复杂网络的特性概述
复杂网络理论的发展与应用
复杂网络理论的发展与应用随着人们对社会、生态、交通、生物等各类复杂系统的深入研究，人们开始逐渐认识到，很多系统都可以看做是由许多相互关联的个体组成的复杂网络。
复杂网络是由许多节点和链接组成的图形结构，每个节点代表一个个体，链接代表节点之间的相互作用关系。
复杂网络理论是研究复杂网络结构、动力学、统计力学等方面的一门交叉学科，旨在探究节点间的关系给整个系统的性质和行为带来的影响，为人类社会的可持续发展提供理论指导和应用基础。
1. 复杂网络理论的发展复杂网络理论的起源可以追溯到20世纪50年代，当时研究人员就开始探索图形结构的特性和性质，尤其注意到某些网络的规模很大，但是节点之间的链接相对较少，因而不同于传统网络。
这些节点间链接关系的非均匀性，给传统图形结构考虑网络规模和复杂性带来了新的挑战。
直到1998年，Barabasi和Albert两位研究员发现图形结构中的一种重要模型——无标度网络模型，成为复杂网络理论中的里程碑，引起了学术界和产业界的广泛关注。
随着科学技术和社会经济的发展，复杂网络理论逐渐发展成为一个跨学科领域。
不少领域都通过复杂网络理论研究了相应系统的不同特点和规律。
例如，社交网络研究发现，人际关系的网络结构呈现集聚性、反射性和对称性，个体行为和信息传播受限于物理距离和社会影响，而不同类型的人际关系可通过构建多重网络结构分别加以考虑。
生态学家们应用复杂网络理论分析生态系统的物种相互作用关系，发现生态系统中某些物种之间存在紧密依赖的关系，而这些生命共同存在的元素共同构成了稳定的生态系统。
另外，复杂网络理论还在流行病学、金融市场、交通运输、能源系统等诸多领域被广泛应用。
2. 复杂网络的特点复杂网络之所以被称为复杂，是因为它们表现出了许多非平凡的行为和性质。
复杂网络的特点可以描述为：1）无标度：复杂网络在节点度数分布上呈现出幂律分布，少数节点拥有极高的度数，而大多数节点的度数相对较低。
2）小世界：复杂网络中相邻节点之间的平均长度比较短，可以用“六度分离”和“小世界效应”来描述，即“任何两个人之间的距离最多只隔着五个人”。
复杂网络中的动力学特性与控制研究
复杂网络中的动力学特性与控制研究复杂网络是指由众多节点组成，节点和边之间交互复杂的网络结构，例如社交网络、经济网络、交通网络等等。
随着互联网、智能手机等技术的普及和发展，我们的生活越来越离不开网络，复杂网络的研究也变得越来越重要。
在复杂网络中，节点之间的关系可能是正向的、负向的、双向的，有些节点之间有很强的相互作用，而有些节点之间的联系比较松散。
这种复杂的交互结构导致了复杂网络动力学特性的出现。
复杂网络的动力学特性包括以下几个方面。
第一，同步现象。
在复杂网络中，节点之间的相互作用可能导致同步现象的出现，即节点之间的状态变化趋同。
在神经网络和社交网络中，同步现象都有着重要的应用价值。
第二，相变现象。
相变是指系统的宏观特性在微观参数变化时出现剧烈变化的现象。
在复杂网络中，当节点的度数达到某个临界点时，网络的性质将发生剧烈变化，这种现象被称为相变现象。
第三，小世界特性。
小世界特性是指复杂网络中任意两个节点之间的距离都很短。
这种特性导致了信息传递的快速性和高效性，所以小世界网络在信息传递和协同工作方面有着广泛的应用。
第四，无标度特性。
无标度特性是指在复杂网络中，只有少数节点与其他节点有着很强的联系，这些节点被称为“超级节点”，它们在复杂网络的特性中发挥着重要作用。
在研究复杂网络的动力学特性的过程中，控制网络的行为也变得越来越重要。
控制网络是指通过改变网络的边界、节点或者参数，达到控制、同步、稳定或者最优化复杂网络的目的。
现代社会的很多问题，例如流行病控制、电力系统控制、网络攻击和金融风险管理等都可以归结为网络控制问题。
在控制网络的过程中，我们可以采用以下几种方法。
第一，节点控制。
节点控制是指在复杂网络的某些节点上放置控制器，并通过控制这些节点的状态来达到控制网络的目的。
节点控制的优点是简单明快，但是受限于放置控制节点的位置和数量。
第二，边界控制。
边界控制是指在复杂网络的边界上应用控制器，通过控制网络的输入输出来达到控制网络的目的。
数学中的复杂网络
数学中的复杂网络在数学领域中，复杂网络是指由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。
这些节点和边的关系可以用数学模型来描述和分析，从而揭示网络的特性和行为。
复杂网络广泛应用于各个领域，如社交网络、生物网络、物流网络等。
它们的研究对于了解和解决实际问题具有重要意义。
一、复杂网络的定义和组成1. 节点：复杂网络的节点代表网络中的个体、物体或者事件等，可以是人、动物、物品等。
节点是网络的基本单位，每个节点可以有自己的属性和特征。
2. 边：复杂网络的边代表节点之间的连接关系，可以是直接或间接的连接。
边可以是有向或无向的，代表了节点之间的关系强度和方向性。
3. 度：节点的度是指与该节点相连接的边的数量。
节点的度可以衡量它在网络中的重要性和影响力，具有重要的拓扑属性。
二、复杂网络的特性和行为1. 小世界性：复杂网络具有小世界性质，即任意两个节点之间的平均路径长度较短。
这意味着网络中的节点之间可以通过较短的路径进行传递信息和交流。
2. 无标度性：复杂网络的节点度分布呈幂律分布，即只有少数节点具有非常高的度。
这些高度连接的节点被称为“关键节点”，对网络的鲁棒性和稳定性起到重要作用。
3. 聚类性：复杂网络中存在着节点的聚类现象，即相互连接的节点倾向于形成集群或社区。
这些聚类结构可以揭示网络中节点之间的相似性和密切关系。
4. 随机性：复杂网络中节点和边的连接关系具有一定的随机性，这导致了网络的不确定性和复杂性。
对随机网络的建模和分析有助于理解和预测现实世界中的复杂系统。
三、复杂网络的应用1. 社交网络：复杂网络理论被广泛应用于社交网络的研究中。
通过对社交网络的节点和边进行分析，可以揭示出个人之间的联系和社交群体的结构，对信息传播、社会动态等方面具有重要影响。
2. 生物网络：复杂网络在生物学领域有着广泛的应用。
生物网络可以表示蛋白质相互作用、基因调控等生物系统中的网络结构。
通过研究和模拟生物网络，可以洞察生物系统的功能和演化规律。
网络科学中的复杂网络理论
网络科学中的复杂网络理论网络科学是一门涵盖计算机科学、数学、物理学等多个学科的交叉学科，其研究的对象是网络，包括社交网络、物流网络、电力网络、金融网络等。
在网络科学的研究中，复杂网络理论是一个重要的分支，它能够帮助我们理解网络的特性和行为。
本文将从复杂网络的概念、网络拓扑结构、网络动力学、网络优化等方面介绍复杂网络理论。
一、复杂网络的概念复杂网络是由许多节点和边组成的网络，节点和边之间的关系可以是同性的或异性的，也可以是有向的或无向的。
复杂网络中的节点可以是人、公司、电力系统中的发电站等，边可以表示这些节点之间的联系，如社交网络中的朋友关系、电力系统中的输电线路等。
由于网络中的节点和边是多种多样的，所以复杂网络具有超过简单网络的复杂性和多样性。
复杂网络理论研究的是网络的结构和行为，通过分析网络节点和边之间的关系，可以揭示网络中的规律和特性。
复杂网络理论已被应用于许多领域，如社交网络分析、流行病模型、交通优化、生物信息学等。
二、网络拓扑结构网络的拓扑结构是指节点和边之间关系的模式，包括邻接矩阵、度分布、聚类系数、路径长度等几个方面。
1. 邻接矩阵邻接矩阵是一个方阵，其中的行和列分别对应网络的节点，矩阵中的元素为1表示对应节点之间有一条边，为0则表示没有边相连。
邻接矩阵是表示网络拓扑结构最简单的方式，但对于大规模网络，其密集的矩阵往往需要大量的存储空间，使得计算和分析变得困难。
2. 度分布节点的度是指该节点连接的边数。
度分布是一个度数与节点数量或概率的关系图，可以揭示网络节点之间关系的多样性。
常见的度分布包括泊松分布、幂律分布等。
幂律分布是指在一个网络中存在很少的高度连接的节点，多数节点的度数较低，这称为“无标度网络”。
无标度网络中的少数节点有着重要的作用，称为“超级节点”，它们是网络中的枢纽或关键节点。
3. 聚类系数聚类系数是指一个节点的邻居之间相互之间已经连接的比例。
聚类系数越高表示该节点的邻居之间越紧密。
大规模复杂网络的动力学特性分析
大规模复杂网络的动力学特性分析随着信息技术的快速发展和互联网的普及，人们的社会交往方式也得到了根本性的改变。
网络社交平台、电子商务、在线教育、医疗健康等各类应用正在成为了我们日常生活中不可或缺的一部分。
而这些现象所组成的网络结构也呈现出了复杂性，形态多样且演化动态十分复杂。
因此对大规模复杂网络的动力学特性分析成为了一个重要任务，有助于我们更好的理解和利用这些网络结构。
一、复杂网络概述复杂网络是指由大量节点和连接构成，其中节点之间的连接关系具有复杂结构或随意性的网络结构。
相对于传统的规则网络，复杂网络的拓扑结构更加复杂、灵活，同时也更贴近真实社会、经济、生态等系统，通常包括六个重要的特征：1.规模性：复杂网络包含大量的节点和连接，一般数以万计。
2.无标度性：一小部分节点的度数极其高，而大多数节点的度数很低。
这种“寡头原则”成为了复杂网络拓扑结构的重要特点之一。
3.小世界性：节点之间的平均距离很短，同时具有强化的聚集性。
4.聚集性：复杂网络中节点的度数倾向于聚集在一起形成密集的连接区域，即具有社区结构。
5.耐随机性：复杂网络拓扑结构对随机切除和攻击的鲁棒性强。
6.自组织性：复杂网络具有自适应性和自组织性，可以适应外界环境和动态演化。
二、复杂网络的动力学过程由于复杂网络的结构复杂多样且动态演化明显，节点之间的动力学过程也呈现出了各种形态和行为。
其中最常见的动力学过程包括：1.同步：网络中的节点会相互协调，形成同步的状态。
同步是复杂网络动力学过程中的重要现象之一，对于社会、经济等大型系统的协调和优化具有很重要的意义。
2.扩散：网络中的信息、能量或物质会在节点之间进行扩散，形成扩散动力学过程。
扩散过程可以是随机的，也可以是受控的。
3.震荡：网络中的节点受到不同外界刺激形成周期性或非周期性的震荡状态。
4.优化：节点之间的连接和权重可以进行优化，来使整个复杂网络的运行效率更高。
优化过程可以基于最小化成本、最大化效益等多种目标。
复杂网络
表现
复杂网络复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。其复杂性的主要表现以下几个方面：
1）结构复杂的主要表现为节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化的主要表现为节点或连接的产生与消失。例如world-wide network，网页或链接随时可能出现 或断开，导致网络结构不断发生变化。
复杂网络
具有自组织、自相似或全部性质的网络
01 概念
03 内容 05 研究方向
目录
02 表现 04 特性
复杂网络（Complex Network），是指具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的 网络。特征：小世界、集群即集聚程度的概念、幂律的度分布概念。
概念
复杂网络钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义：具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部 分或全部性质的网络称为复杂网络。
第二，集群即集聚程度(clustering coefficient)的概念。例如，社会网络中总是存在熟人圈或朋友圈， 其中每个成员都认识其他成员。集聚程度的意义是网络集团化的程度；这是一种网络的内聚倾向。连通集团概念 反映的是一个大网络中各集聚的小网络分布和相互联系的状况。例如，它可以反映这个朋友圈与另一个朋友圈的 相互关系。
3）连接样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体， 万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。例如，设计一个电力供应网络 需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间 的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
复杂网络的名词解释
复杂网络的名词解释随着互联网的迅猛发展，我们的世界正变得越来越复杂。
在数字时代，网络已经成为了人们日常生活和工作中不可或缺的一部分。
然而，网络的本质是什么，它是如何运作的？这些问题引发了学者们对复杂网络的研究和解释。
复杂网络是网络科学中的一个重要概念，用来描述由许多相互连接的节点组成的系统。
在复杂网络中，节点可以表示个体、物体或者观察对象，而边则表示节点之间的连接或关系。
这些连接可以是社交媒体中的关注关系，互联网中的网页链接，或者是生物体内蛋白质之间的相互作用。
复杂网络的一个显著特征是其非均匀分布的拓扑结构。
相比于简单网络，如正则网络或随机网络，复杂网络的拓扑结构更加复杂多样。
大规模复杂网络常常呈现出具有高度聚集性和短平均路径长度的特点。
也就是说，网络中的节点倾向于组成局部紧密相连的群组，而通过少数边连接的节点之间的距离则很短。
在复杂网络中，节点的连接方式和模式对网络的功能和行为起着决定性的影响。
例如，一些节点连接非常多的其他节点，被称为“中心节点”或“关键节点”，它们在信息传播、网络稳定性和攻击扩散等方面起到至关重要的作用。
此外，复杂网络还具有小世界特性，即任何两个节点之间可以通过少量的中间节点快速建立联系。
这种性质使得复杂网络具有高效的信息传递能力和鲁棒性。
研究复杂网络有助于我们更好地理解和解释真实世界中许多复杂系统的行为。
它在社会学、生物学、物理学、经济学以及信息科学等领域中都有广泛的应用。
例如，在社交网络中，可以利用复杂网络的分析方法来揭示人们之间的社会关系、信息传播的路径和影响力；在生物网络中，通过研究蛋白质相互作用网络可以了解生命体系中蛋白质调控的机制和疾病的发生；在经济学中，分析金融市场网络可以评估系统的脆弱性和风险传播。
此外，复杂网络的研究不仅限于静态结构的探索，还包括网络动力学的研究。
网络动力学研究网络中节点的状态或行为随时间变化的规律。
例如，在传染病传播的研究中，网络动力学的分析可以帮助我们理解疾病传播的机制和采取相应的干预措施。
维数理论解析复杂网络结构特性
维数理论解析复杂网络结构特性一、维数理论概述维数理论是数学中用于描述和分析复杂系统和网络结构特性的一个重要工具。
它起源于拓扑学中的维数概念，但随着研究的深入，已经扩展到了更广泛的领域，包括网络科学、物理学、生物学等。
维数理论的核心在于通过量化的方式来揭示系统的内在复杂性，从而为理解和预测系统行为提供理论基础。
1.1 维数理论的基本概念维数是描述一个对象或系统复杂性的量度。
在传统的几何学中，维数是一个直观的概念，例如点是零维的，线是一维的，平面是二维的，而三维空间则包含了我们日常生活中所接触的大部分物体。
然而，在复杂网络结构中，维数的概念需要被重新定义和扩展。
1.2 维数理论的应用领域维数理论在多个领域都有广泛的应用。
在物理学中，它被用来研究分形和多体系统；在生物学中，用于分析生物网络的结构和功能；在网络科学中，维数理论则帮助我们理解网络的拓扑特性和动态行为。
通过维数理论，我们可以量化网络的复杂性，预测其可能的演化趋势。
二、复杂网络结构特性分析复杂网络是一类由大量节点和边组成的系统，其结构特性通常表现出非线性、自组织和动态演化等特点。
维数理论在分析这些网络结构特性时发挥着重要作用。
2.1 复杂网络的结构特性复杂网络的结构特性包括节点度分布、聚类系数、路径长度、小世界特性、无标度特性等。
这些特性共同决定了网络的全局和局部行为。
例如，节点度分布可以揭示网络中节点连接的不均匀性；聚类系数则反映了网络中节点群聚的程度；路径长度和小世界特性则描述了网络中信息传播的效率。
2.2 维数理论在复杂网络中的应用维数理论在复杂网络中的应用主要体现在以下几个方面：- 度量网络的复杂性：通过计算网络的维数，可以量化网络的复杂性，为网络的分类和比较提供依据。
- 揭示网络的自相似性：分形维数是描述网络自相似性的一个重要指标，它揭示了网络在不同尺度上的重复模式。
- 预测网络的动态演化：维数理论可以帮助我们理解网络结构如何随时间演化，预测网络可能的发展趋势。
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BA模型
增长和择优连接这两种要素激励了Barabási－Albert模 型的提出，该模型首次导出度分布按幂函数规律变化 的网络。
模型的算法如下：
（1）增长：开始于较少的节点数量（m0），在每个时间 间隔增添一个具有m（≤m0）条边的新节点，连接这个 新节点到m个不同的已经存在于系统中的节点上。 （2）择优连接：在选择新节点的连接点时，假设新节点 连接到节点i的概率π取决于节点i的度数即
N
153127 30156209 225226 52909 282 134 282
无标度（Scale-free）网络
无 标 度 模 型 由 Albert-László Barabási 和 Réka Albert在1999年首先提出，现实网 络的无标度特性源于众多网络所共有的 两种生成机制： （ⅰ）网络通过增添新节点而连续扩 张； （ⅱ）新节点择优连接到具有大量连 接的节点上。
C(p) : clustering coeff. average path length
L(p) :
P(k)=0.1
p(k)=0.3
小世界模型
当p等于0时，对应的网络规则图。两个节点间 的平均距离<L>线性地随N增长而增长，集群 系数大。 当p等于1时，系统变为随机图。 <L>对数地随 N增长而增长，且集群系数随N减少而减少。 在p等于（0，1）区间任意值时，模型显示出 小世界特性，<L>约等于随机图的值，网络具 有高度集群性。
复杂网络的无标度特性
上海理工大学 管理学院、系统工程研究所 张宁
目录
概率统计预备知识 网络(图)的基本概念 规则图和随机网 Scale-free网络 常用软件 参考文献
一、概率统计预备知识
目录
随机变量与分布函数（离散、连续） 随机变量的数字特征（数学期望、方差） 泊松分布 幂函数 指数函数
随机变量与分布函数
Albert, R., H. Jeong, and A.-L. Barabási, Diameter of the World-Wide-Web,1999, Nature (London)401, 130. Barabási, A.-L., and R. Albert, Emergence of scaling in random networks, 1999, Science 286, 509 . Barabási, A.-L., R. Albert, and H. Jeong, Mean-field theory for scale-free random networks, 1999, Physica A 272, 173. Albert, R., and A.-L. Barabási, statistical Mechanics of complex network, 2002, Rev. Mod. Phys. Vol. 74, No.1, 47-97.
复杂网络都具有分布于平均值两 边的度分布曲线吗？
无标度(Scale-free)网络
Scale-free网络的发现 Scale-free网络的特性
Scale-free)网络的发现
信息交换网（万维网、国际互联网、电话网、电 力网） 社会网络（电影演员合作网、科研合作图、引文网、 人类性接触网、语言学网） 生物网络（细胞网络、生态网络、蛋白质折叠）
式中
β =
1 2
可给出度小于k的节点的概率 P k t < k i
( () )
m t P(k i (t ) < k ) = P t i > 1 β k
1β
设在相同的时间间隔，添加节点到网络t i 中， 值具有常数概率密度 1 P (t i ) = m0 + t 代入前式
对某个随机试验 E ，如果每次试验的结果 可以用一个数X来表示，而且对任何实数 k，X<x有着确定的概率，则称X是随机 变量。 随机变量X的值小于实数k的概率P(X<x) 是x的函数，记作 F(k)=P(X<x) ,函数F(x) 叫做随机变量X的分布函数。
离散型分布
若随机变量X只取有限个或可数个孤立的 值 x1 , x2 ,L , xn ,L ，并且对应这些值有确定的 概率，即 P ( X = xi ) = pi i = 1, 2 , L ，则称X是离 p 散随机变量（或X是离散分布的）， i 称为的概 率分布，它满足下列条件：
−∞ ∞
3)P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) = ∫ p(x)dx
a
b
随机变量的数字特征
随机变量的数学期望 定义1 设x是离散型随机变量，它的概率 函数是
随机变量的数学期望，反映了随机变量取值的平均水平， 即均值，是随机变量的算术平均。
方差
为随机变量的方差。方差是刻划随机变量取值 离差程度的一个数。 X的方差的算术平方根称 为标准差(或均方差）
随机图——节点19，边43
平均度为2.42，集群系数为0.13。
随机图——节点42，边118
平均度为5.62，集群系数为0.133。
四、Scale-free网络
目录
早期网络模型 无标度Scale-free网络 BA模型
早期网络模型
ER模型 小世界模型
ER模型
Erdös和Rényi （ER）最早提出随机网络 模型并对模型进行了深入研究，他们是 用概率统计方法研究随机图统计特性的 创始人。 在模型开始阶段给定N个节点，没有边， 以概率p用边连接任意一对节点，用这样 的方法产生一随机网络。
ER模型
Erdös和Rényi（1959）首先研究了在随 机网络中最大和最小度的分布， Bollobás(1981)随后得到了所有度分布 的形式，推导出度数为k的节点数遵从平 均值为 λ 的泊松分布，即
P(k) = e λ
−λ
k
k!
Connect with probability p p=1/6 N=10 〈k〉 ~ 1.5 Poisson distribution
网络(图)的基本概念
a c b
d
e
有向图、无向图、不连通图
网络(图)的基本概念
节点的度分布是指网络（图）中 度为 k 的节点的概率 p (k ) 随节点 度 k 的变化规律。
网络(图)的基本概念
最短路径就是从指定始点到指定终点的 所有路径中总权最小的一条路经。 平均路径长度是指所有点对之间的最短 路径的算术平均值。
若X是离散型随机变量，则方差为：
泊松定理
设随机变量Xn(n=0，1，2，…)服从二项分布， 其分布律为 n k P{ X n = k } = p n (1 − p n ) n − k k 其中 则k = 1,2, L, n
设
npn = λ > 0 为常数
limP{Xn = k} =
1
β
+
1
模型的度分布是与时间无关的渐进分布 且与系统规模无关。 幂律度分布的系数与 m2 成正比 。 无标度模型的动态特性可以用各种分析 方法给出 ： 连续域理论 主方程法 变化率方程法
Baralási-Albert模型的限制条件
保持了网络的增长特性，不考虑择优连 接，网络度分布呈指数衰减。 消除了增长过程，只考虑择优连接，络 度分布围绕其均值为一高斯分布。
m1 β t m1 β t P ti > 1 β = 1 − 1 β k k (t + m 0 )
∂P(ki (t ) < k ) 2m1 β t 1 P(k ) = = 1 β +1 ∂k m0 + t k
t趋于无穷时度分布
P(k ) ≈ 2m k
1β
− r 式中
r
=
小世界模型
为了描述从一个局部有序系统到一个随 机网络的转移过程，Watts和 Strogatz （WS）提出了一个新模型，通常称为小 世界网络模型。 WS模型始于一具有N个节点的一维网络， 网络的节点与其最近的邻接点和次邻接 点相连接，然后每条边以概率p重新连接。 约束条件为节点间无重边，无自环。
网络(图)的基本概念
集群系数(Clustering coefficient)反映网 络的群集程度，定义为网络的平均度与 网络规模之比。
<k > C= N
网络(图)的基本概念
7 2 5 3 3 1 5 2
5 1 7
5
网络(图)的基本概念
节点1到7之间的最短路13，平均路径长度5.47， 平均度为3.4，集群系数为0.48。
BA模型
（a)Barabási-Albert模拟的度分布。 = m0 + t = 300000 N （b）不同系统规模下的 p (k) 。 N
= 100000 N = 150000
BA模型
设节点 i 的度 k i 满足动态方程： ∂k i ki = m π (k i ) = m n −1
∂t
∑k
C
0 .1 0 7 8 0 .1 8 - 0 .3 0 .7 9 0 .4 3 0 .3 2 0 .2 2 0 .2 8
C ran d
0 .0 0 0 2 3 0 .0 0 1 0 .0 0 0 2 7 0 .0 0 0 1 8 0 .0 2 6 0 .0 6 0 .0 5
L
3 .1 3 .7 - 3 .7 6 3 .6 5 5 .9 2 .9 2 .4 3 2 .6 5
j −1
i
分母求和是对系统中除新进入系统的节点 外的所有节点进行的 ，则
∑
j
k
j
= 2 mt − m
BA模型
当t足够大时，有 ∂k i ki = ∂t 2t 解微分方程，有
dk i dt = ki 2t
1 ln k = ln t 2