九章算术
中国古代的数学巨著-九章算术
中国古代的数学巨著-九章算术《九章算术》是中国最主要的数学经典，集先秦到西汉的数学知识之大成。
约成书于公元前1世纪，稍晚于《周髀算经》。
魏刘徽说：《九章算术》是由九数发展而来，由于秦始皇焚书而失。
西汉张苍、耿寿昌收集秦火残遗，加以整理删补，而成《九章算术》。
一、《九章算术》的结构、内容和体系《九章算术》全书约有90余条抽象性的算法、公式，246道例题及其解法，包括丰富的算术、代数和几何内容。
书中的246道题，几乎全是应用题，结构上分为：“问”“答”“术”。
这些问题按不同的用途分为九部分，故名《九章算术》。
“方田”章：（38问）主要讲平面图形的计算，包括系统的分数运算，提出了完整的分数运算法则，以及各种多边形、圆、弓形等的面积公式；“粟米”章：（46问）粮食交换中的比例问题，讨论了各种比例算法；“衰分”章：（20问）比例算法在各种物资分配中的应用，提出了比例分配法则；“少广”章：（24问）开平方、开立方问题，给出了完整的开平方、开立方程序；“商功”章：（28问）土木工程中的体积计算，讨论各种体积公式及工程分配方法；“均输”章：（28问）主要讲纳税和运输方面的计算问题，也是复杂的比例分配问题；“盈不足”章：（20问）主要讲算术中的盈亏问题，“盈不足”术的应用。
“方程”章：（18问）主要讲线性方程组的解法、正负数概念和减法运算法则。
“勾股”章：（24问）勾股定理的应用以及各种测量术。
二、《九章算术》的历史地位1、《九章算术》在中国数学史上的地位《九章算术》是我国的算经之首，在中国数学史上是一部承前启后的数学巨著，对后世的数学发展产生了深远的影响。
《九章算术》为中国古代数学著作提供了编撰创作的范例和样板，建立了中国古代数学的基本框架。
以后的数学著作大体为两种模式，一是以《九章算术》为样本编撰新的著作，如《孙子算经》、《张丘建算经》、《四元玉鉴》等。
另一种就是采取为《九章算术》作注的形式，以《九章算术》为研究内容。
九章算术的简介
九章算术的简介
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种。
它的作者已不可考，一般认为是由西汉的张苍、耿寿昌等人增补和修订而成的。
最后成书的时间最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。
《九章算术》的内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。
它包含了方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股等九章，共收集了246个数学问题。
这些问题涵盖了当时生活中的各个方面，如土地测量、谷物分配、税收计算、工程建筑、商业交换、军事防御等。
这些问题不仅具有实际的应用价值，而且展示了中国古代数学的卓越成就和独特风格。
在数学理论上，《九章算术》有着很高的成就。
它首次提到了分数问题，并且首先记录了盈不足等问题。
特别是在《方程》章中，它首次阐述了负数及其加减运算法则，这在世界数学史上具有重要的地位。
这一成就不仅展示了中国古代数学家的卓越智慧，也为后来的数学发展奠定了坚实的基础。
此外，《九章算术》还是一本综合性的历史著作，它反映了当时世界上最简练有效的应用数学。
它的出现标志着中国古代数学的发展达到了一个新的高度，对于推动数学的发展和应用起到了重要的作用。
同时，它也为中国古代科技文化的发展做
出了重要的贡献。
总的来说，《九章算术》是中国古代数学的重要里程碑，它不仅总结了当时数学的理论和实践成果，而且为后来的数学发展提供了宝贵的经验和启示。
它的价值和影响不仅体现在数学领域，更体现在对中国古代科技文化发展的推动和贡献上。
九章算术名词解释
九章算术名词解释九章算术，又称《九章算术大成》，是中国古代数学的一部重要著作。
本文将对其中涉及的几个算术名词进行解释，以帮助读者更好地理解九章算术的内容。
一、乘除方乘除方是九章算术中用来表示乘法、除法和平方的术语。
乘法指的是将两个或多个数字相乘，求得它们的乘积。
除法是指将一个数分割为若干等份的操作，求得每一份的大小。
平方是将一个数与自身相乘得到的结果，如2的平方等于4。
二、假设假设在九章算术中是用来引入未知数或推导数学问题解决方法的关键词。
通过做出合理的假设，可以建立数学模型，进而解决实际问题。
在九章算术中，假设被广泛应用于代数方程、几何推理等各个领域。
三、等差数列等差数列是九章算术中常见的数列类型，指的是一个数列中的相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
例如，1、3、5、7、9就是一个等差数列，其公差为2。
四、等比数列等比数列是九章算术中另一种常见的数列类型，指的是一个数列中的相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
例如，1、2、4、8、16就是一个等比数列，其公比为2。
五、勾股定理勾股定理是九章算术中最为著名的定理之一，用于解决与直角三角形相关的数学问题。
它表明在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
勾股定理的数学表达式为a²+b²=c²，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
六、倍率倍率是九章算术中用来表示两个数之间的倍数关系的术语。
当一个数是另一个数的倍数时，我们可以用倍率来表示它们之间的关系。
例如，如果一个书架上有10本书，而另一个书架上有20本书，则前者相对于后者的倍率为1:2。
七、评价在九章算术中，评价是指对数学问题或解决方法进行判断和评定的过程。
通过评价，我们可以确定一个解决方法的优劣以及数学问题的难易程度。
九章算术强调了评价在数学中的重要性，鼓励人们进行深入思考和创新。
总结：九章算术是中国古代数学的重要著作，其中涉及的名词解释为读者提供了深入理解九章算术内容的基础。
九章算术
九章算术一：《方田》1、方田:今有田广十五步，从十六步。
问为田几何？答曰：一亩。
2、方田:又有田广十二步，从十四步。
问为田几何？答曰：一百六十八步。
方田术曰：广从步数相乘得积步。
以亩法二百四十步除之，即亩数。
百亩为一顷。
3、方田:今有田广一里，从一里。
问为田几何？答曰：三顷七十五亩。
4、方田:又有田广二里，从三里。
问为田几何？答曰：二十二顷五十亩。
里田术曰：广从里数相乘得积里。
以三百七十五乘之，即亩数。
5、方田:今有十八分之十二。
问约之得几何？答曰：三分之二。
6、方田:又有九十一分之四十九。
问约之得几何？答曰：十三分之七。
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
7、方田:今有三分之一，五分之二。
问合之得几何？答曰：十五分之十一。
8、方田:又有三分之二，七分之四，九分之五。
问合之得几何？答曰：得一、六十三分之五十。
9、方田:又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。
问合之得几何？答曰：得二、六十分之四十三。
合分术曰：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。
不满法者，以法命之。
其母同者，直相从之。
10、方田:今有九分之八，减其五分之一。
问馀几何？答曰：四十五分之三十一。
11、方田:又有四分之三，减其三分之一。
问馀几何？答曰：十二分之五。
减分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一。
12、方田:今有八分之五，二十五分之十六。
问孰多？多几何？答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。
13、方田:又有九分之八，七分之六。
问孰多？多几何？答曰：九分之八多，多六十三分之二。
14、方田:又有二十一分之八，五十分之十七。
问孰多？几何？答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。
课分术曰：母互乘子，以少减多，馀为实，母相乘为法，实如法而一，即相多也。
15、方田:今有三分之一，三分之二，四分之三。
问减多益少，各几何而平？答曰：减四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平于十二分之七。
九章算术原文及白话文
九章算术原文及白话文九章算术是中国古代数学著作之一，它包含了许多重要的数学知识和计算方法。
以下是九章算术的原文及白话文翻译：原文：第一章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，九。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，九。
第二章，方程。
有物不知其数，五十者，三十者，二十者之数同也。
求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，百五十。
今有物不知其数，五十者，三十者，二十者之数同也，求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，百五十。
第三章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第四章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第五章，方程。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第六章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
方曰，十八。
第七章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第八章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第九章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
白话文翻译：第一章，方程。
如果有一些物品，不知道它们的数量，但这些物品的数量相等。
请问这些物品的数量是多少？答案是，将这个数量乘以三，再加上一。
九章算术算法
九章算术算法
九章算术算法，又称九章算术或者九章算法，是中国古代数学中著名的算法之一。
九章算术最早见于《汉书·艺文志》，被认为是中国最早的数学专著之一。
九章算术是古代中国数学的一部重要著作，其内容包括算术、代数、几何、解析、概率等多个领域。
九章算术的算法包括了加法、减法、乘法、除法等基本运算，以及求平方根、求立方根、解方程等高级运算。
这些算法不仅简单实用，而且在当时的中国以及后来的数学发展中起到了重要作用。
九章算术算法在古代中国以及其他东亚国家被广泛应用，成为古代数学中的一部分。
它的独特之处在于采用九个数字1至9和一些基本算术运算符号，通过适当的排列和组合来解决各种数学问题。
这种算法简单易学，具有很高的实用性，被许多古代数学家所推崇。
九章算术算法的研究不仅有助于了解古代数学的发展历程，还有助于对现代数学的认识和理解。
九章算术算法体现了古代数学家在数学领域的智慧和创造力，对于推动数学科学的发展具有重要意义。
总的来说，九章算术算法作为古代中国数学的重要代表之一，具有深远的历史意义和学术价值。
它的研究不仅有助于了解古代数学的发展，还有助于对现代数学的认识和理解。
九章算术算法的算法思想和数学方法对于数学领域的发展具有重要的启示和影响，是值得深入研究的重要课题。
九章算术的内容
九章算术的内容《九章算术》是中国历史上最为优秀的数学著作之一，其内容涉及许多数学术语，如乘除法、立方根计算等，也是为中国古代数学思想发展做出了杰出贡献的著作。
《九章算术》由九章组成，每一章专注于一个特定的数学主题，以下分别介绍：第一章：算术全书本章讨论的是算术的基础，关注数字和运算符之间的关系，以及如何利用这些关系来解决问题。
第二章：立方根计算本章介绍了立方根计算方法，包括求立方根的数学算法，以及如何使用这些算法来解决问题。
第三章：乘除法本章介绍了乘除法，包括如何进行乘除法和被乘除数的形式，乘除法的规律与特性，以及乘除法的应用问题。
第四章：折扣计算本章讨论的是折扣计算，涉及折扣的定义、计算和应用，以及如何使用折扣来解决问题。
第五章：测量本章介绍了测量的基本原理，如比例和比较法，以及如何用这些原理来解决问题。
第六章：无量数计算本章讨论的是无量数计算，涉及无量数定义、计算和应用，以及如何使用无量数来解决问题。
第七章：代数本章介绍了代数的基本原理，如有理数，代数分析和多项式，以及如何使用这些原理来解决问题。
第八章：几何本章介绍了几何的基本原理，如直线、圆和平面，以及如何用这些原理来解决问题。
第九章：概率本章讨论的是概率的基本原理，如事件概率和独立概率，以及如何使用这些原理来解决问题。
《九章算术》是中国古代数学思想发展的重要著作，它是通过大量实践而形成的，也有利于理论的发展。
在《九章算术》中，数学家们以清晰、精确的语言来阐述数学思想，并以实例的解释和精确的演算来加以说明。
《九章算术》的内容是集合数学、代数学、几何学、抽象代数学和概率理论等学科的总结和综合，基本上可以称之为古代中国的《现代数学入门》，是研究中国古代数学思想发展的重要资料。
《九章算术》的贡献在于它把古代中国有关数学思想的研究方法总结成一本综合性的算术手册，不仅受到了当时的赞誉，也为后人学习和研究古代中国数学思想提供了巨大的帮助。
因此，《九章算术》对中国数学思想发展史具有重要意义，它不仅有助于古代中国数学思想的研究，也为现代数学思想的发展提供了参考价值。
九章算术简介
九章算术
九章算术，又称《九章算术》、《九章算经》，是古代中国数学的一部重要著作，是中国古代数学的经典之一。
这部著作编纂完成的时间约在战国时期（公元前5世纪至公元前2世纪），具体的编纂时间和作者等信息在历史上并不清晰。
《九章算术》是一部系统的数学著作，内容广泛涵盖了算术、代数、几何、概率等多个数学领域。
它分为九篇，每篇都探讨了不同的数学问题和方法。
这九篇分别是：
1．《海岛算经》：主要涉及实际问题，如土地测量、田亩分配等。
2．《精说第一》：主要论述一次至六次方程的解法。
3．《精说第二》：讨论一次至二十次方程的解法。
4．《周髀算经》：以乡土土地的规划为背景，涉及几何问题。
5．《五经算術》：介绍一些实际问题中的算术和代数方法。
6．《算数》：讨论分数、比例、变比等。
7．《雜論》：包括多种数学题目，如勾股定理的应用、经济问题等。
8．《方程》：主要涉及一次至二十次方程的解法。
9．《杂题》：包括了各种杂项的数学问题。
《九章算术》的影响深远，对中国古代数学和世界数学的发展都产生了
积极的影响。
其中包含了许多具体的问题和解法，展示了古代中国数学家在解决实际问题时的高超数学技巧。
这部著作在中国数学史上具有重要地位，被视为中国古代数学的巅峰之作之一。
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九章算术九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。
魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。
苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。
根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。
最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。
《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。
《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。
再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。
九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。
1984年，在湖北出土了《算数书》书简。
据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。
有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。
后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。
其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。
刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。
唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。
到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。
在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。
清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。
此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。
作为一部世界数学名著，《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。
它已被译成日、俄、德、法等多种文字版本。
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。
这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。
原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章。
它们的主要内容分别是：第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。
包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。
另外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数等方法。
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术；第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。
这是世界上最早的多位数和分数开方法则。
它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等；第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法；第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。
今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。
西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。
第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。
这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。
这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。
在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。
这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。
这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。
外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。
其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。
提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n。
在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。
勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。
例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。
《九章算术》中的数学成就是多方面的：(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。
《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。
“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的．《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。
其步骤与方法大体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。
加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。
“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分子小于分母时便以分数形式保留。
其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。
《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。
可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。
不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。
在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。
粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。
例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”。
它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。
《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)。
”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。
令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。
实为物价，法为人数”。
盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。
盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。
(2)、《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用。
《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。
《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong)十六步。
问为田几何。
”“答曰：一亩”。
这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之，即亩数。
百亩为一顷。
”当时称长方形为方田或直田。
称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”。
这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。
”“亦可以半正从以乘广”(图1－30)。
盈是多余，虚乃不足。
“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。
方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的面积公式是：“术曰：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并。
”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法。
在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”。
至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中，它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”。
这里“周”是圆周长，“径”是指直径。
这个圆面积计算公式是正确的。
只是当时取径一周三(即π≈3)。
于是由此计算所得的圆面积就不够精密。
《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。
但是商功章并没有论述长方体或正方体的体积算法。
看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc的基础上来计算其他立体图形体积的。
《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”。
这里上、下广指横截面的上、下底(a，b)高或深(h)，袤是指城垣……的长(l)。
因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2(a+b)h.刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体积公式。
刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。
所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32(1)]斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”（如图），所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。
《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)的体积计算公式。
甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体(古代称“羡除”)[图1－33(1)]，上、下底为矩形的拟柱体(古代称“刍童”)以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体(古代称“刍甍”)(“甍”音“梦”)等都可以计算其体积。