第十章 一年多点试验资料的方差分析分析
方差分析报告
方差分析报告引言方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个样本均值的统计方法。
通过方差分析，我们可以确定不同组别之间是否存在显著差异，以及这种差异是否是由随机因素引起的。
本文将对方差分析的原理、应用场景以及实施过程进行详细介绍，并通过一个案例来展示如何进行方差分析并解读结果。
原理方差分析基于总体均值和个体观测值的关系进行推断，其基本思想是将总体方差分解为组内方差（Within-group Variance）和组间方差（Between-group Variance），然后通过比较这两部分方差的大小来判断是否存在组别间的显著差异。
方差分析的假设： - 原假设（H₀）：各组别样本均值没有显著差异。
- 备择假设（H₁）：各组别样本均值存在显著差异。
应用场景方差分析常用于以下场景： - 不同治疗方法的疗效比较 - 不同教育水平对工资的影响分析 - 不同广告投放策略的销售效果比较实施步骤进行方差分析的基本步骤如下：1.收集数据：根据实际需求，收集符合要求的样本数据。
2.建立假设：明确原假设和备择假设。
3.计算总体均值：计算每个组别的样本均值和总体均值。
4.计算组间方差：计算组间平方和、组间均方和和组间自由度。
5.计算组内方差：计算组内平方和、组内均方和和组内自由度。
6.计算F值：根据组间均方和和组内均方和计算F值。
7.判断显著性：根据F值和显著性水平对结果进行判断。
8.结果解读：根据显著性水平，判断组别间的差异是否显著。
案例分析我们以某个电商平台的不同广告投放策略的销售额数据为例，进行方差分析。
首先，我们从该电商平台收集到了三个组别的销售额数据，分别为A组、B组和C组。
我们的目标是比较这三个组别的销售额是否存在显著差异。
数据组别销售额（万元）A组15.6A组13.2A组16.5B组12.3B组11.8B组10.9C组14.6C组16.2C组15.8首先，我们要计算每个组别的样本均值和总体均值。
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方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
第十章 统计学 方差分析
经济、管理类 基础课程
二、方差分析的基本思想和原理
（一）图形描述
不同行业被投诉的次数是有明显差异的 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同
统计学
1. 从散点图上可以看出（仍以例10.1为例）
家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数 较低
2. 行业与被投诉次数之间有一定的关系
3. 系统误差
经济、管理类 基础课程
统计学
1. 数据的误差用平方和(sum of squares)表示，称 为方差 2. 组内方差(within groups) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 比如，零售业被投诉次数的方差 组内方差只包含随机误差 3. 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 比如，四个行业被投诉次数之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
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统理类 基础课程
统计学
第十章 方差分析
第一节 方差分析的基本问题 第二节 单因素方差分析 第三节 双因素方差分析
10 - 2
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统计学
1. 2. 2. 3.
学习目标
解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 掌握双因素方差分析的方法及应用
(analysis of variance)
统计学
1. 检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相
等
2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响
一个或多个分类尺度的自变量
两个或多个 (k 个) 处理水平或分类
方差分析
n 打开数据文件grocery_1month.sav。 n 选择【分析】→【一般线性模型】→【单变量】
绘制选项
把style选入水平轴，gender选入单图，然后点击 “添加”。再把style和gender互相交换，选入不同 的框中，单击“添加”。
结果及其解释（1）
结果及其解释（2）
结果及其解释（3）
数据。
方差分析的前提条件
n 方差分析的自变量是“因子”或者“因素”， 它是分类变量；其因变量则为尺度变量，需要 满足以下两个基本前提条件：
n 每个处理的因变量为正态分布（正态性） n 每个处理的因变量具有相同的方差（方差齐性）
单因素的方差分析
n 用于研究一个影响因素对试验结果的影响，它 用于比较两个或者两个以上的总体之间是否有 显著的差异
结果解释
两两比较结果及解释
由于Levene检验没有证据说明三种培训方式的方差相等，参照两种不 同的两两比较的结果是必要的。 Bonferroni和Tamhane多重比较的结果是一致的。即培训2天和培训3天 没有显著的区别，而培训1天与另外两种培训都有显著区别。
同质子集
Tukey B两两比较输出的结果，它把在5%的显著性水 平下没有区别的总体放在同一列，作为同类子集。 这里，培训2天和培训3天没有显著区别，它们作为 一类。而培训1天单独作为1类。
协方差分析的数学模型
n 协方差分析的数学模型为 yij = ¹ + ai +¯ zij+ ²ij
这里yij表示在控制因素的i水平下的第j次试 验的因变量观测值；¹为因变量总体均值;ai表 示控制因素的水平下对因变量产生的效应；¯ 为协变量的回归系数；zij表示在控制因素的水 平i下的第j次试验的协变量观测值；²ij为抽样 误差，假设它是服从方差相等的正态分布变量。
方差分析方法
方差分析方法方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。
本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。
在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。
1. 方差分析的意义、用途及适用条件1.1 方差分析的意义方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。
即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。
SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。
如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。
方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。
在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。
1.2 方差分析的用途1.2.1 两个或多个样本均数的比较。
1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。
1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用。
1.2.4 方差齐性检验。
1.3 方差分析的适用条件1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。
1.3.2 各抽样总体的方差齐。
1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的。
1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。
一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。
2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较）根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。
方差分析
τi
的变异度，故推断也不是关于某些供试处理， 的变异度，故推断也不是关于某些供试处理，而 是关于抽出这些处理的整个总体。 是关于抽出这些处理的整个总体。所以方差分析 要测验的假设是 H 0：σ τ2 = 0 对 H A：σ τ2 〉 0
第四节
常用试验设计资料的方差分析
一、完全随机设计资料的方差分析（见前述） 完全随机设计资料的方差分析（见前述） 二、巢式设计资料的方差分析
观 察 值 总 变 异 差
（
）
（一）平方和与自由度分解
按照上述变异原因分解进行各项平方和与自由度 的计算。 的计算。
（二）F测验 测验
巢式设计的资料属于系统分组资料， 巢式设计的资料属于系统分组资料，应注意在进 测验时， 行处理间（即组间）差异的F测验时，分母应为亚组 处理间（即组间）差异的 测验时 间方差；而进行亚组间差异的F测验时， 间方差；而进行亚组间差异的F测验时，分母应为误 差方差。 亚组间的差异未达到显著时， 差方差。当亚组间的差异未达到显著时，则应将亚组 间变异与误差进行合并，求出新的误差量， 间变异与误差进行合并，求出新的误差量，再对组间 差异进行F 差异进行F测验
PLSD0.01 〉 x1 − x 2 ≥ PLSD0.05
差异为显著； 差异为极显著； 差异为不显著。
x1 − x 2 ≥ PLSD0.01
x 1 − x 2 〈 PLSD0.05
最小显著极差法(least significant ranges) ， （二）最小显著极差法 即LSR法。 法 主要介绍SSR法 SSR法即邓肯氏新复极差法。 主要介绍SSR法。SSR法即邓肯氏新复极差法。 SSR 法即邓肯氏新复极差法 步骤：1.根据平均数秩次距k和dfe查出SSRα值。 步骤：1.根据平均数秩次距k 查出SSR 根据平均数秩次距 秩次距是指相比较的两个平均数之间（含这两个平 秩次距是指相比较的两个平均数之间（ 均数）包含的平均数个数。 均数）包含的平均数个数。 2.计算平均数标准误： 2.计算平均数标准误： 计算平均数标准误
试验资料的方差分析 PPT
2MSe r
缺区与非缺区间得比较
s xi• x j•
MSe [2
k
]
r
(r 1)(k 1)
第三节 两因素随机区组设计试验资 料得方差分析
一、数学模型与期望均方
设试验有A与B两因素,A因素有a个水平,B因素有b 个水平,随机区组设计,重复r次,则该试验共有abr个观 察值。
任一观察值得数学模型为:
38.766 2.170 1.126 32.206 3.264
dfT k 2 1 52 1 24, dfr dfc dft k 1 5 1 4
dfe (k 1)(k 2) (5 1) (5 2) 12
方差分析
经过方差分析,得表10-12。
各品种小区产量平均数间得多重比较 (LSD法)
缺区估计
一、缺区估计得原理
缺区估计得原理就是最小二乘法(Least squares method),取误差平方与为最小值得方法来估计。
对于随机区组试验,有
xi'j
Tt' xi'j r
TB'
xi'j k
T ' xi'j kr
0
xi'j
rTB' kTt' T ' (r 1)(k 1)
【例10-6】资料处理与区组两向表,见表10-26。 A与B因素两向分组整理,见表10-27。
平方与得计算
x2 1525.42
C
64634.588
rab 3 4 3
SST x2 C 39.82 43.32
44.32 64634.588 3885.152
SSAR
xi2 l
C
方差分析
十章节协方差分析
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
性质。在方差分析中，一个变量的总平方和与
自由度可按变异来源进行剖分，从而求得相应
的均方。统计学已证明：两个变量的总乘积和
StPx1n.1 y1.x2n.2 y2..
.. xk.yk.x.y...
nk
k
ni
i1
dft k1
SPe
k i1
ni j1
xij
yij
x1n.1y1.x2n.2y2..
.. xkn.kyk.
=SPT-SPt
k
df e = n -i k =dfT-dft i1
(10-9)
有了上述SP和df，再加上x和y的相应SS， 就可进行协方差分析。
n 1
是x的均方MSx，它是x的
方差
2 的无偏估计量；
x
(y y)2
n 1
是y的均方MSy，它是y的
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y)
n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
回归关系显著性检验表
F检验表明，误差项回归关系极显著，表明 哺乳仔猪50 日龄重与初生重间存在极显著的线 性回归关系。因此，可以利用线性回归关系来 校正y，并对校正后的y进行方差分析。
2、对校正后的50日龄重作方差分析
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(2)其他试验点品种比较试验的方差分析
• 同理分别对L2、L3、L4、L5试验点进行方差分析
（具体计算方法同L1）。各试验点的自由度都相 同，均方值只需将相应的平方和除以自由度，其 各试验点方差分析结果列于表10－4。
表10-4
变异 来源 区组
各试验点方差分析结果
L1 SS 2 32.0 MS 16.0 SS 28.5 L2 MS 14.25 SS 0.5 L3 MS 0.25
…
x223
…
…
…
x22r
…
v
… … 1 L 2
x2v1
… xL11 xL21
x2v2
… xL12 xL22
x2v3
… xL13 xL23
…
… … …
x2vr
… xL1r xL2r
…
v
…
xLv1
…
xLv2
…
xLvr
…
…
…
xLvr
• 它的数学模型为：
xijk＝μ ＋ti＋Lj＋(tv)ij＋rjk＋eijk
一年多点试验数据表
地点
品种 1 x111 x121
重复（区组） x112 x122 x113 x123 x11. x12. x11r x12r
1
2
…i
v 1
x1i1
x1v1 x211
x1i2
x1v2 x212
x1i3
x1v3 x213
x1i.
x1v. …
x1ir
x1vr x21r
2
2
…
x221
…
x222
L3
III Tv I II
L4
III
Tv
21
18
39
24
102
试点
区组 I II
品种 V1 5 12 7 24 V2 8 10 9 27 V3 11 12 10 33 V4 11 15 7 33 Tr. 35 49 33 117 T L..
L5
III Tv
Tv..
168
132
231
147
T=678
l(r-1) l-1 v-1 (l-1)(v-1) l(r-1)(v-1)
ssr ssl ssv ssv l sse
msr msl msv msvl mse
msr/ mse msl/ mse msv/ mse msvl/ mse
品种×地点 试验误差
总
计
rlv-1
sst
二、品种多点试验结果统计分析示例
• 误差平方和SSe＝438－32－240＝166
• 总dfT＝Vr－1＝4×3－1＝11
• 区组 dfr＝r－1=3－1=2
• 品种dfv=V－1=4－1=3
• 误差dfe＝(v－1)(r－1)＝(4－1)(3－1)＝6
• 区组均方MSr＝32/2=16
• 品种均方MSv＝240/3=80
• 误差均方MSe＝166/6=27.67
式中μ 为群体的平均值，ti为品种i的效应，Lj为
地点j的效应，(tv)ij为品种×地点互作效应，rjk
为地点内的区组效应，eijk为随机误差。由此，可
以得到一年多点区域试验的方差分析表(表10-2)。
表10-2 一年多点试验资料的方差分析
变异来源 地点内区组 地 点 品 种 自由度df 平方和ss 均方ms F值
SS
38.0 20.25 24.0 82.25
MS
19.0 6.75 4.0
2．各试验点误差均方同质性测验
• 对品种多点试验结果进行联合分析时，通常要对
各试验点误差均方进行同质性（齐性）测验，只 有当各试验点误差均方差异不显著时，才能将各 试验点的试验结果合并分析，否则，不宜合并。 对各试验点的误差均方行同质性测验。
DF
品种
误差 总变异
3
6 11
240.0
166.0 438.0
80.0
27.67
278.25
119.5 426.25
92.75
19.92
108.0
39.5 148.0
26.0
6.58
变异来源 区组 品种 误差 总变异 2 3 6 11
DF
L4
L5
SS
9.5 87.0 64.5 161.0
MS
4.75 29.0 10.75
L 1 L 2 2 ( j ) ln S j S j C j 1 j 1 2
• 设有一个早稻品种多点试验，供试品种四个（V＝
4），以V1、V2, V3, V4表示，其中V4品种为对照，
三次重复（r＝3），以I、II、III表示，随机区
组试验设计，分别在五个试验点（L＝5）同时进
行，以L1, L2, L3, L4, L5表示，小区面积为100m2， 试验小区产量结果（kg）列于表10-3。
(1) L1试验点品种比较试验的方差分析
•
分别对表10-3早稻多点试验各试验点小区产量结果（kg） 进行方差分析，计算出各试验点相应的平方和、自由度和
均方。
• • • •
矫正数C＝T2/Vr=2042/4×3=3468 总平方和SST=x2－C=（172＋102＋……＋122）－C＝438 区组平方和SSr=Tr2－C＝(602+682+762)/4-C=32 品种平方和SSv =Tv2－C ＝(692+332+572+452)/3－C＝240
第十章
一年多点试验资料的方差分析
一、品种多点试验资料的方差分析
• 设有v个品种，在L个地点做比较试验。每个地点皆设r个
重复，按随机区组设计进行试验，则第i个品种(i=1, 2, …, v)在第j个地点(j=1, 2, …, u)，第k区组(k=1, 2, …, r)的观测值为xijk，如下表：
表10－1
60
68 76 204 52 61 46
L2
III
Tv
39
33
63
24
159
试点
区组 I II
品种
V1 5 6 4 15 11 6 4 V2 7 8 6 21 3 10 5 V3 10 13 16 39 13 11 15 V4 10 4 7 21 10 9 5 37 36 29 Tr. 32 31 33 96 T L..
（1）Bartlett 2测验方法
• 设有L个独立误差均方估计值S12，S22，…，SL2，
其相应自由度分别为V1，V2，……VL，那么合并 方差S2为：
S
2
1
j
j 1
L
2 s * j j j 1
L
j 1
L
j
1 2 L
• Bartlett 2值为：
1．各试验点品种比较试验的方差分析
表10-3
试点 区组
早稻5点试验各试验点小区产量（kg）
品种 V1 V2 V3 V4 Tr. T L..
L1
I
II III Tv I II
17
21 31 69 10 19 10
10
12 11 33 12 10 11
13
22 22 57 23 26 14
20
13 12 45 7 6 11