2017年四川省省级联考高考数学模拟试卷(理科)

2017年四川省省级联考高考数学模拟试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数为（）A.3-4iB.3+4iC.5-4iD.5+4i【答案】A【解析】解：复数（2+i）2=3+4i共轭复数为3-4i．故选：A．利用的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.设向量=（2x-1，3），向量=（1，-1），若⊥，则实数x的值为（）A.-1B.1C.2D.3【答案】C【解析】解：∵向量=（2x-1，3），向量=（1，-1），⊥，∴=（2x-1，3）•（1，-1）=2x-1-3=0，解得x=2．故选：C．利用向量垂直的性质求解．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．3.设集合A={-1，1}，集合B={x|ax=1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是（）A.{0，1}B.{0，-1}C.{1，-1}D.{-1，0，1}【答案】D【解析】解：∵B⊆A，∴①当B是∅时，可知a=0显然成立；②当B={1}时，可得a=1，符合题意；③当B={-1}时，可得a=-1，符合题意；故满足条件的a的取值集合为{1，-1，0}故选：D．利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题，注意对集合B为空集时也满足条件．4.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A.45B.55C.66D.110【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得：s=0，i=1，i＜10，s=1，i=2，i＜10，s=3，i=3，i＜10，s=6，i=4＜10，s=10，i=5＜10，s=15，i=6＜10，s=21，i=7＜10，s=28，i=8＜10，s=36，i=9＜10，s=45，i=10≤10，s=55，i=11＞10，输出s=5，5，故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个，则梨子的不同分法共有（）A.96种B.120种C.480种D.720种【答案】C【解析】解：由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有种，其余人的拿法有种，则梨子的不同分法共有480种，故选：C．小孔的拿法有一种，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人的拿法有4种，其余人的拿法有种，根据乘法原理求得梨子的不同分法．本题主要考查排列组合的实际应用题，注意特殊元素优先考虑，属于基础题．6.函数＞，＞，＜的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意可知A=2，T=4（-）=π，ω=2，因为：当x=时取得最大值2，所以：2=2sin（2×+φ），所以：2×+φ=2kπ+，k∈Z，解得：φ=2kπ-，k∈Z，因为：|φ|＜，所以：可得φ=-，可得函数f（x）的解析式：f（x）=2sin（2x-）．故选：B．由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值2，求出φ，即可得到函数的解析式．本题是基础题，考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．7.设直角坐标平面内与两个定点A（-2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E，C是轨迹E上一点，直线BC垂直于x轴，则=（）A.-9B.-3C.3D.9【答案】D【解析】解：根据题意知，轨迹E是以A，B为焦点的双曲线，方程为，x=2带入方程得：y=±3；∴C点的坐标为（2，3），或（2，-3）；（1）若C点坐标为（2，3），则：，，，；∴；（2）若C点坐标为（2，-3），则：，，，；∴；综上得，．故选：D．由条件便可得出轨迹E为双曲线，并可求得方程为，并可求出点C的坐标为（2，3），或（2，-3），从而可分别求出向量，的坐标，这样即可得出的值．考查双曲线的定义，以及双曲线的标准方程，根据点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算．8.利用计算机产生120个随机正整数，其最高位数字（如：34的最高位数字为3，567的最高位数字为5）的频数分布图如图所示，若从这120个正整数中任意取出一个，设其最高位数字为d（d=1，2，…，9）的概率为P，下列选项中，最能反映P与d的关系的是（）A.P=lg（1+）B.P=C.P=D.P=×【答案】A【解析】解：当d=5时，其概率为P==，对于B，P=，对于C，P=0，对于D，P=，故B，C，D均不符合，故选：A．利用排除法，即可判断．本题考查了函数模型在实际问题中的应用，以及概率的问题，属于基础题．9.如图，A1，A2为椭圆+=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（）A.5B.3+C.9D.14【答案】D【解析】解：设Q（x0，y0），则+=1，∴=．设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则=k1，=k2．∵•===-．∴k1k2=-．联立，解得=，=．同理可得：=，=．∴|OS|2+|OT|2=+++=+++=+==14．故选：D．设Q（x0，y0），则+=1，可得：•=-．设直线OS，OT的方程分别为：y=k1x，y=k2x，则=k1，=k2．可得k1k2．直线方程与椭圆方程分别联立可得，；，．即可得出：|OS|2+|OT|2．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.设a，b是不相等的两个正数，且blna-alnb=a-b，给出下列结论：①a+b-ab＞1；②a+b＞2；③+＞2．其中所有正确结论的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】D【解析】解：①由blna-alnb=a-b，得blna+b=alnb+a，即=，设f（x）=，x＞0，则f′（x）=-=，由f′（x）＞0得-lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，由f′（x）＜0得-lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，即当x=1时，函数f（x）取得极大值，则=，等价为f（a）=f（b），则a，b一个大于1，一个小于1，不妨设0＜a＜1，b＞1．则a+b-ab＞1等价为（a-1）（1-b）＞0，∵0＜a＜1，b＞1．∴（a-1）（1-b）＞0，则a+b-ab＞1成立，故①正确，②由即=，得=，由对数平均不等式得=＞，即lna+lnb＞0，即lnab＞0，则ab＞1，由均值不等式得a+b2，故②正确，③令g（x）=-xlnx+x，则g′（x）=-lnx，则由g′（x）＞0得-lnx＞0，得lnx＜0，得0＜x＜1，此时g（x）为增函数，由g′（x）＜0得-lnx＜0，得lnx＞0，得x＞1，此时g（x）为减函数，再令h（x）=g（x）-g（2-x），0＜x＜1，则h′（x）=g′（x）+g′（2-x）=-lnx-lm（2-x）=-ln[x（2-x）]＞0，则h（x）=g（x）-g（2-x），在0＜x＜1上为增函数，则h（x）=g（x）-g（2-x）＜h（1）=0，则g（x）＜g（2-x），即g（）＜g（2-），∵g（）=-ln=+lna==，∴g（）=g（）则g（）=g（）＜g（2-），∵g（x）在0＜x＜1上为增函数，∴＞2-，即+＞2．故③正确，故选：D①由blna-alnb=a-b得=，构造函数f（x）=，x＞0，判断a，b的取值范围即可．②由对数平均不等式进行证明，③构造函数，判断函数的单调性，进行证明即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及不等式的证明，利用构造法，结合函数的单调性和导数的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.在（2-）6的展开式中，含x3项的系数是______ （用数字填写答案）【答案】64【解析】解：二项式（2-）6展开式的通项公式为T r+1=••=（-1）r•26-r••x3-r，令3-r=3，解得r=0；∴展开式中x3项的系数是26×=64．故答案为：64．根据二项式展开式的通项公式，令展开式中含x项的指数等于3，求出r的值，即可求出展开式中x3项的系数．本题考查了利用二项式展开式的通项公式求展开式中特定项的系数问题，是基础题目．12.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为______ ．【答案】π【解析】解：该几何体是一个半圆柱，如图，其体积为．故答案为：π．该几何体是一个半圆柱，即可求出其体积．本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定直观图的现状是关键．13.已知tanα=3，则sinαsin（-α）的值是______ ．【答案】-【解析】解：∵tanα=3，则sinαsin（-α）=-sinαcosα=-=-=-=-．故答案为：-．利用诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”即可得出．本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知圆的方程为x2+y2-6x=0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是______ ．【答案】2【解析】解：如图，由x2+y2-6x=0，得（x-3）2+y2=9，∴圆心坐标C（3，0），半径r=3，由圆的性质可知，过点P（1，2）的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长，∵|CP|=，∴|AB|=2，即a1=2，a3=6，∴公差d的最大值为．故答案为：2．化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，得到最大弦长，再求出过P且垂直于CP的弦的弦长，即最小弦长，然后利用等差数列的通项公式求得公差得答案．本题考查圆的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．15.已知=（1，0），=（1，1），（x，y）=，若0≤λ≤1≤μ≤2时，z=+（m＞0，n＞0）的最大值为2，则m+n的最小值为______ ．【答案】+【解析】解：∵=（1，0），=（1，1），∴（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），∴x=λ+μ，y=μ；z=+=+，∵0≤λ≤1≤μ≤2，z=+（m＞0，n＞0）的最大值为2，∴+=2，即+=1；故（m+n）（+）=+1++≥+2=+；（当且仅当=时，等号成立）．故答案为：+．化简可得（x，y）=λ（1，0）+μ（1，1），从而可得x=λ+μ，y=μ；从而可得+=1；再化简（m+n）（+）=+1++，从而利用基本不等式求最小值．本题考查了平面向量的线性运算的应用及基本不等式的应用，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos B=bcos A．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）-2cos2B的取值范围．【答案】解：（1）由acos B=bcos A，结合正弦定理可得，sin A cos B=cos A sin B，即sin A cos B-cos A sin B=0，得sin（A-B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A-B∈（-π，π），则A-B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）-2cos2B=sin2A cos+cos2A sin-2cos2B=-（1+cos2B）=-cos2A-1==．∵0＜＜，∴＜＜，则，．即sin（2A+）-2cos2B的取值范围是，．【解析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A-B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）-2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．17.设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n-1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．【答案】（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．∴a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n-1，∴b n=log3（1+a2n-1）=22n-2=4n-1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．【解析】（I）由a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），可得a2=4a1，a2=，解得a1，a2．由于a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），即可证明．（II）由（I）可得：log3（1+a n）=2n-1，可得b n=log3（1+a2n-1）=22n-2=4n-1，可得数列{b n}的前n项和为T n，代入化简即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？【答案】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．…（2分）（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X-B（3，0.4），所以E（X）=np=3×0.4=1.2．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100=120元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．…（7分）（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y-B（10，0.4）．于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1， (10)从而，k=1，2， (10)当k＜4.4时，P（Y=k-1）＜P（Y=k）；当k＞4.4时，P（Y=k-1）＞P（Y=k），则P（Y=4）最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…（12分）【解析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X-B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y-B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．19.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P-DE-F的余弦值．【答案】证明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，∴EF⊥平面PBD，又EF⊂平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．解：（2）连结BD、EF，交于点O，连结OP，∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD，又EF⊥平面PBD，PO，BD⊂平面PBD，∴PO⊥EF，BD⊥EF，∵PD⊥平面PEF，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD的边长为2，则DO=，=，PE=PF=1，PD=2，PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（-，0，0），F（，0，0），=（-，-，0），=（0，-，），=（，-，0），设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，则=（-3，1，2），平面DEF的法向量=（0，0，1），设二面角P-DE-F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P-DE-F的余弦值为．【解析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD⊥平面BFDE．（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P-DE-F的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【答案】所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（4分）（Ⅱ）设点A的坐标为，，显然y1≠2．当y1=-2时，A点坐标为（1，-2），直线AP的方程为x=1；可得B（，3），直线AB：y=4x-6；当y1≠-2时，直线AP的方程为，化简得4x-（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x-（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为，．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），也在y=4x-6上，当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…（13分）【解析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为，，显然y1≠2．通过当y1=-2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠-2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想．21.设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）内恒成立，求a的取值范围．【答案】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=e x，由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（2分）（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1-a2，当a2≤1时，即-1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，当a2＞1时，′，此时若∞，，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若，，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；若，∞时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（6分）（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e x-x2-2ax-1，则h（0）=e0-1=0．h'（x）=e x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e x-2x-2a，则u'（x）=e x-2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，令u（0）=h'（0）=1-2a=0，得．先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；又当x∈（-∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；故当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递增；又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，从而函数g（x）-f（x）在区间（-∞，0）内单调递减；又因为g（0）-f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）恒成立．接下来考虑＞的情况，此时，h'（0）＜0，令x=-a，则h'（-a）=e-a＞0．由零点存在定理，存在x0∈（-a，0）使得h'（x0）=0，当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．从而函数g（x）-f（x）在区间（x0，0）单调递增；又因为g（0）-f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（-∞，0）恒成立，则a的取值范围是∞，．…（14分）【解析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过-1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）-f'（x）=e x-x2-2ax-1，可得h（0）0．求出h'（x）=e x-2x-2a，令u（x）=h'（x）=e x-2x-2a，求出导数u'（x）=e x-2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出．考虑的情况，＞的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．。