用函数观点看一元二次方程(含答案)
步步高学习笔记必修第一册
第2课时二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．一、一元二次不等式的定义问题1园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？提示设这个矩形的一条边长为x m，则另一条边长为(12－x)m.由题意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0<x<12}．整理得x2－12x＋20<0，x∈{x|0<x<12}．①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．知识梳理定义一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数二、一元二次不等式的解法问题2如课本51页图2.3－1，二次函数y＝x2－12x＋20的图象与x轴有两个交点，这与方程x2－12x＋20＝0的根有什么关系？提示函数图象与x轴交点的横坐标正好是方程的根．知识梳理一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．注意点：零点不是点，只是函数的图象与x轴交点的横坐标．问题3你能从二次函数y＝x2－12x＋20的图象上找x2－12x＋20<0的解集吗？提示从图象上看，位于x轴上方的图象使得函数值大于零，位于x轴下方的图象使得函数值小于零，故x2－12x＋20<0的解集为{x|2<x<10}．知识梳理判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅注意点：(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集；(2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集．例1(教材P52例1,2,3改编)解下列不等式：(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.解(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0.因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}．(3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3.函数y ＝x 2－2x －3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．反思感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集． 跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． 三、含参的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1； 当2a <－1，即－2<a <0，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 反思感悟 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两不同实根(Δ>0)，两相同实根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1<x 2. 跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. 解 原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0， 讨论a ＋1与2(a －1)的大小．(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，不等式的解为x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，不等式的解为x ≠4.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，不等式的解为x >2(a －1)或x <a ＋1. 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}， 当a ＝3时，不等式的解集为{x |x ≠4}，当a >3时，不等式的解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．1．知识清单：(1)一元二次不等式的概念及解法． (2)含参的一元二次不等式的解法． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论．3．常见误区：解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．1．函数y ＝x 2－4x ＋4的零点是( ) A ．(2,0) B ．(0,4) C ．±2 D ．2答案 D2．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R答案 D解析 因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0， 所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R . 3．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >3或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12≤x ≤3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12 D ．R 答案 C解析 3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0 ⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12.4．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m . 课时对点练1．下列不等式①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 答案 D解析 根据一元二次不等式的定义，只有①②满足．故选D. 2．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅ D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝－13 答案 D解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.3．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－1或x ≥92 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤92 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－92或x ≥1 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－92≤x ≤1 答案 D解析 方法一 取x ＝1检验，满足，排除A ； 取x ＝4检验，不满足，排除B ，C. 方法二 原不等式可化为2x 2＋7x －9≤0，即(x －1)(2x ＋9)≤0，解得－92≤x ≤1.4．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x ∈N *|x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{4,5} D ．{1,2,3,4,5}答案 B解析 (2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.5．不等式⎝⎛⎭⎫12－x ⎝⎛⎭⎫13－x >0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 13<x <12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >12 答案 D6．(多选)函数y ＝x 2－4x ＋3的零点为( ) A ．(1,0) B ．1 C ．(3,0) D ．3 答案 BD7．不等式x 2－4x ＋4>0的解集是________． 答案 {x |x ≠2}解析 原不等式可化为(x －2)2>0，∴x ≠2.8．若a <0，则关于x 的不等式a (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a <0的解集为________________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－1a 或x <－1 解析 因为a <0，所以原不等式等价于(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x ＋1a >0，方程(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1a ＝0的两根为－1，－1a ，显然－1a >0>－1，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－1a 或x <－1. 9．已知不等式x 2＋x －6<0的解集为A ，不等式x 2－2x －3<0的解集为B .求A ∩B . 解 由x 2＋x －6<0得－3<x <2.∴A ＝{x |－3<x <2}．由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴B ＝{x |－1<x <3}．∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}． 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )．解原不等式可化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；②当a＝0时，原不等式化为x2<0，解集为∅；③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上，当a>0时，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；当a＝0时，不等式的解集为∅；当a<0时，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．11．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m}C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n}答案 B解析方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m －x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}．12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1}C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2}答案 B解析根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}．13．(多选)下列不等式的解集为R的有()A ．x 2＋x ＋1≥0B ．x 2－25x ＋5>0C ．x 2＋6x ＋10>0D ．2x 2－3x ＋4<1答案 AC解析 A 中Δ＝12－4×1<0.满足条件； B 中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； C 中Δ＝62－4×10<0.满足条件；D 中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．14．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0} 解析 由题意知m <0，∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m <2，解得m <0， ∴m 的取值范围是{m |m <0}．15．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆{x |1≤x ≤3}，则a 的取值范围为________． 答案 －1<a ≤115解析 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ， 且A ⊆{x |1≤x ≤3}，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0. 若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0， 即a 2－a －2<0，解得－1<a <2.若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，12－2a ＋a ＋2≥0，32－3×2a ＋a ＋2≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为－1<a ≤115.16．解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0.解 因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ<0，即－2<a <2时，原不等式对应的方程无实根，又二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 当Δ＝0，即a ＝±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根． 当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}．当Δ>0，即a >2或a <－2时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1<x 2，所以原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．综上所述，当－2<a <2时，原不等式的解集为∅； 当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ＝2}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{x |x ＝－2}； 当a >2或a <－2时， 原不等式的解集为{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．。
初三数学用图象法解一元二次方程试题答案及解析
初三数学用图象法解一元二次方程试题答案及解析1.函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是．【答案】x≤﹣1或x≥3【解析】令函数的值等于1，求出x的值，然后从函数图象即可观察出当y≥1成立的x的取值范围．解：当y=1时，x2﹣2x﹣2=1，解得（x+1）（x﹣3）=0，x 1=﹣1，x2=3．由图可知，x≤﹣1或x≥3时y≥1．故答案为x≤﹣1或x≥3．2.如图，直线与抛物线相交于点A（1，m）和点B（8，n），则关于x的不等式的解集为．【答案】x＞8或x＜1【解析】根据直线与抛物线相交于点A（1，m）和点B（8，n），即可得出关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集．解：∵抛物线y=ax2+bx+c与直线相交于A（1，m）和B（8，n）两点，∴关于x的不等式＜ax2+bx+c的解集是x＞8或x＜1．故答案为：x＞8或x＜1．3.如图，二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y2≤y1时x的取值范围．【答案】x≥1或x≤﹣2【解析】由函数图象可知，当x＞1或x＜﹣2时，二次函数的图象在一次函数y2=mx+n的图象的上方即可直接得出结论．解：∵由函数图象可知，当x＞1或x＜﹣2时，二次函数的图象在一次函数y 2=mx+n的图象的上方，∴当x≥1或x≤﹣2时y2≤y1．故答案为：x≥1或x≤﹣2．4.如图．一次函数值大于二次函数值时的x范围是．【答案】2＜x＜4【解析】由一次函数值大于二次函数值，结合图象，即可求得x范围．解：如图，观察图象得：一次函数值大于二次函数值时的x范围是：2＜x＜4．故答案为：2＜x＜4．5.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是．【答案】x1=1.6;x2=4.4【解析】本题是一道估算题，先测估计出对称轴左侧图象与x轴交点的横坐标，再利用对称轴x=3，可以算出右侧交点横坐标．解：依题意得二次函数y=ax2+bx+c的部分图象的对称轴为x=3，而对称轴左侧图象与x轴交点与原点的距离，约为1.6，∴x1=1.6；又∵对称轴为x=3，则=3，∴x2=2×3﹣1.6=4.4．6.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=﹣4.5，则方程的另一个近似根为x2=（精确到0.1）．【答案】2.5【解析】由函数的图象可求出函数的对称轴方程，再根据对称轴与方程两根之间的关系建立起方程，求出未知数的值即可．解：由函数图象可知，此函数的对称轴为x=﹣1，设函数的另一根为x，则=﹣1，解得x=2.5．7.如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．【答案】解：（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m得（1﹣2）2+m=0，解得m=﹣1，所以二次函数解析式为y=（x﹣2）2﹣1；当x=0时，y=4﹣1=3，所以C点坐标为（0，3），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=2，所以B点坐标为（4，3），将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，解得，所以一次函数解析式为y=x﹣1；（2）当kx+b≥（x﹣2）2+m时，1≤x≤4．【解析】（1）先将点A（1，0）代入y=（x﹣2）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．8.我们可以用如下方法解不等式（x﹣1）（x+1）＞0．第一步：画出函数y=（x﹣1）（x+1）的图象；第二步：找出图象与x轴的交点坐标，即交点坐标为（1，0），（﹣1，0）；第三步：根据图象可知，在x＜﹣1或x＞1时，y的值大于0．因此可得不等式（x﹣1）（x+1）＞0的解集为x＜﹣1或x＞1．请你仿照上述方法，求不等式x2﹣4＜0的解集．【答案】解：如图，不等式x2﹣4＜0的解集是﹣2＜x＜2．【解析】作出函数图象，然后写出x轴下方部分的x的取值范围即可．9.给出下列命题及函数y=x，y=x2和y=的图象：①如果，那么0＜a＜1；②如果，那么a＞1；③如果，那么﹣1＜a＜0；④如果时，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题是①④B．错误的命题是②③④C．正确的命题是①②D．错误的命题只有③【答案】A【解析】先确定出三函数图象的交点坐标为（1，1），再根据二次函数与不等式组的关系求解即可．解：易求x=1时，三个函数的函数值都是1，所以，交点坐标为（1，1），根据对称性，y=x和y=在第三象限的交点坐标为（﹣1，﹣1），①如果，那么0＜a＜1正确；②如果，那么a＞1或﹣1＜a＜0，故本小题错误；③如果，那么a值不存在，故本小题错误；④如果时，那么a＜﹣1正确．综上所述，正确的命题是①④．故选A．10.如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（）A．x＞1B．x＜﹣1C．0＜x＜1D．﹣1＜x＜0【答案】D【解析】根据图形双曲线y=与抛物线y=x2+1的交点A的横坐标是1，即可得出关于x的不等式+x2+1＜0的解集．解：∵抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，∴x=1时，=x2+1，再结合图象当0＜x＜1时，＞x2+1，∴﹣1＜x＜0时，||＞x2+1，∴+x2+1＜0，∴关于x的不等式+x2+1＜0的解集是﹣1＜x＜0．故选D．11.如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞ B．x＜﹣1或＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或1＜x＜3【答案】D【解析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，点A左边的x的取值和对称轴右边到点B的x的取值都是所要求的取值范围．解：联立，解得，，所以，A（﹣1，﹣1），B（3，3），抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴当﹣1＜x＜3时，PQ=x﹣（x2﹣x﹣3）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，当x＜﹣1或x＞3时，PQ=x2﹣x﹣3﹣x=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是x＜﹣1或1＜x＜3．故选D．12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，图象在x轴的下方部分，x的取值范围为（）A．x＜﹣1或x＞3B．﹣1＜x＜3C．x≤﹣1或x≥3D．﹣1≤x≤3【答案】B【解析】根据函数图象写出x轴下方部分的x的取值范围即可．解：∵图象在x轴的下方部分，∴x的取值范围为﹣1＜x＜3．故选B．13.如图，已知函数与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等式ax2+bx＞0的解为（）A．﹣3＜x＜0B．x＜﹣3C．x＞0D．x＜﹣3或x＞0【答案】D【解析】利用反比例函数的解析式求出点P的坐标，再根据图形写出抛物线在反比例函数图象上方的部分的x的取值范围即可．解：∵点P的纵坐标为1，∴﹣=1，∴x=﹣3，∴点P（﹣3，1），由图可知，ax2+bx+＞0时，即ax2+bx＞﹣时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞0．故选D．14.如图，抛物线和直线y2=2x．当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．x＜0或x＞4D．0＜x＜4【答案】A【解析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．解：联立，解得，，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＞y2时x的取值范围是0＜x＜2．故选A．15.如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣x﹣3交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点，过点P 作直线PQ⊥x轴，交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞ B．x＜﹣1或＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣1或1＜x＜3【答案】D【解析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，再求出抛物线的对称轴，然后根据图象，点A左边的x的取值和对称轴右边到点B的x的取值都是所要求的取值范围．解：联立，解得，，所以，A（﹣1，﹣1），B（3，3），抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∴当﹣1＜x＜3时，PQ=x﹣（x2﹣x﹣3）=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，当x＜﹣1或x＞3时，PQ=x2﹣x﹣3﹣x=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴线段PQ的长度随m的增大而减小时m的取值范围是x＜﹣1或1＜x＜3．故选D．16.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a＞0B．不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5C．a﹣b+c＞0D．当x＞2时，y随x的增大而增大【答案】B【解析】根据图象开口方向向下得出a的符号，进而利用图象的对称轴得出图象与x轴的交点坐标，再利用图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集．解：A、图象开口方向向下，则a＜0，故此选项错误；B、∵图象对称轴为直线x=2，则图象与x轴另一交点坐标为：（﹣1，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5，故此选项正确；C、当x=﹣1，a﹣b+c=0，故此选项错误；D、当x＞2时，y随x的增大而减小，故此选项错误．故选：B．17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，x的取值范围为（）A．x＜﹣1或x＞3B．﹣1＜x＜3C．x≤﹣1或x≥3D．﹣1≤x≤3【答案】B【解析】根据题意，y＜0时即图象在x轴下方时，观察图象可得答案．解：根据题意，要求当y＜0时即图象在x轴下方时自变量x的取值范围，观察图象易得，当﹣1＜x＜3时，二次函数的图象在x轴下方，故选B．18.直线y1=x+1与抛物线y2=﹣x2+3的图象如图，当y1＞y2时，x的取值范围为（）A．x＜﹣2B．x＞1C．﹣2＜x＜1D．x＜﹣2或x＞1【答案】D【解析】根据函数图象，写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．解：由图可知，x＜﹣2或x＞1时，y1＞y2．故选D．19.如图，抛物线y=ax2与反比例函数的图象交于P点，若P点横坐标为1，则关于x的不等式＞0的解是（）A．x＞1B．x＜﹣1C．﹣1＜x＜0D．0＜x＜1【答案】C【解析】根据抛物线y=ax2与反比例函数的图象交于P点，P点横坐标为1，得出抛物线y=ax2与反比例函数y=﹣的图象的交点的横坐标为﹣1，即可求出答案．解：∵抛物线y=ax2与反比例函数的图象交于P点，P点横坐标为1，∴抛物线y=ax2与反比例函数y=﹣的图象的交点的横坐标为﹣1，∴关于x的不等式ax2＞﹣的解集为﹣1＜x＜0；所以关于x的不等式＞0的解是﹣1＜x＜0；故选C．20.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.6，x2=（）A．﹣1.6B．3.2C．4.4D．以上都不对【答案】C【解析】根据图象知道抛物线的对称轴为x=3，根据抛物线是轴对称图象和已知条件即可求出x2．解：由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．。
从函数观点看一元二次不等式(课件)(苏教版2019必修第一册)
又二次函数
y＝2x2＋7x＋3
的图象开口向上，所以原不等式的解集为
x
|
x
1 2
或x
3
.
(2)原不等式可化为
2x
9 2
2
=0，所以原不等式的解集为
x
|
x
9 4
.
(3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二
次函数 y＝2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为 R.
式与相应函数、方程的联系
方程的联系
当堂检测
知识回顾 一、一元二次不等式
1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a? 0)．(2)ax2＋bx＋c=0(a? 0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a? 0)．(4)ax2＋bx＋c=0(a? 0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合， 称为这个一元二次不等式的解集
有两个相等的实数根 x1＝x2＝－2ba
的步骤 得等的集
y＞0
不式解
y＜0
{x|x＜x1_或 x＞x2} {x|x1＜x＜x2}
xx≠－2ba
∅
Δ＜0 没有 实数根
R ∅
当堂检测
三、一元二次不等式 1.不等式 x2－y2>0 是一元二次不等式吗？ 2.类比“方程 x2＝1 的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”． 不等式 x2>1 的解集及其含义是什么？ 3.若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？
用函数观点看一元二次方程专练小测卷(含答案)
用函数观点看一元二次方程1、已知抛物线1--2x x y =与x 轴的一个交点为（m ,0），则代数式的值为 ． 2、函数)0≠(2a c bx ax y ++=的图象如图所示，那么关于x 的方程03-2=++c bx ax 的根的情况是 ；04-2=++c bx ax 的根的情况是 ； 02-2=++c bx ax 的根的情况是 ．3、若二次函数与x 轴的一个交点为（-1,0），对称轴为x =2，则它与x 轴的另一个交点为 ．4、已知关于x 的二次函数1)1-(262++++=m x m x m y ）（的图象与x 轴总有交点，则m 的取值范围是 ． 5、已知二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=的y 与x 的对应值如下表： x ...... -1 0 1 3...... y ...... -3 1 31 ...... 则下列判断中正确的是（ ）A 、抛物线开口向上B 、抛物线与y 轴交于负半轴C 、当x=4时，y>0D 、方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间6、已知抛物线)0≠(2a c bx ax y ++=的图象如图所示，则对于一元二次方程02=++c bx ax （ ）A 、没有根B 、只有一个根C 、有两个根，且一个正，一个负D 、有两个根，且一根小于1，一根大于27、已知二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=的部分图象如图所示，若y <0，则x 的取值范围（ ）A 、-1<x <4B 、-1<x <3C 、x <-1或x >4D 、x <-1或x >38、如图是二次函数)0≠(2a c bx ax y ++=的部分图象，由图象可知不等式02<++c bx ax 的解集是 ．9、已知二次函数m x x y +=3-2（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1,0），则关于x 的一元二次方程03-2=+m x x 的两实数根是 ．10、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程02=++c bx ax 的两个根；（2）写出不等式02>++c bx ax 的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（4）若方程k c bx ax =++2有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．10、如图，直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A （2,0）、B （5,3）．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）求不等式m x c bx x +≤++2的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y 轴交于C ，求△ABC 的面积．11、已知二次函数c bx x y ++=2中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表： x -1 0 1 2 34 y 105 2 12 5 (1)求该二次函数的关系式；(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？(3)若),(1y m A 、),1(2y m B +两点都在该函数图象上，试比较1y 、2y 的大小．12、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数41--2++=x k x y ）（的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且6=ΔOAB S ．（1）求点A 与点B 的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．13、如图，抛物线2-212bx x y +=与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （-1，0）. （1）求抛物线的解析式以及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC +MD 的值最小时，求m 的值．参考答案1、2014；2、有两个相等实根；无实根；有两个不等实根；3、（5，0）；4、695-≠-≤m m 且；5、D6、D7、B8、1-<x 或5>x ；9、（1）11=x ，32=x ；（2）31<<x ；（3）2>x ；（4）2<k ；10、（1）2-=m ，862+-=x x y ；（2）52≤≤x ；（3）15=∆ABC S ； 11、（1）542+-=x x y ；（2）12min ==y x ，；（3）21,23y y m ==；21,23y y m ><；21,23y y m <>； 12、（1）()4,0A ；()0,3-B ；（2）4352+--=x x y ；（3）()0,3P ，()0,2P ；()0,8-P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛0,67P13、（1）223212--=x x y ；⎪⎭⎫ ⎝⎛825-23，；（2）直角三角形；勾股定理逆定理；（3）4124=m .。
从函数观点看一元二次方程
答案 不是,二次函数的零点是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标.
课前预学
课堂导学
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)当函数
值取零时自变量 x 的值,即二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐
标,也称为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的零点.
轴的交点的横坐标.
课堂导学
课前预学
解析
1
1
(1)由 3x -2x-1=0 解得 x1=1,x2=- ,所以函数 y=3x -2x-1 的零点为 1 和- .
2
2
3
3
(2)①当 a=0 时,y=-x-1,由-x-1=0 得 x=-1,所以函数的零点为-1.
②当 a≠0 时,由 ax -x-a-1=0 得(ax-a-1)(x+1)=0,解得 x1=
所以二次函数的解析式为 y=-x2+x+2.
(2)由(1)得 y=- x-
1 2 9
+ ,
2
4
9
5
4
4
所以结合图象可知当 1-k> ,即 k<- 时,方程 ax2+bx+c=1-k 无实根.
课前预学
课堂导学
任务 1: 二次函数的零点
已知 ax2+bx+c=0.
问题 1:当 a<0 时,一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根与二次函数 y=ax2+bx+c 的图
2022
必修第一册
第二章
2.2
专题08一元二次方程(含解析)讲解
专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。
一元二次方程和一元二次函数真题及答案
一元二次方程和一元二次函数一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠（1） 若方程没有实根：判别式240b ac ∆=-< （2） 若方程有两个相等实根：判别式240b ac ∆=-=（3） 若方程有两个不等的实根：判别式240b ac ∆=->注：若方程有两个实根：判别式240b ac ∆=-≥ 若方程有两个实根，记为12x x 、则：12b x a -+=、22b x a--=2121222221212122212121240()22()()b ac c x x a b x x a b c x x x x x x a a x x x x x x ⎧∆=-≥⎪⎪=⎪⎪⎪+=-⎨⎪⎪⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-=+-⎩g g g g一元二次函数： 函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
配方写成顶点式：a b ac a b x a y 44)2(22-++=（1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线ab x 2-=。
（2）当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，ab ac y 442min-=，无最大值。
函数在区间)2,(a b --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。
2ba=-24)4ac b a-(3) 当0a <，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max-=，无最小值。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab--∞上是增函数。
2ba-244ac b a-两点间距离公式：11(,)A x y 、22(,)B x yd =图像的移动：x 的系数为正先加后减 先左后右 先上后下例1：2(0)y ax a =≠怎么样变为)0(2≠++=a c bx ax y第一步：将被平移的二次函数的x 系数变为正,并化为顶点式。
2(0)0y a x =-+ 移动为： ab ac a b x a y 44)2(22-++=先左移2b a ，变为2()2b y a x a=+ 再上移244ac b a -，变为ab ac a b x a y 44)2(22-++=另：先上移244ac b a -，变为2244ac b y ax a -=+再左移2ba，变为a b ac a b x a y 44)2(22-++=例2：23y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位。
用函数观点看一元二次方程—知识讲解(基础)
用函数观点看一元二次方程—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；3.经历探索验证二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题． 【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象与x 轴的交点坐标，就是令y ＝0，求20ax bx c ++=中x 的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x 轴的交点的个数，它们的关系如下表： 判别式24b ac=-△二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠图象与x 轴的交点坐标根的情况△＞0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 12()x x <两点，且21,242b b acx a-±-=，此时称抛物线与x 轴相交一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a-±-=a <△＝0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交切于,02b a ⎛⎫-⎪⎝⎭这一点，此时称抛物线与x 轴相切 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-a <△＜0a >抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，此时称抛物线与x 轴相离 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在实数范围内无解（或称无实数根）a <要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定的.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点时，，方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x 轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题．我们把它延伸到求抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴交点和二次函数与一次函数1y kx b =+(0)k ≠的交点问题．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与y 轴的交点是(0，c)．抛物线2y ax bx c =++(a ≠0)与一次函数1y kx b =+(k ≠0)的交点个数由方程组12,y kx b y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的个数决定．当方程组有两组不同的解时⇔两函数图象有两个交点； 当方程组有两组相同的解时⇔两函数图象只有一个交点； 当方程组无解时⇔两函数图象没有交点．总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题． 要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想，即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题． 要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 用图象法解一元二次方程的步骤：1.作二次函数的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2. 确定一元二次方程的根的取值范围．即确定抛物线与x 轴交点的横坐标的大致范围；3. 在(2)确定的范围内，用计算器进行探索.即在(2)确定的范围内，从大到小或从小到大依次取值，用表格的形式求出相应的y 值．4.确定一元二次方程的近似根．在(3)中最接近0的y 值所对应的x 值即是一元二次方的近似根．要点诠释： 求一元二次方程的近似解的方法（图象法）：(1)直接作出函数的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是方程的根；(2)先将方程变为再在同一坐标系中画出抛物线和直线图象交点的横坐标就是方程的根； (3)将方程化为，移项后得，设和，在同一坐标系中画出抛物线和直线的图象，图象交点的横坐标即为方程的根.要点三、抛物线与x 轴的两个交点之间的距离公式当△＞0时，设抛物线2y ax bx c =++与x 轴的两个交点为A(1x ，0)，B(2x ，0)，则1x 、2x 是一元二次方程2=0ax bx c ++的两个根．由根与系数的关系得12b x x a +=-，12c x x a=． ∴ 22121||||()AB x x x x =-=-21212()4x x x x =+-24⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭b c a a 224b ac a -=24||b ac a -= 即 ||||AB a =△（△＞0）要点四、抛物线与不等式的关系二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)与一元二次不等式20ax bx c ++>(a ≠0)及20ax bx c ++<(a ≠0)之间的关系如下12()x x <：判别式 0a >抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点不等式20ax bx c ++>的解集不等式20ax bx c ++<的解集△＞01x x <或2x x >12x x x <<△＝01x x ≠（或2x x ≠）无解△＜0全体实数 无解注：a ＜0的情况请同学们自己完成． 要点诠释：抛物线2y ax bx c =++在x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++>的解集；在x 轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x 的所有值就是不等式20ax bx c ++<的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．【典型例题】类型一、二次函数图象与坐标轴交点1．已知二次函数y=(m-2)x 2+2mx+m+1，其中m 为常数，且满足-1<m<2，试判断此抛物线的开口方向，与x 轴有无交点，与y 轴的交点在x 轴上方还是在x 轴下方. 【答案与解析】∵-1<m<2.∴m-2<0，抛物线开口向下，又m+1>0，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方.Δ=4m 2-4(m-2)(m+1)=4m 2-4(m 2-m-2) =4m+8=4(m+1)+4>0.∴抛物线与x 轴有两个不同的交点.【总结升华】此题目也可以用数形结合方法来判断抛物线与x 轴有两个不同交点(用抛物线与y 轴的交点C在x 轴上方，开口向下，必与x 轴有两个不同交点).举一反三：【高清课程名称：用函数观点看一元二次方程高清ID 号： 356568 关联的位置名称（播放点名称）：例3-4】【变式】二次函数y=mx 2+(2m-1)x+m+1的图象总在x 轴的上方，求m 的取值范围。
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用函数观点看一元二次方程
学习要求
1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题．
2．掌握并运用二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)解题．
课堂学习检测
一、填空题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点，则b2－4ac______0；
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝_________ ____________．
2．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．
3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．
4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．
5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．
6．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．
二、选择题
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )
A．没有实根
B．只有一个实根
C．有两个实根，且一根为正，一根为负
D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2
8．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )
A．只有一个B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个D．无交点
9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根
C．有两个相等的实数根D．无实数根
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0，＞0 B．a＞0，＜0
C．a＜0，＞0 D．a＜0，＜0
三、解答题
11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．
12．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．
综合、运用、诊断
一、填空题
13．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝______，交点坐标为______．
8
14．当m＝______时，函数y＝2x2＋3mx＋2m的最小值为
9
二、选择题
15．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是( )
A．0 B．1 C．2 D．－1 16．二次函数y＝ax2＋bx＋c，若ac＜0，则其图象与x轴( )
A．有两个交点B．有一个交点
C．没有交点D．可能有一个交点
17．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )
1
A．0 B．－1 C．2 D．
4 18．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是( )
A ．无实根
B ．有两个相等实数根
C ．有两个异号实数根
D ．有两个同号不等实数根
19．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a )，与x 轴交点坐标为(b ，0)和(－b ，0)，
若a ＞0，则函数解析式为( ) A ．a x b
a
y +=
2 B ．a x b
a y +-
=2
2 C ．a x b
a y --
=22
D ．a x b a y -=2
2 20．若m ，n (m ＜n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两个根，且a ＜b ，则a ，b ，
m ，n 的大小关系是( ) A ．m ＜a ＜b ＜n B ．a ＜m ＜n ＜b C ．a ＜m ＜b ＜n
D ．m ＜a ＜n ＜b
三、解答题
21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下
表：
(1)判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标；
(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 是常数)的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的哪一个______．
①223
,02121<<<<-x x ②25
2,21121<<-<<-x x
③2
52,02121<<<<-x x
④22
3
,
21121<<-<<-x x 22．m 为何值时，抛物线y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋m －1与x 轴没有交点?
23．当m 取何值时，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋m
(1)有公共点；(2)没有公共点．
拓展、探究、思考
24．已知抛物线y ＝－x 2－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．
(1)求m 的取值范围．
(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式．
测试5答案
1．≥0，y ＝a (x －x 1)(x －x 2)． 2．⋅4
9
3．3
1
->m 且m ≠0． 4．0． 5．(－1，0)． 6．一．
7．D ． 8．B ． 9．C ． 10．D ． 11．y ＝2x 2＋2x －4． 12．45
665182-+-
=x x y 或y ＝2x 2＋2x －4． 13．4，(1，9)． 14．⋅9
8
15．C ． 16．A ． 17．C ． 18．D ． 19．B ． 20．A ． 21．(1)开口向下，顶点(1，2)，(2)③． 22．⋅<2
1m 23．由x 2－x －m ＝0(1)当＝1＋4m ≥0，即4
1
-
≥m 时两线有公共点． (2)当＝1＋4m ＜0，即4
1
-<m 时两线无公共点． 24．(1)
＝(m ＋2)2＞0，∴m ≠－2；
(2)m ＝－1，∴y ＝－x 2＋5x －6．。