数字视频图像技术 第5章 傅里叶变换 频率域图像增强讲解
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数字图像处理(频域增强)
数字图像处理(频域增强)数字图像处理图像频域增强方法的研究姓名：班级:学号：目录一．频域增强的原理二．频域增强的定义及步骤三．高通滤波四． MATLAB程序实现五．程序代码六．小结一．频域增强定义和步骤图像增强技术基本上可分成两大类：频域处理法和空域处理法。
频域处理法[1]的基础是卷积定理，它采用修改图像傅立叶变换的方法实现对图像的增强处理。
在频域空间，图像的信息表现为不同频率分量的组合。
如果能让某个范围内的分量或某些频率的分量受到抑制而让其他分量不受影响，就可以改变输出图的频率分布，达到不同的增强目的。
频域增强是利用图像变换方法将原来的图像空间中的图像以某种形式转换到其它空间中，然后利用该空间的特有性质方便地进行图像处理，最后再转换回原来的图像空间中，从而得到处理后的图像。
频域增强的主要步骤是：(1) 选择变换方法，将输入图像变换到频域空间；(2) 在频域空间中，根据处理目的设计一个转移函数并进行处理；(3) 将所得结果用反变换得到图像增强。
卷积理论是频域技术的基础。
设函数f（x,y）与线性位不变算子h（x,y）的卷积结果是g （x,y），即g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)那么根据卷积定理在频域有：G(x,y)=H(u,v)F(u,v)其中G(x,y)、 H(u,v)、F(u,v)分别是g(x,y)、h(x,y)、f(x,y)的傅立叶变换。
（4）技术所需增强图的傅立叶变换。
（5）将其与一个（根据需要设计的）转移函数相乘。
（6）再将结果进行傅立叶反变换以得到增强的图。
（7）将图像从空域转换到频域所需的变换及将图像从频域空间转换回空域所需的变换。
（8）在频域空间对图像进行增强加工操作。
常用的频域增强方法有低通滤波和高通滤波。
以下分别介绍在MATLAB中如何实现。
二．高通滤波图像中的细节部分与其频率的高频分量相对应，所以高通滤波可以对图像进行锐化处理。
高通滤波器与低通滤波器的作用相反，它使高频分量顺利通过，而消弱低频。
频率域增强的步骤
频率域增强的步骤嘿，朋友们！今天咱就来讲讲频率域增强的那些事儿。
你想想看啊，这频率域就像是一个神秘的舞台，图像的信息在上面尽情表演呢！那频率域增强呢，就是让这个舞台上的表演更精彩，更吸引人。
咱先来说说第一步，那就是得把图像从空间域转换到频率域。
这就好比是给图像来了个大变身，从我们熟悉的模样变成了一堆奇怪的数字和图案。
可别小瞧了这个变身，这可是关键的一步呢！就像孙悟空七十二变，变了之后才有更多的本事展现呀。
然后呢，我们要对这些频率域的信息进行分析和处理。
这就像是给表演加调料，让味道更独特。
比如说，我们可以把一些不重要的频率成分削弱或者去掉，就像去掉舞台上那些不太起眼的小配角，让主角更加突出。
或者呢，我们也可以增强一些我们特别关注的频率成分，这就好比给主角加上闪亮的灯光，让他更加耀眼。
接下来这步也很重要哦，就是根据我们的需求和想法来调整这些频率信息。
这就像是导演在指导演员怎么表演，是要更夸张一点呢，还是更内敛一些。
我们可以让图像变得更清晰，更锐利，或者让它有一些特殊的效果，比如模糊一点，更有艺术感。
处理完了之后，可不能就这么完事儿了，还得把它变回到空间域呢。
这就像是表演结束了，孙悟空又变回原来的样子啦。
经过这么一番折腾，图像可就大不一样咯！你说这频率域增强是不是很神奇？就像变魔术一样，能让图像发生奇妙的变化。
你要是还没试过，那可真的太可惜啦！赶紧去试试吧，说不定你就能创造出令人惊叹的图像效果呢！频率域增强就是这么一个有趣又实用的技术，它能让我们的图像变得更加出色，更加符合我们的期望。
它就像是一把神奇的钥匙，能打开图像世界的奇妙大门，让我们看到更多的精彩和可能。
所以啊，大家可千万别错过这个好东西，好好去研究研究，你一定会爱上它的！。
频率域图像增强
理想低通滤波器
第一幅图为理想低通滤波器变换函数的透视图 第二幅图为图像形式显示的滤波器 第三幅图为滤波器径向横截面
振铃
附录
产生的原因图像在处理过程中的信息量的丢失，尤其是高频 信息的丢失
由卷积定理可知，频率域下的理想低通滤波器H(u, v)必定存在 一个空间域下与之对应的滤波函数h(x, y)，且可以通过对H(u,v)作傅 里叶逆变换求得。产生振铃效应的原因就在于，理想低通滤波器在 频率域下的分布十分线性（在D0处呈现出一条垂直的线，在其他频 率处呈现出一条水平的线），那么不难想象出对应的h(x,y)将会有类 似于sinc函数那样周期震荡的空间分布特性。正是由于理想低通滤 波器的空间域表示有类似于sinc函数的形状，位于正中央的突起使 得理想低通滤波器有模糊图像的功能，而外层的其他突起则导致理 想低通滤波器会产生振铃效应。
理想低通滤波器
截止频率 为分别设 置为
10,30,60,1 60和460
由于高频成分包含有大量的边缘信息，因此采用该滤波器在去 噪声的同时将会导致边缘信息损失而使图像边模糊。
布特沃斯低通滤波器
n阶布特沃斯滤波器的传递函数为：
D0是截止频率。对于这个点的定义，我们可以这样理解，使 H（u，v）下降为最大值的某个百分比的点。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没有 BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
截止 频率 分别 为
10,30 ,60,1 60和 460
比较
2阶布特沃斯低通滤波
高斯低通滤波
梯形低通滤波器
梯形低通滤波器是理想低通滤波器和完全平滑滤波器的折 中。它的传递函数为：
低通滤波器
应用： 字符识别的应用 印刷和出版业 卫星图像和航空图像的处理
8.频率域增强基础图像变换
2020/9/25
• 考虑全图像通过系统的效果就是图像上每一 点冲激函数通过系统响应之和，故把响应称 为扩散函数；全幅图像各点的响应也就是各 个响应的累加成为图像经过系统的效果。
• 若图像上每一点通过系统的响应和该点在图 像上的位置无关，则按信号分析的理论称为 位移不变系统。
• 在位移不变系统中只要把某点经过系统的响 应函数h(x,y)和原图像f(x,y)相卷积就可以得 到全幅图像的总效果g(x,y)。
频率域的图像增强
要点：
• 背景 • 傅立叶变换 • 空间域滤波与频率域滤波的关系
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背景
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空间域与频率域
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空间域与频率域
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• 信号与系统的另外一个重要概念就是任何波形可以由 许多基波的加权和合成；反之任何波形可以分解为许 多基波及其加权。
• 根据线性叠加系统的结论，系统对某个波形的影响可 看作是系统对基波影响的累加。这就是图像处理和分 析技术的另外一个重要依据。
• 把一维信号分析的结论扩展为二维，即任何图像多都 可以分解为许多的基图像及其加权值。
• 60年代出现快速傅立叶变换 • 傅立叶变换域也称为频域
2020/9/25
• 为了有效地和快速地对图像进行处理 和分析，常常需要将原定义在图像空 间的图像以某种形式转换（正变换） 到另外一些空间，并利用在这些空间 的特有性质方便地进行一定的加工， 最后再转换回图像空间（反变换或逆 变换）以得到所需要的效果。
• 考虑全图像通过系统的效果就是图像上每一 点冲激函数通过系统响应之和，故把响应称 为扩散函数；全幅图像各点的响应也就是各 个响应的累加成为图像经过系统的效果。
• 若图像上每一点通过系统的响应和该点在图 像上的位置无关，则按信号分析的理论称为 位移不变系统。
• 在位移不变系统中只要把某点经过系统的响 应函数h(x,y)和原图像f(x,y)相卷积就可以得 到全幅图像的总效果g(x,y)。
频率域的图像增强
要点：
• 背景 • 傅立叶变换 • 空间域滤波与频率域滤波的关系
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背景
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空间域与频率域
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空间域与频率域
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• 信号与系统的另外一个重要概念就是任何波形可以由 许多基波的加权和合成；反之任何波形可以分解为许 多基波及其加权。
• 根据线性叠加系统的结论，系统对某个波形的影响可 看作是系统对基波影响的累加。这就是图像处理和分 析技术的另外一个重要依据。
• 把一维信号分析的结论扩展为二维，即任何图像多都 可以分解为许多的基图像及其加权值。
• 60年代出现快速傅立叶变换 • 傅立叶变换域也称为频域
2020/9/25
• 为了有效地和快速地对图像进行处理 和分析，常常需要将原定义在图像空 间的图像以某种形式转换（正变换） 到另外一些空间，并利用在这些空间 的特有性质方便地进行一定的加工， 最后再转换回图像空间（反变换或逆 变换）以得到所需要的效果。
图像增强讲义
中值滤波
中值滤波是对一个滑动窗口内的诸像素灰度值排序，用 中值代替窗口中心像素的原来灰度值，因此它是一种非线性 的图像平滑法。 例：采用1×3窗口进行中值滤波 原图像为： 2 2 6 2 1 2 4 4 4 2 4 处理后为： 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 4 它对脉冲干扰及椒盐噪声的抑制效果好，在抑制随机噪 声的同时能有效保护边缘少受模糊。但它对点、线等细节较 多的图像却不太合适。 对中值滤波法来说，正确选择窗口尺寸的大小是很重要 的环节。一般很难事先确定最佳的窗口尺寸，需通过从小窗 口到大窗口的中值滤波试验，再从中选取最佳的。
f (i,j)
②指数变换
指数变换的一般表达式为
g(i, j) b
c f (i , j )a
1
这里参数a,b,c用来调整曲线的位置和形状。这种变 换能对图像的高灰度区给予较大的拉伸。 f (i,j)
g (i,j)
对数变换动态范围压缩
直方图修整法
灰度直方图反映了数字图像中每一灰度级与其出现频率 间的关系,它能描述该图像的概貌。通过修改直方图的方法 增强图像是一种实用而有效的处理技术。
(c / a ) f ( x, y ) 0 f ( x, y ) a g ( x, y) [(d c) /(b a)][ f ( x, y) a] c a f ( x, y) b [(M d ) /(M b)][ f ( x, y) b] d b f ( x, y) M f f g
下面是一个直方图规定化应用实例。
图(C)、(c)是将图像(A)按图(b)的直方图进行规定化得 到的结果及其直方图。通过对比可以看出图(C)的对比度同 图（B)接近一致，对应的直方图形状差异也不大。这样有利 于影像融合处理，保证融合影像光谱特性变化小。
数字图像处理(冈萨雷斯)课件5-频域增强
滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小 的滤波器模板
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域 使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导
频率域滤波
高斯频率域低通滤波器函数
H u Ae
u 2 / 2 2
对应空间域高斯低通滤波器为 h x 2 Ae 2 x
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
半径是5的理想低通滤 原图 波,滤除8%的总功率， 模糊说明多数尖锐细 节在这8%的功率之内
半径是15的理想低通 滤波,滤除5.4%的总 功率
半径是30的理想低通滤 波,滤除3.6%的总功率
半径是230的理想低通 滤波,滤除0.5%的总功 半径是80的理想低通 滤波,滤除2%的总功率 率，与原图接近说明 边缘信息在0.5%以上 的功率中
2 2
1 2
频率域图像增强
理想低通滤波器
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉
频率域图像增强
理想低通滤波器
总图像功率值PT
P T Pu, v
u0 v0
M 1 N 1
Pu, v F u, v Ru, v I u, v
说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得 上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的 乘法
频率域滤波
定义：在(x0,y0)，强度为A的冲激函数表示为
Axx0, y y0 ,定义为
M 1 N 1 x0 y 0
sx, yA x x , y y Asx , y
图像处理课件04频率域图像增强
u 0,1,, M 1 v 0,1,, N 1
反变换: f ( x, y ) F (u , v) e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
x 0,1, , M 1 y 0,1, , N 1
一般F(u,v)是复函数,即:
1
2
5
20
３、高斯低通滤波器（GLPF）
H (u, v) e
D 2 u ,v / 2 2
令 D0
H (u, v) e
2 D 2 u ,v / 2 D0
当D(u, v) D0
H (u, v) 0.607
有更加平滑的过渡带，平滑后的图象没有振铃现象 与BLPF相比，衰减更快，经过GLPF滤波的图象比 BLPF处理的图象更模糊一些
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺 利通过，而使低频分量受到削弱。
H hp (u, v) 1 H lp (u, v)
与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器 有３种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 高斯高通滤波器
空间域滤波和频率域滤波之间的对应 关系
卷积定理：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v)
f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)
冲激函数
M 1 N 1 x 0 y 0
s( x, y) A ( x x , y y ) As( x , y )
频率域的基本性质：
低频对应着图像的慢变化分量。
较高的频率对应着图像中变化较快的灰度级。
变化最慢的频率成分（原点）对应图像的平均灰度级。
频率域图像增强第二版PPT课件
同理，对于v=0，N – v = N：
当u=0时：
No Image
当u=1时：
No Image
当u=2时：
┆
┆
当u=M/2时：
No Image
No Image
由此可得：
频谱图A区与D区和B区与C区
关于坐标(M/2,N/2)对称。 -
0
N/2 N
v
A
B
M/2 (M/2,N/2) (M/2,N)
MC
D
(M,N/2) (M,N)
频率域图像增强是指在图像的频率域中
对图像进行某种处理的方法。这种方法以傅立 叶变换为基础，也即先通过傅立叶变换把图像 从空间域变换到频率域，然后用频率域方法对 图像进行处理，处理完后再利用傅立叶反变换 把图像变回空间域。
-
1
5.1 二维离散傅里叶变换
-
2
5.1 二维离散傅里叶变换
由于离散傅里叶变换描述了离散信号的时
有：
No Image
(5.22)
再根据离散傅立叶变换的共轭对称性式(3.42)：
就可得：
No Image
-
(5.23)
25
5.1.3 图像的傅里叶频谱特性分析
1、图像傅里叶频谱关于(M/2，N/2)的对称性
No Image
(5.23)
根据(5.23)，对于u=0，M - U = M
当v=0时：
No Image
N
N
expj2[(1uN0v)]
expj2[(1u1v)] expj2[(1u(N1)v)]
N
N
expj2[((N1N)u0v)] expj2[((N1N)u1v)]expj2[((N1)uN(N1)v)]
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傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
✓ 功率谱为
Pu,v Fu,v2 Ru,v2 Iu,v2
F(u,v)的原点变换
f x , y 1 x y F u M / 2 , v N / 2
✓ 用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
f x f x0 x x
F(u)的离散表示
F u F u u
x 0,1,2,..., M 1 u 0,1,2,..., M 1
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
✓ 图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F (u , v )
1
M 1 N 1
f x , y e j 2 ux / M vy / N
M x0
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
Fu F ue ju
✓ 幅度或频率谱为
1
Fu Ru2 Iu2 2
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为
u
arctan
I u Ru
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示 ✓ 功率谱为
Pu Fu2 Ru2 Iu2
f(x)的离散表示
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
✓ 从欧拉公式 e j cos j sin
F(u)
1
M 1
f
x e j(2ux) / M
M x0
1
M 1
f xcos(2ux) / M
j sin(2ux) / M
M x0
1
M 1
f xcos 2ux / M
j sin 2ux / M
✓ u=0,1,2,…,M-1,
v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
F(0,0)表示
F 0,0
1
M 1 N 1
f x, y
MN x 0 y 0
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
傅里叶变换
如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是 对称的，即
MN x 0 y 0
u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
✓ 给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
M 1 N 1
f ( x , y )
F u , v e j 2 ux / M vy / N
u0 v0
x=0,1,2,…,M-1, y=0,1,2,…,N-1
f x, y1xy Fu M / 2,v N / 2 f xM / 2, y N / 2 Fu,v1uv
傅里叶变换 2. 分配律
根据傅里叶变换的定义，可以得到
f1x, y f2 x, y f1x, y f2 x, y
f1x, y• f2 x, y f1x, y• f2 x, y
上述公式表明：傅里叶变换对加法满足分配 律，但对乘法则不满足
傅里叶变换
傅里叶变换 ✓ 傅里叶变换及其反变换 ✓ 傅里叶变换的性质 ✓ 快速傅里叶变换（FFT）
பைடு நூலகம்
傅里叶变换
为什么要在频率域研究图像增强
✓ 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一 些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
Fu, v F u, v e ju,v
✓ 幅度或频率谱为
1
Fu,v Ru,v2 I u,v2 2
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部
✓ 相角或相位谱为
u,
v
arctan
I u, v Ru, v
傅里叶变换
1. 傅里叶变换对的平移性质
以 表示函数和其傅里叶变换的对应性
f x, y ej2u0x/Mv0y/N F u u0,v v0
(1)
f x x0, y y0 F u,v e j2ux0/Mvy0/N
(2)
✓ 公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的频域中心移动到新的位置
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
✓ 单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅
里叶变换F(u)定义为
F(u)
1
M 1
f
x e j2ux / M
M
x0
u=0,1,2,…,M-1
✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
M 1
f ( x ) F u e j2ux / M u0
f (x) F(u)e j2uxdu
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
✓ 二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定 义为
F(u,v) f (x, y)e j2uxvydxdy
✓ 给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)
f (x, y) F(u,v)e j2uxvydudv
✓ 公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置
✓ 公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换 的幅值
傅里叶变换
1. 傅里叶变换对的平移性质（续）
当u0=M/2且v0=N/2,
e e 1 j2u0x/Mv0y/ N j(xy)
xy
带入（1）和（2），得到
Fu,v Fu,v
傅里叶变换的频率谱是对称的
Fu,v Fu,v
傅里叶变换
傅里叶变换 ✓ 傅里叶变换及其反变换 ✓ 傅里叶变换的性质 ✓ 快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换 二维傅里叶变换的性质
1. 平移性质 2. 分配律 3. 尺度变换（缩放） 4. 旋转性 5. 周期性和共轭对称性 6. 平均值 7. 可分性 8. 卷积 9. 相关性
傅里叶变换
3. 尺度变换（缩放）
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立
af x, y aF u, v f ax,by 1 F u / a, v / b
✓ 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间 域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导 ✓一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在 空间域进行
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
✓ 单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义 为
F(u) f (x)e j2uxdx
其中，j 1 ✓ 给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)