(参考资料)折叠类家具设计的数学模型
折叠家具的设计
机构：传递 运动、动力 或改变运动 形式、轨迹 等。
2013 09 15
常用机构
平面机构：各构件的相对运动平面互相平行（常用 的机构大多数为平面机构）。 空间机构：至少有两个构件能在三维空间中相对运动
椅子装配图（方案二）
椅子装配图
这2张图都是 椅子的反面， 而椅子上面 挖的几道槽， 都是为椅子 变形为桌子 准备的结构。
桌子装配与结构（方案二）
当人多的时候，中间的木板可以不加， 人少时可以加上，使桌子的稳定性更 好。（如下图）
桌子装配与结构（方案二）
中间的那快木板的目的是加强桌子的稳定性
此时家具空间大
（展开图）
（收缩图）
单位：cm 展开： 收缩： 折叠率：
长 x宽 x高 80x180x82=1180800 80x7x1.5x80=67200 17.57
方案一
方案一中的结构与方案二相同，不同的是局部的尺寸不同。
折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰
折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰摘要：一、折叠桌数学建模赛题背景1.折叠桌的设计与功能2.数学建模赛题的提出二、折叠桌数学建模赛题的解决思路1.问题分析与模型构建2.数学模型的求解三、折叠桌数学建模赛题的案例分析1.案例一：折叠桌的稳定性分析2.案例二：折叠桌的空间利用率优化四、折叠桌数学建模赛题的启示与应用1.对折叠桌设计的改进2.对其他工程问题的启示正文：折叠桌数学建模赛题讲评蔡志杰折叠桌，以其轻便、易收纳、多功能的特点，越来越受到人们的欢迎。
然而，在折叠桌的设计过程中，如何实现各种功能与性能的平衡，是一个值得探讨的问题。
数学建模赛题的提出，旨在通过数学方法解决这一问题。
一、折叠桌数学建模赛题背景折叠桌的设计与功能息息相关。
在设计折叠桌时，需要考虑的因素有：桌面大小、承重能力、折叠方式、收纳空间等。
这些因素之间往往存在矛盾，如增大桌面面积可能降低收纳空间，提高承重能力可能导致桌面变形。
因此，如何通过数学方法找到这些因素的最佳平衡点，成为了折叠桌数学建模赛题的核心问题。
二、折叠桌数学建模赛题的解决思路要解决折叠桌数学建模赛题，首先需要对问题进行分析，明确问题所涉及的因素，并构建合适的数学模型。
例如，可以将折叠桌的承重能力、收纳空间等性能指标转化为数学表达式，然后通过求解这些表达式，找到满足性能要求的折叠桌设计方案。
在数学模型的求解过程中，可以运用线性规划、图论、动态规划等数学方法。
这些方法能够帮助我们快速地找到问题的解决方案，并对其进行优化。
三、折叠桌数学建模赛题的案例分析为了更好地理解折叠桌数学建模赛题的解决过程，我们通过两个案例进行分析。
案例一：折叠桌的稳定性分析。
在折叠桌的设计过程中，稳定性是一个重要的性能指标。
我们可以通过建立力学模型，分析折叠桌在各种受力情况下的稳定性。
通过求解这个模型，我们可以得到折叠桌的最小尺寸和材料要求，以确保其在使用过程中的稳定性。
案例二：折叠桌的空间利用率优化。
数学建模——创意折叠桌
创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。
为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。
根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。
在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。
创意平板折叠桌问题的模型设计与优化
创意平板折叠桌问题的模型设计与优化
一、摘要
本文在充分考虑实际设计需求的基础上，讨论了某公司生产的创意平板折叠桌的动态变化过程和一定条件下最优加工参数的设计问题。
通过建立空间直角坐标系进行几何分析，构造非线性规划模型，并利用Matlab和Lingo软件编程求解，得出各种条件下的设计参数结果。
在问题一中，本文从桌子的稳固性出发，从物理学的角度，根据受力分析，寻找稳固性条件下的约束条件，构建非线性规划模型，并利用Lingo求得单侧20根桌腿情况下的开槽长度、桌腿边缘线等参数，在此基础上描述了折叠桌折叠运动的动态过程。
由于问题一采用了构建非线性规划的方法，因此在求解第二题的过程中，本文依然通过寻找约束条件和修改目标函数来优化模型，根据给出的桌面直径和桌子的高度，可以用Matlab 求出各个需求的加工参数，所以此模型能够很好地满足设计者及生产者的需求。
根据题目中给定的桌面高度70cm和桌面直径80cm的条件，用Matlab编程求解得出从外侧第2根木条到第10根槽长分别为11.86 cm，18.94 cm，24.54 cm，28.98 cm，32.42 cm，34.93 cm，36.58 cm，37.40cm。
针对问题三，根据客户要求的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，结合实际情况，发现现实生活中主要的桌面形状是分偶数边正多边形和椭圆形两种情况考虑，通过几何图形分析，分别建立非线性规划模型，根据题意寻找约束条件，优化模型，用Matlab 编程求解。
关键词：非线性规划几何分析受力分析空间直角坐标系
1。
数学建模 创意平板折叠桌
B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。
给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。
在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。
关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
折叠问题总结归纳
折叠问题总结归纳折叠，是指将一个或多个平面物体按照一定方式叠放在一起，以便节省空间或方便携带。
随着人们生活需求的不断变化，折叠问题逐渐成为一个被广泛关注和研究的领域。
本文将对折叠问题的相关知识和研究进行总结归纳。
一、折叠的历史和应用领域1.1 折叠的历史演进人类折叠物体的历史可以追溯到古代，在不同文明和世纪，人们就已经开始探索并应用折叠的方法。
例如，中国的古代折扇、日本的和纸叠鹤等都是典型的折叠应用。
1.2 折叠在工程设计中的应用在工程设计领域，折叠也被广泛运用。
例如，可折叠桥梁能够在需要时展开，为交通提供便利；可折叠的太阳能板能够根据太阳光的方向进行调整以提高能量转换效率等。
1.3 折叠在日常生活中的应用此外，折叠也广泛应用于日常生活中。
折叠家具、折叠自行车、折叠伞等成为了现代生活的一部分，为人们提供了便捷和节省空间的选择。
二、折叠问题的数学模型2.1 折叠问题的基本元素在研究折叠问题时，我们需要了解折叠物体的基本元素。
折叠问题的基本元素包括：折叠点、折叠线、折叠角度等。
这些元素之间的相互配合关系决定了折叠的方式和效果。
2.2 折叠问题的数学模型为了更好地描述和解决折叠问题，学者们提出了一些数学模型。
其中一种常见的模型是基于几何学的折叠模型，通过数学符号和公式来描述折叠物体的形状和叠放方式。
三、折叠问题的解决方法3.1 折叠问题的经典解法折叠问题的解决方法可以分为经典解法和基于计算机的解法。
经典解法主要依赖于几何学和数学推理，通过列方程、推导等方法得到折叠物体的最优解。
3.2 基于计算机的折叠优化基于计算机的折叠优化方法可以通过数值计算和模拟来获得最佳的折叠效果。
这一方法能够极大地提高折叠问题的解决效率和可行性。
四、折叠问题的挑战和发展前景4.1 折叠问题的困难之处尽管折叠问题在许多领域都得到了广泛应用，但仍然存在一些困难和挑战。
例如，折叠物体的复杂性导致问题的求解难度加大，折叠后的物体稳定性问题也需要考虑。
科研课题论文：构建创意平板折叠桌的数学模型
65511 数学论文构建创意平板折叠桌的数学模型一、模型假设折叠后的桌面为理想圆，光滑平整，且桌面上的木条间无间隙钢筋与开槽内壁之间无摩擦将木条抽象为线段，不计木条的厚度二、符号说明序号符号符号意义1r桌面半径2h桌子高度3N桌腿的根数4b每根木条的宽度5p铺平时木条的铰链到x轴的距离6q桌子长度的一半7α第一根木条与桌面间的夹角8y（r）第一根木条的铰链之间的距离的一半9y（t）不忽略y（r）时木条的铰链对应的纵坐标10legL（t）桌腿长度三、模型的建立与求解3.1几何分析模型考虑桌面折叠后最边缘的木条长度，建立空间直角坐标系，取每根木条的中心线作为取值点，y轴的取值范围为[-r+d/2，r-d/2]，取值间隔为d，桌面圆的参数方程为：y（t）=tx（t）=r2-t2腿长度为：legL（t）=q-x（t）图1XOZ平面图如图所示，B点为钢筋轴在XOZ平面投影的位置，A点为t0=-r+d/2时所对应的x轴函数值，即此时有：x（t0）=r2-（-r+d/2）2。
在ΔABD中，BD=ABsinα，即可得钢筋轴竖坐标z1（t）=-gsinα同理，由AD=ABcosα，得钢筋轴横坐标x1（t）=x（t0）+gcosα在ΔCBD中，tanβt=BDCD，故βt=arctan-z1（t）x1（t）-x（t）在ΔCEQ中，EQ=CEcosβt，QE=CEsinβt故桌脚边缘线的横坐标为x2（t）=x（t）+legL（t）cosβt桌脚边缘线的竖坐标为z2（t）=-legL（t）sinβt使用MATLABR2012b绘制折叠桌在折叠过程中的动态变化示意图，如下：图2折叠桌在折叠过程中的动态示意图3.2参数方程的建立3.2.1木条铰链参数方程设计的木条宽度不一样，那么折叠桌的桌腿数目也会随之改变。
将桌面近似为一个半径为r的圆。
那么将每根木条铰链处对应横坐标视为一个关于参数t的渐变连续的函数。
设N为桌腿的根数，b为每根木条的宽度，则有关系式：N=rb即，b=rN由勾股定理知，铰链的纵坐标满足关系式y（t）2+（i-1Nr）2=r2由此化简可得出铰链的参数方程为x（t）=ty（t）=r2-[（i-1）b]23.2.2桌角边缘线参数方程的建立上述几何模型中求的桌角边缘线参数方程，忽略了将平板折叠后，最长木条铰链间的距离。
创意平板折叠桌的数学原理及其应用
创意平板折叠桌的数学原理及其应用
折叠式平板桌的结构兼具灵活性与稳定性，不仅可以被用来做各类家具，也因
其数学原理而被越来越多的应用到互联网领域。
折叠式平板桌采用了一种特殊的双角–塞范节结构，它是建立在平衡轴理论和
稳定性分析的基础上的。
事实上，这种结构能够将桌子的大小不断调整，并保持稳定张力，实现折叠桌可以折叠时结构稳定，折叠桌放开时结构也达到稳定要求。
具体来看，这种结构利用滑轨的空间来实现桌面的折叠和伸展，以及支点的可活动性，在支点之间产生张力，使得同一个点的压力不变，这样就可以保证折叠桌的稳定性。
以折叠式平板桌的数学理论为基础，传统折叠桌的技术在互联网领域正在增长。
尤其是在多媒体、联网特效和智能感应等新技术的推动下，可以实现各种智能家居元素，如智能收纳、多功能折叠、快速组装等，为应用者提供更为便捷的体验。
此外，折叠桌的数学原理还可以应用到机器人技术中，如机器人手臂的规划路径；机器人造型识别；自动收纳；可调节机器人和机器人组物，以及机器人协同操作。
因此，折叠式平板桌有着广泛的应用前景。
总体而言，折叠式平板桌的数学原理不仅具有可灵活调整和节省空间的特点，
而且在互联网领域，这种数学原理在智能家居和机器人技术领域有着重要的应用，今后它将持续在各个领域发挥作用，开辟新的应用空间。
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关键词： 创意折叠桌 槽长 桌脚边缘线 加工参数
1
一、问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ述
某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌脚随着铰链的活动可以平摊成一张平板。 桌脚由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌脚 各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成， 造型美观。
针对问题一，分析可知，木条的运动实质上是旋转，每根木条都绕着各自的铰链旋转，因 此，建立空间直角坐标系，给出了描述折叠桌动态变化过程的模型。紧接着，利用 MATLAB 绘出了折叠桌在 xoz 平面的运动轨迹，然后计算出钢筋在每条桌脚木条中的初始位置和最终位 置，两者做差即可求出每根桌脚木条的所需的开槽长度（见表 2）。同时，在 xoz 平面的运动轨 迹的基础上，建立了桌脚边缘线的参数方程（见方程组 5）。
问： 1. 给定长方形平板尺寸为 120cm ×50cm ×3cm ，每根木条宽 2.5cm ，连接桌脚木条的钢筋 固定在桌脚最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为 53cm 。试建立模型描述此折叠桌的 动态变化过程，并给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌脚木条开槽的长度等）和桌脚边缘 线的数学描述。 2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高 度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平 板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高 70cm ，桌面直径 80cm 的情形，确定最优设计加 工参数。 3.公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形 状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参 数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。我们团队的任务是帮助给出这一软件设 计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设 计加工参数，画出至少 8 张动态变化过程的示意图。
3
四、符号说明
为了建立模型的方便，我们引入如下符号：
符号 h d R
A1 An
B1 Bn C1 Cn D1 Dn
E1 En M O x y
表 1 符号说明
定义 桌面底面距地面的高度 最外侧桌脚的边缘距地面的高度
圆桌半径 最外侧桌脚触地时与地面的夹角
第 n 条桌脚的铰链位置
针对问题二，本文分别对稳固性、加工方便和节省用料进行分析。对于稳固性，本文对折 叠桌进行受力分析，并得出最长桌脚越垂直于桌面越稳固；对面节省用料，由于桌面直径和桌 高一定，所以用料只与桌脚长度有关；对于加工方便，本文用开槽长度这一指标来度量加工难 易，并得出一结论：折叠桌在桌面直径、桌脚长度和桌高一定的情况下，钢筋位置越低，开槽 长度越短。
2
问题一给定了长方形平板的尺寸、每条木条的宽度、钢筋的位置位于最外侧木条的中心以 及桌子的高度。则我们可以建立三维直角坐标系，描述桌子的动态变化过程。根据钢筋固定在 桌脚最外侧的木条的中心位置和运动过程中的几何关系，可以计算出钢筋在每条桌脚木条中的 初始位置和最终位置，两者做差即可求出每根桌脚木条的所需的开槽长度。另外，我们可以领 桌脚木条趋近于零，根据桌脚木条的边缘点的坐标，列表或画成散点图描述桌脚边缘线，求出 解析式，近似描述真实的桌脚边缘线。
问题二给定折叠桌的高度和圆桌桌面直径，要求在产品稳固性好、加工方便、用材最少的 条件下，给出长方形平板材料和折叠桌的最有设计加工参数。
1）对于产品稳固性，我们对折叠桌进行受力分析，讨论折叠桌桌面与桌脚形成的角度和 最大承受力的关系。
2）对于加工方便，我们将尽可能减少开槽长度。又因为开槽长度与钢筋位置有关，即钢 筋位置越低，开槽长度越短，所以我们通过调节钢筋位置来减少开槽长度，从而达到加工方便。
折叠类家具设计的数学模型
摘要
折叠家具的研究目的在于有效的利用或节省环境空间，并且在有限空间中追求宜人效果， 借助先进的科技手段发现新的家具折叠方式，即可丰富家具品种，又可愉悦用户生活，寻求折 叠式产品设计的新概念，为设计师提供展示才华和实现瞎想的平台，为产品设计的整体水平的 提高增加素材。但在当今的信息社会中，每时每刻都面临着激烈市场竞争与挑战。本文为创意 折叠桌的设计建立模型。
完全平铺时第 n 条桌脚最外侧边缘点
二、问题分析
本题主要是研究在客户指定的要求下（如折叠桌高度、圆桌桌面直径设计、桌面边缘线的 形状大小等），和在产品稳固性好、加工方便、用料最少的基本要求下，应如何给出所需平板 材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的 形状。最后由特殊到一般，遵从产品稳固性较好、加工较方便、用材最少的原则，设计折叠桌 的各项加工参数指标，建立给出相应的最优设计加工参数的数学模型。
三、模型假设
为了建立模型的方便，我们引入如下假设： 1、假设不考虑桌脚的若干木条之间的间隙； 2、假设钢筋与木条的空槽之间光滑，没有摩擦； 3、假设钢筋的直径小于木板的厚度； 4、假设钢筋质量良好，不会发生弯曲或者变形； 5、假设桌脚之间光滑，不影响桌子正常展开； 6、假设木板厚度均匀，且设计时所用平板材料的厚度不变，为 3cm ；
3）对于用材最少，由于桌面直径确定，木条厚度一定，所以，在高度一定的情况下，用 材最少，即腿长最短。
这样，在上述三个约束条件下，我们可以建立一个关于设计的优化模型。 问题三要求根据客户任意设定的折叠高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形 状，给出所需平板材料的形状尺寸和相关设计加工参数。首先，我们可以根据客户给出的大致 桌面边缘线的形状和桌脚边缘线的形状，建立空间直角坐标系，得到相应的坐标，从而得到折 叠桌的运动轨迹，然后将数据代入一般模型，即可得到设计加工参数。