第七章-习题答案

第七章 习题解答7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换。

（a ）2()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =-- （d ）()1()atc t t te -=（e ）()1()sin atc t t e t ω-= （f ）()1()cos atc t t tet ω-=解：（a ）根据z 域微分定理有 [][]222222431()111()1(1)(1)(1)2(1)(1)1()(1)(1)(1)z Z t z d z z z TzZ t t TzTz dz z z z d Tz T z Tz z T z z Z t t Tz Tz dz z z z =---⎡⎤=-=-=⎢⎥---⎣⎦⎡⎤---+⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦---⎣⎦（b ）因为()1()1()1()t T t t t T t -=-所以[][][]22(2)()1()1()1()(1)1(1)Tz Tz Tz z Z t T t Z t t Z T t z z z --=-=-=---（c ）根据时域位移定理有[][]1122()1()()1()(1)(1)Tz TZ t T t T z Z t t z z z ----===--（d ）根据复域位移定理有221()(1)()aT aTataT aT Tze Tze Z t teze z e ---⎡⎤==⎣⎦--（e ）根据复域位移定理有22sin 1()sin 2cos aT ataT aT ze T Z t et z z Te e ωωω----⎡⎤=⎣⎦-+ （f ）根据复域位移定理有22(cos )1()cos 2cos aT ataT aT z z e T Z t et z z Te e ωωω-----⎡⎤=⎣⎦-+7-2已知()c t 的拉氏变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换。

（a ）21()C s s =（b ）()()aC s s s a =+（c ）2()()aC s s s a =+（d ）1()()()()C s s a s b s c =+++（e ）2221()()C s s s a =+（f ）()1()1sTC s e s-=-解： （a ）[]221(1)Tz Z z t s z ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦（b ）11(1)1()1()()1(1)()T atT T a z z z e Z Z Z t e t s s a s s a z z e z z e ααα----⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥++----⎣⎦⎣⎦（c ）2222111111()1()()()(1)(1)(1)()(1)(1)()at TT T a Z Z Z t t e t s s a s as a s a a a Tz z z Tz z e z a z a z e z a z z e ααα----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=-+=-------（d ）1()()()111()()()()()()()()()()()()()()()()()()aT bT cT Z s a s b s c Z b a c a s a c b a b s b a c b c s c z z z b a c a z e c b a b z e a c b c z e ---⎡⎤⎢⎥+++⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥--+--+--+⎣⎦=++---------（e ）22222222223211111sin ()()(1)2cos 1Tz z aT Z Z s s a a s a s a a z a z z aT ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥++--+⎣⎦⎣⎦（f ）111111sT sT e e z Z Z s s s z z --⎡⎤⎡⎤-=-=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦7-3求下列函数的z 反变换。

（a ）0.5(1)(0.4)zz z --（b ）2()()T T zz e z e ----（c ）22(1)(2)z z z ++ 解： (a)1100.555521()(1)(0.4)6160.465nn z z z Z Z t nt z z z z δ∞--=⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪----⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭∑ （b ）()11222222011()()1()T T T T T T T T nT nTT Tn z z z Z Z z e z e e e z e e e z e e e t nT ee δ----------∞----=⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦=---∑(c)21122102(1)(2)(2)21(1)(2)(12)()n nn z z z z Z Z z z z z z n t nT δ--∞+=⎡⎤⎡⎤-=++⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+---⎣⎦∑7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所示的有理分式120121212()1nn nn b b z b z b z C z a z a z a z------++++=++++ 则有0(0)c b =以及[]1()()nk i i c kT b a c k i T ==--∑式中k n >时，0k b =。

（a ）试证明上面的结果。

（b ）设23220.5()0.5 1.5z z C z z z z +-=-+-应用（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。

解： （a ）设121234012012341212()1nn nn b b z b z b z C z c c z c z c z c z a z a z a z----------++++==+++++++++显然有00c b =以及1011020211200011k k kk k i i k k i i k k i ii i i b c a c a b c a c a c a b c a c a c a c c a ---====+=++==+=+∑∑∑式中k n >时，0k b =。

上式即[]1()()nk i i c kT b a c k i T ==--∑k n >时，0k b =。

证毕。

（b ）设23220.5()0.5 1.5z z C z z z z +-=-+-应用关系式1kk k k i i i c b c a -==-∑有(0)0()2(1)02(2)1(1)()0.503(3)0.5(1)30.52(1.5)0 1.5(4)0(1) 1.5(0.5)3( 1.5)2003(5)0(1)30.5 1.5( 1.5)30200 6.75c c T c T c T c T c T c T ==--⨯==--⨯-⨯==---⨯-⨯-⨯==--⨯-⨯--⨯-⨯==--⨯-⨯--⨯-⨯-⨯=7-5试用部分分式法、幂级数法和留数法，求下列函数的z 反变换。

（a ）10()(1)(2)zE z z z =--（b ）1123()12z E z z z ----+=-+（c ）2()(1)(31)zE z z z =++ （d ）2()(1)(0.5)zE z z z =-+解： （a ） 部分分式法1110101010102(1)(2)12nz z z Z Z z z z z --⎡⎤-⎡⎤=+=-+⨯⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦幂级数法11234121010103070150(1)(2)132z z z z z z z z z z-------==++++---+留数法121010()Res Res 10102(1)(2)(1)(2)n nn z z z z e nT z z z z ==⎡⎤⎡⎤=+=-+⨯⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ （b ）1221222333()1221(1)z z z z zE z z z z z z ----+-+-+===-+-+- 部分分式法2112232332(1)(1)1z z z z Z Z n z z z --⎡⎤⎡⎤-+--=+=--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦幂级数法210123212333579(1)12z z z z z z z z z-------+-+==----+--+留数法212122112113()Res (1)3(1)3(1)32(1)n z n n n z z z z e nT z z d z z z z n z nz n dz z -=--==⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-+⎡⎤=-=-++=--⎢⎥⎣⎦-⎣⎦（c ） 部分分式法()()22111222213113(1)(31)4143141431431111cos sin 4422111sin 30422n nn nnz z z z z z Z Z Z z z z z z z z n n n πππ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=-=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭幂级数法22345621230.3330.3330.2220.2220.259(1)(31)33z z z z z z z z z z z z---------==-+-++++++留数法()()222121()Res Res Res (1)(31)(1)(31)(1)(31)(31)11413144n nnz z z n nn z z z nnk k z z z e nT z z z z z z z z =-==-=-=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦-=-+=--()()()()()()6111cos sin 44242111sin 30422n n n n nnnn n nj j j j n n n πππ⎧⎫⎡⎤⎡⎤+---⎪⎣⎦⎨⎪⎩⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（d ） 部分分式法11221442(1)(0.5)9190.53(0.5)4412199232nn z z z z Z Z z z z z z n ---⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥-+-++⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭幂级数法22452230.750.25(1)(0.5)10.750.25z z z z z z z z z------==+++-+--留数法2210.51212210.5120.5()Res Res (1)(0.5)(1)(0.5)(1)(0.5)(1)(0.5)(1)(0.5)491(1)4412199232z z n n z z n nz nn z ze nT z z z z z d z z z z z z z dz z z nz zz z n ==---==--=-⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+-⎢⎥--⎣⎦⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1-7-6用z 变换法求下面的差分方程(2)3(1)2()0,(0)0,(1)1x k x k x k x x ++++===并与用迭代法得到的结果(0)x 、(1)x 、(2)x 、(3)x 、(4)x 相比较。