第一、二、三章习题

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高等数学(二)(线性代数)一第二三章习题集(部分)

设有矩阵，（m≠n），下列运算结果不是阶矩阵的是（）.A、BAB、ABC、D、设矩阵A可以左乘矩阵B，则（）.A、B、C、D、若|A|=0，则A=（）.A、0矩阵B、数字0C、不一定是0矩阵D、A中有零元素两个n阶初等矩阵的乘积为（）.A、初等矩阵B、单位矩阵C、可逆阵D、不可逆阵若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关，则A的秩（）.A、大于mB、大于nC、等于nD、等于n矩阵A经有限次初等行变换后变成矩阵B，则（）.A、A与B相似B、A与B不等价C、A与B相等D、r(A)=r(B)设m×n阶矩阵A,B的秩分别为，则分块矩阵(A,B)的秩r适合关系式（）. A、B、C、D、矩阵A经过初等变换后（）.A、不改变它的秩B、改变它的秩C、改变它的行秩D、改变它的列秩设A为三阶方阵，且|A|=-2，则矩阵|A|A行列式||A|A|=（）.A、16B、-16C、8D、-8两矩阵A与B既可相加又可相乘的充要条件是（）.A、A、B是同阶方阵B、A的行数=B的行数C、A的列数=B的列数D、A的行数、列数分别等于B的行数、列数初等矩阵（）.A、相乘仍为初等阵B、相加仍为初等阵C、都可逆D、以上都不对线性方程组有解的充分必要条件是a=（）.A、B、-1C、D、1存在有限个初等矩阵，使是A为可逆矩阵的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件矩阵A经过有限次初等行变换后变成矩阵B，则（）.A、r(A)≠r(B)B、A与B相等C、A的行向量组与B的行向量组等价D、A与B不等价设，，，，则向量组共有（）个不同的极大无关组.A、1B、2C、3D、4设n阶矩阵A的秩为r，则结论（）成立.A、|A|≠0B、|A|=0C、r>nD、已知矩阵则（）.A、0B、1C、2D、3设A、B均为n阶方阵，则必有（）.A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BAC、|AB|=|BA|D、若均为n阶可逆矩阵，则（）. A、B、C、D、阵的行向量组（）.A、一定线性无关B、一定线性相关C、不能确定D、以上都不对一个向量组若有两个或两个以上的极大无关组，则各个极大无关组所含向量个数必（）.A、不相等B、相等C、大于零且小于2D、大于零且小于3设是齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则（）.A、一定是的基础解系B、不一定是的解C、不一定是的解D、有可能是的基础解系设A,B均为n阶矩阵，如果则必有（）.A、A=EB、B=0C、A=BD、AB=BA设n阶矩阵A,B,C满足ABC=E，则必有（）.A、ACB=EB、BAC=EC、CBA=ED、BCA=E设矩阵，则下列结论不正确的是（）.A、A是上三角矩阵B、A是下三角矩阵C、A是对称矩阵D、A是可逆矩阵设矩阵，则下列结论正确的是（）.A、A是上三角矩阵B、A是下三角矩阵C、A是对称矩阵D、A是对角矩阵已知，则A=（）.A、B、C、D、下列矩阵中，不是初等矩阵的是（）.A、B、C、D、设是齐次线性方程组的二个线性无关的解向量，则（）.A、一定是的一个基础解系B、有可能是的一个基础解系C、不是的一个解D、不是的一个解设A为n阶方阵，且|A|=8，A*是A的伴随矩阵，则AA*是（）.A、数量矩阵B、单位矩阵C、三角矩阵若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含有D的r+1阶子式等于零，则一定有（）. A、B、设n阶方阵A可逆，数k≠0，则（）.A、B、C、D、给定矩阵，，，下列（）运算可行.A、ACB、CBC、ABCD、AB-BC. =（）.A、B、C、D、一个n维向量组线性相关的充要条件是其中（）.A、含有零向量B、有两个向量的对应分量成比例C、有一个向量是其余向量的线性组合D、每一个向量是其余向量的线性组合设A与B都是n阶方阵，则r(A+B)（）.A、B、C、D、?若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）.A、B、C、D、C和D都不对若齐次线性方程组（Ⅰ）有非零解，则（Ⅰ）的系数行列式（）.A、等于1B、等于5C、等于零D、不等于零D不对设A是m×n矩阵，齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，则（）. A、仅有零解时，有唯一解B、有非零解时，有无穷多解C、有无穷多解时，仅有零解D、有无穷多解时，有非零解C不对设向量可由向量组线性表示，则表示法唯一的充要条件是（）.A、全为非零向量AB不对选C或DB、全为零向量C、线性相关D、线性无关。

建筑设备基础知识与识图(第2版)课后习题

习题答案及解析第一章习题答案1.简述流体主要物理性质的定义。

在实际工程中如何考虑？1.流体的密度：指各点密度相同的均质流体，单位体积的质量，用ρ表示（kg/ m 3）。

实际工程中计算压力管道、水池、水箱的压强、选择水泵、风机型号时的重要参数；特别应该注意的是水的密度在4℃以下时的变化规律，敷设在室外管道中的水在冰冻时，密度减小，体积增大，致使管道漏水，所以室外的管道应考虑防冻结措施。

2.流体的容重：指各点密度相同的均质流体，单位体积的重量，用γ表示（N/ m 3）。

在计算中，容重的数值等于流体的质量与重力加速度的乘积。

3.流体的压缩性：指流体所受的压力增大时，其体积缩小，密度增大的性质。

压缩性对实际工程的影响很小，可以不予考虑。

4.流体的热膨胀性：流体因温度升高使原有的体积增大，密度减小的性质。

热膨胀性在热水供应系统及热水采暖系统中，充满水的管道，在温度升高而膨胀时，会造成管道爆裂而漏水；而温度降低水的体积减小时，又造成水量不足。

需要设置膨胀水箱应对热膨胀性的影响。

5.流体的黏滞性：流体在运动时，由于内摩擦力的作用，使流体具有抵抗相对变形（运动）的性质。

流体在运动过程中，必须克服黏性力，因此要不断消耗运动流体所具有的能量，所以是研究沿程水头损失的重要参数，而计算水头损失是计算水泵扬程的重要依据。

2.流体静压强的特性如何？流体静压强有哪几种计算形式？各种形式在什么情况下应用？（1）特性：静压强的方向性：流体具有各个方向上的静压强，流体的静压强处处垂直并指向固体壁面；静压强的大小：静止流体中任意一点的静压强大小与其作用方向无关，仅与其高度或深度有关。

气体的静压强沿高度变化小，密闭容器可以认为静压强处处相等。

（2）计算形式及其应用：液下不同深度两个表面的压强关系p 2=p 1+γh当上表面设在水平面，即上表面压强为液体表面压强p 0时， p =p 0+γh当上表面压强为0时 p =γh3.试述绝对压强、相对压强和真空压强的定义，以及三者之间的关系。

第1、2、3、4章练习题

第一章练习题1、物质能以液态形式存在的最高温度为（A）沸腾温度Tb （B）玻义耳温度TB （C）临界温度Tc2、当压缩因子Z<1时，表示该实际气体（A）易压缩（B）不易压缩（C）无法确定3、下列何种条件下真实气体可以液化（）（A）Tr>1,Pr>1 （B）Tr>1,Pr<1 （C）Tr=1,Pr<1 （D）Tr<1,Pr=14、对理想气体，压缩因子Z=1。

能否说当气体的Z=1 时，该气体必定是理想气体。

答案：（不能，因为在实际气体的等温线与理想气体的等温线交点处，Z＝1）5、当温度足够低时，任何实际气体的Z～P 曲线与理想气体的Z～P 曲线均交于两点。

试解释这种现象。

答案：（这是因为当温度足够低时，气体的玻义耳温度高于体系温度，Z～p 曲线出现极小值。

）6、从范德华方程出发并结合玻义耳温度定义，证明(1)在足够高的温度，实际气体的压缩因子Z>1 。

(2)在低温，低压下，Z<1 。

答案：（当T＜＝TB，Z＞1）(3)当a=0 ，Z 随压力p 的增加而线性增加。

答案：（当a＝0，Z＝1+bp/RT，恒温时，p 增加，Z 增大。

）7、下列说法何者正确？(1)临界压力是气体可被液化的最低压力。

(2)气体被液化的必要条件是气体温度小于波义耳温度(3)在临界点，饱和液体与饱和蒸气的密度相同。

(4)气体的临界状态与气体的性质无关。

答案：（3）8、气体A、B、C 都服从范德华方程，其范德华常数a和b的大小顺序为a(A)=a(B)>a(C);b(C)>b(B)>b(A)。

问三种气体临界温度的大小顺序。

答案：（T c(A)>T c(B)>T c(C)）9、某气体的状态方程为，式中b为常数，n为物质的量。

若该气体经一等温过程，压力自p1变至p2，则下列状态函数的变化，何者为零？（ΔU）第二章练习题1、指出下列说法的错误。

(1)因Qp =ΔH，Qv=ΔU，所以Qp 和Qv 都是状态函数。

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册全册各章节课后练习题含解析

选择性必修第一册全册课后练习题本文档还有大量公式，在网页中显示可能会出现位置错误的情况，下载后均可正常显示，请放心下载练习！第一章空间向量与立体几何................................................................................................ - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算......................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算......................................................................................... - 8 -1.2空间向量基本定理.................................................................................................. - 15 -1.3.1空间直角坐标系 .................................................................................................. - 22 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................... - 28 -1.4.1.1空间向量与平行关系 ....................................................................................... - 34 -1.4.1.2空间向量与垂直关系 ....................................................................................... - 42 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................... - 51 -章末测验 ....................................................................................................................... - 64 - 第二章直线和圆的方程...................................................................................................... - 78 -2.1.1倾斜角与斜率 ...................................................................................................... - 78 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定............................................................................... - 83 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 87 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 92 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 97 -2.3.1两条直线的交点坐标......................................................................................... - 102 -2.3.2两点间的距离公式............................................................................................. - 102 -2.3.3点到直线的距离公式......................................................................................... - 107 -2.3.4两条平行直线间的距离..................................................................................... - 107 -2.4.1圆的标准方程 .................................................................................................... - 113 -2.4.2圆的一般方程 .................................................................................................... - 118 -2.5.1直线与圆的位置关系......................................................................................... - 122 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................. - 128 -章末测验 ..................................................................................................................... - 135 - 第三章圆锥曲线的方程.................................................................................................... - 144 -3.1.1椭圆及其标准方程............................................................................................. - 144 -3.1.2.1椭圆的简单几何性质 ..................................................................................... - 150 -3.1.2.2椭圆的标准方程及性质的应用...................................................................... - 156 -3.2.1双曲线及其标准方程......................................................................................... - 164 -3.2.2双曲线的简单几何性质..................................................................................... - 171 -3.3.1抛物线及其标准方程......................................................................................... - 178 -3.3.2抛物线的简单几何性质..................................................................................... - 184 -章末测验 ..................................................................................................................... - 191 - 模块综合测验 ..................................................................................................................... - 202 -第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AC → C ．AB → D ．BA → D [DA →＋CD →－CB →＝DA →＋BD →＝BA →.]2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形A [∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →. ∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|. ∴四边形ABCD 为平行四边形．]3．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →＝OA →＋OB →＋OC → B ．OM →＝2OA →－OB →－OC → C ．OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → D [由OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，可得3OM →＝OA →＋OB →＋OC →⇒OM →－OA →＋OM →－OB →＋OM →－OC →＝0，即AM →＝－BM →－CM →.所以AM →与BM →，CM →在一个平面上，即点M 与点A ，B ，C 一定共面．] 4．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对A [因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线．又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB .]5．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 是A 1C 1的中点，点F 是AE 的三等分点，且AF ＝12EF ，则AF →＝( )A ．AA 1→＋12AB →＋12AD → B ．12AA 1→＋12AB →＋12AD →C ．12AA 1→＋16AB →＋16AD → D ．13AA 1→＋16AB →＋16AD →D [如图所示，AF →＝13AE →，AE →＝AA 1→＋A 1E →，A 1E →＝12A 1C 1→，A 1C 1→＝A 1B 1→＋A 1D 1→，A 1B 1→＝AB →，A 1D 1→＝AD →，所以AF →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 1→＋12A 1C 1→＝13AA 1→＋16AB →＋16AD →，故选D.]二、填空题6．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由OM →＝－2OA →＋OB →＋λOC →确定的点M 与A ，B ，C 共面，则λ＝________.2 [由M 、A 、B 、C 四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，用a ，b ，c 表示D 1M →，则D 1M →＝________.12a －12b ＋c [D 1M →＝D 1D →＋DM → ＝A 1A →＋12(DA →＋DC →) ＝c ＋12(－A 1D 1→＋A 1B 1→) ＝12a －12b ＋c .]8．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则EF →和AD →＋BC →的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行 [设G 是AC 的中点，则EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →) 所以2EF →＝AD →＋BC →，从而EF →∥(AD →＋BC →)．] 三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E ，F 分别为边CD 和AD 的中点，试化简AG →＋13BE →－12AC →，并在图中标出化简结果的向量．[解] ∵G 是△BCD 的重心，BE 是CD 边上的中线，∴GE →＝13BE →.又12AC →＝12(DC →－DA →)＝12DC →－12DA →＝DE →－DF →＝FE →， ∴AG →＋13BE →－12AC →＝AG →＋GE →－FE →＝AF →(如图所示)．10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为DD 1的中点，点N 在AC 上，且AN ∶NC ＝2∶1，求证：A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．[证明] ∵A 1B →＝AB →－AA 1→， A 1M →＝A 1D 1→＋D 1M →＝AD →－12AA 1→， AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →)， ∴A 1N →＝AN →－AA 1→ ＝23(AB →＋AD →)－AA 1→＝23(AB →－AA 1→)＋23(AD →－12AA 1→) ＝23A 1B →＋23A 1M →， ∴A 1N →与A 1B →，A 1M →共面．11．(多选题)若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是( ) A ．AB →＋2BC →＋2CD →＋DC → B ．2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →C.AB →＋CA →＋BD →D.AB →－CB →＋CD →－AD →BD [A 中，AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →；B 中，2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AC →＋3CA →＋AC →＝0；C 中，AB →＋CA →＋BD →＝AD →＋CA →；D 中，AB →－CB →＋CD →－AD →＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →表示A →B →C →D →A 恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有( ) A ．若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线 B ．若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线C ．若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b D ．若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0BCD [根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确．]13．(一题两空)已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若OA →＝2OB →＋μOC →，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．－1 0 [由A 、B 、C 三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λOA →＋mOB →＋nOC →＝0得OA →＝－m λOB →－n λOC →由A ，B ，C 三点共线知－m λ－nλ＝1，则λ＋m ＋n ＝0.]14．设e 1，e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 为________．－8 [因为BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A ，B ，D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，所以k ＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连接P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．(1)试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)试判断平面EFGH 与平面ABCD 的位置关系，并用向量方法证明你的判断． [证明] (1)分别连接PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连接MN ，NQ ，QR ，RM ，∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PF →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平行四边形，∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)＋(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得MQ →＝32EG →，∴MQ →∥EG →， ∴EG →∥平面ABCD .又MN →＝PN →－PM →＝32PF →－32PE → ＝32EF →，∴MN →∥EF →. 即EF ∥平面ABCD . 又∵EG ∩EF ＝E ，∴平面EFGH 与平面ABCD 平行1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(λa －b )，则λ等于( ) A ．32 B ．－32 C ．±32 D ．1A [∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∵3a ＋2b ⊥λa －b ，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，即3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝32.]2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2B ．12a 2C ．14a 2D ．34a 2C [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ×a ×12＋a ×a ×12＝14a 2.]3．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列向量的数量积一定不为0的是( ) A ．AD 1→·B 1C →B ．BD 1→·AC →C ．AB →·AD 1→ D ．BD 1→·BC →D [对于选项A ，当四边形ADD 1A 1为正方形时，可得AD 1⊥A 1D ，而A 1D ∥B 1C ，可得AD 1⊥B 1C ，此时有AD 1→·B 1C →＝0；对于选项B ，当四边形ABCD 为正方形时，AC ⊥BD ，易得AC ⊥平面BB 1D 1D ，故有AC ⊥BD 1，此时有BD 1→·AC →＝0；对于选项C ，由长方体的性质，可得AB ⊥平面ADD 1A 1，可得AB ⊥AD 1，此时必有AB →·AD 1→＝0；对于选项D ，由长方体的性质，可得BC ⊥平面CDD 1C 1，可得BC ⊥CD 1，△BCD 1为直角三角形，∠BCD 1为直角，故BC 与BD 1不可能垂直，即BD 1→·BC →≠0.故选D.]4．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量BA 1→与向量AC →所成的角为( )A ．60°B ．150°C ．90°D ．120°D [BA 1→＝BA →＋AA 1→，|BA 1→|＝2a ，AC →＝A B →＋AD →，|AC →|＝2a .∴BA 1→·AC →＝BA →·AB →＋BA →·AD →＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD →＝－a 2. ∴cos 〈BA 1→，AC →〉＝－a 22a ·2a ＝－12.∴〈BA 1→，AC →〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为( )A ．13B ．23C ．33D ．43B [∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，∴AC ′→2＝(AB →＋BC →＋CC ′→)2＝AB →2＋BC →2＋CC ′→2＋2(AB →·BC →＋AB →·CC ′→＋BC →·CC ′→) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×92＝23，∴|AC ′→|＝23，即AC ′的长为23.] 二、填空题6．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________.18[将|a －b |＝7两边平方，得(a －b )2＝7. 因为|a |＝2，|b |＝2，所以a ·b ＝12.又a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝18.]7．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a ，b 所成的角是________．60° [AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴CD →·AB →＝CD →·(AC →＋CD →＋DB →)＝|CD →|2＝1， ∴cos 〈CD →，AB →〉＝CD →·AB →|CD →||AB →|＝12，∴异面直线a ，b 所成角是60°.]8．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－3，－1＋3) [由题意知 ⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1. 即⎩⎨⎧(a ＋λb )·(λa －2b )<0，(a ＋λb )·(λa －2b )≠－|a ＋λb ||λa －2b |，得λ2＋2λ－2<0.∴－1－3<λ<－1＋ 3.] 三、解答题9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱P A 的长为2，且P A 与AB 、AD 的夹角都等于60°，M 是PC 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)试用a ，b ，c 表示出向量BM →； (2)求BM 的长．[解] (1)∵M 是PC 的中点，∴BM →＝12(BC →＋BP →)＝12[AD →＋(AP →－AB →)] ＝12[b ＋(c －a )]＝－12a ＋12b ＋12c .(2)由于AB ＝AD ＝1，P A ＝2，∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，由于AB ⊥AD ，∠P AB ＝∠P AD ＝60°，∴a·b ＝0，a·c ＝b·c ＝2·1·cos 60°＝1，由于BM →＝12(－a ＋b ＋c )，|BM →|2＝14(－a ＋b ＋c )2＝14[a 2＋b 2＋c 2＋2(－a·b －a·c ＋b·c )]＝14[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝32.∴|BM →|＝62，∴BM 的长为62.10.如图，已知直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． [解] (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意得|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋12b －12a ＝－12c 2＋12b 2＝0， ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |， ∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22×52|a |2＝1010.∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.11．(多选题)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题正确的有( ) A ．(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2 B ．A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0 C ．AD 1→与A 1B →的夹角为60° D ．正方体的体积为|AB →·AA 1→·AD →|AB [如图，(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝(AA 1→＋A 1D 1→＋D 1C 1→)2＝AC 1→2＝3AB →2；A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝A 1C →·AB 1→＝0；AD 1→与A 1B →的夹角是D 1C →与D 1A →夹角的补角，而D 1C →与D 1A →的夹角为60°，故AD 1→与A 1B →的夹角为120°；正方体的体积为|AB →||AA 1→||AD →|.故选AB.]12．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 是底面正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则AC 1→与CE →( )A ．重合B ．平行但不重合C ．垂直D ．无法确定C [AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，CE →＝CC 1→＋C 1E →＝AA 1→－12(AB →＋AD →)，于是AC 1→·CE →＝(AB →＋AD →＋AA 1→)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤AA 1－12(AB →＋AD →)＝AB →·AA 1→－12AB →2－12AB →·AD →＋AD →·AA 1→－12AD →·AB →－12AD →2＋AA 1→2－12AA 1→·AB →－12AA 1→·AD →＝0－12－0＋0－0－12＋1－0－0＝0，故AC 1→⊥CE →.]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，P 是C 1D 1的中点，则B 1C →·A 1P →＝________，B 1C →与A 1P →所成角的大小为________．1 60° [法一：连接A 1D ，则∠P A 1D 就是B 1C →与A 1P →所成角．连接PD ，在△P A 1D 中，易得P A 1＝DA 1＝PD ＝2，即△P A 1D 为等边三角形，从而∠P A 1D ＝60°，即B 1C →与A 1P →所成角的大小为60°.因此B 1C →·A 1P →＝2×2×cos 60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得B 1C →·A 1P →＝(A 1A →＋AD →)·⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＝AD →2＝1. 由题意可得P A 1＝B 1C ＝2，则2×2×cos 〈B 1C →，A 1P →〉＝1，从而〈B 1C →，A 1P →〉＝60°.]14．已知在正四面体D -ABC 中，所有棱长都为1，△ABC 的重心为G ，则DG 的长为________．63 [如图，连接AG 并延长交BC 于点M ，连接DM ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23AM ，∴AG →＝23AM →，DG →＝DA →＋AG →＝DA →＋23AM →＝DA →＋23(DM →－DA →)＝DA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(DB →＋DC →)－DA →＝13(DA →＋DB →＋DC →)，而(DA →＋DB →＋DC →)2＝DA →2＋DB →2＋DC →2＋2DA →·DB →＋2DB →·DC →＋2DC →·DA →＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴|DG →|＝63.]15.如图，正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ，VC 的中点为M .(1)求证：AO ，BO ，CO 两两垂直；(2)求〈DM →，AO →〉．[解] (1)证明：设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，正四面体的棱长为1，则VD →＝13(a ＋b ＋c )，AO →＝16(b ＋c －5a )， BO →＝16(a ＋c －5b )，CO →＝16(a ＋b －5c )，所以AO →·BO →＝136(b ＋c －5a )·(a ＋c －5b )＝136(18a ·b －9|a |2)＝136(18×1×1×cos 60°－9)＝0，所以AO →⊥BO →，即AO ⊥BO .同理，AO ⊥CO ，BO ⊥CO . 所以AO ，BO ，CO 两两垂直．(2)DM →＝DV →＋VM →＝－13(a ＋b ＋c )＋12c ＝16(－2a －2b ＋c )，所以|DM →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(－2a －2b ＋c )2＝12. 又|AO →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(b ＋c －5a )2＝22，DM →·AO →＝16(－2a －2b ＋c )·16(b ＋c －5a )＝14，所以cos 〈DM →，AO →〉＝1412×22＝22. 又〈DM →，AO →〉∈[0，π]，所以〈DM →，AO →〉＝π4.1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a－b 构成空间的另一个基底的向量是( )A ．aB ．bC ．cD ．a ＋bC [由p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 得a ＝14p ＋14q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ；因为b ＝12p －12q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ；因为a ＋b ＝34p －14q ，所以a ＋b 、p 、q 共面，故a ＋b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是上底面对角线AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →可表示为( )A ．12a ＋12b ＋cB ．12a －12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．－12a ＋12b ＋cD [由于B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋12(BA →＋BC →) ＝－12a ＋12b ＋c ，故选D.]3．若向量MA →，MB →，MC →的起点M 与终点A ，B ，C 互不重合，且点M ，A ，B ，C 中无三点共线，满足下列关系(O 是空间任一点)，则能使向量MA →，MB →，MC →成为空间一个基底的关系是( )A ．OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B ．MA →≠MB →＋MC → C ．OM →＝OA →＋OB →＋OC →D ．MA →＝2MB →－MC →C [若MA →，MB →，MC →为空间一组基向量，则M ，A ，B ，C 四点不共面．选项A 中，因为13＋13＋13＝1，所以点M ，A ，B ，C 共面；选项B 中，MA →≠MB →＋MC →，但可能存在实数λ，μ使得MA →＝λMB →＋μMC →，所以点M ，A ，B ，C 可能共面；选项D 中，四点M ，A ，B ，C 显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →为( )A ．12a －23b ＋12cB ．－23a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．23a ＋23b －12cB [MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →)＝－23OA →＋12OB →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .]5．平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →，AD →，AA 1→两两的夹角均为60°且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．8A [在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中有，AC 1→＝AB →＋AD →＋CC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→所以有|AC 1→|＝|AB →＋AD →＋AA 1→|，于是有|AC 1→|2＝|AB →＋AD →＋AA 1→|2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＋2|AB →|·|AD →|·cos 60°＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 60°＋2|AD →||AA 1→|·cos 60°＝25，所以|AC 1→|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)12a ＋14b ＋14c [因为在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，所以OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12OD →＝12a ＋12×12(OB →＋OC →)＝12a ＋14(b ＋c )＝12a ＋14b ＋14c .]7．已知{a ，b ，c }是空间的一个单位正交基底，{a ＋b ，a －b ，c }是空间的另一个基底，若向量m 在基底{a ，b ，c }下表示为m ＝3a ＋5b ＋9c ，则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }下可表示为________．4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c ) [由题意知，m ＝3a ＋5b ＋9c ，设m ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z (3c )则有⎩⎨⎧ x ＋y ＝3x －y ＝53z ＝9，解得⎩⎨⎧x ＝4y ＝－1z ＝3.则m 在基底{a ＋b ，a －b,3c }可表示为m ＝4(a ＋b )－(a －b )＋3(3c )．] 8．在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，试用基底{a ，b ，c }表示向量PG →＝________.23a －13b ＋23c [因为BG ＝2GD ，所以BG →＝23BD →. 又BD →＝BA →＋BC →＝P A →－PB →＋PC →－PB →＝a ＋c －2b ，所以PG →＝PB →＋BG →＝b ＋23(a ＋c －2b ) ＝23a －13b ＋23c .] 三、解答题9.如图所示，正方体OABC -O ′A ′B ′C ′，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c .(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →.[解] (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)法一：连接OG ，OH (图略)，则GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→) ＝－12(a ＋b ＋c ＋b )＋12(a ＋b ＋c ＋c ) ＝12(c －b )．法二：连接O ′C (图略)，则GH →＝12CO ′→＝12(OO ′→－OC →) ＝12(c －b )．10.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MA →＝－13AC →，ND →＝13A 1D →，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示MN →.[解] 连接AN ，则MN →＝MA →＋AN →.由已知可得四边形ABCD 是平行四边形，从而可得 AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， MA →＝－13AC →＝－13(a ＋b )，又A 1D →＝AD →－AA 1→＝b －c ，故AN →＝AD →＋DN →＝AD →－ND →＝AD →－13A 1D →＝b －13(b －c )，所以MN →＝MA →＋AN → ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c ) ＝13(－a ＋b ＋c )．11．(多选题)已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是( )A ．2a ，a －b ，a ＋2bB ．2b ，b －a ，b ＋2aC ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －cABD [对于A ，因为2a ＝43(a －b )＋23(a ＋2b )，得2a 、a －b 、a ＋2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B ，因为2b ＝43(b －a )＋23(b ＋2a )，得2b 、b －a 、b ＋2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a ＝λ·2b ＋μ(b －c )成立，故a 、2b 、b －c 三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D ，因为c ＝12(a ＋c )－12(a －c )，得c 、a ＋c 、a －c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有( )A ．若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，d 与c 共线，d ≠0，则{a ，b ，d }也可以作为空间的一个基底B ．已知向量a ∥b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，则A ，B ，M ，N 四点共面D ．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，若m ＝a ＋c ，则{a ，b ，m }也是空间的一个基底ABCD [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B 正确．C 中由BA →，BM →，BN →不能构成空间的一个基底，知BA →，BM →，BN →共面．又BA →，BM →，BN →过相同点B ，知A ，B ，M ，N 四点共面．所以C 正确．下面证明AD 正确：A 假设d 与a ，b 共面，则存在实数λ，μ，使得d ＝λa ＋μb ，∵d 与c 共线，c ≠0，∴存在实数k ，使得d ＝k c .∵d ≠0，∴k ≠0，从而c ＝λk a ＋μk b ，∴c 与a ，b 共面，与条件矛盾，∴d 与a ，b 不共面．同理可证D 也是正确的．于是ABCD 四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a ，b ，c }，m ＝a －b ＋c ，n ＝x a ＋y b ＋c ，若m 与n 共线，则x ＝________，y ＝________.1 －1 [因为m 与n 共线，所以存在实数λ，使m ＝λn ，即a －b ＋c ＝λx a ＋λy b ＋λc ，于是有⎩⎨⎧1＝λx ，－1＝λy ，1＝λ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.]14．(一题多空)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.1 2 22 [由题意可令b ＝x 0e 1＋y 0e 2＋e 3，其中|e 3|＝1，e 3⊥e i ，i ＝1,2.由b ·e 1＝2得x 0＋y 02＝2，由b ·e 2＝52得x 02＋y 0＝52，解得x 0＝1，y 0＝2，∴|b |＝(e 1＋2e 2＋e 3)2＝2 2.]15．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B →，EF →；(2)若D 1F →＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． [解] (1)如图，D 1B →＝D 1D →＋DB →＝－AA 1→＋AB →－AD →＝a －b －c ，EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A →＋12AC →＝－12(AA 1→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )． (2)D 1F →＝12(D 1D →＋D 1B →)＝12(－AA 1→＋AB →－AD 1→) ＝12(－AA 1→＋AB →－AD →－DD 1→) ＝12(a －c －b －c )＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.1.3.1空间直角坐标系一、选择题1．空间两点A ，B 的坐标分别为(x ，－y ，z )，(－x ，－y ，－z )，则A ，B 两点的位置关系是( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于z 轴对称D ．关于原点对称B [纵坐标相同，横坐标和竖坐标互为相反数，故两点关于y 轴对称．] 2．已知A (1,2，－1)，B (5,6,7)，则直线AB 与平面xOz 交点的坐标是( ) A ．(0,1,1) B ．(0,1，－3)C ．(－1,0,3)D ．(－1,0，－5)D [设直线AB 与平面xoz 交点坐标是M (x ，y ，z )，则AM →＝(x －1，－2，z ＋1)，AB →＝(4,4,8)，又AM →与AB →共线，∴AM →＝λAB →，即⎩⎨⎧x －1＝4λ，－2＝4λ，z ＋1＝8λ，解得x ＝－1，z ＝－5，∴点M (－1,0，－5)．故选D.]3．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( ) A ．534 B ．532 C ．532D ．132 C [M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3 ，|CM |＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋9＝532.] 4.如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，－1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，－1C [{DA →，DC →，DD 1→}为单位正交向量，BE →＝BB 1→＋B 1E →＝－14DC →＋DD 1→，∴BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14，1.] 5．设{i ，j ，k }是单位正交基底，已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)A [依题意，知p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8(i ＋j )＋6(j ＋k )＋4(k ＋i )＝12i ＋14j ＋10k ，故向量p 在基底{i ，j ，k }下的坐标是(12,14,10)．]二、填空题6．在空间直角坐标系中，已知点P (1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ ，则垂足Q 的坐标为________．(0，2，3) [过P 的垂线PQ ⊥面yOz ，则Q 点横坐标为0，其余不变，故Q (0，2，3)．]7．设{e 1，e 2，e 3}是空间向量的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________．(4，－8,3)，(－2，－3,7) [由题意可知a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)．] 8.如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB 1→的坐标为(4,3,2)，则AC 1→的坐标为________．(－4,3,2) [由DB 1→＝DA →＋DC →＋DD 1→，且DB 1→＝(4,3,2)，∴|DA →|＝4，|DC →|＝3，|DD 1→|＝2，又AC 1→＝－DA →＋DC →＋DD 1→，∴AC 1→＝(－4,3,2)．]三、解答题9．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．[解] 如图所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，可得BO ⊥AC ，OO 1⊥AC ，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵三棱柱各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32. ∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0.∵点A 1与C 1在yOz 平面内， ∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.∵点B 1在xOy 平面内的射影为B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，即各点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. 10．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别为棱DD 1，D 1C 1，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA 1→}为正交基底，求下列向量的坐标：(1)AE →，AF →，AG →； (2)EF →，EG →，DG →.[解] 在正交基底{AB →，AD →，AA 1→}下，(1)AF →＝12AB →＋AD →＋AA 1→， AE →＝AD →＋12AA 1→，AG →＝AB →＋12AD →，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.(2)EF →＝AF →－AE →＝12AB →＋12AA 1→，∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12；EG →＝AG →－AE →＝AB →－12AD →－12AA 1→，∴EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12；DG →＝AG →－AD →＝AB→－12AD →，∴DG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.11．(多选题)下列各命题正确的是( ) A ．点(1，－2,3)关于平面xOz 的对称点为(1,2,3) B ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－3关于y 轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，3C ．点(2，－1,3)到平面yOz 的距离为1D ．设{i ，j ，k }是空间向量的单位正交基底，若m ＝3i －2j ＋4k ，则m ＝(3，－2,4)．ABD [“关于谁对称谁不变”，∴A 正确，B 正确，C 中(2，－1,3)到面yOz 的距离为2，∴C 错误．根据空间向量的坐标定义，D 正确．]12．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内一动点(包括表面)，若AP →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，且0≤x ≤y ≤z ≤1.则点P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A ．1B ．12C ．13D ．16D [根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x ≤y ≤1的点P 在三棱柱ACD -A 1C 1D 1内；满足0≤y ≤z ≤1的点P 在三棱柱AA 1D 1-BB 1C 1内，故同时满足0≤x ≤y ≤1,0≤y ≤z ≤1的点P 在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A -A 1C 1D 1，其体积是13×12×1×1×1＝16.]13．三棱锥P -ABC 中，∠ABC 为直角，PB ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝PB ＝1，M为PC 的中点，N 为AC 的中点，以{BA →，BC →，BP →}为基底，则MN →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12 [MN →＝BN →－BM → ＝12(BA →＋BC →)－12(BP →＋BC →) ＝12BA →－12BP →，故MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12.] 14．已知O 是坐标原点，点A (2,0，－2)，B (3,1,2)，C (2，－1，7)． (1)若点P 满足OP →＝OA →＋OB →＋OC →，则点P 的坐标为________； (2)若点P 满足AP →＝2AB →－AC →，则点P 的坐标为________．(1)(7,0,7) (2)(4,3，－3) [(1)中OP →＝OA →＋OB →＋OC →＝(2i －2k )＋(3i ＋j ＋2k )＋(2i －j ＋7k )＝7i ＋0j ＋7k ，∴P (7,0,7)．(2)中，AP →＝2AB →－AC →得OP →－OA →＝2OB →－2OA →－OC →＋OA →，∴OP →＝2OB →－OC →＝2(3i ＋j ＋2k )－(2i －j ＋7k ) ＝4i ＋3j －3k ，∴P (4,3，－3)．]15.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，O 是AC 与BD 的交点，PO ＝1，M 是PC 的中点．设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c .(1)用向量a ，b ，c 表示BM →.(2)在如图的空间直角坐标系中，求BM →的坐标．[解] (1)∵BM →＝BC →＋CM →，BC →＝AD →，CM →＝12CP →，CP →＝AP →－AC →，AC →＝AB →＋AD →，∴BM →＝AD →＋12(AP →－AC →)＝AD →＋12AP →－12(AB →＋AD →)＝－12AB →＋12AD →＋12AP →＝－12a ＋12b ＋12c .(2)a ＝AB →＝(1,0,0)，b ＝AD →＝(0,1,0)．∵A (0,0,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴c ＝AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BM →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(1,0,0)＋12(0,1,0)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，12.1.3.2空间运算的坐标表示一、选择题1．已知三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，那么( ) A ．a ＝3，b ＝－3 B ．a ＝6，b ＝－1 C ．a ＝3，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1C [根据题意AB →＝(1，－1,3)，AC →＝(a －1，－2，b ＋4)， ∵AB →与AC →共线，∴AC →＝λAB →， ∴(a －1，－2，b ＋4)＝(λ，－λ，3λ)，∴⎩⎨⎧a －1＝λ，－2＝－λ，b ＋4＝3λ，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，λ＝2.故选C.]2．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( ) A ．(0,3，－6) B ．(0,6，－20) C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)B [由题a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，设x ＝(w ，y ，z )则由b ＝12x －2a ，可得(－4，－3，－2)＝12(w ，y ，z )－2(2,3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w ，12y ，12z－(4,6，－8)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12w －4，12y －6，12z ＋8，解得w ＝0，y ＝6，z ＝－20，即x ＝(0,6，－20)．]3．已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( ) A ．(－1,1,0) B ．(1，－1,0) C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)B [不妨设向量为b ＝(x ，y ，z )，A ．若b ＝(－1,1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． B ．若b ＝(1，－1,0)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12×2＝12，满足条件． C ．若b ＝(0，－1,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12×2＝－12≠12，不满足条件． D ．若b ＝(－1,0,1)，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－22×2＝－1≠12，不满足条件．故选B.]4．已知向量a ＝(－2，x,2)，b ＝(2,1,2)，c ＝(4，－2,1)，若a ⊥(b －c )，则x 的值为( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3A [∵b －c ＝(－2,3,1)，a ·(b －c )＝4＋3x ＋2＝0，∴x ＝－2.]5．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4，1，3)，B (2，－5，1)，C (3，7，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于( )A ．28B ．－28C ．14D ．－14D [AB →＝(－2，－6，－2)，AC →＝(－1，6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14.] 二、填空题6．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________.－1 [∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．120° [AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14·14＝－12，∴θ＝〈AB →，CA →〉＝120°.]8.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．1 [以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)，设CE ＝x ，DF ＝y ，则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴B 1E →＝(x －1,0,1)，又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB →＝(1,1，y )，由于AB ⊥B 1E ，若B 1E ⊥平面ABF ，只需FB →·B 1E →＝(1,1，y )·(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1.] 三、解答题9．已知空间中三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求实数k 的值．[解] (1)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，∴a·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010，即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.(2)法一：∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，∴k ＝2或k ＝－52， ∴当k a ＋b 与k a －2b 互相垂直时，实数k 的值为2或－52. 法二：由(1)知|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－1，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52. 10.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2，AB 1⊥BC 1，点O ，O 1分别是边AC ，A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求正三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值． [解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h ，由题意得A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，B 1(3，0，h )，C 1(0,1，h )，则AB 1→＝(3，1，h )，BC 1→＝(－3，1，h )，因为AB 1⊥BC 1，所以AB 1→·BC 1→＝－3＋1＋h 2＝0，所以h ＝ 2.(2)由(1)可知AB 1→＝(3，1，2)，BC →＝(－3，1,0)，所以AB 1→·BC →＝－3＋1＝－2.因为|AB 1→|＝6，|BC →|＝2，所以cos 〈AB 1→，BC →〉＝－226＝－66.所以异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值为66.11．(多选题)若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则下列结论正确的是( )。

概率论与数理统计习题第一章第三章

1.1 写出以下随机试验的样本空间：(1) 某篮球运发动投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会一样，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，那么()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的间隔 ; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.3 设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{6.18.0≤=x x B 详细写出以下各事件：(1)AB ; (2) B A - ; (3) B A -; (4) B A ⋃ （1）AB }{18.0≤=x x ； (2) B A -=}{8.05.0≤≤x x ；(3) B A -=}{28.05.00≤⋃≤≤x x x ; (4) B A ⋃=}{26.15.00≤⋃≤≤x x x1.6 按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +⋃, 并说明理由.解：由于),(,B A A A AB ⋃⊆⊆故)()()(B A P A P AB P ⋃≤≤，而由加法公式，有：)()()(B P A P B A P +≤⋃ 1.7 假设W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求以下事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：175.0)()()()(=-+=⋃WE P E P W P E W P(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：1.0)()()(=-=W E P W P E W P(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=⋃-=E W P E W P . 1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。

电磁学习题答案1-3章

第一章习题一1、电量Q 相同的四个点电荷置于正方形的四个顶点上，0点为正方形中心，欲使每个顶点的电荷所受电场力为零，则应在0点放置一个电量q ＝－(1+2√2)Q/4 的点电荷。

2、在点电荷系的电场中，任一点的电场强度等于各点电荷单独在该点产生场强的矢量和，这称为电场强度叠加原理。

3、一点电荷电场中某点受到的电场力很大，则该点的电场强度E ：( C )(A)一定很大 (B)一定很小 (C)可能大也可能小4、两个电量均为+q 的点电荷相距为2a ，O 为其连线的中点，求在其中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离R 。

解法一：22020214141aR qπεr q πεE E +=== 21E E E+=，θE θE θE E cos 2cos cos 121=+=2222042a R R a R q πε++=()2/32202a R R πεq +=E 有极值的条件是：()0222/522220=+-=a R R a πεq dR dE 即 0222=-R a ，解得极值点的位置为：a R 22=∵ ()2/722220223223a R a R πεqR dR E d +-=，而 0398402/222<-==aπεqdR E d a R ∴ 中垂线上场强具有极大值的点与O 点的距离为a R 22= 且 ()202/3220m a x 332/2/2aπεq a a a πεq E =+=解法二：θaq πεr q πεE E 2202021sin 4141===，21E E E +=+qθE θE θE E cos 2cos cos 121=+=θθaq πεcos sin 21220=)cos (cos 21320θθaq πε-=E 有极值的条件是：0)sin 3sin 2(2320=-=θθaπεq θd dE E 有极值时的θ满足：31cos 32sin 1cos 0sin 2211====θ，θ；θ，θ )cos 7cos 9(2)cos sin 9cos 2(232022022θθa πεq θθθa πεq θd E d -=-= 0)cos 7cos 9(22011320221>=-==a πεq θθa πεq θd E d θθ 032)cos 7cos 9(22022320222<-=-==aπεq θθa πεq θd E d θθ 可见 θ = θ2时，E 有极大值。

会计学一二章习题

5．会计要素是会计报表通常所含有的大类项目，主要有6个会计要素，分别为( )、 )、 )、 )、主要有6个会计要素，分别为( )、( )、( )、( )、 ( )和( ) )和 6．资产是指由过去的交易事项形成并由企业拥有的或者( )的资源，该资源预期会给企业带来( )。的或者( )的资源，该资源预期会给企业带来( )。 7．会计的基本程序具体包括( )、( ．会计的基本程序具体包括( )、 )、 )和 )。 )、( )和( )。 8．所有者权益是企业( )在企业资产中享有的经济．所有者权益是企业( )在企业资产中享有的经济利益。其金额等于( )减去( )后的金额。利益。其金额等于( )减去( )后的金额。 9．2006年新准则出台了( )项具体会计准则。 2006年新准则出台了( )项具体会计准则。 10．会计要素的计量属性包括( )、( )、( )、( ) 10．会计要素的计量属性包括( )、 )、 )、和( )，新的企业会计准则规定企业在对会计要素 )，新的企业会计准则规定企业在对会计要素进行计量时，一般应当采用( )计量属性。进行计量时，一般应当采用( )计量属性。
7．我国企业会计准则规定以( )作为会计年度。．我国企业会计准则规定以( )作为会计年度。 A．营业年度 B．农历年度 C．日历年度 D．期末 8．下列( )肯定既是会计主体又是法律主体。．下列( )肯定既是会计主体又是法律主体。 A．甲生产车间 B．乙销售部门 C．丙上市公司 D．丁大学数学系 9．按照权责发生制确认基础，( )应作为本期收．按照权责发生制确认基础，( )应作为本期收入。 A．收到上月产品销售收入存人银行 B．预收下月产品销售收入存人银行 C．本月销售产品收入存入银行 D．上月利息收入存入银行
4．下列不属于会计核算基本前提的是( )。．下列不属于会计核算基本前提的是( )。 A．货币计量 B．会计主体 C．历史成本 D．持续经营 5．在经济生活中存在不确定性和许多风险，因此在进行会计核算时应遵循的会计一般原则是( )。原则是( )。 A．重要性 B．真实性 C．谨慎性 D．相关性 6．下列原则中( )是会计的生命和灵魂。．下列原则中( )是会计的生命和灵魂。 A．谨慎性原则 B．客观性原则 C．可比性原则 D．明晰性原则

现代测试技术课后习题及答案

复习（重点）一、中期考试题（含第一、二、三章）重点习题：二、填空选择题：第五、九、十章。

如： 1. ±1误差称为最大量化误差2.直接数字合成（DDS ）技术的优缺点。

三、判断题第四、九章。

四、简答题：1.简单电路原理分析，如P155图4-6；锁相环倍频分频2.框图分析（简述）：测频、测周及时间间隔原理；示波器扫描发生器环组各部份的组成及作用；外差式频谱分析仪组成框图原理；逻辑分析仪五、计算题:1.（含中期考试计算题）及第九章2.累进性系统误差、周期性误差的判别，简述测量数据处理的步骤（要求给出相应的公式及判据），例3-4。

3．计算由±1误差所引起的测周误差。

付加：1.现代自动测试系统特点2. PXI 总线的特点及应用领域？第一章一、填空题1.相对误差定义与的比值。

通常用百分数表示。

2.广义测量是指为了获得对被测对象而进行的实验过程。

3.狭义测量测量是为了确定被测对象的而进行的实验过程。

4.测量误差主要的来源、、、和。

5.仪表的准确度越高，测量结果越。

6.信息的的获取的过程是由和两大环节组成。

二、计算题1、用量程为10V 、1.5级的电压表分别测量3V 和8V 的电压，试问哪一次测量的准确度高?为什么?解：xm=10V,A1=3V ,A2=8V2、某被测电压为3.50V ，仪表的量程为5V ，测量时该表的示值为3.53V ，求：⑴ 绝对误差与修正值各为多少？%5.1%100=⨯∆=XmXm γ%5.110⨯=∆X %5%10011=⨯∆=A XA γ◆⑵实际相对误差及引用误差各为多少？◆⑶该电压表的精度等级属哪一级别？第二章◆一、选择题：◆ 1.从基本的测量对象来看，电子测量是对( ) 的测量。

◆ A.电信号 B. 电路Ｃ．电系数Ｄ．电参数◆ 2.测量系统的理想静态特性为（）．◆Ａ．y=Sx+S0 B.y=Sx C.y=S D.y=Sx+S0+x2◆ 3. 电子信息技术应用在电子测量中的优点有（）。

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操作系统（1、2章习题）一、单选题1.操作系统是一组（）。

A.文件管理程序B.中断处理程序C.资源管理程序D.设备管理程序2.从用户观点看，操作系统是（）。

A.用户与计算机之间的接口B.控制和管理计算机资源的软件C.合理的组织计算机工作流程的软件D由若干层次的程序按一定的结构组成的有机体3.（）不是操作系统关心的主要问题。

A.管理计算机裸机B.设计、提供用户程序与计算机硬件系统的界面C.管理计算机系统资源D.高级程序设计语言的编译器4.现代OS具有并发性和共享性，是（）的引入导致的。

A.单道程序B.磁盘C.对象D.多道程序5.引入多道程序的目的在于（）。

A.充分利用CPU，减少CPU等待时间B.提高实时响应速度C.有利于代码共享，减少主、辅存信息交换量D.充分利用存储器6.在单一处理机上执行程序，多道程序的执行是在（）进行的。

A.同一时刻B.同一时间间隔内C.某一固定时刻D某一固定时间间隔内7.批处理系统的主要缺点是（）。

A.CPU的利用率不高B.失去了交互性C.不具备并行性D以上都不是8.在分时系统中，时间片一定，（），响应时间越长。

A.内存越多B.用户数越多C.后备队列越短D用户数越少9.在下列性质中，哪一个不是分时系统的特征。

（）A.交互性B.同时性C.及时性D独占性11 要求在规定的时间内对外界的请求必须给予及时响应的OS是（）。

A.多用户分时系统B.实时系统C.批处理系统时间D.网络操作系统12.下面6个系统中，必须是实时操作系统的有（）个。

i.航空订票系统ii.过程控制系统iii.机器口语翻译系统iv.计算机辅助系统v.办公自动化系统vi.计算机激光照排系统A.1B.2C.3D.413.（）对多道批处理系统最重要。

A.实时性B.交互性C.共享性D.运行效率14.（）对多用户分时系统最重要。

A.实时性B.交互性C.共享性D.运行效率15.( )对实时系统最重要。

A.及时性B.交互性C.共享性D.运行效率16.现代操作系统的基本特征是（）、资源共享和操作的异步性。

A.多道程序设计B.中断处理C.程序的并发执行D.实现分时与实时处理17.在下面关于并发性的叙述中正确的是（）。

A.并发性是指若干事件在同一时刻发生B.并发性是指若干事件在不同时刻发生C.并发性是指若干事件在同一时间间隔内发生D.并发性是指若干事件在不同时间间隔内发生18以下（）项功能不是操作系统具备的主要功能。

A.内存管理B.中断处理C.文档编辑D.CPU调度19.分布式系统与网络系统的主要区别是（）A.并行性B.透明性C.共享性D.复杂性20( )操作系统允许在一台主机上同时连接多台终端，多个用户可以通过各自的终端同时交互地使用计算机。

A.网络B.分布式C.分时D.实时21.（）不是多道程序系统A.单用户单任务B.多道批处理系统C.单用户多任务D.多用户分时系统22.CPU状态分为系统态和用户态，从用户态转换到系统态的唯一途径是（）。

A.运行进程修改程序状态字B.中断屏蔽C.系统调用D.进程调度程序23.Windows98是（）操作系统。

A.多用户分时B.批处理系统C.单用户多任务D.单用单任务24.用户要在程序一级获得系统帮助，必须通过（）。

A.进程调度B.作业调度C.键盘命令D.系统调用25.（）操作系统必须提供的功能。

A.GUIB.为进程提供系统调用命令C.处理中断D.编译源程序26. 单操作系统完成了用户请求的“系统功能调用”后，应让中央处理器（）工作。

A.维持在管态B.从管态转换到目态C.维持在目态D.从目态转换到管态27．任何两个并发进程之间存在着（）的关系。

A．各自完全独立B．拥有共享变量C．必须互斥D．可能相互制约28．并发进程执行的相对速度是（）。

A．由进程的程序结构决定的B．由进程自己来控制的C．在进程被创建时确定的D．与进程调度策略有关的29．并发进程中与共享变量有关的程序段称为（）。

A．共享子程序B．临界区C．管理区D．公共数据区30．用来实现进程同步与互斥的PV操作实际上是由（）过程组成的。

A．一个可被中断的B．一个不可被中断的C．两个可被中断的 D. 两个不可被中断的31．进程从运行态变为等待态可能由于（）。

A．执行了V操作B．执行了P操作C．时间片用完D．有高优先级进程就绪32．用PV操作管理互斥使用的资源时，信号量的初值应定义为（）。

A．任意整数B．1 C．O D．-133．现有n个具有相关临界区的并发进程，如果某进程调用P操作后变为等待状态，则调用P操作时信号量的值必定为（）。

A．≤0 B．1 C．n-1 D．n34．用PV操作管理临界区时把信号量的初值定义为1，现已有一个进程在临界区，但有n个进程在等待进人临界区，这时信号量的值为（）。

A．-1 B．1 C．-n D．n35．用V操作唤醒一个等待进程时，被唤醒进程的状态应变成（）状态。

A．执行B．就绪C．运行D．收容36．有一共享文件可供n个并发进程使用，但限制最多m个进程（n≥m≥1）可同时读文件，用PV操作进行管理时其信号量的初值应该为（）。

A．n B．m C．u-m D．137．当一个任务需要若干进程协同完成时，进程之间需要交换一定数量的信息，把这种信息交换称为（）。

A．进程唤醒B．进程通信C．进程互斥D．进程同步38．进程间采用信箱通信方式时，send原语把发送者的信件存放到（）中。

A．信箱B．消息缓冲区C．接收者的PCB D．指定的工作区39．采用信箱方式进行通信的系统中，信箱是一种（）资源。

A．可共享的硬件B．不可共享的硬件C．可共享的软件D．不可共享的软件40．使用PV操作后，（）系统死锁。

A．能检测B．能解除C．仍可能出现D．不会出现41．系统出现死锁时一定同时保持了四个必要条件，对资源采用按序分配算法后可破坏其中的（）条件。

A．互斥B．占有且等待C．可抢占资源D．循环等待42．资源的静态分配算法在解决死锁问题中是用于（）死锁。

A．防止B．避免C．检测D．解除43．在讨论死锁问题时，采用银行家算法分配资源可以（）死锁。

A．防止B．避免C．检测D．解除二、填空题1.操作系统是计算机系统中的一个__________,它管理和控制计算机系统中的__________.2.在多道程序环境下的各道程序，从宏观上来说，它们在__________运行，但从微观上来看，则以__________方式运行。

3.操作系统是计算机系统的核心软件。

按功能特征的不同，可把操作系统分为____________、____________ 、____________ 、个人机系统、网络操作系统和分布式操作系统等基本类型。

其中____________ 的主要目标是提高系统的吞吐率和效率，而____________是一旦有处理请求和要求处理的数据时，CPU就应该立即处理该数据并将结果及时送回。

4.根据服务对象不同，常用的处理机操作系统主要分为如下三种类型：允许多个用户在其终端上同时交互地使用计算机的操作系统称为____________，它通常采用____________策略为用户服务；允许用户把若干个作业提交计算机系统集中处理的操作系统称为____________，衡量这种系统性能的一个主要指标是系统的____________；在____________的控制下，计算机系统能及时处理由过程控制反馈的数据并作出响应。

设计这种系统时，应首先考虑系统的____________。

5.现代操作系统的两个最基本特征是_____________和___________。

6.实时系统应具有两个基本特征____________和___________。

7.用户和操作系统之间的接口主要有____________和____________两类。

8.在主机控制下进行的输入/输出操作称为____________操作。

9.UNIX系统是____________操作系统，DOS系统是____________操作系统。

10．计算机系统是由计算机________和计算机________两大部分组成。

11．不配有任何软件的计算机通常被称为___________。

12．计算机的软件可分成________、________和应用软件三类。

13．操作系统管理的计算机系统中的资源可分成_______资源和_______资源两大类。

14．操作系统的形成与发展与_________技术的发展密切相关。

15．_________操作系统能充分利用中央处理器与各种外围设备的并行工作能力。

16．_________操作系统使用户能直接操纵计算机系统进行交互式的工作。

17．在用于控制生产流水线的计算机系统中应配置________操作系统。

18．在实时操作系统控制下，计算机系统对接收到的_________信号应及时处理。

19．设计实时操作系统时必须首先考虑系统的_______和________，其次才考虑系统效率。

20．网络操作系统的功能是实现各台计算机之间的________以及网络中________的共享。

21．分布式操作系统能使系统中若干台计算机________完成一个共同的任务。

22．分布式操作系统是把_________分布在几台计算机上并行地运行。

23．把不允许用户程序中直接使用的指令称为_________指令。

24．中央处理器区分两种工作状态，它们是_______和_______。

25．中央处理器处于_______时拒绝执行特权指令。

26．________是用来控制指令执行顺序并且保留和指示与程序有关的系统状态。

27．每个程序都要有一个________来刻画本程序的执行状态。

28．中央处理器设置一个________寄存器用来存放当前运行程序的PSW。

29．由操作系统提供的可供用户程序执行中调用的子程序被称为__________。

30．用户程序中使用_________指令来请求调用操作系统功能。

31．当用户请求调用操作系统功能时应使中央处理器的工作状态从_________转换成________。

32．从资源管理的观点看，操作系统的功能可分成________、________、_______、_______和_______五大部分。

33．一个进程独占处理器顺序执行时具有_______和_______两个特性。

34．把一组可同时执行的进程称为_______进程。

35．有交往的并发进程在竞争共享资源时会出现_______错误。

36．把并发进程中涉及到对共享变量进行访问的程序段称为_______。

37．用PV操作管理相关临界区时，任何一个进程要进人自己的临界区前应调用_______、操作，退出临界区时应调用_______操作。

38．系统中存在多个进程时，这些进程对共享资源的使用存在着不同的相互制约关系，制约关系可归结为两种，一种是_______关系，另一种是_______关系。