排列组合之计数原理
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P10
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分步乘法计数原理应用方法归纳
(1)利用分步乘法计数原理注意： 事件解决的过程需要合理分步， 而分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步 骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰； 二是步与步确保连续，逐步完成．
P7
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分类加法计数原理应用方法归纳
(1)分类计数原理运用了分类讨论思想. (2)分类原则：确定合适的分类标准；分类标准要统一；分类须不重复、不遗漏．
(3)分类计数原理中的每一类相互独立，每一类中的任何一种方法都可完成这件事．
P8
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二： 分步乘法计数原理
【题例 1】从－1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则可 组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
[解析] 一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法 有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 3×3×2＝18 个二次函数． 若二次函数为偶函数，则 b＝0，同理可知共有 3× 2＝6 个偶函数． [答案] 18 6
高考数学复习专题
排列-组合之计数原理
第 一 部 分
内 容 概 览
两个计数原理: 1.分类加法计数原理； 2.分步乘法计数原理.
P1
Ⅰ. 两个计数原理
1．分类加法计数原理
第 二 部 分
知 识 建 构
完成一件事有 k 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同 的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，...，在第 k 类方案 中有 mk 种不同的方法； 那么完成这件事共有 N ＝ m1 m2 ... mk 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要 k 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法， 做第 2 步有 m2 种不同的方法，...，做第 k 步有 mk 种不同的方法； 那么完成这件事共有 N ＝ m1 m2 ... mk 种不同的方法． P2
【解析】 法一：按个位数字分类，个位可为 2,3,4,5,6,7,8,9，共分成 8 类， 在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个， 7 个，8 个，则共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 个两位数． 法二： 按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成 8 类，在每 一类中满足条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个， 1 个，则共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36 个两位数． [答案] 36
P9
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二： 分步乘法计数原理
【题例 2】如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个 焊接点 A ，B ，C， D，E ，F ，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发 现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况， 故电路连接或断开的情况共有：26＝64 种情况； 而其中只要有一个焊接点脱落，则电路就不通， 故共有 26－1＝63 种可能情况． [答案] 63
这பைடு நூலகம்事情，“步”与“步”之
间具有依赖性和连续性．分步 计数原理可类比电路的“串联”
的“并联”关系.
关系.
P3
计数原理应用问题特征
第 三 部 分
问 题 特 征
分类加法计数原理应用问题特征： (1)完成一件事有 n 类方法，每一类中可有不同的方法． (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． (3)完成这件事的所有方法数：运用加法原理．
P11
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点三：两个计数原理综合应用
在实际问题的解决过程中，通常非单一的分类或分步，而可能是两个计数 原理的综合应用；即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每 步的方法数可能会采取分类的思想求解． 分类的关键： ①分类标准确定且统一； ②分类原则做到“不重复不遗漏”； 分步的关键：①分步的程序设计正确且简捷；②明确分步的顺序与种类； 两个原理综合运用时做到：合理分类，准确分步．
当 m ＝2 时， n ＝ 3,4,5,6,7，共 5 个； 当 m ＝3 时， n ＝ 4,5,6,7，共 4 个； 当 m ＝4 时， n ＝ 5,6,7，共 3 个； 当 m ＝5 时， n ＝ 6,7，共 2 个． 故共有 6＋5＋4＋3＋ 2＝ 20 个满足条件的椭圆 . 答案:20
P6
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P5
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一： 分类加法计数原理
x 2 y2 【题例 2】若椭圆 ＋ ＝1 的焦点在 y 轴上，且 m∈ {1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}， m n 则这样的椭圆的个数为________．
[解析 ] 当 m ＝1 时， n ＝2,3,4,5,6,7，共 6 个；
分步乘法计数原理应用问题特征： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步可有若干种不同方法． (3)完成这件事的所有方法数：运用分步乘法原理．
P4
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一： 分类加法计数原理
【题例 1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有______个．
知识考点一： 分类加法计数原理
【题例 3】 如图， 从 A 到 O 有 ________种不同的走法 (不重复过一点)．
[解析] 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法； 第二类，中间过一个点，有 A →B →O 和 A →C→O 2 种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有 A →B →C→O 和 A →C→B →O 2 种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的走法．[答案] 5
P12
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P13
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P14
两个计数原理的应用问题-类型与探究
两个计数原理的应用问题-类型与探究
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
THANKS
3．两个计数原理的比较
名称 相同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 完成一件事分为k类方法，并 且每类方法中的每一种都能独 运用乘法运算 完成一件事分为k个步骤，并且 只有各个步骤都完成才算完成
不同点 立完成这件事情；“类”与 “类”之间具有独立性和并列 性．分类计数原理可类比电路
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分步乘法计数原理应用方法归纳
(1)利用分步乘法计数原理注意： 事件解决的过程需要合理分步， 而分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步 骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事． (2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰； 二是步与步确保连续，逐步完成．
P7
两个计数原理的应用问题-类型与探究
分类加法计数原理应用方法归纳
(1)分类计数原理运用了分类讨论思想. (2)分类原则：确定合适的分类标准；分类标准要统一；分类须不重复、不遗漏．
(3)分类计数原理中的每一类相互独立，每一类中的任何一种方法都可完成这件事．
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两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二： 分步乘法计数原理
【题例 1】从－1,0,1,2 这四个数中选三个数作为函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的系数，则可 组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
[解析] 一个二次函数对应着 a，b，c(a≠0)的一组取值，a 的取法有 3 种，b 的取法 有 3 种，c 的取法有 2 种，由分步乘法计数原理知共有 3×3×2＝18 个二次函数． 若二次函数为偶函数，则 b＝0，同理可知共有 3× 2＝6 个偶函数． [答案] 18 6
高考数学复习专题
排列-组合之计数原理
第 一 部 分
内 容 概 览
两个计数原理: 1.分类加法计数原理； 2.分步乘法计数原理.
P1
Ⅰ. 两个计数原理
1．分类加法计数原理
第 二 部 分
知 识 建 构
完成一件事有 k 类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同 的方法，在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法，...，在第 k 类方案 中有 mk 种不同的方法； 那么完成这件事共有 N ＝ m1 m2 ... mk 种不同的方法． 2．分步乘法计数原理 完成一件事需要 k 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法， 做第 2 步有 m2 种不同的方法，...，做第 k 步有 mk 种不同的方法； 那么完成这件事共有 N ＝ m1 m2 ... mk 种不同的方法． P2
【解析】 法一：按个位数字分类，个位可为 2,3,4,5,6,7,8,9，共分成 8 类， 在每一类中满足条件的两位数分别有 1 个，2 个，3 个，4 个，5 个，6 个， 7 个，8 个，则共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 个两位数． 法二： 按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成 8 类，在每 一类中满足条件的两位数分别有 8 个，7 个，6 个，5 个，4 个，3 个，2 个， 1 个，则共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36 个两位数． [答案] 36
P9
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点二： 分步乘法计数原理
【题例 2】如图，某电子器件由 3 个电阻串联而成，形成回路，其中有 6 个 焊接点 A ，B ，C， D，E ，F ，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发 现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种．
[解析] 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况， 故电路连接或断开的情况共有：26＝64 种情况； 而其中只要有一个焊接点脱落，则电路就不通， 故共有 26－1＝63 种可能情况． [答案] 63
这பைடு நூலகம்事情，“步”与“步”之
间具有依赖性和连续性．分步 计数原理可类比电路的“串联”
的“并联”关系.
关系.
P3
计数原理应用问题特征
第 三 部 分
问 题 特 征
分类加法计数原理应用问题特征： (1)完成一件事有 n 类方法，每一类中可有不同的方法． (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． (3)完成这件事的所有方法数：运用加法原理．
P11
两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点三：两个计数原理综合应用
在实际问题的解决过程中，通常非单一的分类或分步，而可能是两个计数 原理的综合应用；即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每 步的方法数可能会采取分类的思想求解． 分类的关键： ①分类标准确定且统一； ②分类原则做到“不重复不遗漏”； 分步的关键：①分步的程序设计正确且简捷；②明确分步的顺序与种类； 两个原理综合运用时做到：合理分类，准确分步．
当 m ＝2 时， n ＝ 3,4,5,6,7，共 5 个； 当 m ＝3 时， n ＝ 4,5,6,7，共 4 个； 当 m ＝4 时， n ＝ 5,6,7，共 3 个； 当 m ＝5 时， n ＝ 6,7，共 2 个． 故共有 6＋5＋4＋3＋ 2＝ 20 个满足条件的椭圆 . 答案:20
P6
两个计数原理的应用问题-类型与探究
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两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一： 分类加法计数原理
x 2 y2 【题例 2】若椭圆 ＋ ＝1 的焦点在 y 轴上，且 m∈ {1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}， m n 则这样的椭圆的个数为________．
[解析 ] 当 m ＝1 时， n ＝2,3,4,5,6,7，共 6 个；
分步乘法计数原理应用问题特征： (1)完成一件事需要经过 n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步可有若干种不同方法． (3)完成这件事的所有方法数：运用分步乘法原理．
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两个计数原理的应用问题-类型与探究
知识考点一： 分类加法计数原理
【题例 1】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有______个．
知识考点一： 分类加法计数原理
【题例 3】 如图， 从 A 到 O 有 ________种不同的走法 (不重复过一点)．
[解析] 分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法； 第二类，中间过一个点，有 A →B →O 和 A →C→O 2 种不同的走法； 第三类，中间过两个点，有 A →B →C→O 和 A →C→B →O 2 种不同的走法． 由分类加法计数原理可得共有 1＋2＋2＝5 种不同的走法．[答案] 5
P12
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P13
两个计数原理的应用问题-类型与探究
P14
两个计数原理的应用问题-类型与探究
两个计数原理的应用问题-类型与探究
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
计数原理应用问题
THANKS
3．两个计数原理的比较
名称 相同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 完成一件事分为k类方法，并 且每类方法中的每一种都能独 运用乘法运算 完成一件事分为k个步骤，并且 只有各个步骤都完成才算完成
不同点 立完成这件事情；“类”与 “类”之间具有独立性和并列 性．分类计数原理可类比电路