒成立的是 A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A ．B ．CD 11．已知函数=，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是A ．B ．C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=o，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为552()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩(,0]-∞(,1]-∞高三级数学（理科）答卷 第3页（共6页）A ．83π B ．163π C ．323π D ．643π二、填空题：共4题，每题5分，满分共20分，把答案填在答题卷的横线上． 13．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_________________． 14．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则7S = . 15．函数x x y cos 4sin 3-=在θ=x 处取得最大值，则=θsin ．16．已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则 .三、解答题：第17~21题为必做题，每题满分各为12分，第22~23题为选做题，只能选做一题，满分10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且43cos =B a 3sin =A b ． （1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10=S ，求ABC ∆的周长L ．18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，分别是的中点，.2221＝＝＝＝AB CB AC AA（1）证明：//平面； （2）求二面角的余弦值．19．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x a x =-(R ∈a ).(2,0)A -M λ=111ABC A B C -,D E 1,AB BB 1BC 1A CD 1D A C E --高三级数学（理科）答卷 第4页（共6页）（1）当a >0时，求f (x )的单调区间； （2）讨论函数f (x )的零点个数.20．(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为4，且过点)2,2(P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．21．(本小题满分12分)心理学研究表明，人极易受情绪的影响．某选手参加7局4胜制的乒乓球比赛．（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为31；但实际上，如果前一局获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到21；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为41. 求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A 、sin B 、sin C ，记A 、B 、C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+<选做题：请考生在下面两题中任选一题作答． 22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知动点，都在曲线： 上，且对应参数值分别为α与α2（02απ<<），点为的中点．（1）求点M 的轨迹的参数方程（用α作参数）；（2）将点M 到坐标原点)0,0(O 的距离d 表示为α的函数，并判断点M 的轨迹是否过坐标原点)0,0(O .2222:1(0)x y C a b a b+=>>0000(,)(0)Q x y x y ≠C Q x E (0,22)A AE A AE x D G D y QG QG P Q C ()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数M PQ高三级数学（理科）答卷 第5页（共6页）23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->．（1）证明：()f x ≥2； （2）若()35f <，求实数a 的取值范围．2019—2020学年度第二学期第一次模拟考试数学（理科）答卷题 号 一 二 三总分 17 18 19 20 21 22/23 得 分本框为考号填涂区和选择题答题区，必用2B 铅笔填涂，填涂的正确方法是：一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 6[A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]考 号 填 涂 区以下为非选择题答题区必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效。
2020届河南名校联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由题意，集合，或，，，则．2．【答案】C【解析】A．时不成立；B．，，则，因此不正确；C．，，则，正确；D．取，，，，满足条件，，但是不成立，故选C．3．【答案】B【解析】构造函数，由于函数与在定义域上都是单调递增函数，故在定义域上单调递增，由，，则函数的零点在之间，故，．4．【答案】C【解析】由正弦定理知．∵，∴或，又∵，∴，∴，∴．5．【答案】A 【解析】①命题“”的否定是“”，特称命题的否定是换量词，否结论，不变条件，故选项正确； ②若是真命题，则和均为真命题，则一定是假命题，故选项不正确；③“且”，则一定有“”，反之“”，，也可以满足，即，的范围不唯一，“且”是“”的充分不必要条件，故选项不正确； ④当时，幂函数在区间上单调递减，是正确的，幂函数在第一象限的单调性只和指数有关，函数单调递增，函数单调递减．故选项正确． 6．【答案】B【解析】正项等比数列的前项和为，，，sin sin b AB a===，解得，， ∴．7．【答案】C【解析】∵，二项展开式的通项为，二项展开式的通项为，则，解得，，所以，展开式中的系数为．8．【答案】C【解析】如图所示，直线过点，圆的圆心坐标，，直线与曲线有且仅有个公共点，设为，，则，，直线与曲线相切时，或(舍去)，()31311181314a q a q a q ⎧=⎪⎪∴⎨-⎪-=⎪-⎩11a =12q =()()()()1010101212121x x x x x -+=+-+直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是．9．【答案】C【解析】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在分到分之间的人数约为．故选C．10．【答案】C【解析】如图所示，设为椭圆的左焦点，连接，，则四边形是平行四边形，∴，∴，取，∵点到直线的距离不小于，∴，解得，∴，∴，∴椭圆的离心率范围是．11．【答案】B【解析】对于函数，令，解得，当时，令，则；对于函数，令，解得，当时，令，则．易得当函数与均在区间单调递减时，的最大值为，的最小值为，所以的最大值为．12．【答案】B【解析】，令，解得或，∴当或时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，作出的大致函数图象如图所示，令，则当或时，关于的方程只有一个解；当时，关于的方程有两个解；当时，关于的方程有三个解，∵恰有四个零点，∴关于的方程在上有一个解，在上有一个解，显然不是方程的解，∴关于的方程在和上各有一个解，∴，解得，即实数的取值范围是．01416)4(242<+-=eke e h 2244e k e >+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】或【解析】，则或． 14．【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图：其中，因为表示与点连线斜率，由图可得：当点在点处时，它与点连线斜率最小为．所以的取值范围为．15．【答案】8 【解析】将四面体置于长方体模型中，则长方体外接球半径为， 不妨设，，，()()1,01,0+=-或a b ()()()1,02,11,1=--=-a ()()()1,02,13,1=---=-a则．记，，即，当且仅当时“”成立．16．【答案】【解析】连结、，可得是边长为的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由，解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，()()()()222222240x y z S x y y z x z ++-=-+-+-≥8324≤⇒≤SS故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）∵，，∴，即①，由题意得，①式两边同除以，得，∴数列是首项为，公差为2的等差数列，121n S n =-21n nT n =+∴，∴．（2）∵，∴．18．【答案】（1（2【解析】（1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接，依题意易得，，，，，五点共面，因为平面，所以①，在中，，，因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，，代入①，得．（2）由（1）可知，是平面的一个法向量且，，设平面的法向量为，则可以为， ， 因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．19．【答案】（1）；（2）分布列见解析，．【解析】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，故的估计值为．又，故事件的概率为．（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为．111A B C n 0BC AB ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn nn ()cos ,3OP OP OP ⋅〈〉===⋅u u u ru u u r u u u rn n n15()65E X =显然，的可能取值为0，1，2，3且，所以；；；．故随机变量的分布列为：．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），而，又，得，，故椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，∵，故，设，∴，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程；)52,3(~B X 10TF PQ ⋅=u u u r u u u r 1TF PQ ⊥u u u r u u u r当时，直线的斜率为，直线的方程为；设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去，得，，，，，，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为． 21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），令，则，所以在上是增函数， 又因为当时，；当时，，所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点； 当时，的值域为，必存在使，1TF PQu u u r u u u r 3所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．（2）由（1）知，，即，所以，，由，得，令，显然在区间上单调递减，又，所以由，得，令，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，当时，函数取最小值，所以，即，即，所以，，所以，即．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为，由，得，又，，所以的直角坐标方程为．（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为．设点，的极坐标分别为，，则，，所以，所以，即，解得，又，所以．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，即，当时，原不等式化为，得，即；当时，原不等式化为，即，即；当时，原不等式化为，得，即．综上，原不等式的解集为．（2）因为，所以，可化为，所以，即对恒成立，则，所以的取值范围是．。
2020年三月高三-第一次在线大联考理科数学及解析
2020届高三第一次在线大联考数学 （新课标Ⅱ卷）理科 2020年3月（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -2．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x =<<I B ．{|2}A B x x =<I C ．{|2}A B x x =<UD ．{|12}A B x x =-<<U3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．64．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为A ．1637B ．949C ．937D ．3115．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18% 6．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]-ππ的图象大致为A BC D7．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为 A ．96B ．84C ．120D ．3608．0y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 A ．2B 1 CD 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为A ．B ．C ．5D10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C D11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=.其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量,a b 的夹角为2π3,则|2|-a b =_________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则πcos()12α-=_________.15．已知数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，11a =，12nn n a a +=，则6a =_________，200S =_________.16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a bB c-=. （1）求角C 的大小；（2）若ABC △，求ABC △的周长的最小值. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==. （1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 交C 于,A B 两点（异于坐标原点O ）.（1）若直线l 过点F ,12OA OB ⋅=-u u u r u u u r，求C 的方程； （2）当0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.20．（本小题满分12分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家（1）求一件手工艺品质量为B级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为D级不能外销，利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；②记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.21．（本小题满分12分）已知函数ln()e x xf xa=-.（1）若()f x在[1,2]上是减函数，求实数a的最大值；（2）若01a<<，求证：2ln ()a f xa+≥.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数).在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值与最小值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|||2|f x x x =+-. （1）求()f x 的最小值； （2）求不等式|4|()x f x x>的解集.全解全析1．B 【解析】因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．2．D 【解析】因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<,2{|log 1}{|02}B x x x x =<=<<,所以{|01}A B x x =<<I ,{|12}A B x x =-<<U ,故选D ．3．C 【解析】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，则112656212a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以51(51)15a =+-⨯=.故选C ．方法二：因为166256()3()2a a S a a +==+，所以53(2)21a +=，则55a =.故选C ． 4．C 【解析】由题图得，3,4AB BG CI ===，根据题意得5DI =.五边形AGFID 的面积为112534343722AGFID S =+⨯⨯+⨯⨯=五边形，正方形ABCD 的面积为9，因此，所求概率为937P =.故选C ．5．D 【解析】CPI 一篮子商品中，居住所占权重为23.0%，最大，选项A 正确；吃穿住所占权重为19.9%+8.0%+23.0%=50.9%>50%，选项B 正确；猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重为2.5%，选项C 正确；猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重为4.6%，选项D 错误.故选D ．6．A 【解析】因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1f x <<.故选A ．7．B 【解析】2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共444A 96=个，其中含有2个10的排列数共24A 12=个，所以产生的不同的6位数的个数为961284-=.故选B ．8．B 【解析】0y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o，则||AE =，所以双曲线C的离心率为1e =.故选B ．9．B 【解析】延长1C P 与BC 交于点E ，则点E 为BC 中点，连接AE ，取11A D 中点F ，连接AF ，1C F ，则四边形1AEC F 就是正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面,四边形1AEC F 是的菱形，连接1,AC EF ，所以1AC EF ⊥，且1AC EF ==1AEC F的面积为故选B ．10．D 【解析】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PF Q △中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==故选D ． 11．A 【解析】对于①，根据基尼系数公式Gini aS=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得()1f x x<，所以②错误.对于③，因为1223100111()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以116Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为1324100111()d ()|244a x x x x x =-=-=⎰，所以114Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ． 12．D 【解析】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 13【解析】因为单位向量,a b 的夹角为2π3，所以2π1||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以|2|-a b==14【解析】因为πππ()()6124αα++-=，所以πππ()1246αα-=-+.因为(0,π)α∈，所以ππ7π(,)666α+∈，又π1sin()063α+=-<，所以π7π(π,)66α+∈，所以πcos()6α+=.πππππππcos()cos[()]cos cos()sin sin()12464646αααα-=-+=+++1(()3-=. 15．8，100323⨯-（写为100101223+-也得分） 【解析】由11a =，12nn n a a +=得，22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以112n n a a +-＝，所以{}n a 的奇数项是以1为首项，以2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，以2为公比的等比数列.则26228a =⨯=，1001001001011002001(12)2(12)2233231212S ⨯-⨯-=+=+-=⨯---.16．27π4【解析】一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动,则圆柱形容器的底面直径及高的最小值均等于长方体的体对角线的长,长方体的体对角,所以容器体积的最小值为2327ππ()3=24⨯⨯. 17．（本小题满分12分）【解析】（1）因为22cos a bB c-=，所以2cos 2b c B a +=，（1分） 由余弦定理得222222a c b b c a ac+-+⋅=，化简得222a b c ab +-=，可得222122a b c ab +-=，解得1cos 2C =，（4分）又因为(0,)C ∈π，所以π3C =.（6分）（2）因为1sin 2ABC S ab C ===△6ab =，（8分）则a b +≥（当且仅当a b =时，取等号）.（9分）由（1）得22226c a b ab ab ab ab =+-≥-==（当且仅当a b =时，取等号），解得c ≥.（11分）所以a b c ++≥a b c ===， 所以ABC △的周长的最小值为（12分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF . 因为3PB BE =，所以E 是PB的三等分点，可得BF =. 因为2AB AD ==，BC CD ==AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，（1分）因为tan AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分）因为tan AB AFB BF ∠==60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，（3分） 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .（4分） 又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .（5分）因为AF EF F =I ，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .（6分）（2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =. 又因为4PC =，BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥. 又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =I ，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .（7分） 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则C ，(0,2,0)A，P ，所以BC =u u u r，BP =u u u r，2,0)AC =-u u u r，(0,AP =-u u u r.（8分） 设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u rm m，即11100y ⎧==⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得1)=-m .（9分）设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=u u u ru u u r n n，即222220y y -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩， 令21z =，可得=n .（10分）所以,cos ==m n，则n s ,i ==m n所以二面角A PC B --.（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】设1122(,),(,)A x y B x y .（1）由题意知(,0)2p F ，221212(,),(,)22y y A y B y p p .设直线l 的方程为()2px ty t =+∈R ，（1分）由222y pxp x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p --=，则222440p t p ∆=+>， 由根与系数的关系可得212122,y y pt y y p +==-，（3分）所以22212122344y y OA OB y y p p ⋅=+=-u u u r u u u r .（4分） 由12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，得23124p -=-，解得4p =.（5分）所以抛物线C 的方程为28y x =.（6分）（2）设直线l 的方程为(,0)x ny m n m =+∈≠R ，（7分）由22y px x ny m ⎧=⎨=+⎩得2220y pny pm --=，由根与系数的关系可得122y y pm =-，（9分）所以2221212121222(2)2044y y pm OA OB x x y y y y pm p p -⋅=+=+=-=u u u r u u u r ，解得2m p =.（11分） 所以直线l 的方程为2()x ny p n =+∈R ，所以0OA OB ⋅=u u u r u u u r时，直线l 过定点(2,0)p .（12分）20．（本小题满分12分）分）设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是ξ件，则7~(10,)27B ξ， （5分） 则1010720()C ()()2727k k kP k ξ-==,119101010720C ()()(1)7072727720()2020C ()()2727k k k k k k P k k P k k ξξ++--=+-===+. 由70712020k k ->+得5027k <，所以当1k =时，(2)1(1)P P ξξ=>=，即(2)(1)P P ξξ=>=，由70712020k k -<+得5027k >，所以当2k ≥时，(1)()P k P k ξξ=+<=，所以当2k =时，()P k ξ=最大，即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.（8分）②由上可得一件手工艺品质量为所以X 的分布列为21．（本小题满分12分）【解析】（1）1()e (0)x f x x ax'=->，（1分） 在[1,2]上，因为()f x 是减函数，所以1()e 0xf x ax'=-≤恒成立， 即1e x x a ≥恒成立，只需max 1(e )xx a≥.（3分）令()e x t x x =，[1,2]x ∈，则()e e x xt x x '=+，因为[1,2]x ∈，所以()0t x '>.所以()e x t x x =在[1,2]上是增函数，所以2max (e )2e x x =， 所以212e a ≥，解得2102ea <≤.（4分） 所以实数a 的最大值为212e .（5分） （2）ln ()e (0)xx f x x a =->，1()e x f x ax'=-. 令1()e (0)xg x x ax =->，则21()e x g x ax'=+， 根据题意知()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数.（7分）又因为11()e 10a g a=->，当x 从正方向趋近于0时，1ax趋近于+∞，e x 趋近于1，所以1()e 0xg x ax =-<，所以存在01(0,)x a ∈，使01()e 0x g x ax =-=， 即001e x ax =，000ln()ln ln x ax a x =-=--，（9分） 所以对任意0(0,)x x ∈，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上是减函数； 对任意0(,)x x ∈+∞，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 在0(,)x +∞上是增函数， 所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x .（10分）由于001e x ax =，00ln ln x x a -=+，则0000000ln ln 11ln ln 2ln ()e xx x a x a a af x a ax a ax a a a a a+=-=+=++≥=+== 2ln a a +，当且仅当001x ax a ==，即01x =时取等号，所以当01a <<时，2ln ()af x a+≥．（12分） 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）曲线C 的参数方程为1cos |sin |x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩，消去参数ϕ得曲线C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，（2分） 直线l 的极坐标方程为πsin()36ρθ-=sin cos 60θρθ--=， 由cos x ρθ=,sin y ρθ=得直线l60x --=.（5分） （2）曲线C 是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，（6分） 圆心到直线l751122=-=， 点(2,0)到直线l4=，（9分） 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为4，最小值为52.（10分） 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为2.（5分） （2）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于224x x x >⎧⎨+->⎩，解得3x >，（8分）所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .（10分）。
2020年高考理科数学模拟测试卷及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘帽在答题卡上指定位置。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷上无效。
3.考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ={a 2-4a ,-1},N={b2-4b+1,-2},f:x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于A.1B.2C.3D.42.若011<<ba ，则下列结论不正确．．．的是 A.a 2<b 2 B.ab <b 2 C.2>+b a a b D.|a |-|b |=|a-b |3.从8名女生，4名男生中选出6名学生级成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则汪同的抽取方法种数为A.C 2448CB.C 3438CC.312CD.A 2448A 4.已知方程(x 2-6x+k )(x 2+62x+h )=0的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列，则k+h =A.2-22B.2+22C.-6+62D.245.若已知tan10°=a ，求tan110°的值，那么在以下四个答案：①a a a a a 211333132--+-+；③；② ④2a 12-中，正确的是A.①和③B.① 和④C.②和③D.②和④ 6.设F 1、F 2分别为双曲线12222=-b y a x (a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(全国Ⅰ卷)(含答案解析)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（理科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足z−1+i=2i+1，则|z|=()A. √5B. 2C. √3D. 32.已知集合A={2a−1,a2,0}，B={1−a,a−5,9}，且A∩B={9}，则()A. A={9,25，0}B. A={5,9，0}C. A={−7,9，0}D. A∪B={−7,9，0，25，−4}3.已知向量a⃗=(x2−2x,1)，b⃗ =(1,−3)，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4.将函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，所得函数()A. 在区间(−3π8,π8)上单调递增 B. 在区间(−5π8,−π8)上单调递减C. 以x=π8为一条对称轴 D. 以(3π8,0)为一个对称中心5.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为()A. 8π3B. 8πC. 16π3D. 12π6.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是()A. 13B. 12C. 25D. 347.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1]B. [−12,1] C. (−12,1] D. (−12,+∞)8.在平面直角坐标系xOy中，A、B为函数y=√33|x|图象上的两点，若线段AB的中点M恰好落在曲线x2−3y2+3=0上，则△OAB的面积为()A. 2B. √3C. √32D. √339.一只蚂蚁从正四面体A−BCD的顶点A点出发，沿着正四面体A−BCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则第4秒时蚂蚁在A点的概率为()A. 2027B. 79C. 727D. 2910.在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，BC=√3CD，则∠ADB的最大值为()A. π4B. π3C. π2D. 2π311.我国古代的数学著作《九章算术⋅商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形的面积为()A. 2√213B. 4√213C. 2√73D. 4√7312.已知函数f(x)=alnx−2x，若存在x∈N∗，使f(x)>0成立，则实数a的取值范围是()A. (2e,+∞)B. (4ln2,+∞) C. (6ln3,+∞) D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z=|x−y+1|的最大值为______．14.在(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数为14，则实数a的值为______．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为______．16.巳知F1、F2为双曲线x24−y2=1的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若△PF1F2内切圆的圆心为I，则圆心1到圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，S2=10，S n=n−1n+1a n+1+2(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a n2n(n+1)!(n∈N∗)，数列{bn}的前n项和为T n，求证：12≤T n<1．18.某市为了了解该市教师年龄分布情况，对年齡在[20,60]内的5000名教师进行了抽样统计，根据分层抽样的结果，统计员制作了如表的统计表格：年龄区间[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]教师人数20001300样本人数130由于不小心，表格中部分数据被污染，看不清了，统计员只记得年龄在[20,30)的样本人数比年龄在[50,60]的样本人数多10，根据以上信息回答下列问题：(1)求该市年龄在[50,60]的教师人数；(2)试根据上表做出该市教师按照年龄的人数频率分布直方图，并求该市教师年龄的平均数x−及方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)．19.如图，将斜边长为4√2的等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成直二面角B−AD−C，E为AD中点．(1)求二面角A−BC−E的余弦值；(2)M为线段BC上一动点，当直线DM与平面BCE所成的角最大时，求三棱锥M−CDE外接球的体积．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx−1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)当a=12时，设P(x,y)为函数y=ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1(x∈(0,+∞))图象上任意一点．直线OP的斜率为k，求证：0<k<1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.若a>0，b>0，且2a+b+2=3ab．(1)求2a+b的最小值；(2)是否存在a、b，使得a3+b3=4√2？并说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵z−1+i=2i+1，∴z=2+i，∴|z|=√22+12=√5，故选：A．先根据复数的基本运算求出复数z，再利用复数的模长公式即可算出结果．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．2.答案：C解析：解：∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a−1=9或a2=9，∴a=5或a=±3，①a=3时，A={5,9，0}，B={−2,−2,9}，集合B错误，不满足集合元素的互异性，∴a≠3；②a=−3时，A={−7,9，0}，B={4,−8,9}，满足A∩B={9}，即a=−3成立；③a=5时，A={9,25，0}，B={−4,0，9}，A∩B={0,9}，∴a=5不成立，综上得，A={−7,9，0}，A∪B={−8,−7,0，4，9}．故选：C．根据条件可得出2a−1=9或a2=9，从而得出a=±3或a=5，然后对于每个a的值，求出A，B，看是否满足题意即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集的定义及运算，元素与集合的关系，集合元素的互异性，考查看计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：a⃗⋅b⃗ =x2−2x−3=(x−3)(x+1)，当−1<x<3时，a⃗⋅b⃗ <0，此时a⃗，b⃗ 的夹角为钝角或平角，即充分性不成立，若a⃗，b⃗ 的夹角为钝角，则a⃗⋅b⃗ <0，得−1<x<3，即必要性成立，则“−1<x<3”是“a⃗，b⃗ 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故选：B．根据向量数量积与夹角的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积与夹角的关系是解决本题的关键．比较基础．4.答案：B解析：解：函数y=2sin(2x+π4)的图象向右平移π4个单位长度，得到y=2sin(2x−π4)，对于选项A：令−π2+2kπ≤2x−π4≤2kπ+π2(k∈Z)，整理得：−π8+kπ≤x≤kπ+3π8(k∈Z)，故单调增区间为：[−π8+kπ,kπ+3π8](k∈Z).故选项A错误．对于选项B：由于函数的最小正周期为π，所以单调递减区间为[−5π8+kπ,kπ−π8](k∈Z)．当k=0时，在区间(−5π8,−π8)上单调递减，故正确．对于选项C：当x=π8时．2x−π4=0，所以函数没有取得最大或最小值，故错误．对于选项D：当x=3π8时，2x−π4=π2，所以f(3π8)=2≠0，故选项D错误．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据，计算该几何体的体积为V=V圆柱−V圆锥−V半球=π⋅22⋅4−13⋅π⋅22⋅2−12⋅4π3⋅23=8π．故选：B．根据三视图知该几何体是一个圆柱，挖去一个半球和一个圆锥，结合三视图中的数据计算该几何体的体积．本题考查了利用几何体的三视图求体积的问题，也考查了运算求解能力，是基础题．6.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P=2050=25．故选：C．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题．7.答案：B解析：解：∵y=log12x在(0,+∞)上为减函数，∴y=x2−ax+a在(12,+∞)上为增函数，且y>0恒成立，∴{−−a2≤12(12)2−12a+a≥0，解得−12≤a≤1．故选：B．由复合函数的单调性法则可知y =x 2−ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{−−a2≤12(12)2−12a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 8.答案：B解析：解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点M(x,y)， 由题意不妨设：x 1<0，x 2>0， ∵{x =x 1+x 22y =y 1+y 22，y═y 1+y 22=√33⋅x 2−x 12， 所以x 2−3y 2=x 1x 2，∴x 1x 2=−3，∵OA =√x 12+y 12=−2√33x 1，OB =2√33x 2，∠AOB =2π3，∴S △AOB =12OA ⋅OBsin∠AOB =−√33x 1x 2=√3．故选：B ．设出AB 坐标，求出中点坐标，代入双曲线方程，利用已知条件，转化求解三角形的面积，推出结果即可．本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9.答案：C解析：解：由题意可得，蚂蚁每次爬到下一个顶点的概率为13，设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，则P n =23P n−1+1×(1−P n−1)， ∴(P n −34)=−13(P n−1−34)，∴数列{P n −34}是以14为首项，以−13为公比的等比数列， ∴P n −34=14×(−13)n−1， ∴P n =34−34×(−13)n ，n ∈N ∗，∴第4秒时蚂蚁在A 点的概率为1−P 4=1−2027=727， 故选：C ．设第n 秒时蚂蚁不在顶点A 的概率为P n ，易知P 1=1，利用古典概型的的概率公式可得P n =23P n−1+1×(1−P n−1)，即(P n −34)=−13(P n−1−34)，再利用等比数列的通项公式求出P n 即可． 本题主要考查了古典概型的概率公式，是中档题．解析：解：设CD=a，则AB=2a，BC=√3a．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，由平面几何知识，易知AD=MC，BD=NC．设AD=MC=m，BD=NC=n．在△MBC中，m2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos∠MBC，在△NBC中，n2=a2+(√3a)2−2×a×√3a⋅cos(π−∠MBC)，∴m2+n2=8a2，在△ABD中，cos∠ADB=m2+n2−4a22mn =4a22mn，又2mn≤m2+n2=8a2，∴cos∠ADB=4a22mn ≥4a28a2=12，∴∠ADB的最大值为π3．故选：B．取AB的中点M，延长AB到N点，使BN=a，连接CM，CN，设CD=a，AD=m，BD=n，则AB=2a，BC=√3a，MC=m，NC=n，然后依次在△MBC和△NBC中利用余弦定理，借助∠MBC和∠NBC互补，可以得出m2+n2=8a2，再在△ABD中，利用余弦定理，表示出cos∠ADB，并结合基本不等式的性质即可求得其最大值．本题主要考查解三角形中的余弦定理，还涉及利用基本不等式求最值的问题，作出辅助线并利用互补的两个角的余弦值之和为0属于本题的难点，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于中档题．11.答案：A解析：解：延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由题意得NE=ME=√173，AM=AN=√5，MN=√6，∴AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形面积为：S=12×√6×√(√5)2−(√62)2+12×√6×(√173)(√62)=2√213．故选：A．延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连结PM，与B1C1交于点E，连结NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC−A1B1C1所得截面图形，由此能求出结果．本题考查平面截“堑堵”所得截面图形的面积的求法，考查“堑堵”性质、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解析：解：由题意可得alnx −2x >0， 当x =1时，−2>0不成立， 当x >1时，a >2xlnx ， 设g(x)=2xlnx ， 则g′(x)=2(lnx−1)ln 2x ，当x ∈(1,e)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， 当x ∈(e,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， ∵g(2)=4ln2，g(3)=6ln3， 又4ln3=ln81>ln64=6ln2， ∴4ln2>6ln3， ∴a >6ln3， 故选：C ．由题意可得a >2xlnx ，设g(x)=2xlnx ，利用导数求出a 的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：2811解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图： 令t =x −y +1，得y =x +1−t 表示，斜率为1纵截距为1−t 的一组平行直线，{4x −3y +6=0x +2y −1=0⇒C(1511,−211)； 平移直线y =x +1−t ，当直线y =x +1−t 经过点C(1511,−211)时，直线y =x +1−t 的截距最小， 此时t max =1511−(−211)+1=2811，当直线y =x +1−t 与AB 重合时，直线y =x +1−t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0−12+1=12，∴z =|x −y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x −y +1|的最大值为2811．故答案为：2811．作出不等式组对应的平面区域，令t=x−y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．14.答案：−1或32解析：解：设(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，则当r=2时，T3=∁52⋅x3⋅(−a)2=10a2⋅x3；则当r=1时，T2=∁51⋅x4⋅(−a)1=−5ax4；则当r=0时，T1=∁50⋅x5⋅(−a)0=x5；∴(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数是：10a2−5a−1=14⇒a=−1或32；故答案为：−1或32．根据题意，利用(x−a)5的展开式中的通项T r+1=∁5r⋅x5−r⋅(−a)r，通过对r取值即可求得(x2+x−1)(x−a)5的展开式中，含x5项的系数进而求得结论．本题考查二项式定理，着重考查二项展开式中的通项公式的应用，考查分析与转化运算的能力，属于中档题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1−9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：1解析：解：设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|．又点P在双曲线右支上，∴|PF1|−|PF2|=2a，即(|PA|+|F1A|)−(|PB|+|F2B|)=2a，∴|F1M|−|F2M|=2a，而|F1M|+|F2M|=2c，设M点坐标为(x,0)，∵|F1M|−|F2M|=2a，∴(x+c)−(c−x)=2a，解得x=a，故内切圆的圆心I与在直线x=2上，故圆x2+(y−1)2=1上任意一点的距离的最小值为2−1=1故答案为：1．设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则可知|PA|=|PB|，|F1A|=|F1M|，|F2B|=|F2M|，点P在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，因此|F1M|−|F2M|=2a，设M点坐标为(x,0)，代入即可求得x，可得内切圆的圆心I与在直线x=2上，即可求解．本题考查圆与圆锥曲线的综合与双曲线的简单性质，难点在于“|PF1|−|PF2|=2a⇒|F1M|−|F2M|=2a”的分析与应用，着重考查双曲线的定义与性质的灵活运用，属于难题．17.答案：(1)解：由题意，当n=1时，a1=S1=2，∵S2=a1+a2=2+a2=10，∴a2=8，当n≥2时，由S n=n−1n+1a n+1+2，可得：S n−1=n−2na n+2，两式相减，可得：a n=S n−S n−1=n−1n+1a n+1+2−n−2na n−2，整理，得：a n+1 n+1=2⋅a nn(n≥2,n∈N∗)，∴数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，∴a nn=4⋅2n−2=2n∴a n=n⋅2n(n≥2,n∈N∗)，∵当n=1时，a1=2也满足上式，∴a n=n⋅2n，n∈N∗．(2)证明：由(1)知，b n=a n2n(n+1)!=n⋅2n2n⋅(n+1)!=n(n+1)!=1n!−1(n+1)!，则T n=b1+b2+⋯+b n=1−12!+12!−13!+⋯+1n!−1(n+1)!=1−1(n+1)!<1，∵b n=n(n+1)!>0，n∈N∗，∴由T n构造成的数列{T n}为单调递增数列，∴T n≥T1=12，∴12≤T n<1．解析：本题第(1)题先计算出a1，a2的值，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)，代入进行推导可得数列{a nn }从第二项a22=4开始是以2为公比的等比数列，通过计算出数列{a nn}的通项公式可得到数列{a n}的通项公式，最后将n=1代入验证最终可得数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n，再根据放缩法和数列的单调性的应用即可证明结论．本题主要考查数列求通项公式，以及数列与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，构造法，裂项相消法求数列前n项和，放缩法，不等式的计算能力，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．18.答案：解：(1)设样本容量为x，则x5000×1300=130，解得x=500．∴年龄在[30,40)的教师在样本中共有5005000×2000=200(人)．∴年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中共有500−200−130=170(人)．设年龄在[50,60)的教师在样本中的人数为y，由题意知，y+(y+10)=170，则y=80．即该市年龄在[50,60]的教师人数为5000500×80=800；(2)由(1)可知，年龄在[20,30]的教师人数为5000−2000−1300−800=900(人)，频率为9005000=0.18；年龄在[30,40]的教师人数为2000(人)，频率为20005000=0.4；年龄在[40,50]的教师人数为1300(人)，频率为13005000=0.26；年龄在[50,60]的教师人数为800(人)，频率为9005000=0.18．由此作出频率分布直方图：x−=25×0.18+35×0.4+45×0.26+55×0.16=39；s2=(25−39)2×0.18+(35−39)2×0.4+(45−39)2×0.26+(55−39)2×0.16=92．解析：(1)设样本容量为x，由x5000×1300=130解得x，进一步求得年龄在[30,40)的教师在样本中的人数，可得年龄在[20,30)和[50,60)的教师在样本中的人数，再由题意列式求解；(2)分别求出各区间段的频率，即可画出频率分布直方图，再由期望与方差公式求该市教师年龄的平均数x−及方差s2．本题考查频率分布直方图，训练了利用频率分布直方图求期望与方程的估计值，考查计算能力，是中档题．19.答案：解：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，∵△ABC为等腰直角三角形，且二面角B−AD−C为直二面角，∴BD⊥平面ADC，∴AD=BD=CD=2√2，AB=BC=CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，∴EF⊥BC，AF⊥BC，∴∠EFA是二面角A−BC−E的平面角，在△EFA中，AE=√2，AF=√42−22=2√3，EF=√10−4=√6，∴cos∠EFA=EF2+AF2−AE22×EF×AF =1612√2=2√23，∴二面角A−BC−E的余弦值为2√23．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，在三棱锥B−CDE中，S△BCE=12×BC×EF=2√6，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，∴当M为BC中点时，直线DM与平面BCE所成角最大，此时DM=2，由平面几何知识可知，△CDE和△CME都是直角三角形，设N为CE的中点，则ND=NE=NC=NM=12CE=√102，∴三棱锥M−CDE的外接球的半径为R=√102，∴三棱锥M−CDE外接球的体积为：V=43π×(√102)3=5√103π．解析：(1)设F为BC中点，连结EF，AF，推导出BD⊥平面ADC，AD=BD=CD=2√2，AB=BC= CA=4，由平面几何可知，BE=CE=√10，从而EF⊥BC，AF⊥BC，进而∠EFA是二面角A−BC−E 的平面角，由此能求出二面角A−BC−E的余弦值．(2)设直线DM与平面BCE所成角为α，点D到平面BCE的距离为d，则sinα=dDM，由V B−CDE=V D−BCE，解得d=2√33当DM最小时，直线DM与平面BCE所成角的正弦值最大，此时所成角也最大，从而当M 为BC 中点时，直线DM 与平面BCE 所成角最大，此时DM =2，同此能求出三棱锥M −CDE 外接球的体积．本题考查二面角的余弦值、三棱锥外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA =PG ，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， ∴GB =12GH =2，∴PG =√x 2+4，又∵PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)； 当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ， ∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2−4t 1y −4a =0，∴y 1+y 2=−4t 1，y 1y 2=−4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1−a)2+y 12=(x 1−a)2+4x 1=x 12+(4−2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2−a)2+y 22=(x 2−a)2+4x 2=x 22+(4−2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4−2a)x 1+a 2+x 22+(4−2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4−2a)(x 1+x 2)−2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4−2a)−2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2⋅QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|+1|QT|=QS 2+QT 2QS ⋅QT =2t 12+a 2a (t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x −2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2， 进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，…1分；当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上的单调递减…2分； 当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√1a =±√aa(舍负)，…3分；当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；…5分(2)证明：由已知，即证0<y <x ． ∵y =ln x⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，∴即证0<lne x −x−112x 2<x …6分①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2，∴ℎ′(x)=e x −1−x ，ℎ″(x)=e x −1， ∵x ∈(0,+∞)，∴ℎ″(x)=e x −1>0，∴ℎ′(x)=e x −1−x 为增函数． ∴ℎ′(x)=e x −1−x >ℎ′(0)=e 0−1=0， ∴ℎ(x)为增函数，∴ℎ(x)=e x−x −1−12x 2>ℎ(0)=0，即e x−x −1>12x 2，即x(e xx −1)−1x(12x+1x)−1>1，∴lnx(e x x −1)−1x(12x+1x)−1>0，即y >0，…9分②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，∵s′(x)=e x −1−xe x −12x 2e x ，∴s″(x)=−2xe x −12x 2e x<0，∴s′(x)在(0,+∞)上为减函数， ∴s′(x)<s′(0)=0，∴s(x)在(0,+∞)上为减函数，∴s(x)<s(0)=0， ∴e x−x −1<12x 2e x，即e x −x−112x 2<e x，即y =lne x −x−112x 2<x 成立．由①②可知，0<y <x ，∴0<k <1成立，…12分．解析：(1)由f′(x)=a −1x 2=ax 2−1x 2，分a ≤0与a >0两类讨论，即可求得函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)由已知，即证0<y <x.由于y =lnx⋅g(x)−1x⋅f(x)−1=lnx(e xx −1)−1x(12x+1x)−1=lne x −x−112x 2，即证0<lne x −x−112x 2<x ，①设ℎ(x)=e x −x −1−12x 2；②构造函数s(x)=e x −x −1−12x 2e x ，利用导数研究由这两个函数的单调性及函数取值情况，即可证得0<k <1成立．本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性，考查分类讨论、构造函数、多次求导等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0． 所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2−1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2， 所以构成的切线长为√(2√2)2−1=√7，×1×√7=√7．所以四边形PACB面积的最小值为S=2×12解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)由3ab=2a+b+2≥2√2ab+2，得ab≥2，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b=3ab−2≥6−2=4，当且仅当2a=b=2时成立，所以2a+b的最小值为4．(2)由(1)知a3+b3≥2√a3b3≥4√2，当且仅当2a=b=2，a=b时成立，因为2a=b=2，a=b不同时成立，所以a3+b3>4√2，不存在a，b使a3+b3=4√2成立．解析：根据基本不等式求解ab的值域，然后求解(1)(2)．本题考查基本不等式，属于中等题．。
2020届高三上第一次模考理科数学试卷及答案解析
2020届高三第一次统一测试理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}22|≤≤-=x x B ，则A B =I （ ） A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22. 若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ）A ．25BC ．5D ．173. 设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，12a ＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )A ．－72B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－364．设向量→a ，→b ,满足2||2||==→→b a 且1|32|=+→→b a ，则向量→a 在向量→b 方向的投影为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 25()cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A ．773 B ．37 C ．77D 6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ） A ．a b d c >>> B ．c a d b >>> C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7.若βα,是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（ ）条件A.充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 8．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.255 B.35 C.45 D.559．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)3()5(-=+x f x f ，如果当[)4,0∈x 时，)2(log )(2+=x x f ，则)766(f =（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．210.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.π12B.π6C.π3D.5π611.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（ ）A.),2()1,(+∞--∞YB. )2,1(-C.)1,2(-D.),1()2,(+∞--∞Y 12．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞（Ⅱ卷 非选择题 满分90分）二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = 15.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别c b a ,,，若ABC ∆的面积为)(21222b a c --则内角C 的余弦值=16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分.17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()2n n S a n n =-∈*N ． （1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()13521n a a a a n +++++∈*N L ．18.（本题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，且C a A c cos 3sin =（1）求角C;（2）若A A B C c 2sin 5)sin(sin ,21=-+=,求ABC ∆的面积。