偏微分方程 课程总结
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
大学数学偏微分方程理论学习
偏微分方程理论学习一． 偏微分方程发展简介1. 常微分方程十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。
结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。
2. 偏微分方程偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔（D’Alembert ）（1717-1783）、L.欧拉（Euler ）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli )（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange )（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace )（1749-1827）、S.泊松(Poisson )（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier )（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。
它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。
在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。
傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。
在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=>==∂∂=∂∂,0),()0,(,0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ，其中后面两项分别是边界条件和初始条件。
偏微分方程(本科生数学基础课教材)
偏微分方程(本科生数学基础课教材)微分方程是一种非常重要的数学方法，它可以处理定义在一定空间中的未知变量和已知变量间的关系。
本科生数学基础课教材中涉及到了一些偏微分方程的知识，本文将深入的介绍下偏微分方程的内容。
1. 什么是偏微分方程偏微分方程（partial differential equation，简称PDE）是指表示未知函数的某个变量的函数序列的方程，其中的变量的某些部分可能被某些定义的函数所限定。
这种方程反映了区域内任意函数的可能存在的连续性及其求解时某些变量之间的约束性关系。
偏微分方程在微分几何，动力学系统，电磁学，偏微分方程的变分技术，稳定性理论，普朗克力学，热传导，流体动力学等数学领域都有着广泛的应用。
2. 偏微分方程的基本概念偏微分方程的基本概念是函数的求导和积分，是变分法的基础。
它以熟悉概念为基础，将导数和积分结合起来，形成一种新的数学形式。
它所求解的未知函数，都是在空间和时间两个方面连续发展变化的，或者说，同时考虑空间和时间函数和现象之间的关系。
3. 常见的偏微分方程偏微分方程一般分为四类，其中常见的有波动方程，Poisson方程，拉普拉斯方程，Kelvin-Voigt方程，吉普斯梅尔方程，马太偏微分方程等。
（1）波动方程：它是一个非线性的偏微分方程，其解的特殊情况可表示为解析解，常见的波速等作为特例。
（2）Poisson方程：它是一个双曲型偏微分方程，可以用于描述在两个或多个方向上具有对称性的繁杂系统或一维系统中热或电荷的分布。
（3）拉普拉斯方程：它可以用于求解变分问题，它本身也是一个偏微分方程问题，可用来求解几何和物理系统中的路径长度，其求解结果为变函数。
（4）Kelvin-Voigt方程：它可以引用细胞膜的抗冲击性能的偏微分方程，在本科教材中可以用来求解组织在生物学上产生渐进延迟的情况。
（5）吉普斯梅尔方程：它是一类非线性偏微分方程，通常用来描述热传导，晶体振动和流体动力学在狭义上的应用。
偏微分方程课程学习报告
u(x, t) 1 (x at ) (x at ) 21 2 a
1 ( t 4a 2t
x
x at
at
( ) d
u(x ,y ,z ,t )
s
at ( M )
ds )
1 4a 2t
s
at ( M
)
ut a 2u xx f(x ,t ), x ,t 0 0 0 0 u(x , ) (x ), x u(0,t ) (t ),t 0
椭圆方程的边值问题
3u 0,(x ,y ,z ) k u s ( p ), p s
ds
而对于波动方程的初边值问题主要用分 离变量法 u(x,t)=X(x)T(t)
热传导方程定解问题求解方法
• Cauchy问题主要用自相似变换法 Poisson公式
x2 1 2 e 4a t ,t 0 G(x ,t ) 2a t 0,t 0
通解热核函数
u（x ,t )
Cauchy问题
utt a 2 u xx u yy uzz 0, x ,y ,z ,t 0 u t 0 (x ,y ,z ),ut t 0 (x ,y ,z ), x ,y ,z
4
波动方程的Cauchy问题
初边值问题
u tt a 2u xx f ( x, t ), 0 x , t 0 u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), 0 x u (0, t ) (t ), u (l , t ) (t ), t 0 1 2
0
0
偏微分方程之期末重要知识总复习
偏微分方程数值解总复习一、考虑一维经典的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=∈=(0)T )(0, ),(0u u t u t f dt du设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的∙表示R 中的任一种范数。
给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。
在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m这一方法称为Euler 方法。
如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。
1、在],[h t t +上，定义算子：))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+=当2),(]);([≥=p h O h t u L p时，称数值方法是相容的。
2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。
3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。
则称数值方法是稳定的。
证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。
证明1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得2)(21))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'=2)(21))](,()([h tuu f t f h t u t f t u t ξ=∂∂∂∂+∂∂+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f uft f t t u =∂∂+∂∂==ξ是微分方程的解所以该数值方法是相容的。
偏微分方程理论学习总结
偏微分方程理论学习总结>任荣珍院系：理学院|班级：19 班学号：34偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。
下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。
）十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。
而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔(D ’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利 (Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P .拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：2222220V V VV x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用(在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等单位分解定理：(设12,,...,k ΩΩΩ是开集组，K 是紧集，满足1kj j K ϕ=⊂，则存在函数0()j j C ϕ+∞∈Ω，使得0j ϕ≥，11kj j ϕ=≤∑，且在K 的领域内11kj j ϕ==∑)、；接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式对任意的,0a b ≥，有2222a b ab ≤+：(2) 带ε的Cauchy 不等式对任意的,0a b >和0ε>，有2222a b ab εε≤+(3) Jensen 不等式设:R R ϕ→是下凸的，则11(())(())b ba a f t dt f t dtb a b aϕϕ≤--⎰⎰ 对有限区间[,]a b 及可积函数:[,]f a b R →均成立 (4) Young 不等式~对任意,0a b ≥,1,p q <<∞，111p q+=，有 p qa b ab p q≤+(5) 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，1,p q <<∞，111p q +=，有 pq p qa b ab pqεε-≤+(6) Holder 不等式pp LL uvdx uv Ω≤⎰， 1,p q ≤≤∞，111pq+=(7)一般的Holder 不等式^121212......p p p kk kL L L u u u dx u u u Ω≤⎰，111...1kp p ++= (7’) Minkowski 不等式设1,p q ≤≤∞，,()p f g L ∈Ω，则()p f g L +∈Ω，使()()()p p p L L L f gfgΩΩΩ+≤+(8) 几何与算术平均不等式对任意12,,...,0k a a a ≥，有11212...(...)k k k a a a a a a k++≤(9) p L 空间的内插不等式;1rsta a LLLuuu-≤， s r t ≤≤，11a a r s t-=+ 二、内插不等式 (1) (Green 恒等式)2u u udx u dx uds nΩΩ∂Ω∂∆=-∇+∂⎰⎰⎰ 记号()()()()()i i x x u x u x n x u x n x n∂=∇=∂为u 在点x 的外法向导数。
偏微分方程理论学习总结
偏微分方程理论学习总结任荣珍院系：理学院班级：19 班学号：**********偏微分方程理论学习总结偏微分方程这一门学科在我脑海中的印象不是很深，本科时学的是常微分方程，在课堂上听到老师提起过偏微分方程，因此，在研究生阶段选课时就选了这门课，以前不了解偏微分，再选了这门课之后对偏微分也算有一定的了解，接下来我想就我这学期学习了这门课做一个简单的总结。
下面就来介绍有关偏微分方程的发展简介：谈到偏微分方程，我们就会想到本科时学的常微分方程，而偏微分方程的发展没有常微分方程的发展早，所以要谈偏微分方程就先来谈一下常微分方程。
十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程解决几何与理学中的新问题，结果是在天体理学中不仅能得到并解释早已知晓的那些事实，而且得到了新的发现(例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的)。
而偏微分方程的研究要晚的多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支——数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔(D ’Alembert)(1717-1783)、L.欧拉(Euler)(1707-1783)、D.伯努利 (Bernoulli)(1700-1782)、J.拉格朗日(Lagrange)(1736-1813)、P.拉普拉斯(Laplace) (1749-1827)、S.泊松(Poisson)(1781-1840)、J.傅里叶(Fourier)(1768-1830)等人的工作为这一学科分支奠定了基础，它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
而十九世纪偏微分方程的另一个重要发现是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G .Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家，位势方程也称为拉普拉斯方程：2222220V V VV x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂偏微分方程是储存自然信息的载体，自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来，而本学期学习的偏微分方程理论的第一篇就介绍了线性椭圆形方程，椭圆形方程它的方法是先验估计加泛函分析手段，在线性椭圆形这一块以6章来详细介绍线性椭圆形方程，在这一篇中讲到了很多内容和知识点，下面我就来介绍一些关于线性椭圆形方程的一些定理及应用在第一章预备知识这一块主要学习了若干技巧和一些重要的不等式，若干技巧分单位分解定理、齐次化边界条件、振动方法等单位分解定理：(设12,,...,k ΩΩΩ是开集组，K 是紧集，满足1kj j K ϕ=⊂，则存在函数0()j j C ϕ+∞∈Ω，使得0j ϕ≥，11kj j ϕ=≤∑，且在K 的领域内11kj j ϕ==∑)、；接下来介绍一些重要的不等式： 一、基本不等式 (1) Cauchy 不等式对任意的,0a b ≥，有2222a b ab ≤+(2) 带ε的Cauchy 不等式对任意的,0a b >和0ε>，有2222a b ab εε≤+(3) Jensen 不等式设:R R ϕ→是下凸的，则11(())(())b ba af t dt f t dt b a b a ϕϕ≤--⎰⎰ 对有限区间[,]a b 及可积函数:[,]f a b R →均成立 (4) Young 不等式对任意,0a b ≥,1,p q <<∞，111p q+=，有 p qa b ab p q≤+(5) 带ε的Young 不等式对任意,0a b ≥和0ε>，1,p q <<∞，111p q +=，有 pq p qa b ab pqεε-≤+(6) Holder 不等式pp LL uvdx uv Ω≤⎰， 1,p q ≤≤∞，111pq+=(7)一般的Holder 不等式121212......p p p kk kL L L u u u dx u u u Ω≤⎰，111...1kp p ++= (7’) Minkowski 不等式设1,p q ≤≤∞，,()p f g L ∈Ω，则()p f g L +∈Ω，使()()()p p p L L L f gfgΩΩΩ+≤+(8) 几何与算术平均不等式对任意12,,...,0k a a a ≥，有11212...(...)k k k a a a a a a k++≤(9) p L 空间的内插不等式1rsta a L L L uuu-≤， s r t ≤≤，11a ar s t-=+二、内插不等式 (1) (Green 恒等式)2uu udx u dx uds nΩΩ∂Ω∂∆=-∇+∂⎰⎰⎰ 记号()()()()()i i x x u x u x n x u x n x n∂=∇=∂为u 在点x 的外法向导数。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结一、偏微分方程的分类：1.齐次与非齐次：一个偏微分方程中，如果所有出现的偏导数项的次数相同，且不含常数项，则称其为齐次方程；如果存在常数项，则称其为非齐次方程。
2.线性与非线性：一个偏微分方程中若只包含未知函数及其偏导数的一次项，并且未知函数的系数不依赖于未知函数自身及其偏导数，则称其为线性方程；反之，则是非线性方程。
3.定常与非定常：一个偏微分方程中，如果未知函数及其偏导数的系数不依赖于自变量，则称其为定常方程；反之，则是非定常方程。
4.高阶与低阶：一个偏微分方程中，若最高阶偏导数的阶数大于1，则称其为高阶方程；若最高阶偏导数的阶数为1，则称其为一阶方程。
二、偏微分方程的求解方法：1.分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，可以通过分离变量的方式将其转化为一阶常微分方程进行求解。
2.特征线法：对于一些具有特殊形式的偏微分方程，可以通过特征线法来求解。
该方法将方程中的自变量替换为新的变量，使得方程在新的变量系综下变得简单。
3.变换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程或标准的数学物理方程进行求解。
5.数值解法：对于一些复杂的偏微分方程，可以采用数值解法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用：1.物理学：偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
2.工程学：偏微分方程在工程学中也有重要应用，如电磁场方程、流体力学方程、固体力学方程等。
3. 经济学：偏微分方程在经济学中的应用主要用于建模和分析经济系统的动态变化，如Black-Scholes方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程等。
4. 生物学：偏微分方程在生物学中的应用主要用于描述群体的扩散、生物图像处理和生物电传导等问题，如Fisher方程、Gray-Scott方程等。
综上所述，偏微分方程理论是数学中的重要分支之一、通过对偏微分方程的分类、求解方法及其应用的归纳与总结，不仅可以帮助我们更好地理解偏微分方程的本质与特点，还能够为我们解决实际问题提供一个有效的数学工具。
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偏微分方程 （13）
古典解的性质
—— 热传导方程
能 量 估 计
该类估计方法在物理上可以反映能量关系 特点: 在方程两端乘以u的某种关系式, 再 积分, 利用 利用一些已知的不等式进行估计 些已知的不等式进行估计, 最 终得到解u与已知函数之间的积分不等式.
1
常用概念
设 Ω ⊂ R , p ≥ 1. 1 我们用 L (Ω) 表示满足条件
N p
的 Ω 上的Lebesgue可测函数u所构成的线性空 p 间. 对 u ∈ L (Ω), 定义 1/ p
|| u || p = || u || L p ( Ω ) =
∫
Ω
| u( x ) |p dx < +∞
(∫
Ω
| u ( x ) | p dx
)
.
Ω 上的Lebesgue可测函数 u 称为在 Ω 上本性有 界,如果存在 如果存在一个常数 个常数 K 使得 | u( x ) |≤ K a .e . Ω . 常数 K的下确界叫做 u 在 Ω 上的本性上确界, 记做
ess sup | u ( x ) | .
L (Ω) 表示Ω 上全体本性有界函数组成的线性空间.
|| u ||∞ = || u || L∞ ( Ω ) = ess sup | u ( x ) | .
x∈Ω
∞
x ∈Ω
2
常用概念
L (Ω)
p loc
u 是 Ω 上的可测函数:
对任意的紧集 G ⊂ Ω , 都有 u ∈ Lp (G)
L (Ω) 中的函数称为 Ω 上的局部可积函数.
1 loc
设 u 和 v 是 R 上的局部可积函数, 如果 u 和 v 满 足积分等式
− ∫ u( x )ϕ '( x )dx = ∫ v ( x )ϕ ( x )dx ,
R R
∀ϕ ∈ D( R ),
3
则称 u 广义可导, 而称 v 为 u 的广义导数.
常用概念
设 Ω ⊂ R , 定义
N
H 1 (Ω )
u ∈ L (Ω ) : u 的一阶广义偏导数 ∂u 2 都属于 L (Ω) ( j = 1,2, 1 2 N) ∂x j
2
|| u || H 1 ( Ω ) =
(∫
Ω
( u ( x ) + | ∇ u ( x ) | ) dx
2 2
)
1/ 2
.
1 ∞ H0 (Ω) 是由 C0 (Ω) 按H1 (Ω)中的范数完备化得到的.
∞ 即 C0 (Ω) 中所有按 H1 (Ω) 中的范数的Cauchy序 列的极限构成的集合.
4
Poincaré 不等式
N
常用不等式
设 Ω ⊂ R 为一有界区域, 则存在仅依赖于 Ω 直 1 u ∈ H μ > 0 径的常数 , 使得对所有的 0 (Ω) , 都有
∫
Ω
u ( x )dx ≤ μ ∫ | ∇u( x ) | dx .
2 2 Ω
Young不等式 1 1 0 b>0 0, p > 1 1, q > 1, 1 且 + = 1. 1 则有 设 a > 0, p q p q a b ab ≤ + . p q 当 p = q = 2 时, 又称为Cauchy 不等式
5
考虑
能量估计
∂u − Δ u + c ( x , t ) u = f ( x , t ), ∂t u( x , t ) = 0,
假如所给的边值条件为
( x , t ) ∈ QT , ( x , t ) ∈ ∂ p QT .
u ( x , t ) = g ( x , t ),
( x , t ) ∈ ∂ p QT ,
而 g 在 QT 上适当光滑, 则可代替原方程而考虑 u − g 的方程, 它是一个右端换成了另一个函 数的热传导方程.
6
考虑
能量估计
∂u − Δ u + c ( x , t ) u = f ( x , t ), ( x , t ) ∈ QT , ∂t ( x , t ) ∈ ∂ p QT . u ( x , t ) = 0,
定理2.12 2 12 设 Ω 是 N 中的有界区域, c 是 QT 内的非 2 2,1 0,1 f ∈ L ( Q ), u ∈ C ( Q ) ∩ C (Ω × (0, T )) ∩ C (QT ) 负函数, T T 是上述问题的解, 则
0< t <T
sup || u(⋅, t ) ||L2 (Ω) + || u ||L2 (Q ) + || ∇u ||L2 (Q ) ≤ M || f ||L2 (Q ) ,
T T T
其中 M 仅依赖于Ω 的直径.
7
这种能量估计方法对于Poisson方程也是成立的. 对于弦振动方程来说, 极值原理不再成立. 这是双 曲型方程与椭圆型方程和抛物型方程的一个重要 差别.
∂ 2u ∂ 2u − 2 = 0, 0 < x < 2π , t > 0, 2 ∂t ∂x u(0, t ) = u(π , t ) = 0, t > 0, u( x , 0) = 0 0, 0 < x < 2π , ∂u ( x , 0) = sin x , 0 < x < 2π . ∂t
u( x , t ) = sin x sin t
可以验证u为解且其上下确界均在区域内部达到. 可以对双曲型方程建立能量估计.
8
磨光算子
定理
设是中的开集, 则()(),1,p x L p ϕ∈Ω≤<∞ΩN R ()();
N
J x C εϕ∞∈R 1)2)||||||||;
p p J εϕϕ≤00−3)||||0,0.
p J εϕϕε→ →变分学基本原
变分学基本原理设1
)如果
0,(),
u x x dx C ∞= ∀∈R (),loc u L ∈R 0()(),ϕϕ∫R 则()0,...u x a e x = ∈R
谢谢大家。