多因素设计与方差分析

( I 1)( J 1)( K1)
ABC 误差
TAB
SS ABC
MS ABC 1 Ti2 C SS A SS B SS C SS AB SS AC SS BC n MS E
g ( n 1)
T AC
1 S S E X 2 T i2 n
注：其中 分组的合计。
1 rJ 1 rI
MS
Ai2 C
2 Bi C
二阶交互作用 A× B 处理间（合计）
相 减
1 2 T i C r
其中 Ai 表示 A 因素第 i 个水平的小计（不考虑 B 因素） ，B i 表示 B 因素第 i 个水平的小计（不考虑 A 因素） 。将以上三项（ A、 B 和 A × B）的 DF、 SS 和 MS 替换表完全随机设计方差分析表中处理组的 DF 、 SS 和 MS。
如主效应有显著差别，则可直接比较各因素不同水平的差别。本 例照射时间存在差别，由 B i 计算各水平的均数
Xi
即刻 0.42
1d 0.39
3d 0.37
5d 0.40
7d 0.39
即照射 3 天后鼠肝细胞的 DNA 含量最低。
对于二因素以上的析因设计，处理组的方差分解更 为复杂，交互作用的解释（如二阶交互作用：三因素之 间的交互作用，三阶交互作用：四因素之间的交互作用） 也更加困难。具体计算过程类似二因素析因设计。
表 完全随机分组的两因素析因设计方差分析表 方差来源 A B A× B 误差 合计 处理间 DF SS MS F值 P值
例
用不同频率毫米波按不同照射时间照射小鼠后，
分析小鼠肝细胞中的DNA含量。共有75只小鼠作试验，
实验因素一个是照射频率（A因素），共3个水平 （36.04GHz、50.05GHz、空白对照），一个是照射时 间（ B 因素），共 5 个水平（照射即刻、 1d 、 2d 、 5d、 7d），共3×5=15个处理组。将75只小鼠随机等分15组， 每组5只。各组小鼠肝细胞DNA含量的合计见下表。
实验单位编号
2，5，6，12
T2（a1b2）
7
11 15
8
10 16
4，7，8，9
T3（a2b1）
1，10，11，14
T4 （a2b2） 实验单位 属 性
3，13，15，16
统计分析 数据表：16行3列( dependent + factor 1 + factor 2 )
反应变量
处理因素
反应变量
处理因素
表 方差来源 A 处理间 B A× B 单位组间 误 差 合 计 随机单位组析因设计的方差分析表 F值 DF SS MS P值
若在计算机上用软件处理， 数据矩阵的行数为实验单位数， 列数 为（观察指标数 +因素个数 +1） ，增加的 1 列指示实验单位所属的单 位组。
2.单位组析因设计（ N=16， n=4, G= 2×2 ）
A B A×B 处理间（合计） MS 0.0035 0.0057 0.0019
表
小鼠肝细胞 DNA 含量的方差分析表 DF 2 4 8 60 74 SS MS F 1.46 2.38 P >0.05 >0.05 >0.05
方差来源 频率间（ A ） 时间（ B ） A× B 误差 合计
0.0069 0.0035 0.0229 0.0057
反应变量 单位组 处理因素
完全随机设计方差分析：
处理组间 误差 合计 DF 14 60 74 DF 2 4 8 14 SS 0.0451 0.1222 0.1673 SS 0.0069 0.0229 0.0153 0.0451 MS 0.0032 0.0024
将处理组间的 DF=14 和 SS=0.0451 进一步分解为：
如果4种饲料是由脂肪含量（A：a1，a2）和蛋白含量（B： b1 ， b2 ）两个因素复合组成，研究目的不仅是比较 4 种饲 料（处理组：a1b1， a1b2， a2b1 ，a2b2 ）的差别，还要分别
分析脂肪含量高低、蛋白含量高低对小鼠体重的影响及
其交互作用，就是多处理因素（两处理因素）的实验。
单位组 干预（随机数大小序号，R ） a1b1
T1 T1 T1
a1b2
T2 T2 T2
a2b1 a2b2
T3 T3 T3 T4 T4 T4 一个 单位 组组 成完 全的 全区 试验
T1
T2
T3
T4
统计分析 数据表：16行4列( dependent + block + factor 1 + factor 2 )
，
，
TBC
分别为 A 、B 两因素、A 、C 两因素和 B 、C 两因素交叉
2.随机单位组的析因设计 按随机单位组设计将 G 个析因处理（多因素的水平组合）随机 分配给单位组内的各实验单位。 数据处理也分两个步骤。 首先计算随 机单位组方差分析表，然后将处理组间的 DF 和 SS 分解。将分解后 的 DF 和 SS 替换处理组的 DF 和 SS，得随机单位组析因设计的方差 分析表。
在数据处理上，析因设计的方差分析用软件处理甚
为方便。数据矩阵的行数为实验单位数，列数为（观察
指标数+因素个数）。
设 A 因 素 有 I ( 2) 个 水 平 ， B 因 素 有J ( 2) 个 水 平 ， C 因 素 有 K ( 2) 个水平 , 称三因素析因设计，共有 g I J K 个处理组。完全 g 随 机 分 组 是 将gn 个 实 验 单 位 随 机 等 分 为 组 ， 每 组 例 数n 为 。
a3 a3 b1 （T1 1 ） a3 b2 （T1 2 ） a3 b3 （T1 3 ） a3 b4 （T1 4 ） a3 b5 （T1 5 ）
• 析因设计（完全交叉分组试验设计）
安排析因试验的设计。所涉及的处理因素个数≥2，每个
处理因素的水平数也≥2。
医学研究中常常采用析因设计研究两个或多个处理因素
设每个处理组有r（r≥2）个实验单位，完全随机分组
的析因设计就是用完全随机设计的方法将rG个实验单位 随机等分到G个处理组中，其试验结果的数据处理分两 个步骤。首先按完全随机设计方差分析表计算 DF、 SS， 然后再将处理间的DF和SS作进一步分解。
表 方差来源 主效应
两因素析因设计处理组的方差分解 DF SS A B I－ 1 J－ 1 相减 G－ 1
1 2 TA B nK C SS A SS B
MS C
M S AB
( I 1)( K 1)
SS AB
SS AC
SS BC
1 2 C SS SS T AC A C nJ
1 2 C SS TB C B SSC nI
MS AC
MS BC
BC
作a1，a2，a3。B因素有5个水平，即照射时刻，1d，3d，
5d，7d，分别记作b1，b2，b3，b4，b5，A，B两因素各水 平全面组合后，共有G=15个处理组，见下表。
B（因素） （ J=5） b1 b2 b3 b4 b5
表 两因素析因试验分组表 A 因素（ I=3） a1 a2 a1 b1 （T1 ） a2 b1 （T6 ） a1 b2 （T2 ） a2 b2 （T7 ） a1 b3 （T3 ） a2 b3 （T8 ） a1 b4 （T4 ） a2 b4 （T9 ） a1 b5 （T5 ） a2，通常主要分析各处理组的
均数大小即可。
当交互作用不显著时，如果其 MS 小于误差项的 MS，则可将 DF 和 SS 与误差项的 DF 和 SS 合并后计算误差均方。
表 小鼠肝细胞 DNA 含量的方差分析表 方差来源 DF SS MS Fa Fb 频率间（ A） 2 0.0069 0.0035 1.46 1.75 时间（ B ） 4 0.0229 0.0057 2.38 2.85* A× B 8 0.0153 0.0019 0.0020 误差 60 0.1222 0.0024 合计 74 0.1673 Fa：误差均方 =0.0024 Fb：误差均方 =0.0020 *： P< 0.05
B 因素 B 因素 （ J=5） 小计（ Bi） 即刻 6.3235(B1) 1d 5.8170(B2) 3d 5.5160(B3) 5d 5.9545(B4) 7d 5.8085(B5) A 因素小计 9.9255(A1) 9.4715(A2) 10.0225(A3) 29.4195(∑ X ) （ Ai） 平方和 ∑X 2 =11.7074 C=11.5401
第四章
多处理因素设计与方差分析
处理因素：人为设置的干预措施。 单因素处理（一个处理因素）和 多因素处理（多个
处理因素）。
例 比较4种饲料对小鼠体重增加量的影响，处理因 素是饲料，有4个水平。根据实验对象（小鼠）的属性和 控制实验误差的需要，采用的实验设计方法有：完全随 机分组设计、随机区组设计和拉丁方设计等。这些设计 通过控制非处理因素的方法来减少实验误差，其处理因 素没有改变，都是比较4种饲料的差别。在同样的试验条 件下，通过改进实验设计方法可以大大提高实验效率。
A 2 2 2 2 2 2 2 2 B 1 1 1 1 2 2 2 2
(存活, y) (oper,A) (drug,B) y 32.7 1 1 24.0 11.2 1 1 14.0 23.2 1 1 27.5 48.1 1 1 25.6 26.2 1 2 33.2 31.8 1 2 16.5 28.9 1 2 21.2 18.7 1 2 40.2 X-Way ANOVA(with interaction) 数据不完全(缺失数据)要选择SS分解方式。
0.0153 0.0019 0.7917 0.1222 0.0024 0.1673