(江西版)2013年高考数学总复习 第六章数列单元检测 理 北师大版(含详解)
2013年江西高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,i M z =,i 为虚数单位,{}{}3,4,4N M N == ,则复数z =（ ）A.2i -B.2iC.4i -D.4i 【测量目标】集合的基本运算和复数的四则运算 【考查方式】利用并集运算、复数的乘法运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】{}{}1,2,i ,3,4,M z N == 由{}4,M N = 得4,i=4,M z ∈∴4i.z =- 2.函数)y x =-的定义域为（ ）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【测量目标】函数的定义域.【考查方式】利用根式和对数函数有意义的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由00110x x x ⎧⇒<⎨->⎩…….3.等比数列,33,66x x x ++, 的第四项等于 ( )A.24-B.0C.12D.24【测量目标】等比数列性质.【考查方式】利用等比中项和等比数列的特点求解. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由2(33)(66)1x x x x +=+⇒=-或3x =-，（步骤1） 当1x =-时，330x +=，故舍去，（步骤2）所以当3x =-，则等比数列的前3项为3,6,12---，故第四项为24-.（步骤3）4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】利用随机抽样方法中随机数表的应用求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】依题意，第一次得到的两个数为65,6520>,将它去掉；第二次得到的两个数为72，由于7220>,将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于0820<，说明号码08在总体内,将它取出;继续向右读，依次可以取出02,14,07,02;但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个,再选一个数就是01，故选出来的第五个个体是01. 5.2532()x x-展开式中的常数项为 ( )A.80B.-80C.40D.40-【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求解.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】展开式的通项为2510515532C ()()(2)C rrr r r r r T x x x --+=-=-， 令10502r r -=⇒=，故展开式的常数项为225(2)C 40-=.6.若22221231111,,e ,x S x dx S dx S dx x ===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为( )A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】利用定积分的求法比较三个的大小来求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B 【试题解析】32222212311122271,ln ln 2,e e e e 11133x x x S x dx S dx x S dx x =========-⎰⎰⎰，显然213S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )第7题图A.22S i =-B.21S i =-C.2S i =D.24S i =+ 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图表示的算法对i 的取值进行验证. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】当2i =时，22510;S =⨯+=<当3i =时，仍然循环，排除D;当4i =时，241910S =⨯+=< 当5i =时，不满足10,S <即此时10S …输出i .（步骤1）此时A 项求得2528,S =⨯-=B 项求得2519,S =⨯-=C 项求得2510,S =⨯=故只有C 项满足条件. （步骤2）8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n += （ ）第8题图A.8B.9C.10D.11 【测量目标】线面平行的判定.【考查方式】利用线面平行,线面相交的判断及空间想象力求解. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】直线CE 在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行；与正方体的左右两个侧面,前后两个侧面都相交,故4m =;(步骤1)作CD 的中点G ，显然易证平面EFG 的底边EG 上的高线与正方体的前后两个侧面平行,故直线EF 一定与正方体的前后两个侧面相交;另外,直线EF 显然与正方体的上下两个底面相交;综上,直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故4n =,所以8m n +=.(步骤2)9.过点引直线l 与曲线y =,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 ( )A.3 B.3- C.3± D.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】利用角形的面积,点到直线的距离公式,三角函数的最值求解. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】因为AOB △的面积在π2AOB ∠=时,取得最大值.设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为(y k x =,即0kx y -=,(步骤1)由题意，曲线y =O 到直线l 的距离为π1sin4⨯=,23k =⇒=（舍去）,或k =.(步骤2) 10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间1l l ,l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设弧 FG 的长为(0π)x x <<,y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图象大致是（ ）第10题图A B C D 【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】利用函数的图象、扇形弧长、三角函数，以及数形结合的数学思想求解. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】连接OF ,OG ,过点O 作,OM FG ⊥过点A 作AH BC ⊥,交DE 于点N .因为弧 FG的长度为x ,所以,FOG x ∠=则cos,2x AN OM ==所以cos ,2AN AE x AH AB ==则,2xAE =.2x EB ∴=2x y EB BC CD ∴=++=π)2xx =+<< 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为 . 【测量目标】三角函数的周期.【考查方式】利用三角恒等变换求解三角函数的最小周期. 【难易程度】容易 【参考答案】π【试题解析】2πsin 2sin sin 2cos 22sin(233y x x x x x =+==-，故最小正周期为2ππ2T ==. 12.设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用向量的投影，向量的数量积运算求解. 【难易程度】容易 【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e e a b a b a a a b b2112π2611cos 2653.222+⨯⨯⨯+=== e e e 13.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且(e )e x x f x =+,则(1)f '= .【测量目标】导数的运算.【考查方式】利用导数的运算,函数解析式的求解,以及转化与化归的数学思想求解. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】由1(e )e ()ln (0)()1(0)xxf x f x x x x f x x x'=+⇒=+>⇒=+>,故(1)2f '=. 14.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF △为等边三角形,则p = .【测量目标】直线与双曲线位置关系.【考查方式】利用抛物线与双曲线的简单性质，等边三角形的特征求解. 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】不妨设点A 在左方,AB 的中点为C ,则易求得点(0,),2pF (),2pA -)2pB -.（步骤1）因为ABF △为等边三角形，所以由正切函数易知tan 606FCp CB==⇒= . （步骤2）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分 15.（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 . 【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】利用参数方程、直角坐标系方程和极从标的互化. 【难易程度】容易【参考答案】2cos sin 0ρθθ-=【试题解析】由曲线C 的参数方程为2,x t y t ==（t 为参数）， 得曲线C 的直角坐标系方程为2x y =，（步骤1） 又由极坐标的定义得，2(cos )sin ρθρθ=，即化简曲线C 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=.（步骤2）（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --…的解集为 . 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式的解法，结合绝对值的性质求解. 【难易程度】容易 【参考答案】[]0,4【试题解析】||2|1|11|2|110|2|222204x x x x x --⇒---⇒-⇒--⇒剟剟剟剟?.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=. （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=,求b 的取值范围 【测量目标】两角和与差的正余弦,余弦定理.【考查方式】给出相关信息,利用两角和的余弦函数,余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B = （步骤1）因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =，又cos 0B ≠，所以tan B =又0πB <<，所以π3B ∠=.（步骤2） （2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.（步骤3）因为11,cos 2a c B +==，有22113()24b a =-+.又01a <<，于是有2114b <…，即有112b <….（步骤4）17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{n a }的通项公式n a ； （2）令221(2)n n b n a+=+,数列{n b }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n ∈N ,都有564n T <【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系，裂项求和法.【考查方式】利用数列通项公式的求法和数列的求和，裂项求和法求出其前n 项和，通过放缩法证明. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+.（步骤1）于是112,2a S n ==…时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =.（步骤1） （2）证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦.（步骤3） 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (22221111)1151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.（步骤4） 18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （1）求小波参加学校合唱团的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，离散型随机变量分布列和期望.【考查方式】利用组合数的公式、向量数量积运算、古典概型概率等求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有28C 28=种，当0X =时，两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P X ===.（步骤1） （2）两向量数量积X 的所有可能取值为2,1,0,1,2X --=-时,有两种情形;1X =时,有8种情形；1X =-时,有1(2)+(1)01.14147714EX =-⨯-⨯+⨯+⨯=-（步骤2）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面,ABCD E 为BD 的中点,G 为PD 的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ====△≌△,，连接CE 并延长交AD 于F . （1）求证:AD CFG ⊥平面；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角,空间直角坐标系，空间向量及运算. 【考查方式】利用线面垂直的定理求解，通过建系求二面角的平面角的余弦值. 【难易程度】中等 【试题解析】（1）在ABD △中，因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故ππ,23BAD ABE AEB ∠=∠=∠=，（步骤1） 因为DAB DCB △≌△,所以EAB ECB △≌△, 从而有FED FEA ∠=∠，（步骤2）故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .（步骤3）（2）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D,第19题(2)图3(0,0,)2P ,故1333(0),(),(,2222222BC CP CD ==--=- ，， （步骤4）设平面BCP 的法向量111(1,,)y z =n，则111102233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ ，解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12(1,,)33=-n .（步骤5）设平面DCP 的法向量222(1,,)y z =n，则222302330222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（步骤6）即2(1=n .从而平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值为12124cos θ=== n n n n （步骤7）20. (本小题满分13分)如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在,说明理由.第20题图【测量目标】椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用椭圆方程的方法及直线的斜率求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c =. ②（步骤1） ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.（步骤2） （2）方法一:由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，（步骤3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④（步骤4）在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y y k x x ==--.所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 121212232.2()1x x k x x x x +-=--++ ⑤（步骤5）④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++ ， 又312k k =-，所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--，令4x =,求得003(4,)1y M x -，从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,（步骤3）联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---，（步骤4） 则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-，所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---，（步骤5） 故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）21. (本小题满分14分)已知函数1()=(12)2f x a x --,a 为常数且>0a . （1）证明:函数()f x 的图象关于直线1=2x 对称；（2）若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；（3）对于（2）中的12,x x 和a , 设3x 为函数()()ff x 的最大值点,()()()1,,A x f f x()()()()223,,,0.B x f f x C x 记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】利用函数的对称性,解方程,导数的应用及函数单调性求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）证明:因为11()(12),()(12),22f x a x f x a x +=--=- 有11()()22f x f x +=-,（步骤1）所以函数()f x 的图象关于直线12x =对称. （步骤2） （2）当102a <<时,有224,(())4(1),a x f f x a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩1,21.2x x >…所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点. （步骤3）当12a =时，有1,2(()).11,2x x f f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩… 所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…,又当12x …时,()f x x =,故1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…中的所有点都不是二阶周期点.（步骤4）当12a >时，有2222214,41124,42(()).1412(12)4,244144,4a x x a a a x x a f f x a a a a x x a a a a x x a ⎧⎪⎪⎪-<⎪=⎨-⎪-+<⎪⎪-⎪->⎩……… 所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++，（步骤5）又22(0)0,()1212a af f a a==++， 22222244(),()14141414a a a a f f a a a a ≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.（步骤6） 综上所述，所求a 的取值范围为12a >.（步骤7）（3）由（2）得2122224,1414a a x x a a ==++，因为3x 为函数(())f f x 的最大值点，所以314x a =或3414a x a-=.（步骤8）当314x a =时，221()4(14)a S a a -=+.求导得：22112(22()(14)a a S a a ---'=-+，所以当1(2a ∈时，()S a单调递增，当)a ∈+∞时()S a 单调递减；（步骤9）当3414a x a -=时，22861()4(14)a a S a a -+=+，求导得：2221243()2(14)a a S a a +-'=+，因12a>，从而有2221243()02(14)a aS aa+-'=>+，（步骤10）所以当1(,)2a∈+∞时()S a单调递增. （步骤11）。
2013年高考理科数学江西卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i2．(2013江西，理2)函数yln(1－x )的定义域为( )． A ．(0,1) B ． [0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] 3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．244．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－406．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x =⎰，231e d xS x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S1＜S2＜S3B ．S2＜S1＜S3C ．S2＜S3＜S1D ．S3＜S2＜S1 7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S=2*iD ．S ＝2*i ＋48．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．119．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A ．3B ．3-C ．3±D ．10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．第Ⅱ卷注意事项： 第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x＋2x 的最小正周期T 为________．12．(2013江西，理12)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a ＝e1＋3e2，b ＝2e1，则向量a 在b 方向上的射影为________．13．(2013江西，理13)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x ＋ex ，则f ′(1)＝________.14．(2013江西，理14)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． (2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________．四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos AA )cosB ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564.18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝32，连接CE并延长交AD于F.(1)求证：AD⊥平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C：2222=1x ya b+(a>b>0)经过点P31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝1122a x⎛⎫--⎪⎝⎭，a为常数且a>0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线12x=对称；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数f(f(x))的最大值点，A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(x3,0)．记△ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24. 4．答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D. 5．答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C r x 2(5－r )(－2)r x －3r＝5C r (－2)r x10－5r.令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C.6．答案：B解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =，231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B. 7．答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5； 当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C. 8．答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．答案：B解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴2ππ2T ==.12．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos 3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b .13．答案：2解析：令e x＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2.14．答案：6解析：抛物线的准线方程为2p y =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分．15．(2013江西，理15)(1)答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B，又0＜B ＜π，所以π3B =.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n .综上，数列{a n }的通项a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n nn b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦.18．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X＝－1时，有10种情形． 所以X 的分布列为：EX ＝152(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA .又PA ⊥平面ABCD ， 所以CF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,,022BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,22330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得11,32,3y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得22 2.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(1，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cos θ＝21124||||||4⋅==n n n n . 20．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，①依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--.注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--.所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1，又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3. 故存在常数λ＝2符合题意．(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--，令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-). 联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线PA 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-， 所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3， 故存在常数λ＝2符合题意．21． (1)证明：因为12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称． (2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点． 当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期点． 当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214a x a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得： S ′(a )＝221122214a a a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛+ ⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)， 因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0， 所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。
2013届高考北师大版数学总复习课件：6.3等比数列
[点评] 解有关等比数列的前 n 项和问题时，一定要注意对 公比 q 进行分类讨论，否则会出现漏解现象．
7．(2011· 全国大纲卷文， 17)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a2＝6,6a1＋a3＝30，求 an 和 Sn.
[答案] A
)
B．－2 D．－3
[解析] 由题意知 q≠1， a11－q3 a11－q6 ∴ S 3＝ ，S6＝ ， 1－q 1－ q S6 ∴ ＝1＋q3＝9，∴q＝2. S3
3． (教材改编题)等比数列{an}的各项均为正数， 且 a5a6＋a4a7 ＋a3a8＝27，则 log3a1＋log3a2＋log3a3＋„＋log3a10＝( A．12 C． 8
5 ． (2011· 广东文， 11) 已知 {an} 是递增等比数列， a2＝ 2 ， a4 －a3＝4，则此数列的公比 q＝________.
[答案] 2
[解析] 本题主要考查等比数列的基本公式，利用等比数列 的通项公式可解得． a4－a3＝a2q2－a2q＝4， 因为 a2＝2，所以 q2－q－2＝0，解得 q＝－1，或 q＝2. 因为 an 为递增数列，所以 q＝2.
知识梳理 1．等比数列的定义 如果一个数列从第__ 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数 ___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比
(q≠0)表示． 数列的公比 ____，通常用字母q ______
2．等比数列的通项公式
n－1 a · q 1 设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an＝_____. 3．等比中项
a11－qn a1qn－1 1－q ＝ na1 ； 当 q＝1 时， Sn＝____ 当 q≠1 时， Sn＝_________ q－ 1
2013年高考理科数学江西卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(江西卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，理1)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )．A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 答案：C解析：由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i.故选C.2．(2013江西，理2)函数y －x )的定义域为( )．A ．(0,1)B ． [0,1)C ．(0,1]D ．[0,1] 答案：B解析：要使函数有意义，需0,10,x x ≥⎧⎨->⎩解得0≤x ＜1，即所求定义域为[0,1)．故选B.3．(2013江西，理3)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )．A ．－24B ．0C ．12D ．24 答案：A解析：由题意得：(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.4．(2013江西，理4)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5A ．08 答案：D解析：选出的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.5．(2013江西，理5)5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：展开式的通项为T r ＋1＝5C rx 2(5－r )(－2)r x －3r ＝5C r(－2)r x 10－5r .令10－5r ＝0，得r ＝2，所以T 2＋1＝25C (－2)2＝40.故选C. 6．(2013江西，理6)若2211d S x x =⎰，2211d S x x=⎰，231e d x S x =⎰，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )．A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：2211d S x x =⎰＝23117|33x =，2211d S x x=⎰＝21ln |ln 2x =， 231e d x S x =⎰＝2217e |e e=(e 1)>e>3x =--，所以S 2＜S 1＜S 3，故选B.7．(2013江西，理7)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )．A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S =2*iD ．S ＝2*i ＋4 答案：C解析：当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5；当i ＝3时，S ＝2×3＋4＝10不满足S ＜10，排除选项D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9；当i ＝5时，选项A ，B 中的S 满足S ＜10，继续循环，选项C 中的S ＝10不满足S ＜10，退出循环，输出i ＝5，故选C.8．(2013江西，理8)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )．A ．8B ．9C ．10D ．11 答案：A解析：由CE 与AB 共面，且与正方体的上底面平行，则与CE 相交的平面个数m ＝4.作FO ⊥底面CED ，一定有面EOF 平行于正方体的左、右侧面，即FE 平行于正方体的左、右侧面，所以n ＝4，m ＋n ＝8.故选A.9．(2013江西，理9)过点，0)引直线l 与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )．A B ． C ．± D ．解析：曲线y若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝(k x ，则点O 到l 的距离d =又S △AOB ＝12|AB |·d ＝22111222d d d -+⨯=≤=，当且仅当1－d 2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值．所以222112k k =+，∴213k =，∴k =.故选B.10．(2013江西，理10)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0＜x ＜π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )．答案：D第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．(2013江西，理11)函数y ＝sin 2x ＋2x 的最小正周期T 为________．答案：π解析：∵y ＝sin 2x －cos 2x )π=2sin 23x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴2ππ2T ==.12．(2013江西，理12)设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．答案：52解析：∵a ·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝212e ＋6e 1·e 2＝2＋6×12×πcos3＝5，∴a 在b 上的射影为5||2⋅=a b b . 13．(2013江西，理13)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案：2解析：令e x ＝t ，则x ＝ln t ，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝11t+，∴f ′(1)＝2. 14．(2013江西，理14)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线22=133x y -相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案：6解析：抛物线的准线方程为2py =-，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝234p +，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点得||2p AB =，即2234344p p ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭，所以p ＝6.三、选做题：请在下列两题中任选一题作答．若两题都做，则按第一题评阅计分．本题共5分． 15．(2013江西，理15)(1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为2,x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．答案：ρcos 2θ－sin θ＝0解析：由参数方程2,x t y t =⎧⎨=⎩得曲线在直角坐标系下的方程为y ＝x 2.由公式cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式211x --≤的解集为________． 答案：[0,4]解析：原不等式等价于－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.四、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，理16)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C＋(cos A sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B sin A cos B ＝0，即有sin A sin B A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin BB ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B， 又0＜B ＜π，所以π3B =. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1.17．(2013江西，理17)(本小题满分12分)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564. (1)解：由2n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，221(2)n n n b n a +=+，则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435112n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦ 22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦. 18．(2013江西，理18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有28C ＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形， 所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝82287=. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：EX ＝15(2)+(1)+0+114147714-⨯-⨯⨯⨯=-.19．(2013江西，理19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，连接CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．解：(1)在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3， 因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ， 从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3， 所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以CF⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C 3,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D (00)，P 30,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故1,22BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，33,222CP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BCP 的法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，则11110,2330,222y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得112,3y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即n 1＝21,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DCP 的法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，则22230,2330,222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩解得222.y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩即n 2＝(12)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为cosθ＝21124||||||4⋅==n n n n .20．(2013江西，理20)(本小题满分13分)如图，椭圆C ：2222=1x y a b +(a >b >0)经过点P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭，离心率e＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P 31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，2219=14a b +，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为22=143x y +. (2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝22843k k +，x 1x 2＝224343k k (-)+，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )．从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==--. 注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有121211y y k x x ==--. 所以k 1＋k 2＝121212121233311221111211y y y y x x x x x x --⎛⎫+=+-+ ⎪------⎝⎭ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⋅-++.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝222222823432438214343k k k k k k k -+-⋅(-)-+++＝2k －1， 又k 3＝12k -，所以k 1＋k 2＝2k 3.(2)方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：00(1)1y y x x =--， 令x ＝4，求得M 0034,1y x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 从而直线PM 的斜率为00302121y x k x -+=(-).联立00221,11,43y y x x x y ⎧=(-)⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩得A 0000583,2525x y x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，则直线P A 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为：020232(1)y k x -=-，所以k 1＋k 2＝00000000225232121211y x y y x x x x -+--++=(-)(-)-＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1122a x ⎛⎫--⎪⎝⎭，a 为常数且a >0. (1)证明：函数f (x )的图像关于直线12x =对称； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性．(1)证明：因为12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)，12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a (1－2|x |)， 有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数f (x )的图像关于直线12x =对称．(2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2214,,2141,.2a x x a x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪(-)>⎪⎩所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当12a =时，有f (f (x ))＝1,,211,.2x x x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭中的所有点都不是二阶周期当12a >时，有f (f (x ))＝2222214,41124,,421412(12)4,,244144.4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ⎧≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎨-⎪-+<≤⎪⎪-⎪>⎩，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22221414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，2222441414a a f a a ⎛⎫≠ ⎪++⎝⎭，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为12a >. (3)由(2)得12214ax a=+，222414a x a =+， 因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或3414a x a-=. 当314x a=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得：S ′(a )＝22214a a a ⎛ ⎝⎭⎝⎭-(+)，所以当a∈11,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭时，S (a )单调递增，当a∈12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭时S (a )单调递减； 当3414a x a-=时，S (a )＝22861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)，因12a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0，所以当a ∈1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时S (a )单调递增．。
高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和试题 理 北师大版-北师大版高三全册数
第六章 数列 6.3 等比数列及其前n 项和试题 理 北师大版1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝b a，G 2＝ab ，G ＝±ab .我们称G 为a ，b 的等比中项．4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n. 【知识拓展】等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )1．(教材改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.2．(2016·某某一模)若等比数列{a n }的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( ) A.32B.94 C ．1 D ．2 答案 D解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，因为前4项的和为9，积为814， 所以a 11－q 41－q ＝9，且a 41q 1＋2＋3＝a 41q 6＝814，即a 21q 3＝92，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 11－1q 41－1q＝a 11－q 41－q ·1a 21q3＝2，故选D.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q ·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12D.18(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝________.答案 (1)C (2)2n－1解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24， 又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝42n ，∴S n ＝2×[1－12n]1－12＝4(1－12n )，∴S n a n＝41－12n42n ＝2n－1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)(2015·某某)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 (1)B (2)3n －1解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q 51－q＝41－1251－12＝314. (2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列通项a n ＝a 1qn －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2n ≥2， ②由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n－1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)．又a 1＋12＝32，所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．所以a n ＋12＝3n2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.题型三 等比数列性质的应用例3 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5， 所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1.由a 11－q 61－q ÷a 11－q 31－q ＝12，得q 3＝－12，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B ．－18 C.578D.558 答案 (1)C(2)A解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18.13．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规X 解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分](2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n2n＋1，n 为奇数，2＋12n2n－1，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.[12分]1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8－4 2 答案 C解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.2．(2016·某某模拟)在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A.32B.23 C ．－23D.23或－23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23.又a 1<0，因此q ＝－23.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4.(2015·某某)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D 解析 由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12， 依题意有a 11－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96， 即第二天走了96里，故选B.6．(2016·某某质检)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32 答案 B解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝π33. log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 3π33＝7π3， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧ 3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ②由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N ＋)，则通项a n ＝________. 答案 12n 解析 ∵a n ＋S n ＝1，①∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， 则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.11．已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．(1)求a n 及S n ；(2)设{b n }是首项为2的等比数列，公比q 满足q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解 (1)因为{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. 故S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n a 1＋a n2＝n 1＋2n －12＝n 2. (2)由(1)得a 4＝7，S 4＝16.因为q 2－(a 4＋1)q ＋S 4＝0，即q 2－8q ＋16＝0，所以(q －4)2＝0，从而q ＝4.又因为b 1＝2，{b n }是公比q ＝4的等比数列，所以b n ＝b 1q n －1＝2·4n －1＝22n －1.从而{b n }的前n 项和T n ＝b 11－q n 1－q ＝23(4n －1)． 12．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1， n ∈N ＋.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n .。
北师大版高考数学一轮复习统考第6章数列高考大题冲关系列3高考中数列问题的热点题型课件
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解
[冲关策略] 解决由等差数列、等比数列组成的综合问题，首先要根据 两数列的概念，设出相应的基本量，然后充分使用通项公式、求和公式、 数列的性质等确定基本量．解综合题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉， 揭示问题的内在联系和隐含条件．
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变式训练 1 (2019·湖南 4 月联考)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn， 且 S3＝9，a1，a3，a7 成等比数列．
第六章 数列 高考大题冲关系列(3) 高考中数列问
题的热点题型
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对应学生用书 P100 命题动向：从近五年高考试题分析来看，等差、 等比数列是重要的数列类型，高考考查的主要知识点有：等差、等比数列 的概念、性质、前 n 项和公式．由于数列的渗透力很强，它和函数、方程、 向量、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的 力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深 的理解．
－(n＋1)·2n＋2＝－n·2n＋2，
∴Tn＝n·2n＋2，易知数列{Tn}是递增数列，又 T5＝640，T6＝1536，∴使
Tn>1000 成立的 n 的最小值为 6.
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解
题型2 数列的通项与求和
例 2 (2019·广州调研)已知数列{an}满足 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝n4 (n∈N*)．
∵a2＋2，a4，a6－2 顺次成等比数列，
∴a24＝(a2＋2)(a6－2)，
∴(a3＋d)2＝(a3－d＋2)(a3＋3d－最新2)P，PT
解
又 a3＝3，∴(3＋d)2＝(5－d)(1＋3d)， 化简得 d2－2d＋1＝0，解得 d＝1，
∴an＝a3＋(n－3)d＝3＋(n－3)×1＝n. (2)由(1)得 bn＝－a1nanna＋21n＋1＝(－1)nn2nn＋＋11 ＝(－1)nn1＋n＋1 1， ∴S2n＝b1＋b2＋b3＋…＋b2n ＝－1＋12＋12＋31－13＋14＋…＋21n＋2n1＋1＝－1＋2n1＋1＝2－n＋2n1.
(江西版)2013年高考数学总复习 第三章不等式单元检测 理 北师大版(含详解)
2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第三章不等式单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ，b 为非零实数且a ＜b ，则下列命题成立的是( )．A ．a 2＜b 2B ．ab 2＞a 2bC ．1ab 2＜1a 2bD ．b a ＜a b2．已知集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －1>0，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则“x ∈Q ”是“x ∈P ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．关于x 的不等式2x －1＞a (x －2)的解集为R ，则a 的取值范围是( )．A ．(2，＋∞)B ．{2}C ．(－∞，2)D ．4．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1，若a 2＝b 2，a 2 010＝b 2 010，则a 1 006与b 1 006的大小关系是( )．A ．a 1 006＝b 1 006B ．a 1 006＞b 1 006C ．a 1 006＜b 1 006D ．无法判断5．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( )．A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．[3，＋∞)6．函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域是集合M ，函数g (x )＝x －1的定义域是集合P ，则P ∪M 等于( )．A ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－1，＋∞)7．已知a ，b 均为正数且a ＋b ＝1，则使1a ＋4b≥c 恒成立的c 的取值范围是( )．A ．c ＞1B ．c ≥0C ．c ≤9D ．c ＜－18．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )．A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)9．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )．A ．－5B ．1C ．2D ．310．已知x ，y ，z ＞0，则xy ＋yzx 2＋y 2＋z2的最大值为( )．A ．32 B ．22 C ．23 D ．33二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤3表示的平面区域是一个三角形，则a 的范围是__________．12．若任意a ∈[1,3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是__________．13．若x ＞1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为__________．14．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2≥0，x ＋2y ＋1≤0，y ≥0，则z ＝22(1)(2)x y ＋＋－的最小值是__________．15．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)设a ，b ，c 都大于0，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.17．(12分)已知不等式kx 2－2x ＋6k ＜0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为，求k 的取值范围．18．(12分)(1)已知a ，b 是正常数，且a ≠b ，x ＞0，y ＞0，求证：a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，并指出等号成立的条件．(2)利用(1)的结论求函数f (x )＝2x ＋91－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值，并指出取得最小值时x的值．19．(12分)已知不等式x 2＋px ＋1＞2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的范围； (2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的范围．20．(13分)某渔业公司年初用98万元购买一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？21．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b＞0.(1)证明：函数f (x )在[－1,1]上单调递增；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2pm ＋1对所有x ∈[－1,1]，p ∈[－1,1](p 是常数)恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题1．C 解析：若a ＜b ＜0，可得a 2＞b 2，知A 不成立．若⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a <b ，可得a 2b ＞ab 2，知B不成立．若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，有b a ＞ab，知D 不成立．2．D 解析：由题意得P ＝{x |x ＜－1，或x ＞1}，Q ＝{x |x ≤－2，或x ≥1}，集合P ，Q 之间不存在包含关系，所以“x ∈Q ”是“x ∈P ”的既不充分也不必要条件．3．B 解析：原不等式可化为(a －2)x ＜2a －1， 当a ＝2时，2a －1＝3，不等式化为0＜3恒成立． ∵不等式的解集为R ，∴a ＝2.4．B 解析：a 1 006＝a 2＋a 2 0102＞a 2a 2 010＝b 2b 2 010＝b 1 006.故选B.5．A 解析：平面区域D 如图阴影部分所示．要使指数函数y ＝a x的图像上存在区域D 上的点，∴1＜a ≤3.6．A 解析：M ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |x ＞3，或x ＜－1}，P ＝{x |x ≥1}， ∴P ∪M ＝{x |x ≥1，或x ＜－1}．7．C 解析：关键是求1a ＋4b的最小值，∵1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ×(a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋24＝9，∴c ≤9.8．D 解析：由已知可得直线AB 的方程为y ＝4tx －1，联立直线与抛物线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4t x －1，x 2＝12y ，消元整理，得2x 2－4tx ＋1＝0，由于直线与抛物线无公共点，即方程2x2－4t x ＋1＝0无解，故有248<0t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得t ＞2或t ＜－ 2. 9．D 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＝1，得A (1，a ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得B (1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，x ＋y －1＝0，得C (0,1)．∵△ABC 的面积为2，且a ＞－1，∴S △ABC ＝12|a ＋1|＝2.∴a ＝3.10．B 解析：方法一：∵y ∈R ＋，∴u ＝xy ＋yzx 2＋y 2＋z 2＝221x z y y x z y y +⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可化为2x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2z y ⎛⎫ ⎪⎝⎭－⎝⎛⎭⎪⎫x y ＋z y 1u＋1＝0，配方得212x y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋212z y u ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12u 2－1.由上式可得12u 2－1≥0，即－22≤u ≤22.∵x ，y ，z ∈R ＋，由已知，显然有u ＞0，∴0＜u ≤22.∴u max ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x y ＝z y ＝22时，u 取得最大值. 方法二：由已知，得u ＝(x ＋z )yx 2＋y 2＋z 2.∵x ，y ，z ∈R ＋，且22x z +⎛⎫ ⎪⎝⎭≤x 2＋z22，∴u ≤2(x 2＋z 2)·y (x 2＋z 2)＋y 2≤2y x 2＋z 22y x 2＋z 2＝22，当且仅当x ＝z 且x 2＋z 2＝y 2，即x ＝z ＝22y 时取等号．∴u max＝22. 二、填空题 11．[5,8) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝0的交点为(0,5)，⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5＝0，x ＝3的交点为(3,8)，∴5≤a ＜8.12．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：设f (a )＝a (x 2＋x )－2x －2，任意f (a )在a ∈[1,3]上满足f (a )＞0.∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝x 2－x －2>0，f (3)＝3x 2＋x －2>0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，x >23或x <－1.综上，x ＞2或x ＜－1.13．8 解析：当x ＞1时，y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x ＋1x ＋16x ＋1x≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ·16x ＋1x＝216＝8，当且仅当x ＝2＋3时，等号成立．14．165解析：作出约束条件的可行域如图，z ＝(x ＋1)2＋(y －2)2，可看作可行域内的点到定点A (－1,2)的距离的平方，其最小值为点A (－1,2)到直线x ＋2y ＋1＝0的距离的平方，∴z min ＝2⎛⎫＝165. 15．f (x )＝(22－2)x ＋1＋1 解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1(a ＞0且a ≠1)的图像恒过点(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b ＝22a 时等号成立，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1，得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 三、解答题16．证明：原不等式可化为12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b， ∵a ，b ∈R ＋，∴12a ＋12b ≥212ab ＝1ab ≥2a ＋b .同理，12b ＋12c ≥2b ＋c ，12c ＋12a ≥2c ＋a .∴12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋12c ＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＋12a ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ， 即12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 17．解：(1)∵不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}．∴k ＜0且x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根．∴x 1x 2＝6，x 1＋x 2＝2k＝－5.∴k ＝－25.(2)由于k ≠0，要使不等式解集为，只需⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧k >0，1－6k 2≤0，解得k ≥66， 即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.18．(1)证明：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 2y (x ＋y )＝a 2＋b 2＋a 2y x ＋b 2x y ≥a 2＋b 2＋2a 2y x ·b 2x y＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＞0，∴a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a 2y x ＝b 2x y ，即a x ＝by时，上式等号成立．(2)解：由(1)得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋1－2x＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时，上式取得最小值，即f (x )min ＝25.19．解：(1)原不等式为(x －1)p ＋(x －1)2＞0，令f (p )＝(x －1)p ＋(x －1)2， 它是关于p 的一次函数，定义域为[－2,2]，由一次函数的单调性知⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(x －1)(x －3)>0，f (2)＝(x －1)(x ＋1)>0.解得x ＜－1或x ＞3.即x 的取值范围是{x |x ＜－1，或x ＞3}．(2)不等式可化为(x －1)p ＞－x 2＋2x －1， ∵2≤x ≤4，∴x －1＞0.∴p ＞－x 2＋2x －1x －1＝1－x .对x ∈[2,4]恒成立， 所以p ＞(1－x )max .当2≤x ≤4时，(1－x )max ＝－1，于是p ＞－1. 故p 的范围是{p |p ＞－1}．20．解：由题设知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列． 设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.(1)由f (n )＞0⇔n 2－20n ＋49＜0⇒10－51＜n ＜10＋51. 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利．(2)①年平均收入为f (n )n＝40－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n ≤40－2×14＝12(万元)．当且仅当n ＝7时，年平均获利最大．总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f (n )＝－2(n －10)2＋102.∵当n ＝10时，f (n )max ＝102(万元)． 总收益为102＋8＝110(万元)，但7＜10. ∴第一种方案更合算．21．(1)证明：设－1≤x 1＜x 2≤1， ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)． 又x 1＜x 2，∴x 2＋(－x 1)＝x 2－x 1＞0，由题设有f (x 2)＋f (－x 1)x 2＋(－x 1)＞0，∴f (x 2)＋f (－x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)． ∴函数f (x )在[－1,1]上是增函数．(2)解：由(1)知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1⇔⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，x ≥2或x ≤0，x <－1或1<x <32⇔－32≤x ＜－1.∴不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <－1. (3)解：由(1)知对于x ∈[－1,1]，f (x )max ＝f (1)＝1，∴f (x )≤m 2－2pm ＋1对任意x ∈[－1,1]恒成立，只需1≤m 2－2pm ＋1对p ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2pm ≥0对p ∈[－1,1]恒成立．设g (p )＝m 2－2mp ，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≥0，g (1)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ≥0，m 2－2m ≥0，解得m ≤－2或m ≥2或m ＝0. ∴m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)∪{0}．。
2013年高考理科数学江西卷有答案
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷4至6页,满分150分,考试时间120分钟. 考生注意：1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1,2{},i M z =,i 为虚数单位,4{}3,N =,}4{MN =,则复数z = ( )A .2i -B .2iC .4i -D .4i2.函数(1)y x －=的定义域为( )A .(0,1)B .[0,1)C .(0,1]D .[0,1]3.等比数列x ,33+x ,66+x ,…的第四项等于 ( )A .24-B .0C .12D .244.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )A .08B .07C .02D .015.2532()x x-展开式中的常数项为( )A .80B .80-C .40D .40-6.若2211d S x x =⎰,2211d S x x=⎰,231e d x S x =⎰,则S 1,S 2,S 3的大小关系为( )A .123S S S <<B .213S S S <<C .231S S S <<D .321S S S <<7.阅读如下程序框图,如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A .=22S i -*B .=21S i -*C .=2Si *D .=2S i +4*8.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ∥,正方体的六个面所在的平面与直线CE ,EF 相交的平面个数分别记为m ,n ,那么=+m n( )A.8 B .9 C .10D .119.过点)0引直线l与曲线y A ,B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )A B . C . D .10.如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ,2l之间,1l l∥,l 与半圆相交于F ,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E ,D 两点.设弧FG 的长为()0πx x <<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是( )A .B .C .D .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.函数2sin 2i =n y x x +的最小正周期T 为 . 12.设1e ,2e 为单位向量,且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 .13.设函数()f x 在(0),+∞内可导,且=(e )e x x f x +,则)=(1f ' .14.抛物线20=2()x py p >的焦点为F ,其准线与双曲线22=133x y -相交于A ,B 两点,若ABF △为等边三角形,则=p .三、选做题：请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分.本题共5分.15（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为 .15（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式|2|11x --≤的解集为 . 四、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos cos ()cos C A A B +0=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若=1a c +,求b 的取值范围.17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222()10()=n n n n S S n n -+-+-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令221(2)n nn b n a +=+,数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*n N ∈,都有564n T <.18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为：以O 为起点,再从1A ,2A ,3A ,4A ,5A ,6A ,7A ,8A （如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若=0X 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队.（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD —中,PA ⊥平面ABCD ,E 为BD 的中点,G 为PD 的中点,DAB △DCB ≌△,===1EA EB AB ,32=PA ,连接CE 并延长交AD 于F .（Ⅰ）求证：AD ⊥平面CFG ；（Ⅱ）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.20.（本小题满分13分）如图,椭圆2222=1(0)x y a C b a b :+>>经过点()31,2P ,离心率12e =,直线l 的方程为4x =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ）,设直线AB 与直线l 相交于点M ,记PA ,PB ,PM 的斜率分别为1k ,2k ,3k .问：是否存在常数λ,使得123=k k k λ+？若存在,求λ的值；若不存在,说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数1(1|)(|2)2f x x a --=,a 为常数且0a >. （Ⅰ）证明：函数()f x 的图像关于直线12x =对称； （Ⅱ）若0x 满足00()=()f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点.如果()f x 有两个二阶周期点1x ,2x ,试确定a 的取值范围；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的1x ,2x 和a ,设3x 为函数(())f f x 的最大值点,11()(())A x f f x ，,22()(())B x f f x ，,3(0),C x .记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）2535()522()()r r rrrrrxx C x－－－－＝－，令1050r -=的常数项为25(2)41040rC -⨯=⨯=，故选C .5225()52(r r x－－展开式中的常数项.322111k k -=+2621k -+D=线段的下方，对照选项，D 正确，故选D .s3x，2ω=，∴2【解析】1e 、2e 为单位向量，且e 和e 的夹角31211e e ∴=⨯⨯123a e e =+，12b e =，2121112(3)(2)26235a b e e e e e e ∴=+=+=+=.a ∴在b 上的射影为52||a b b =，故答案为52. 【提示】根据题意求得12e e 的值，从而求得a b 的值，再根据a 在b 上的射影为||a bb ，运c o s ，sin 0A ≠）1a c +=1cos B =，cos ac B ，即22a c ac +-，01a <<2114b ≤<，正项数列22416n =⎢⎣21111n n ++-+(-)(+)1⎤⎛<22416n =⎢⎣【考点】数列的求和，等差数列的通项公式）在DAB △≌△EDA ∴∠=又PAD △中，PA ⊥平面，AD ⊂平面又EF 、FG AD ∴⊥平面（2）以点x 轴、y 轴、1,BC ⎛∴=，3CP ⎛=- ，3CD ⎛=- 的法向量(1,,m y =1232m BC m CP ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪2，可得321,,33m ⎛⎫- ⎪ ⎪=⎭， 的法向量(1,,n y z =3232n CD n CP ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪2，(13,2n =11,||||411349m n m n m n ⨯+<>=++与平面DCP 的夹角的余弦值等于2,4m n <>=ππ、P A 分别为x 轴、y 轴、的坐标，从而得到BC 、CP 、CD 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出1,3m ⎛=- ⎪ ⎪⎭和(1,3,2)n =分别为平面利用空间向量的夹角公式算出m 、n 夹角的余弦，即可得到平面【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法1212132(x x x x x +-+④代入⑤得k k ＋0003⎛⎫19）证明：12f x ⎛+ ⎝12x a ⎫-=⎪⎭2x 为函数当314x a=12a >，从而有∴当1a ⎛∈ ⎝。
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2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第六章数列单元检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝24，则a 7为( )． A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．若等比数列{a n }的首项为19，且a 4＝21⎰(2x )d x ，则数列{a n }的公比是( )．A ．3B ．13C ．27D ．1273．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N ＋)的直线的斜率是( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 4．设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误的是( )． A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值5．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )．A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n ) D ．323(1－2－n )6．数列{a n }为等比数列，且满足a 2 007＋a 2 010＋a 2 016＝2，a 2 010＋a 2 013＋a 2 019＝6，则a 2 007＋a 2 010＋a 2 013＋a 2 016＋a 2 019等于( )．A ．9813B ．375C ．24231D ．240417．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( )．A ．1＋32B ．1＋ 3C ．2＋32D ．2＋ 38．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )．A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年9．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )．A ．n 2－nB ．n 2＋n ＋2C ．n 2＋nD ．n 2－n ＋210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤0，f (x －1)＋1，x >0，把函数g (x )＝f (x )－x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为( )．A ．a n ＝n －12(n ∈N ＋) B ．a n ＝n －1(n ∈N ＋)C ．a n ＝n (n －1)(n ∈N ＋)D ．a n ＝2n－2(n ∈N ＋) 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知数列{a n }为等比数列，a 2 007，a 2 011为方程7x 2－18x ＋14＝0的两根，则a 2 009＝__________.12．若数列{a n }满足关系a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，该数列的通项公式为__________．13．已知公差不为零的等差数列{a n }中，M ＝a n a n ＋3，N ＝a n ＋1a n ＋2，则M 与N 的大小关系是__________．14．已知两个数列{a n }，{b n }，满足b n ＝3na n ，且数列{b n }的前n 项和为S n ＝3n －2，则数列{a n }的通项公式为__________．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10，x ≤6，a x －7，x >6，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且{a n }是递减数列，则实数a 的取值范围是______．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)设等比数列{a n }的公比q ＜1，其前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求数列{a n }的通项公式．17．(12分)已知a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋n ，b n ＋1＝a n ＋(－1)n，n ∈N ＋. (1)求a 3，a 5的值；(2)求数列{a n }的通项公式．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－13，a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，求数列{b n }的通项公式； (2)当n 为何值时，a n 的值最小？19．(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项的和S n 满足S 2n ＝a n (S n －1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)设b n ＝log 2S nS n ＋2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足T n ≥6的最小正整数n . 20．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足(4－p )S n ＋3pa n ＝2p ＋4，其中p 为常数，p ＜－2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的公比q ＝f (p )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝43f (b n －1)(n ≥2，n ∈N ＋)，求证：b 12＋b 22＋…＋b n2＜2n ＋1－2.21．(14分)已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n－1(n ∈N ＋，n ≥2)，且a 4＝81. (1)求数列{a n }的前三项；(2)是否存在一个实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；(3)求数列{a n }的前n 项和S n .参考答案一、选择题1．A 解析：∵a 1＋a 2＋a 12＋a 13＝4a 7＝24，∴a 7＝6. 2．A 解析：a 4＝221|x ＝22－12＝3，由a 4＝a 1²q 3，得q ＝3.3．A 解析：k ＝a n ＋2－a n2＝d ，由S 2＝10，S 5＝55解得d ＝4.4．C 解析：∵S 5＜S 6，∴a 6＞0. ∵S 6＝S 7，∴a 7＝0.又S 7＞S 8，∴a 8＜0.∵S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)＝2a 8＜0， ∴S 9＜S 5，故选C.5．C 解析：由a 2＝2，a 5＝14，得a 1＝4，q ＝12.则a n ＝1142n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝23－n，a n a n ＋1＝25－2n＝13124n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.所以a 1a 2，a 2a 3，…，a n a n ＋1是以14为公比，以23为首项的等比数列，故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝323(1－4－n)．6．C 解析：易得a 2 007(1＋q 3＋q 9)＝2，a 2 010(1＋q 3＋q 9)＝6，两式相除，得到a 2 007a 2 010＝1q 3＝13，得q 3＝3，将其代入a 2 010(1＋q 3＋q 9)＝6，得a 2 010＝631，故所求为(a 2 007＋a 2010＋a 2 016)＋(a 2 010＋a 2 013＋a 2 019)－a 2 010＝2＋6－a 2 010＝24231.7．B 解析：由于a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ⇒a 2＋2ac ＋c 2＝4b 2.①由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ．②由于△ABC 的面积为32，∠B ＝30°，则有12ac sin B ＝32⇒2ac ＝12.③综合①②③可得，b 2＋12cos 30°＋12＝4b 2⇒b 2＝23＋4＝(3＋1)2⇒b ＝3＋1.8．C 解析：由题意可知第一年的产量为a 1＝12³1³2³3＝3吨；以后第n (n ＝2,3，…)年的产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12(n －1)²n ²(2n －1)＝3n 2(吨)．令3n 2≤150，∴1≤n ≤5 2.又∵n ∈N ＋，∴1≤n ≤7，即生产期限最长为7年．9．D 解析：因为前n －1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(n －1)n 2项，所以第n 组的首项为数列2,4,6，…的第(n －1)n 2＋1项，等于2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)n 2＋1－1²2＝n 2－n ＋2.10．B 解析：在坐标系下画出函数y ＝2x －1(x ≤0)的图像(该函数的图像可由y ＝2x(x ≤0)的图像向下平移一个单位长度得到)，再将y ＝2x－1在x ∈(－1,0]时的图像向右平移k (k ∈N ＋)个单位长度后，同时向上平移k (k ∈N ＋)个单位长度即可得到f (x )(x ＞0)的图像，该部分图像与函数y ＝2x－1(x ≤0)的图像共同组成函数f (x )的图像，结合图像可知，函数f (x )的图像与直线y ＝x 的交点横坐标依次是0,1,2,3,4，…，即g (x )＝f (x )－x 的零点由小到大依次排列所得到的数列是0,1,2,3,4，…，由此可知a n ＝n －1，选B.二、填空题11． 2 解析：由韦达定理得，a 2 007＋a 2 011＝187＞0，a 2 007²a 2 011＝2＞0，所以两根都为正．而22 009a ＝a 2 007²a 2 011＝2，a 2 009＝±2，而a 2 009＝a 2 007q 2＞0，所以a 2 009＝ 2.12．a n ＝3n－1 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2，两边加上1得， a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴{a n ＋1}是以a 1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，∴a n ＋1＝3²3n －1＝3n ，∴a n ＝3n－1.13．M ＜N 解析：设{a n }的公差为d ，则d ≠0. M －N ＝a n (a n ＋3d )－[(a n ＋d )(a n ＋2d )] ＝a 2n ＋3da n －a 2n －3da n －2d 2＝－2d 2＜0，∴M ＜N . 14．a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13，n ＝1，13n －1，n ≥2解析：由题意可知3a 1＋32a 2＋ (3)a n ＝3n －2，①当n ＝1时，a 1＝13；当n ≥2时，3a 1＋32a 2＋…＋3n －1a n －1＝3(n －1)－2，②①－②，得3na n ＝3，a n ＝13n －1，此时，令n ＝1，有a 1＝1不适合a n ＝13n －1.故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧13，n ＝1，13n －1，n ≥2.15．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56 解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，6(1－3a )＋10>a 7－7，由此解得13＜a ＜56.因此，实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，56.三、解答题16．解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q＝5³a 1(1－q 2)1－q .①②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)，即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q ＜1，所以q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2³(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12³(－2)n －1.17．解：∵b n ＋1＝a n ＋(－1)n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －1＋(－1)n －1，代入a n ＋1＝b n ＋n ，得a n ＋1＝a n －1＋(－1)n －1＋n ， (1)a 3＝a 1－1＋2＝2，a 5＝a 3－1＋4＝5.(2)由a n ＋1＝a n －1＋(－1)n －1＋n (n ≥2)知a 3＝a 1＋1，a 5＝a 3＋3，…，a 2n －1＝a 2n －3＋(2n －3)，∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)(1＋2n －3)2＝n 2－2n ＋2(n ≥2)，易知a 1＝1也满足上式，同理a 4＝a 2＋4，a 6＝a 4＋6，…，a 2n ＝a 2n －2＋2n ，∴a 2n ＝a 2＋(n －1)(4＋2n )2＝n 2＋n (n ≥2)，易知a 2＝2也满足上式．故a 2n －1＝n 2－2n ＋2(n ≥1)，a 2n ＝n 2＋n (n ≥1)． 18．解：(1)由a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2n －6， 得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2n －6， 即b n ＋1－b n ＝2n －6.b 1＝a 2－a 1＝－14.当n ≥2时，b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝－14＋(2³1－6)＋(2³2－6)＋…＋[2(n －1)－6]＝－14＋2³n (n －1)2－6(n －1)＝n 2－7n －8.经验证，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2－7n －8.(2)由(1)可知，a n ＋1－a n ＝n 2－7n －8＝(n ＋1)(n －8)． 当n ＜8时，a n ＋1－a n ＜0，a n ＋1＜a n ， 即a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 8；当n ＝8时，a 9－a 8＝0，a 9＝a 8； 当n ＞8时，a n ＋1－a n ＞0，a n ＋1＞a n ， 即a 9＜a 10＜a 11＜….∴当n ＝8或n ＝9时，a n 的值最小． 19．(1)证明：∵2n S ＝a n (S n －1)， ∴2n S ＝(S n －S n －1)(S n －1)(n ≥2)． ∴S n S n －1＝S n －1－S n ，即1S n －1S n －1＝1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)解：由(1)知S n ＝1n，∴b n ＝log 2n ＋2n. ∴T n ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫31³42³53³64³…³n ＋2n＝log 2(n ＋1)(n ＋2)2≥6.∴(n ＋2)(n ＋1)≥128.∵n ∈N ＋，∴n ≥10. ∴满足T n ≥6的最小正整数为10.20．解：(1)当n ＝1时，由(4－p )a 1＋3pa 1＝2p ＋4，得 (2p ＋4)a 1＝2p ＋4.∵p ＜－2，∴2p ＋4≠0，∴a 1＝1， 又由(4－p )S n ＋3pa n ＝2p ＋4得，(4－p )S n －1＋3pa n －1＝2p ＋4(n ≥2)， 两式相减得(4－p )a n ＋3p (a n －a n －1)＝0， 即(2p ＋4)a n ＝3pa n －1， 故a n a n －1＝3p 4＋2p(n ≥2)， ∴数列{a n }是以1为首项，3p4＋2p为公比的等比数列，∴a n ＝1342n p p -⎛⎫ ⎪+⎝⎭.(2)由(1)得f (p )＝3p4＋2p ，b 1＝a 1＝1，∴n ≥2时，b n ＝43f (b n －1)＝43³3b n －14＋2b n －1＝2b n －12＋b n －1，∴1b n ＝2＋b n －12b n －1＝12＋1b n －1，即1b n －1b n －1＝12(n ≥2)， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以1b 1＝1为首项，以12为公差的等差数列，∴1b n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，∴b n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)， ∴b n2＝1(n ＋1)＜2n ＋1＋n ＝2(n ＋1－n )．∴b 12＋b 22＋…＋b n2＜2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )]＝2n ＋1－2.21．解：(1)由a n ＝2a n －1＋2n－1(n ∈N ＋，n ≥2)，得a 4＝2a 3＋24－1＝81， ∴a 3＝33；同理可得，a 2＝13，a 1＝5.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列，a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝a n －2a n －1－λ2n ＝2n －1－λ2n＝1－1＋λ2n . 则1－1＋λ2n 为常数，∴1＋λ2n ＝0，λ＝－1.即存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．(3)由(2)可知，等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12的公差d ＝1.则a n －12n ＝a 1－121＋(n －1)³1＝n ＋1，∴a n ＝(n ＋1)2n＋1.S n ＝2³2＋3³22＋4³23＋…＋(n ＋1)³2n ＋n .记T n ＝2³2＋3³22＋4³23＋…＋(n ＋1)³2n，有2T n ＝2³22＋3³23＋…＋n ³2n ＋(n ＋1)³2n ＋1，上述两式错位相减，得T n ＝n ²2n ＋1.∴S n ＝n ²2n ＋1＋n ＝n (2n ＋1＋1)．。