7.1 向量的概念与线性运算
向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算考纲要求1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
2.理解向量的几何表示。
3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
一、必备知识1.向量的相关概念（1）向量的定义：既有又有的量叫做向量。
（2）向量的长度：表示AB的长度，即AB的大小叫做AB的长度或称为AB的模，的向量叫做零向量，记作0，的向量叫做单位向量。
（3）平行向量：方向或的向量叫做平行向量。
规定：0与任何向量平行，平行向量也叫。
（4）相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作b a .(5)相反向量：的向量叫做相反向量。
向量)0(≠a a 与b 共线的充要条件是存有唯一一个实数λ，使得 。
二、必记结论1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- ，特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。
2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则)(21+= 3.若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则（1）的重心。
为ABC P PC PB PA ∆⇔=++0（2）的重心。
为ABC G ∆⇔++=)(31 4.证明三点A 、B 、C 共线，借助向量，只需证明由这三点A 、B 、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使得(0)a b b λ=≠。
三、题型归纳（独立完成三维设计P62考点一----考点三的练习，注意总结题型。
）。
向量的概念及线性运算
探究 2
用已知向量来表示另外一些向量是用向量
解题的基本功，除利用向量的加、减法，数乘向量外，还 应充分利用平面几何的一些定理， 因此在求向量时要尽可 能转化到平行四边形或三角形中， 选用从同一顶点出发的 基本向量或首尾相连的向量， 运用向量加、 减法运算及数 乘运算法来解．
思考题 2 D、E、F 分别是△ABC 边 BC、AC、AB 的中点． → → → 求证：AD＋BE＋CF＝0.
3． 正确区别向量的加减法及其几何意义． → ＋BC 在AB → → → ＝AC中，→ 的终点与BC的起点相同； → －AC＝CB中， AB 在AB → → → → AB与AC共始点；首尾相连的封闭向量链，各向量之和为 → → → → 零向量，如AB＋BC＋CD＋DA＝0. 4．证明三点 A、B、C 共线，借助向量，只需证明由 这三点 A、B、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这 两个向量之间存在一个实数 λ，使 a＝λb(b≠0)即可．
【证明】 如图所示，
→ → → AD＝AC＋CD → → → AD＝AB＋BD → → BD＝－CD
→ → → ⇒2AD＝AC＋AB → → → 同理可得：2BE＝BA＋BC → → → 2CF＝CA＋CB
→ → → → → → → → → ⇒2(AD＋BE＋CF)＝AC＋AB＋BA＋BC＋CA＋CB＝0.
→ → → 5．如图，正六边形 ABCDEF 中，BA＋CD＋EF＝ ( )
A．0 → C.AD
答案 D
解析 → → EF＝CF.
→ B.BE → D.CF
→ → → → → → → 由于BA＝DE，故BA ＋CD＋EF ＝CD＋DE ＋
题型一
向量的基本概念
例 1 判断下列各命题是否正确： (1)若|a|＝|b|，则 a＝b； → → (2)若 A、B、C、D 是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 也共线； (4)两向量 a、b 相等的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b； (5)有相同起点的两个非零向量不平行．
17向量的概念及运算
17. 向量的概念与线性运算【复习目标】：1.理解平面向量的概念（零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等）；2.理解平面向量的加法、减法、数乘含义，线性运算．【重点难点】：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．【典型例题】例1.平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.变式1．如下图，△ABC 中，D,F 分别是BC,AC 的中点，A E=2ED ,b AC a AB ==,（1）用b a ,表示向量；BF BE AE AD ,,,（2）求证：B, E, F 三点共线。
.变式2. 已知G 为△ ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：3PC PB PA PG ++=.题型二：证明三点共线问题例2.设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）假如AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线；（2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．变式: 已知OA 、OB 不共线，OP = a OA +b OB ．求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．【课后作业】:1．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示 的向量中（1）与AO 相等的向量有 ； （2）写出与AO 共线的向量有 ； （3）写出与AO 的模相等的有 ；（4）向量AO 与CO 是否相等？ ．2．已知菱形ABCD 的边长为1，它的一个角 60=∠BAC ， AB a =，AD b =，则 ︱a +b ︱的值为 ．3.设ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，且a AB =，b AD =，则=AC __________, =DB _________, =AO _________,=OD ____________;4．如图，已知四边形ABCD 中，N 、M 分别是AD 、BC 的中点，又DC AB =． 求证：MA CN =．A B CD O5．若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，已知a AB =，b AD =，则BE 等于 ．6．已知→=a OA ，→=b OB ，若12||=OA ，5||=OB ，且 90=∠AOB ，则||→→-b a 等于 ．7．若8||=AB ，5||=AC ，求||BC 的取值范围．8．在ABC ∆中，设a AB =，b AC =，且CA CN 41=，CB CM 43=， 求证：a b MN 4321-=．答案：例1. AB →=34d 32-c ；AD →=34c 32-d 变式1.（1）21（b a +）；31（b a +）；b a 3132-+；b a 21+- 例2. （2）1±课后作业: 1.（1）BF （2）BF CO DE ,,;（4）不相等2.13. b a +，b a -；）b a +(21；）（b a -21- 5.a b 21-6.37.[]13,3。
向量的概念与线性运算
第七章 向量代数与 空间解析几何
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7.1 向量的概念与线性运算
01 向 量 的 概 念
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02 向 量 的 线 性 运 算
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一 向量的概念
向量： 既有大小又有方向的量。
M2
向量表示： a或 M1M2
பைடு நூலகம்
M 1
以 M1为起点，M 2为终点的有向线段。
向量的模： 向量的大小， 记为 | a| 或 | M1|M2 。
单位向量： 模长为1的向量。
零向量： 模长为0的向量， 记为 0，其方向是任意的。
自由向量：
不考虑起点位置的向量。
相等向量： 大小相等且方向相同的向量。
a
b
负向量： 大小相等但方向相反的向量， 记为 a 。
二 向量的线性运算
1 加法 a b c
b
c
平行四边形法则
三角形法则
a c
b
特殊地：若
a‖ b，
a
则分为同向和反向
向量的加法符合下列运算规律：
（2）结合 律：
2 减法 （3） （1）交换律：
a 与a 同向，
a 与a 反向，
3 数与向量的乘法（简称：数乘运算） 设 是一个数，它与向量 的乘积 是一向量， 规定如下： 数乘运算符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律：
定理 设向量 a0，则向量
必要条件是：存在唯一的实数
b平行于
，使得
a的充分
ba.
注：一般用 a0表示与非零向量 a同方向的单位向量，
07.1 向量及其线性运算
多边形法则还适合于平行向量的和
b
a
ab
b
b
ab
a
b
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量的减法
向量 a 和 b 的 差: a - b = a + (-b)
b
a
b
a (b )
ab
减法的三角形法则
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量的表示：
AB
a
AB
B
终点
A
起点
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量的模（大小、长度）： a AB
AB
A
B
The magnitude or length of a vector
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量加法
矢量 a 和 b 的 和 （sum）
ab
b b
a
向量加法的三角形法则
The Triangle Law
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
1. 向量的加法和减法
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量加法的物理背景
力的合成：合力
f2 f1
f1 f 2
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
向量加法的物理背景
2 数乘向量
Revised Feb, 2006 Feb, 2005
数乘向量的物理背景
数与力的乘积：
F
2F 2 F
2F
1 2
向量的概念与线性运算
两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积定义为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是$mathbf{A}$和 $mathbf{B}$之间的夹角。
向量的表示方法
总结词
向量可以用多种方式表示，包括文字、符号、箭头、有序对等。
详细描述
文字表示法是用“→”表示向量，例如a→表示向量a。符号表示法则使用字母来表示向量，如a、b、c等。有序 对表示法则使用起点和终点的坐标来表示向量，例如(x1, y1, z1)→(x2, y2, z2)。箭头表示法则是在起点和终点之 间画一条有箭头的线段来表示向量。
要点二
性质
线性相关的向量组中至少存在一个向量可以用其他向量线 性表示。
向量组的秩
定义
向量组的秩是指该向量组中线性无关向量的最大数量。
性质
向量组的秩等于该组向量的行矩阵的秩，也等于列矩阵 的秩。秩是向量组的一个重要的不变量，它反映了向量 组中线性相关性的程度。
05
向量在几何中的应用
向量在解析几何中的应用
详细描述
数乘是将一个标量与一个向量相乘的运算。如果标量为正数，则结果向量的方 向与原向量相同；如果标量为负数，则结果向量的方向与原向量相反。数乘的 结果向量的模长是原向量模长与标量乘积。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点置于另一 个向量的终点，然后由第二个向量的起点指 向第一个向量的终点的向量。
几何意义
数量积表示两个向量在方向上的相似程度。如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} > 0$， 则$mathbf{A}$和$mathbf{B}$同向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} < 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$反向；如果$mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$，则 $mathbf{A}$和$mathbf{B}$垂直。
向量及其运算
以a、b的坐标表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2) =(11, -2, 16).
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铃
四、利用坐标作向量的线性运算
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个
向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
(2) 数 轴 的 的 正 向 通 常 符 合 右手规则.
原点
y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平
面, 这种平面称为坐标面. 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面
在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
❖空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系.
z轴
说明：
(1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线;
平面向量的概念及线性运算教案
【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ， ；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４ ． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。
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定理
设向量 a 0 ，则向量 b 平行于 a 的充分
必要条件是：存在唯一的实数 ，使得 b a .
0 注： 一般用 a 表示与非零向量 a 同方向的单位向量，
0 则 a | a | a
0 a a |a |
（向量a 的单位化）
向量的加法符合下列运算规律：
2 减法 a b a (b ) d
b
d
b
a
d
b
3 数与向量的乘法（简称：数乘运算）
设 是一个数，它与向量 a 的乘积 a 是一向量，
规定如下：
(1 ) 0 , (2) 0, (3) 0, | a 与 a 同向， a | | a |
单位向量：模长为1的向量。
记为 0 零向量： 模长为0的向量，
பைடு நூலகம்
其方向是任意的。 ，
自由向量：不考虑起点位置的向量。 相等向量：大小相等且方向相同的向量。
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量，记为 a 。 a a
二
向量的线性运算
ab c b
c
1 加法
平行四边形法则 三角形法则
a c a
b
特殊地：若 a‖ b ， 则分为同向和反向 | c | | a | | b | c b a b c a | c | | a | | b |
（1）交换律： a b b a . （2）结合律：a b c ( a b ) c a ( b c ). （3） a ( a ) 0 .
第七章
向量代数与空间解析几何
§7.1 向量的概念与线性运算
一 二 向量的概念 向量的线性运算
一
向量的概念
M
2
向量：既有大小又有方向的量。
向量表示：a 或 M 1 M
2
M1
以 M 1 为起点，M 2 为终点的有向线段。
向量的模： 向量的大小，记为 | a | 或 |M 1 M 2| 。
a 0
a 与 a 反向，| a | | | | a |
数乘运算符合下列运算规律：
（1）结合律： ( a ) ( a ) ( ) a （2）分配律： ( ) a a a (a b ) a b