中考数学提高题专题复习旋转练习题含答案

及此时点 P 的坐标．
【答案】(1)CB 的延长线上， a+b；(2)①CD＝BE，理由见解析；②BE 长的最大值为 5；(3)
满足条件的点 P 坐标(2﹣ 2 ， 2 )或(2﹣ 2 ，﹣ 2 )，AM 的最大值为 2 2 +4．
【解析】 【分析】 （1）根据点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论；（2） ①根据已知条件易证△ CAD≌ △ EAB，根据全等三角形的性质即可得 CD＝BE；②由于线段 BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接 BM， 将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN，连接 AN，得到△ APN 是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到 PN＝PA＝2，BN＝AM，根据当 N 在线段 BA 的延长线时，线段
最大的情形，S△ BCF = 3 3 a2. 2
【解析】 试题分析：（1）由平行四边形的性质知 ∠ D=∠ B，AB=CD=a，可得∠ D=∠ DEC，由等角对等边知 CD=CE，由 AE=AB=a，AD=BC=2a， 可得 DE=CE，即可证得△ CDE 是等边三角形，∠ D=60°，由两直线平行，同位角相等可得 ∠ DAB=120°，即可求得 α； （2）由旋转的性质以及∠ B=60°，可得△ ABE 是等边三角形，由平行线的判定以及两组对 边分别平行的四边形是平行四边形可证四边形 ABEM 是平行四边形，再由由一组邻边相等 的平行四边形是菱形即可得证； （3）当点 F 到 BC 的距离最大时，△ BCF 的面积最大，由于点 F 始终在以 A 为圆心 AF 为半 径的圆上运动，故当 FG 与⊙A 相切时，点 F 到 BC 的距离最大，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 AF，由题意知∠ AFG=90°.由∠ ABH=∠ G=60°，AB=a，AG=2a，可得 AH、AF 的值.可 求得点 F 到 BC 的最大距离.进而求得 S△ BCF 的值. 试题解析：（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ ∠ D=∠ B，AB=CD=a， ∵ ∠ AEF=∠ B，∠ AEF=∠ DEC， ∴ ∠ D=∠ DEC， ∴ CD=CE， ∵ AE=AB=a，AD=BC=2a， ∴ DE=CE.， ∴ CD=CE=DE， ∴ △ CDE 是等边三角形， ∴ ∠ D=60°，
∵ CD∥ AB， ∴ ∠ D+∠ DAB=180°， ∴ ∠ DAB=120°， ∴ α=120°.； （2）四边形 CDFM 是菱形. 证明：由旋转可得 AB=AE， ∵ ∠ B=60°， ∴ △ ABE 是等边三角形， ∴ ∠ BAE=60°， ∴ ∠ BAG=∠ BAE+∠ GAE=60°+120°=180°， ∴ 点 G，A，B 在同一条直线上， ∴ ME ∥ AB，BE∥ AM， ∴ 四边形 ABEM 是平行四边形， ∴ AM=AB=ME， ∴ CD=DM=MF， ∵ CD ∥ AB∥ MF， ∴ 四边形 CDFM 是平行四边形， ∵ ∠ D= 60°，CD=DM， ∴ △ CDM 是等边三角形， ∴ CD=DM， ∴ 四边形 CDFM 是菱形； （3）存在△ BCF 的面积最大的情形. ∵ CB 的长度不变， ∴ 当点 F 到 BC 的距离最大时，△ BCF 的面积最大. ∵ 点 F 始终在以 A 为圆心 AF 为半径的圆上运动， ∴ 当 FG 与⊙A 相切时，点 F 到 BC 的距离最大， 如图，过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，连接 AF，
分析：（1）延长 ED 交 AG 于点 H，证明
≌
，根据等量代换证明结论；
（2）根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到
，分两种情况
求出 的度数； （3）根据正方形的性质分别求出 OA 和 OF 的长，根据旋转变换的性质求出 AF′长的最大值 和此时 的度数． 详解： 如图 1，延长 ED 交 AG 于点 H，
边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE．
①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由；②直接写出线段 BE 长的最大值．
(3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(6，0)，点 P
为线段 AB 外一动点，且 PA＝2，PM＝PB，∠ BPM＝90°，请直接写出线段 AM 长的最大值
， ，
， ，
，
，
此时
．
点睛：考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角形函数，旋转变换的性
质的综合应用，有一定的综合性，注意分类讨论的思想.
3．如图 1， ABCD 和 AEFG 是两个能完全重合的平行四边形，现从 AB 与 AE 重合时开 始，将 ABCD 固定不动， AEFG 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为 α（0°＜α＜360°）， AB=a,BC=2a；并发现：如图 2，当 AEFG 旋转到点 E 落在 AD 上时，FE 的延长线恰好通过 点 C．
点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
，
，
即
；
在旋转过程中，
成为直角有两种情况：
Ⅰ 由 增大到 过程中，当 ，
在
中，sin∠ AGO=
，
，
，
，
时，
，
即
；
Ⅱ 由 增大到 过程中，当
同理可求
，
．
综上所述，当
时，
或
如图 3，
时， ．
当旋转到 A、O、 在一条直线上时， 的长最大， 正方形 ABCD 的边长为 1，
BN 取得最大值，即可得到最大值为 2 2 +4；如图 2，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，根据等腰直角
三角形的性质即可求得点 P 的坐标．如图 3 中，根据对称性可知当点 P 在第四象限时也满 足条件，由此求得符合条件的点 P 另一个的坐标． 【详解】 (1)∵ 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝a，AB＝b， ∴ 当点 A 位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 BC+AB＝a+b， 故答案为 CB 的延长线上，a+b； (2)①CD＝BE， 理由：∵ △ ABD 与△ ACE 是等边三角形， ∴ AD＝AB，AC＝AE，∠ BAD＝∠ CAE＝60°， ∴ ∠ BAD+∠ BAC＝∠ CAE+∠ BAC， 即∠ CAD＝∠ EAB，
探究一: （1）在图 2 的情形下，求旋转角 α 的度数； 探究二: （2）如图 3，当 AEFG 旋转到点 E 落在 BC 上时，EF 与 AD 相交于点 M，连接 CM，DF， 请你判断四边形 CDFM 的形状，并给予证明； 探究三: （3）如图 1，连接 CF，BF，在旋转过程中△ BCF 的面积是否存在最大的情形，如果存在， 求出最大面积，如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）α=120°；（2）四边形 CDFM 是菱形，证明见解析；（3）存在△ BCF 的面积
【点睛】 本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的 性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点. 分别延长 OD 到点 G，OC 到点 E，使 OG=2OD，OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE． (1)求证：DE⊥AG； (2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角(0°< <360°)得到正方形
AD AB 在△ CAD 与△ EAB 中， CAD EAB ，
AC AE
∴ △ CAD≌ △ EAB(SAS)， ∴ CD＝BE； ②∵ 线段 BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值， 由(1)知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上， ∴ 最大值为 BD+BC＝AB+BC＝5； (3)如图 1，
∵ AN＝ 2 AP＝2 2 ， ∴ 最大值为 2 2 +4；
如图 2，
过 P 作 PE⊥x 轴于 E， ∵ △ APN 是等腰直角三角形，
∴ PE＝AE＝ 2 ， ∴ OE＝BO﹣AB﹣AE＝6﹣4﹣ 2 ＝2﹣ 2 ，
∴ P(2﹣ 2 ， 2 )．
如图 3 中，
根据对称性可知当点 P 在第四象限时，P(2﹣ 2 ，﹣ 2 )时，也满足条件． 综上所述，满足条件的点 P 坐标(2﹣ 2 ， 2 )或(2﹣ 2 ，﹣ 2 )，AM 的最大值为 2 2 +4．
点睛：此题考查了旋转的洗澡那个会、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，三
角形的面积的求法，关键是运用旋转前后，图形的对应边相等、对应角相等的性质解题.
4．如图 1，在△ ABC 中，CA=CB，∠ ACB=90°，D 是△ ABC 内部一点，∠ ADC=135°，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 90°得到线段 CE，连接 DE． （1）①依题意补全图形； ②请判断∠ ADC 和∠ CDE 之间的数量关系，并直接写出答案． （2）在（1）的条件下，连接 BE，过点 C 作 CM⊥DE，请判断线段 CM，AE 和 BE 之间的 数量关系，并说明理由．
再连接 DE 即可；②根据∠ ADC 和∠ CDE 是邻补角，所以∠ ADC+∠ CDE=180°．
（2）由（1）的条件可得 A、D、E 三点在同一条直线上，再通过证明△ AC股定理，可得出点 A 到 BP 的距离．
试题解析：解：（1）①依题意补全图形（如图）；
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．(1)发现：如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝a，AB＝b．填空：
当点 A 位于
时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为