第十章 方差分析cjm
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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
《方差分析》课件
总结与展望
方差分析的意义方差分析Fra bibliotek一种有效的统计方法，可以帮助我们理 解数据之间的差异，并探索影响因素。
方差分析的未来发展趋势
随着数据分析和统计方法的进步，方差分析将继续 发展并得到更广泛的应用。
注
本PPT课件内容仅供教学参考，禁止用于商业用途！谢谢观看！
什么是方差分析
方差分析是一种统计方法，用于比较两个或多个样本之间的差异。它适用于试验设计、医学研究、社会科学、 以及生产制造等领域。
单因素方差分析
单因素方差分析是一种用于比较一个因素（变量）对于一个响应变量的影响的统计方法。它基于一组样本之间 的方差差异来评估因素的影响。
双因素方差分析
双因素方差分析是一种用于比较两个因素（变量）对于一个响应变量的影响 的统计方法。它可以同时评估两个因素以及两个因素之间的交互作用。
方差分析的应用
生产制造
方差分析可以帮助优化生产 过程，提高产品质量和生产 效率。
医学研究
方差分析可以用于比较不同 治疗方法的效果，评估药物 的疗效。
社会科学
方差分析可以帮助理解不同 人群之间的差异，例如不同 年龄组之间的意见差异。
方差分析的局限性
方差分析有一些局限性，如对于非正态分布的数据不适用。但可以通过优化方法，如转换数据或使用非参数方 法，来应对这些局限性。
《方差分析》PPT课件
Presentation introducing the concept of variance analysis. Explore the definition, application scenarios, and the steps involved in both single-factor and two-factor variance analysis.
方差分析的原理及应用
方差分析的原理及应用1. 方差分析的原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种常用的统计分析方法，用于比较两个或多个组之间的均值差异是否显著。
其原理基于以下几个假设：1.独立性假设：样本观测值是相互独立的。
2.正态性假设：样本观测值符合正态分布。
3.方差齐性假设：各组样本的方差相等。
方差分析基于总方差的分解，将总方差分为组内方差和组间方差，通过计算统计量F值来判断组间误差是否显著大于组内误差，从而得出结论。
2. 方差分析的应用方差分析可以用于不同领域的研究，以下为几个常见的应用场景：2.1. 实验设计分析方差分析可以用于实验设计的分析，通过比较不同处理组之间的均值差异，判断不同处理对结果的影响是否显著。
例如，在农业研究中，我们可以使用方差分析来比较不同农药处理对农作物产量的影响。
•农药处理组A的平均产量为X1•农药处理组B的平均产量为X2•农药处理组C的平均产量为X32.2. 组间差异比较方差分析可以用于不同组之间差异的比较。
例如，在医学研究中，我们可以使用方差分析来比较不同疗法组的疗效差异。
•疗法组A的平均疗效为Y1•疗法组B的平均疗效为Y2•疗法组C的平均疗效为Y32.3. 控制变量分析方差分析还可以用于控制变量的分析。
在实验设计中，我们常常需要控制其他因素对实验结果的影响，方差分析可以帮助我们分析这些控制变量的效果。
例如，在教育研究中，我们可以使用方差分析来控制学生背景因素对学业成绩的影响。
•学生背景因素A对学习成绩的影响•学生背景因素B对学习成绩的影响•学生背景因素C对学习成绩的影响3. 方差分析的步骤进行方差分析时，通常需要进行以下步骤：1.收集样本数据：获取不同组的观测值，确保满足方差分析的假设条件。
2.计算平均值：计算每个组的观测值的平均值。
3.计算总平方和：计算每个组与总体均值之间的平方和。
4.计算组间平方和：计算不同组之间的平均值与总体均值之间的平方和。
方差分析
n 打开数据文件grocery_1month.sav。 n 选择【分析】→【一般线性模型】→【单变量】
绘制选项
把style选入水平轴，gender选入单图，然后点击 “添加”。再把style和gender互相交换，选入不同 的框中，单击“添加”。
结果及其解释（1）
结果及其解释（2）
结果及其解释（3）
数据。
方差分析的前提条件
n 方差分析的自变量是“因子”或者“因素”， 它是分类变量；其因变量则为尺度变量，需要 满足以下两个基本前提条件：
n 每个处理的因变量为正态分布（正态性） n 每个处理的因变量具有相同的方差（方差齐性）
单因素的方差分析
n 用于研究一个影响因素对试验结果的影响，它 用于比较两个或者两个以上的总体之间是否有 显著的差异
结果解释
两两比较结果及解释
由于Levene检验没有证据说明三种培训方式的方差相等，参照两种不 同的两两比较的结果是必要的。 Bonferroni和Tamhane多重比较的结果是一致的。即培训2天和培训3天 没有显著的区别，而培训1天与另外两种培训都有显著区别。
同质子集
Tukey B两两比较输出的结果，它把在5%的显著性水 平下没有区别的总体放在同一列，作为同类子集。 这里，培训2天和培训3天没有显著区别，它们作为 一类。而培训1天单独作为1类。
协方差分析的数学模型
n 协方差分析的数学模型为 yij = ¹ + ai +¯ zij+ ²ij
这里yij表示在控制因素的i水平下的第j次试 验的因变量观测值；¹为因变量总体均值;ai表 示控制因素的水平下对因变量产生的效应；¯ 为协变量的回归系数；zij表示在控制因素的水 平i下的第j次试验的协变量观测值；²ij为抽样 误差，假设它是服从方差相等的正态分布变量。
方差分析的基本原理及分析过程
12 17
6
8
8
12
11
15
10
M
11
15
10
各组方差呈齐性
MSA2=4 MSB2=15.6 MSC2=4.8 Fmax=15.6/4=3.9
k=3 df=5-1=4 Fmax(.05)=15.5
Fmax ＜Fmax(.05)
四 方差分析的基பைடு நூலகம்条件
4.1 方差分析的基本假设 4.1.3 独立性
被试随机分配；
只被观测一次
实验中一个被试的观测值应该独立于其他被试的观测值。
当每个被试在一种实验条件下被观测多次时， 应将每个被试在同一实验条件下的观测值之 均值作为计算值
敬请各位同学批评指正
三 方差分析的步骤
步骤二：
计算各因素引起变异量对应的自由度
自由度是什么？ 如何计算？
数据发生变异的次数
三 方差分析的步骤
步骤二：
计算各因素引起变异量对应的自由度
A
B
C
10
15
10
14
20
12
12
17
6
8
8
12
11
15
10
dfb=3-1=2 dfw=3×(5-1)=12 dft=5×3-1=14
dft = dfb﹢dfw
多个处理组的平方和之和，代表不同处理组数据之间的变异大小。计算方式：各组平 均数与总平均数之差的平方和，再乘以各组被试数。
SSb = n. ∑（ ¯X j ﹣ ¯x t）2
• 组内平方和
多个组内部各自平方和之和，代表不同组内部变异的大小。计算方式：各组数据与该 组平均数之差的平方之和。
SSw = ∑∑（ X ij ﹣ ¯x j）2
贾俊平《统计学》第五版第10章 方差分析
i1 j1
i1
SSA = 76.8455
3）组内平方和 SSE
每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差
平方和
反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离差
平方和
该平方和反映的是随机误差的大小
k ni
2
计算公式为 SSE
xij xi
i1 j1
SSE = 39.084
检验的因素或因子
2. 水平
因素的具体表现称为水平 A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平
3. 观察值
在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值
1. 试验
这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平
的试验
2. 总体
因素的每一个水平可以看作是一个总体 比总体如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个
观察值 (j) 1 2 3 4 5 6 7
消费者对四个行业的投诉次数
零售业
行业( A ) 旅游业 航空公司 家电制造业
57
62
51
70
55
49
49
68
46
60
48
63
45
54
55
69
54
56
47
60
53
55
47
单因素方差分析
（计算结果）
解：设四个行业被投诉次数的均值分别为，1、2 、3、4 ，
• 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水 平之间存在着显著差异
10.1.3 方差分析中的基本假定 1.每个总体都应服从正态分布
• 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正 态分布总体的简单随机样本。
第十 方差分析优秀课件
2、自由度的计算
dtfn1
例10-3
n k1（n相等时）
dfb k1
dwf nk dft dfb
dtf918
dbf312 dw f826
kn1 （n相等时）
3、方差（均方）的计算
St2MtS
XXt 2 SS t
dtf
df t
Sb 2MbS
XXt 2
dbf
SS b df b
Sw 2MwS
n X22 n X2 n X2
n 2 k n 2
SSbk nX nX
例10-1
学法
X
∑X ∑X2 n M
A 6 5 7 18 110 3 6
B 11 9 10 30 302 3 10
C
5 4 6 15
77 3 5
∑ －－－
63 489 9 7（Mt）
X X2 n
StSX2 nX2
X X t2 X X 2 k nXXt2 k nXXt2 k nXX2
总平方和 组间平方和 组内平方和
SS t SS b SS w
计算式
St S XX t2X2 nX2
SbS X X t2nX2
X2
n
Sw S XX 2X2nX2
SSt SSb
k n
2
SSt
C 80 73 70 76 82 5
D 76 74 80 78 82 5
∑
20
∑X
382 420 381 390 1573
∑X2
29276 35314 29129 30460 124179
St S 12 4 11 4 22 7 7 0 4 9 3 .5 65 2
Sb S32 8 4 22 2 5 3 02 8 312 9 1 0 25 20 7 2.3 0 50 5 Sw S 46 .52 520 .50 5262
《方差分析基本条》课件
结果解释
综合解读多个自变量对因变量的 影响。
注意事项
样本大小和常数方差
样本大小和方差是否恒定的影响。
其他假设条件
如样本独立性、正态分布。
方差齐性检验
检验各组之间方差是否相等。
应用案例
生产工艺优化
通过方差分析来分析生产工艺的 不同参数对产品质量的影响。
教育教学效果评估
使用方差分析来评估不同教学方 法对学生学习成绩的影响。
医学疗效比较研究
比较不同治疗方法对患者疗效的 影响。
总结
1 方差分析的优点和局限性
优点包括能够比较多个组间差异，局限性包括对假设条件的严格要求。
2 未来发展趋势
3 学习资源推荐
应用更复杂的统计方法来解决多种问题。
书籍、论文、以及相关网站和课程。
《方差分析基本条》PPT 课件
分享方差分析的基本概念、假设检验、实验设计、结比较不同组之间是否存在显著差异。
基本概念
总变异
数据总体内的差异程度。
组内变异
同一组内数据之间的差异程 度。
组间变异
不同组之间数据的差异程度。
假设检验
1 零假设
假设组间没有显著差异。
3 检验统计量
用于计算组间差异的统计量。
2 对立假设
假设组间存在显著差异。
单因素方差分析
1
实验设计
将一组被试按照某个自变量分成多个水
假设条件
2
平。
样本独立、正态分布、方差齐性。
3
结果解释
解读组间的显著差异。
多因素方差分析
实验设计
交互作用
考虑多个自变量对因变量的影响。
两个或多个自变量同时对因变量 产生影响时的情况。
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第九章
方差分析
• 第一节 方差分析概述 • 第二节 单因素方差分析 • 第三节 多因素方差分析（略）
第一节 方差分析的概念与基本原理
一、什么是方差分析？ 二、方差分析的基本思路 三、方差分析的基本假定
• • • •
方差分析适用范围：定类-定距变量 方差分析分类： 自变量的个数：单因素 多因素 因变量的个数：一元方差分析、二元方差 分析以及多元方差分析
i
计算过程（续） k n
2
i 1 j 1
= (34-41.571)2+…+(40-41.571)2=825.1429
SSA
y i i j
k
1 1
ni
y
2
ni y i i
k
1
y
2
= 7×(34.714－41.571)2 +...+7×(40.429 －41.571)2 =786.286
2.
3.
第二节 单因素方差分析
• 一、分析步骤 • 提出假设 • 构造检验的统计量 • 给定检验的显著性水平 • 计算检验统计量的值 • 统计决策（结论）
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正 态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中 抽取的 如四种颜色饮料的销售量的方差都相同 3. 观察值是独立的 如每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分
观察值的两种误差（续）
方差分析就是要判断有无系统误差存在。
若观察值的差异不仅来源于随机误差，
也包含系统误差，则说明存在明显的因 素效应（即所研究因素不同水平下的总 体均值不全相等）。 为此，要对观察值的差异进行分析。
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解）
1. 1.总离差平方和
——全部观察值与总平均数的离差平方和；
表8-1 该饮料在五家超市的销售情况
超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
二、方差分析的基本思想
可解释的方差
方差分析的基本思想
（方差的比较）
1. 如果不同水平（颜色）对结果（销售量）没有影
响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没 有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该 很接近，两个方差的比值就会接近1； 反之，如果不同的水平对结果有影响，在组间方 差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差 ，这时组间方差就会显著地大于组内方差，组间 方差与组内方差之间的比值就会大于1； 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 的总体均值之间存在显著差异（存在系统误差）.
将 MSA 和 MSE 进行对比，即得到所需要的检验统计 量F；
当 H0 为真时，二者的比值服从分子自由度为 k-1 、分 母自由度为 n-k 的 F 分布，即 ：
M SA F ~ F ( k 1, n k ) M SE
3. 计算检验的统计量值
(上例的计算过程 )
三种班次工人的劳动效率及均值
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解——续） • 3. 组间平方和
– —各组平均数与总平均数的离差平方和。
SSA y i y ni y i y
2 i 1 j 1 i 1
k
ni
k
2
– – –
反映因素的不同水平 ( 不同总体 ) 下各样本均 值之间的差异； 既包括随机误差，也包括系统误差； 如四种颜色的饮料平均销售量之间的差异
方差分析就是检验定类变量和定距变量之间的关系。
【例】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色
共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四 种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量 的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五 家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响
– 基本逻辑： 将全部方差（以SST估计，自由度为：n-1）分 解为两个部分:消减方差（以SSB估计，自由度 为k-1）和剩余方差（以SSR估计，自由度为 n-k），然后从相互比较中推论X与Y在总体中 是否相关。 F=总体的消减误差/总体的剩余误差 即F=（SSB/df1）/(SSR/df2)； 或F＝组间方差/组内方差
一、什么是方差分析？
从两总体的均值差异比较说起： • 两总体的均值差异比较（第七章） 如果均值差异显著，说明？ • 多个总体均值的差异比较呢？
方差分析与均值差异检验
方差分析是均值差检验的推广，一般可用于检 验定类变量与定距变量之间的关系。 其中，定类变量被看作是“自变量”，或者影 响因素变量，而定距变量则被看作“因变量”
构造检验的统计量
1. 为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 SST：总离差平方和 SSR：组内平方和（剩余平方和）：各个观
测值对本组平均值的离差平方和 SSB：组间平方和：观测值的组平均值对总 平均值的离差平方和度。
SST y ij y
i 1 j 1
k
ni
2
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解——续）
2. 组内平方和
——各水平内部的观察值与该水平均值的离差平方和。
SSE
2 y y ij i k i 1 j 1
ni
• 反映同一水平下样本观察值的差异程度，所以不包 含系统误差，只包含随机误差。 • 比如，同种颜色的饮料的销售量差异。
方差
总方差分解
不可解释的方差
定距测量 层次：用 均值预测 所导致的 全部误差
可解释的方差 Ｆ比值＝ 不可解释的方差
方差F比值的意义
• Ｆ比值愈大，表示可解释掉的误差越多， 说明Ｘ与Ｙ在总体中愈可能是相关的。 • Ｆ比值究竟大到什么程度可以通过检验， 这就需要借助Ｆ分布表。 • 因为Ｆ值满足Ｆ抽样分布曲线，所以可以 直接借助Ｆ分布，判断Ｘ与Ｙ总体中是否 相关。
– 至少有一个总体的均值是不同的 – 有系统误差
•
体
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总
f(X)
3 1 2 4
X
单因方差分析与F检验
• 单方差分析中的F检验： 通过对各观察数据误差来源的分析来判断 多个总体均值是否相等； 是参数检定法的一种；
– 目的：推算在各组总体中的均值是否相等。
4
5 6 7
33
33 35 36
48
50 51 51
39
41 42 40
问题的提出
1. 检验班次对劳动效率是否有影响，也就是 检验三种班次的平均劳动效率是否相同； 2. 设三种班次的总体平均劳动效率分别为： 1
、2 、3 ，也就是检验下面的假设：
H0: 1 2 3
H1: 1 , 2 , 3 不全相等
三、方差分析中基本假定
• 如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4
– 四种颜色饮料销售的均值都相等 – 没有系统误差
•
这意味着每个样本都来自均值为、方差为 2的同一正态总体
f(X)
1 2 3 4
X
方差分析中基本假定
• 如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相 等
三、方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1.因素或因子 所要检验的对象称为因子 在上例中，颜色就是要检验的因素或因子。 2.水平 因素的具体表现称为水平（也称为类别或处理方案） . 在上例中四种颜色就是因素的四个水平。 3.观察值 在第 i 个水平下的 j 个观察值，记为 yij 上例中，每种颜色的销售量就是观察值.
786 .286 /(3 1) F 182 .118 38.857 /(21 3)
计算结果常常列为表格——方差分析表
方差 来源 组间A 组内E 总和
离差平方和
自由度
均方
F值
786.29 38.86
2
393.15 2.16
182.1
—
18
—
825.15
—
5. 统计决策
将统计量的值 F 与给定的显著性水平 的临界值 F （ k-1,n-k ）进行比较，作出接受或拒绝原 假设H0的决策。
yij i ij
＝该水平的总体均值+ 随机项
所有观察值 yij 之间的差异，可能来源于 两个方面：
观察值的两种误差（续）
1.系统误差（条件误差）
各水平的总体均值不同，从而导致了各水平
下的样本观察值也有差异；
由于所研究因素改变而产生的试验结果的差
异，即在因素的不同水平（总体）下，各观 察值间的差异；
比如，对任一饮料来说，不同颜色的销量可
能都有明显差异，这可能是由于所研究因素 ——颜色不同而造成的
观察值的两种误差（续）
2.随机误差 由于偶然因素而产生的差异，或者说是由于抽 样的随机性所造成的。 即在因素的同一水平（同一个总体）下，样本 的各观察值之间的差异； 比如，同一种颜色的饮料的销售量是有差异的
方差分析
• 第一节 方差分析概述 • 第二节 单因素方差分析 • 第三节 多因素方差分析（略）
第一节 方差分析的概念与基本原理
一、什么是方差分析？ 二、方差分析的基本思路 三、方差分析的基本假定
• • • •
方差分析适用范围：定类-定距变量 方差分析分类： 自变量的个数：单因素 多因素 因变量的个数：一元方差分析、二元方差 分析以及多元方差分析
i
计算过程（续） k n
2
i 1 j 1
= (34-41.571)2+…+(40-41.571)2=825.1429
SSA
y i i j
k
1 1
ni
y
2
ni y i i
k
1
y
2
= 7×(34.714－41.571)2 +...+7×(40.429 －41.571)2 =786.286
2.
3.
第二节 单因素方差分析
• 一、分析步骤 • 提出假设 • 构造检验的统计量 • 给定检验的显著性水平 • 计算检验统计量的值 • 统计决策（结论）
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正 态分布总体的简单随机样本 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中 抽取的 如四种颜色饮料的销售量的方差都相同 3. 观察值是独立的 如每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题 2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据 就越充分
观察值的两种误差（续）
方差分析就是要判断有无系统误差存在。
若观察值的差异不仅来源于随机误差，
也包含系统误差，则说明存在明显的因 素效应（即所研究因素不同水平下的总 体均值不全相等）。 为此，要对观察值的差异进行分析。
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解）
1. 1.总离差平方和
——全部观察值与总平均数的离差平方和；
表8-1 该饮料在五家超市的销售情况
超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
二、方差分析的基本思想
可解释的方差
方差分析的基本思想
（方差的比较）
1. 如果不同水平（颜色）对结果（销售量）没有影
响，那么在组间方差中只包含有随机误差，而没 有系统误差。这时，组间方差与组内方差就应该 很接近，两个方差的比值就会接近1； 反之，如果不同的水平对结果有影响，在组间方 差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差 ，这时组间方差就会显著地大于组内方差，组间 方差与组内方差之间的比值就会大于1； 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平 的总体均值之间存在显著差异（存在系统误差）.
将 MSA 和 MSE 进行对比，即得到所需要的检验统计 量F；
当 H0 为真时，二者的比值服从分子自由度为 k-1 、分 母自由度为 n-k 的 F 分布，即 ：
M SA F ~ F ( k 1, n k ) M SE
3. 计算检验的统计量值
(上例的计算过程 )
三种班次工人的劳动效率及均值
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解——续） • 3. 组间平方和
– —各组平均数与总平均数的离差平方和。
SSA y i y ni y i y
2 i 1 j 1 i 1
k
ni
k
2
– – –
反映因素的不同水平 ( 不同总体 ) 下各样本均 值之间的差异； 既包括随机误差，也包括系统误差； 如四种颜色的饮料平均销售量之间的差异
方差分析就是检验定类变量和定距变量之间的关系。
【例】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色
共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四 种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量 的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五 家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见表。 试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响
– 基本逻辑： 将全部方差（以SST估计，自由度为：n-1）分 解为两个部分:消减方差（以SSB估计，自由度 为k-1）和剩余方差（以SSR估计，自由度为 n-k），然后从相互比较中推论X与Y在总体中 是否相关。 F=总体的消减误差/总体的剩余误差 即F=（SSB/df1）/(SSR/df2)； 或F＝组间方差/组内方差
一、什么是方差分析？
从两总体的均值差异比较说起： • 两总体的均值差异比较（第七章） 如果均值差异显著，说明？ • 多个总体均值的差异比较呢？
方差分析与均值差异检验
方差分析是均值差检验的推广，一般可用于检 验定类变量与定距变量之间的关系。 其中，定类变量被看作是“自变量”，或者影 响因素变量，而定距变量则被看作“因变量”
构造检验的统计量
1. 为检验H0是否成立，需确定检验的统计量 2. 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 SST：总离差平方和 SSR：组内平方和（剩余平方和）：各个观
测值对本组平均值的离差平方和 SSB：组间平方和：观测值的组平均值对总 平均值的离差平方和度。
SST y ij y
i 1 j 1
k
ni
2
方差分析的基本思想和原理
（方差的分解——续）
2. 组内平方和
——各水平内部的观察值与该水平均值的离差平方和。
SSE
2 y y ij i k i 1 j 1
ni
• 反映同一水平下样本观察值的差异程度，所以不包 含系统误差，只包含随机误差。 • 比如，同种颜色的饮料的销售量差异。
方差
总方差分解
不可解释的方差
定距测量 层次：用 均值预测 所导致的 全部误差
可解释的方差 Ｆ比值＝ 不可解释的方差
方差F比值的意义
• Ｆ比值愈大，表示可解释掉的误差越多， 说明Ｘ与Ｙ在总体中愈可能是相关的。 • Ｆ比值究竟大到什么程度可以通过检验， 这就需要借助Ｆ分布表。 • 因为Ｆ值满足Ｆ抽样分布曲线，所以可以 直接借助Ｆ分布，判断Ｘ与Ｙ总体中是否 相关。
– 至少有一个总体的均值是不同的 – 有系统误差
•
体
这意味着四个样本分别来自均值不同的四个正态总
f(X)
3 1 2 4
X
单因方差分析与F检验
• 单方差分析中的F检验： 通过对各观察数据误差来源的分析来判断 多个总体均值是否相等； 是参数检定法的一种；
– 目的：推算在各组总体中的均值是否相等。
4
5 6 7
33
33 35 36
48
50 51 51
39
41 42 40
问题的提出
1. 检验班次对劳动效率是否有影响，也就是 检验三种班次的平均劳动效率是否相同； 2. 设三种班次的总体平均劳动效率分别为： 1
、2 、3 ，也就是检验下面的假设：
H0: 1 2 3
H1: 1 , 2 , 3 不全相等
三、方差分析中基本假定
• 如果原假设成立，即H0: 1 = 2 = 3 = 4
– 四种颜色饮料销售的均值都相等 – 没有系统误差
•
这意味着每个样本都来自均值为、方差为 2的同一正态总体
f(X)
1 2 3 4
X
方差分析中基本假定
• 如果备择假设成立，即H1: i (i=1，2，3，4)不全相 等
三、方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1.因素或因子 所要检验的对象称为因子 在上例中，颜色就是要检验的因素或因子。 2.水平 因素的具体表现称为水平（也称为类别或处理方案） . 在上例中四种颜色就是因素的四个水平。 3.观察值 在第 i 个水平下的 j 个观察值，记为 yij 上例中，每种颜色的销售量就是观察值.
786 .286 /(3 1) F 182 .118 38.857 /(21 3)
计算结果常常列为表格——方差分析表
方差 来源 组间A 组内E 总和
离差平方和
自由度
均方
F值
786.29 38.86
2
393.15 2.16
182.1
—
18
—
825.15
—
5. 统计决策
将统计量的值 F 与给定的显著性水平 的临界值 F （ k-1,n-k ）进行比较，作出接受或拒绝原 假设H0的决策。
yij i ij
＝该水平的总体均值+ 随机项
所有观察值 yij 之间的差异，可能来源于 两个方面：
观察值的两种误差（续）
1.系统误差（条件误差）
各水平的总体均值不同，从而导致了各水平
下的样本观察值也有差异；
由于所研究因素改变而产生的试验结果的差
异，即在因素的不同水平（总体）下，各观 察值间的差异；
比如，对任一饮料来说，不同颜色的销量可
能都有明显差异，这可能是由于所研究因素 ——颜色不同而造成的
观察值的两种误差（续）
2.随机误差 由于偶然因素而产生的差异，或者说是由于抽 样的随机性所造成的。 即在因素的同一水平（同一个总体）下，样本 的各观察值之间的差异； 比如，同一种颜色的饮料的销售量是有差异的