电磁学第三章(用)
电磁学(赵凯华,陈熙谋第三版)第三章 习题解答
新概念物理教程・电磁学" 第三章 电磁感应 电磁场的相对论变换" 习题解答
" " ! ! ! " 如本题图所示， 一很长的直导线有交变电 流（ # $）% &# !"#!$， 它旁边有一长方形线圈 ’ ( ) *，长 为 +， 宽为 （ , !-） ，线圈和导线在同一平面内。 求： （ $ ）穿过回路 ’()* 的磁通量 "； （ % ）回路 ’ ( ) * 中的感应电动势 !" # # # # # &# % 解： （$） ( % !"#! $， %!. %!. , # # &# + # # &# + , !"# $， " " "% $. !"#! $ % ! %# - %!. %! ## + ! $" , & &’! $" %! " （ % ） " " ! %! ! %# # $$ %! -
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新概念物理教程・电磁学! 第三章 电磁感应 电磁场的相对论变换! 习题解答
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电磁学第二版习题答案
电磁学-第二版-习题答案第二版《电磁学》的习题答案：1. 第一章：电荷和电场习题1：假设有两个电荷，一个带正电量Q1，另一个带负电量Q2，在他们之间的距离为r1。
如果将Q1的电荷减小到原来的一半，同时将Q2的电荷加倍，并将它们之间的距离改为r2，那么这两个电荷之间的相互作用力是怎样改变的？解答：根据库伦定律，两个电荷之间的相互作用力正比于它们的电荷量乘积，反比于它们之间的距离的平方。
即F∝(Q1Q2)/r^2。
根据题目，Q1变为原来的一半，Q2变为原来的两倍，r由r1变为r2。
代入上述关系式，可得新的相互作用力F'为：F'∝((Q1/2)*(Q2*2))/(r2^2)。
化简上式，可得F'∝(Q1Q2)/(r2^2)。
由上式可知，新的相互作用力与原来相互作用力相等。
即新旧相互作用力大小相同。
习题2：有一组平行板电容器，两板之间的距离为d，电容的电极面积为A。
当电容器充满理想电介质时，电容器的电容是原来的多少倍？解答：当电容器充满理想电介质时，电容的电容量由电容公式C=εA/d得到。
其中，ε为电介质的相对介电常数。
而当电容器未充满电介质时，电容的电容量为C0=ε0A/d。
其中，ε0为真空的介电常数。
所以，电容器充满电介质时，电容与未充满时的电容C0比较，即C/C0=ε/ε0。
所以，电容器电容是原来的ε/ε0倍。
2. 第二章：电荷的连续分布习题1：在距离线段中点为R的的P点，取出一个长度为l的小线段，小线段的位置如何改变时，该小线段对P点电势的贡献较大？解答：根据电场电势公式，P点电势由该小线段的电荷贡献决定。
即V=k(q/R)，其中k为电场常量，q为该小线段的电荷量，R为该小线段到P点的距离。
所以，小线段对P点电势的贡献较大的情况是，当该小线段长度l较大且该小线段离P点的距离R较小的时候，即小线段越靠近P点且长度越大，对P点电势的贡献越大。
习题2：线电荷的线密度为λ，长度为L，P点到线电荷的距离为d。
高等电磁理论第三章答案3
第三章 稳恒电流场的边值问题3-1 在电导率为σ的均匀半空间表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以I +和I -向媒质中供电。
试根据电场的叠加原理，求出A 和B 两个点电流源在表面上M 点形成的电位。
解：易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I RΦπσ=，同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电位为2B IRΦπσ=-，则叠加后介质中任意一点的总电位为22A BI IR R Φπσπσ=-对于表面上一点M （设其坐标为(0)x ,）而言，||A R x L =+，||B R x L =-，则有22||||2||2||2||I I I x L x L x L x L x L Φπσπσπσ--+=-=+--3-2 当地表水平、地下为均匀各向同性岩石时，在地层表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以电流强度I +和I -向地下供电，在地下建立稳定电流场。
试解答如下问题：（1）求A 和B 连线中垂线上h 处电流密度h j 的表达式；（2）计算并绘图说明深度为h 处的电流密度h j 随AB 的变化规律；（3）确定使h j 为最大时，供电电极距AB 与h 的关系式。
解：（1）易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A IRΦπσ=，则31()()()=22A I I E R RσσΦσπσπ==⋅-∇=⋅-⋅∇Rj 同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电流密度为32B I Rπ=-Rj ，叠加后得介质中任意一点的电流密度为3322A BA BI I R R ππ=-R R j 在A 、B 连线的中垂线上，A B R =R ，A B =2L ρ-R R e ，则有3322222()I I L L R L h ρρππ=⋅=⋅+j e e （2）（3）设3222()()f L L L h -=⋅+，对其求导可得35'2222222()()3()f L L h L L h --=+-+令其等于0，得22230L h L +-=，解得L = 故h j 为最大时电极距AB 与h 的关系为22AB L ===3-3 在习题3-2中，电极距AB 时，均匀各向同性半空间中h 深度处的电流密度最大。
《电磁学》赵凯华陈熙谋No3chapter答案
第三章 稳 恒 电 流§3.1 电流的稳恒条件和导电规律思考题：1、 电流是电荷的流动，在电流密度j ≠0的地方，电荷的体密度ρ是否可能等于0？ 答：可能。
在导体中，电流密度j ≠0的地方虽然有电荷流动，但只要能保证该处单位体积内的正、负电荷数值相等（即无净余电荷），就保证了电荷的体密度ρ＝０。
在稳恒电流情况下，可以做到这一点，条件是导体要均匀，即电导率为一恒量。
2、 关系式U=IR 是否适用于非线性电阻？答：对于非线性电阻，当加在它两端的电位差Ｕ改变时，它的电阻Ｒ要随着Ｕ的改变而变化，不是一个常量，其Ｕ－Ｉ曲线不是直线，欧姆定律不适用。
但是仍可以定义导体的电阻为Ｒ＝Ｕ／Ｉ。
由此，对非线性电阻来说，仍可得到Ｕ＝ＩＲ的关系，这里Ｒ不是常量，所以它不是欧姆定律表达式的形式的变换。
对于非线性电阻，Ｕ、Ｉ、Ｒ三个量是瞬时对应关系。
3、 焦耳定律可写成P=I 2R 和P=U 2/R 两种形式，从前者看热功率P 正比于R ，从后式看热功率反比于R ，究竟哪种说法对？答：两种说法都对，只是各自的条件不同。
前式是在Ｉ一定的条件下成立，如串联电路中各电阻上的热功率与阻值Ｒ成正比；后式是在电压Ｕ一定的条件下成立，如并联电路中各电阻上的热功率与Ｒ成反比。
因此两式并不矛盾。
4、 两个电炉，其标称功率分别为W 1、W 2，已知W 1>W 2，哪个电炉的电阻大？ 答：设电炉的额定电压相同，在Ｕ一定时，Ｗ与Ｒ成反比。
已知W 1>W 2，所以Ｒ1<R 2，5、 电流从铜球顶上一点流进去，从相对的一点流出来，铜球各部分产生的焦耳热的情况是否相同？答：沿电流方向，铜球的截面积不同，因此铜球内电流分布是不均匀的。
各点的热功率密度p=j 2/σ不相等。
6、 在电学实验室中为了避免通过某仪器的电流过大，常在电路中串接一个限流的保护电阻。
附图中保护电阻的接法是否正确？是否应把仪器和保护电阻的位置对调？ 答：可以用图示的方法联接。
大物电磁学 第三章 电势
方向沿径向向外 方向沿径向向外
18
AQ
(r R1) E3 40r2
方向沿径向向外
（3）球内、外各点的电势
注意： 求各点电势（电势分布）时，要分 区域讨论，分区方式与场强相同。
电势零点位置选择：如无特殊说明，对球状
带电体产生的电场，选
取无穷远处为电势零点。
即：令 0
19
R oP1
二、公式 静电场力的功 = 电势能差 电势差 公式 电势公式
三、解题方法 求场强时的填补法，叠加法； 求电势的方法，电势差的方法
28
作业：P87 3.2 3.3 3.7 3.9
29
课后思考题： 如图，两个同心的半球面相对放置，半径分别 为 R 1 和 R 2 （ R1 R2 ），都均匀带电，电荷面 密度分别为 1 和 2 .试求大的半球底面圆直 径AOB上得电势. B
总
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n i 1
1
4 0
qi ri
r i : 第 i个点电荷到场点的距离
0
qi
.P
3、连续带电体的电场中的电势 令
d 1 dq 40 r
r : 所取的任意位置的电荷元
到场点的距离
0
dq
+q
r
.P
32
总电势
dq
4 电荷分布范围 0r
( 0)
注意：电势是标量，上式可直接积分，电势 迭加比电场迭加要简便。
P20( x2R2x)
( 0)
39
3-5 电荷在外电场中的静电势能
八、电势能差、电场力的功及电势、电 场四者之间的关系
Wa Wb Aab
b
b
q 0a E d l q 0a E c o sd l
电磁学(梁灿彬)第三章
荷（又称为束缚电荷）， '表示
束缚电荷密度。
nql dS np dS P dS
S
介质极化后，一些分子 电偶极子跨过dS,当偶极子 的负电荷处于体积元 l dS 内时，同一偶极子的正电
荷就穿出界面dS外边，则穿出dS外面的正电荷为：
nql dS np dS P dS
由于介质是电中性的，由V内通过界面S 穿出的正电荷量等于V内净余的负电荷量
V 'dV
P dS S
注：
（1）线性均匀介质中，极化迁出的电荷与迁入的电 荷相等，不出现极化电荷分布。
（2）不均匀介质或由多种不同结构物质混合而成的 介质，可出现极化电荷。
• 体积： ldS |cos | （斜柱体）
• 偶极子数： n ldS |cos | （中心在斜柱体内）
• 电量： dq’ = -nqldS cos （下半柱体，即 V 内）
dq’ = -npdS cos PdS cos P dS
q' P dS
S
'
1 V
S
P
dS
换一个角度理解上述原理
某点 ’ 已知，求该点 0 。
解：A 内： E = 0 （导体内）
A 外： E 0 ' nˆ （高斯定理） 0
P 0E ( 0 ')nˆ
' P nˆ' P nˆ ( 0 ')
’ 0
A
’ n 0
A 介质
nˆ' nˆ 由介质指向导体
解得
0
'1
梁彬灿电磁学第三章习题解答
3．2．1 解答：（1）如图3.2.1所示，偶极子的电荷量q 和q -所受的电场力分别为qE 和qE -，大小相等，合力为0，但所受的力矩为M P E =⨯当且仅当0θ=和θπ=时，电偶极子受的力矩为0，达到平衡状态，但在0θ=的情况下稍受微扰，电偶极子将受到回复力矩回到平衡位置上，因此，0θ=时，是稳定平衡；但在θπ=的情况下稍受微扰，电偶极子受到的力矩将使电偶极子“倾覆”到达0θ=情况，因此，θπ=的情况是不稳定平衡。
（2）若E 不均匀，一般情况下，偶极子的电荷量q 和q -所受的电场力不为0，电场力将使偶极子转向至偶极矩P 与场强E 平行的情况，由于电场不均匀，偶极子所受的合力不为0.因此,电偶极子不能达到平衡状态。
3．2．2 解答：（1）如图3.2.2所示，偶极子1P 和2P 中的2q -处激发的电场为13222p E kl r -=⎛⎫- ⎪⎝⎭2q -所受的电场力为2123222q p F q E kl r ---=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭偶极子1P 和2P 中的2q 处激发的电场为13222p E kl r +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2q 所受的电场力为2123222q p F q E kl r ++==⎛⎫+ ⎪⎝⎭偶极子2P 受到的合力为()332221222l l F F F k q p r r --+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦令22l x ≡，()()3f x r x -≡+，()()3g x r x -≡-，则()()330,0f r g r --==，故()()()()()()4444'3,'3,'03,'03f x r x g x r x f r g r ----=-+=-=-=因22l r >>，对22l r ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和22l r ⎛⎫- ⎪⎝⎭在0r =处展开后，略去高次项 ()()()()()()3434'003,0'03f x f x f r r x g x g g x r r x ----≈+=-=+=+()()46f x g x xr --=-所以()42121221440033(2)62q p l p p F k q p xr r rπεπε--=-=-= 其大小为124032p p F r πε=以上是1P 和2P 同向的情况，反向时大小不变，受力方向相反。
第三章经典电磁学
意大利科学家伽伐尼 （Luigi Galvani,1737 ～1798)
在一次解剖青蛙时有一个偶然的发现， 一只已解剖的青蛙放在一个潮湿的铁 案上，当解剖刀无意中触及蛙腿上外 露的神经时，死蛙的腿猛烈地抽搐了 一下。
3
库仑定律
库 仑 像
库仑（1736-1806）: 法国人，当过法 国部队的技术军 官，后被选为法 国科学院院士。
库仑扭称实验装置
q1q2 F K 2 er r
库仑的电摆实验 库仑把电的吸引力同地球对物体的吸引进行类比，设 计了电摆实验。 对重力摆
q1q2 对异号电荷，同样有： F K 2 er r
T r
4
奥 斯 特 像
磁针上的电碰撞实验－－电流的磁效应 奥斯特（1777-1851）：丹 麦人，发现电流磁效应的第 一人。
法拉第如此至爱的这个“婴儿”，的确有着 惊人之举。1867年西门子根据这一原理创造了发 电机，从此人类有了“电”，它至今仍为我们带 来光明和幸福。当我们在尽情享受电灯、电视、 电影……这一切现代文明的时候，我们怎能不感 谢这位铁匠的儿子呢？
7
洛伦兹与洛伦兹力
(洛伦兹Hendrik Antoon Lorentz，1853—1928)是荷兰 物理学家、数学家。1853年7 月18日生于阿纳姆。1870年入 莱顿大学学习数学、物理学， 1875年获博士学位。25岁起任 莱顿大学理论物理学教授，达 35年。
i B 3 [dl r ] r
dl
i
P
r
•安培的思考：自然界的对称性
dx
r
dy
•在1820年12月4日，又出了著名的安培定律
k dx dy sin sin sin f 2 r
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移向正极，在电源外部静电力把正电荷从电源正极拉向
负极。
含源电路欧姆定律的微分形式为
非静电场强
E非
F非
q
j (E非 E)
E
EK
二、电动势：描述电源做功本领的物理量
非静电力所作的功
A q0E非 dl
E非
F非 q
定义电源的电动势为：
E
()
() E非 dlEK Nhomakorabea通过 S 的电流：
面元处的电流密度 写成矢量形式：
I q uSne t
j I une S j neu
例题：设在直径为1mm的铜导线中通有10A的电流，已知 铜的电子数密度为 n 8.41028 m3 ，求电子的定向漂移速度。
电流密度
j
I S
10
0.25 1106
12.7 106 A m2
电流密度不随时间变化的电流称为恒定电流。 j j (x, y, z)
产生恒定电流的电场是恒定的。
E E(x, y, z)
电场是由电荷产生的，在恒定电流场中电荷分布不随时间变化
在恒定电流场中任意体积内
dq 0 dt
S
j
dS
dq dt
0
S
j
dS
0
j 0
称为恒定电流条件
恒定电流的高斯定理
产生恒定电流的恒定电场、恒定电流场与静电场有相同的性质。
j E
欧姆定律的微分形式
四、焦耳定律的微分形式
Q I 2Rt, 焦耳热功率为P Q I 2R U 2
t
R
因为I jS, 所以R 1 l ,于是得P j2S 2l j2 Sl
S
S
单位体积内的焦耳热功率为：
p j2 E 2 , 焦耳定律的微分形式。
五、 恒定电流条件
由 j E 电流场是由电场产生的
结论：j
和
与载流子电荷的平方成正比，与电荷的符号无关。
除霍耳效应外，正电荷向某方向运动与负电荷向相反方向运动等效
由 e 1.61019 C
n e2
2m m 9.1110 31 kg
根据材料可以计算出 n
若侧出 ，则可计算出
1014 s
若电场 E 的周期 T 1014 s ，或频率 1014 Hz （微波段）
en en2
en en1
所以
en ( j2 j1)S 0
en ( j2 j1) 0
j2n j1n
E的边值关系 在界面上任取线元
电流密度的法向分量连续
2 E2n 1E1n
E2n 1 E1n 2
l ，以l 为基础作一矩形，应用
E
L
dl
0
E L
E 、j
dl E2tl E1tl (E2t E1t )l 0
在电路的任意节点处，流入节点的电流与流出节点的电流相等。
S j dS＝0
I4 I5 （I1 I2 I3） 0
I1
I2
I4 I5 I1 I2 I3
I5
I3
亦可写成
Ii 0
I4
S
二、基尔霍夫第二定律
由 E dl 0 L
恒A定BE电 d路l 中AB沿j 任dl意回AB路的jSS电dl势 降I AB的RA代B 数U和A 为U零B 。
8.85 10 12 5.99 107
1.510 19 s
上式说明：
1、若某时刻导体中的电荷密度不为零，大约经 1019 s
电荷密度变为零。即建立稳恒电流场的时间是很 短的，达到静电平衡的时间是很短的。
2、不同导体中建立稳恒电流场的时间不同，达到静电平
衡的时间不同，这时间与导体的电导率有关。
八、电阻定律
有电流时，导体表面有自由电荷 0 所以 D2n D1n 0
0 r 2 E2n 0 E r1 1n 0
理想绝缘体中的电场既有法线分量，又有切向分量。
§3.2 电 动 势
一、非静电力
静电力不能维持电流的恒定,要维持电流的恒定必须存
在非静电力。
能够提供非静电力的装置称为电源。
在电源内部非静电力克服静电力把正电荷从电源负极
六、恒定电流场中的电荷分布
由恒定电流条件
Sj dS 0
欧姆定律
j E
所以，对于均匀导体 j dS E dS 0
S
S
j 0
E 0 D 0
SE dS 0
恒定电流场中电荷只能分布在导体表面上或界面上。
七、静电平衡的弛豫时间
设 t 0时导体内部电荷体密度为
密度为 ，由电流连续性方程
电源内
非静电力把单位正电荷由电源负极通
过电源内部移到正 极所做的功。
L E非 dl
物理意义：单位正电荷围绕闭 合回路一周，非静电力所作的功
稳恒电场
E E非 E静
E dl L
L E非 dl
稳恒电必须是闭合电路
规定：①若在电阻中电流方向与绕行方向相同，电势降落为 正，否则为负；②若在电动势的方向与绕行方向相同，电势 降落为负，否则为正。
V
dV
t
S j dS 0
j
t
j 0
E dl
L
L (E静 E非） dS
欧姆定律 边值关系
折射定律 恒定 电场
j
(E静
E非
)
en ( j2 j1) 0
E2t E1t
tg2 2 tg1 1
j2n j1n
j2t j1t
2 1
作业：3-1，3，4，5
S
D
dS
V
dV
D
涨落形成的电流通常可以忽略。
n
有电场时电子的运动：在热运动基础上附加一各逆电场方向 的定向漂移运动。电子的平均速度等于定向漂移速度 u 。
导体中的电流密度
设导体中某点处的电子数密度为 漂移速度为u ，在垂直电流方 向任取面元S ，作母线等于ut
的直柱体，则t 时间内通过 S 的电荷为：q Sutne
一 般：j＝j（x, y, z, t）, 恒定电流 : j＝j（x, y，z）
j是一个矢量场称为电流 场，可用电流线来
描述。电流线的方向为j的方向，通过垂直于j的方向
单位面积的电流线条数等于该点j的大小。
由电荷守恒，在某一时间间隔内，由曲面S流出的电量
等于这段时间内S所包围的电量的减少。即
电流连续性方程 : S
R l 并联电阻 R Ri
S
例 有一半径R的半球状电极与大地接 触，大地的电阻率为ρ。假定电流通过
I 地球
R
r I dr
这种接地电极均匀地向无限远处流散， 试求这种情况下的接地电阻。
解： 由于大地中与电流密度矢量相垂直的
dR dr 2r 2
横截面是一系列同心的半球面，取大地中
一层半径为r→r+dr的薄球壳，其电阻为 R
恒定电流场的边值关系是上述两方程在边界上的表现形式。
一、不同导电介质界面处的边值关系
在界面上任取一个面元 S ，以
它为基础作一直柱面，其高 h为
二级无穷小。界面法线由介质 1
指向介质 2，则
S j dS j2 en2S j en1S 0
S j dS j2 en2S j en1S 0
LE dl 0
E 0 无非静电力
§3.4 金属导电的经典电子论 一、金属导电的经典电子论的基本概念
1、自由电子气
金属中在晶格间作热运动的自由电子和气体分子的热运
动很相似。服从麦克斯韦速度分布律和良按自由度均分定理。
2、金属中电流形成的微观过程
导体中电流的速度？
自由电子的热运动不形成电流。 电子定向移动的速度？
欧姆定律仍然成立
经典电子论的成功 经典电子论的局限性
j
n
e2
E
2m
n e2
2m
v
所以
1 2d 2n
1
T
v 8kT v T
m
实验结果是
1
T
§3.5 基尔霍夫定律
简单电路：只有一个回路的电路，或应电阻的串并联可 以简化为一个回路的电路。
复杂电路：不能简化为一个回路的电路。
一、基尔霍夫第一定律
所以
E2t E1t
j2t j1t
2 1
的折射定律
tg2 2 tg1 1
tg2
j2t j2n
tg1
恒定电场的折射定律
j2t
j1t j1t
j1n
2 1
由
tg2 2 tg1 1
则
tg 2
2 1
tg1
若介质 1 为良导体，介质 2 为不良导体
1 2
tg2 很小，与界面几乎垂直。
例如钢电极埋入地下时
电子的定向漂移速度
u
j ne
12.7 106 8.4 10 28 1.6 10 19
9.45 10 4
m s1
电子的热运动平均速度
v
8kT
m
81.381023 300 3.14 9.111031
1.08105
m s1
二、欧姆定律的微分形式
一定温度下电子运动的平均自由时间 一定。 在电场中电子的运动方程 ma eE
一段含源电路的欧姆定律：
U A U B＝ i Ii Ri Ii ri
例题 ε1＝12V, ε2 ＝10V, ε3 ＝ 8V,R1＝2Ω， R2＝3Ω， r1=r2 =r3 =1Ω求①a、b两点的电势差; ②c、d两点的电势差。
R1 1
r1
a R1 c d 2 r2
3 r3
电路中的电流：I
1 钢 5106 S m1 2 地 2 10 2 S m1
当 1 89.90