频率域滤波.
图像滤波
–相隔两行或两列的差分，故边缘两侧的象元得到 了增强，边缘显得粗而亮。
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Sobel Edge Detector
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拉普拉斯算子(零交叉算子)
拉普拉斯算子进一步表示为：
2 f
2 f x2
2 f y2
• 实际最常用且效果较好的是用3×3模板。
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• 在计算梯度时只涉及到中心像元 的水平和垂直方向的邻域像素，
则称为水平垂直梯度法。即：
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9
1 f (i, j) f (i 1, j),2 f (i, j) f (i, j 1)
1
1 0
01, 2
按一定算法在整幅图像中漫游来变换图像的灰 度。
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Sobel operator
• 模板表示：检测垂直和检测水平
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9
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Sobel operator
不像普通梯度算子那样用两个像素之差值， 而用两列或两行加权和之差值，其优点为：
The gradient is estimated in eight (for a convolution mask) possible directions.3/8
f |(z7 +z8 + z9) - (z1 + z2 + z3) | +
|(z3 +z6 + z9) - (z1 + z4 + z7) |
频率域滤波
频率域滤波频率域滤波是经典的信号处理技术之一，它是将信号在时域和频域进行分析以达到信号处理中的一定目的的技术。
它在诸多技术方面有着广泛的应用，比如音频信号处理、通信信号处理、部分图像处理和生物信号处理等。
本文将从以下几个方面来介绍频率域滤波的基本原理：概念的介绍、频谱的概念、傅里叶变换的原理、频率域滤波的基本原理、应用场景。
一、概念介绍频率域滤波是一种信号处理技术，它可以将时域信号转换成频域信号，并根据信号特征在频率域中对信号进行处理以达到特定的目的，如去除噪声和滤波等。
一般来说，信号处理包括两个阶段：时域处理和频域处理。
时域处理会涉及到信号的时间特性，而频率域处理则涉及到信号的频率特性。
二、频谱概念频谱是指信号分析中信号频率分布的函数，它是信号的频率特性的反映。
一个信号的频谱是一个衡量信号的能量随频率变化的曲线。
通过对信号的频谱进行分析，可以提取出信号中不同频率成分的信息，从而对信号进行更深入的分析。
三、傅里叶变换傅里叶变换是将时域信号转换成频域信号的基本手段。
傅里叶变换是指利用线性无穷积分把一个函数从时域转换到频域，即将一个函数的时间属性转换为频率属性的过程。
傅里叶变换会将时域信号映射到频域，从而可以分析信号的频率分布情况。
四、频率域滤波的基本原理频率域滤波的基本原理是先将信号进行傅里叶变换，然后将信号在频域进行处理。
根据不同的应用需求，可以采用低通滤波、高通滤波或带通滤波等滤波器对信号进行处理，从而获得滤波后的信号。
最后，再将滤波后的信号进行反变换即可。
五、应用场景由于具有时域和频域双重处理功能，频率域滤波技术在诸多技术领域都有广泛应用。
例如，在音频信号处理方面，频率域滤波可以去除音频信号中的噪声，使得信号变得更加清晰。
此外，在以图像处理方面，频率域滤波技术可以有效去除图像中的多余信息，从而提高图像的质量。
在通信领域，频率域滤波技术可以应用于对通信信号的滤波和信号分离，从而有效提升信号的传输效率。
Frequencydomainfiltering：频率域滤波
Objective. Frequency domain methods can be used.
Sections 4.1.2, 4.4 & 4.5
Image Restoration, chapter 5
• Objective: reconstruct an image that has been degraded in some way. • Main idea: Model the degradation using (a priori) information about the degradation process and apply inverse filtering
Frequency domain filter (Gaussian function)
Convolution in spatial domain, multiplication in frequency domain
Example: frequency domain filtering
input image f
Theory used in the degradation model:
If H is linear and position-invariant then: g(x,y)=h(x,y)*f(x,y)+ n(x,y) G(u,v)=H(u,v)·F(u,v)+N(u,v)
Image restoration
2D transform example 2
2D transform example 3
时域滤波器和频域滤波器的变换
时域滤波器和频域滤波器的变换卷积定理函数空间域的卷积的傅⾥叶变换是函数傅⾥叶变换的乘积。
对应地，频率域的卷积与空间域的乘积存在对应关系。
由卷积定理可知所有频域的滤波理论上都可以转化为空域的卷积操作。
给定频率域滤波器，可对其进⾏傅⾥叶逆变换得到对应的空域滤波器；滤波在频域更为直观，但空域适合使⽤更⼩的滤波模板以提⾼滤波速度。
因为相同尺⼨下，频域滤波器效率⾼于空域滤波器，故空域滤波需要⼀个更⼩尺⼨的模板近似得到需要的滤波结果。
空域卷积将模板在图像中逐像素移动，将卷积核的每个元素分别和图像矩阵对应位置元素相乘并将结果累加，累加和作为模板中⼼对应像素点的卷积结果。
通俗的讲，卷积就是对整幅图像进⾏加权平均的过程，每⼀个像素点的值，都由其本⾝和邻域内的其他像素值经过加权平均后得到。
在像素的处理上，是先将结果暂存在于⼀个副本，最后统⼀拷贝，故不会出现处理顺序不同⽽结果不同的情况。
⼆维连续卷积的数学定义：离散形式：频域滤波频率域是由傅⾥叶变换和频率变量 (u,v)定义的空间，频域滤波处理过程：先对图像进⾏傅⾥叶变换，转换⾄频率域，在频域使⽤滤波函数进⾏滤波，最后将结果反变换⾄空间域。
即：⾼斯函数公式：形状：空域⾼斯平滑滤波⾼斯模板的⽣成因为图像是离散存储的，故我们需要⼀个⾼斯函数的离散近似。
具体地，对⾼斯函数进⾏离散化，以离散点上的⾼斯函数值作为权值，组成⼀定尺⼨的模板，⽤此模板对图像进⾏卷积。
由于⾼斯分布在任意点处都⾮零，故理论上需要⼀个⽆穷⼤的模板，但根据" 准则"，即数据分布在的概率是0.9974，距离函数中⼼超过数据所占权重可以忽略,因此只需要计算的矩阵就可以保证对⾼斯函数的近似了。
假设⼆维模板⼤⼩,则模板上元素处的值为：前⾯的系数在实际应⽤中常被忽略，因为是离散取样，不能使取样和为1，最后还要做归⼀化操作。
程序：function filt=mygaussian(varargin)%参数初始化，使⽤varargin处理可变参数情况siz=varargin{1};%模板尺⼨if(numel(siz)==1)siz=[siz,siz];endstd=varargin{2};%⽅差centa = (siz(1)+1)/2;%此处不要取整centb = (siz(1)+1)/2;filt = zeros(siz(1),siz(2));summ=0;for i=1:siz(1)for j=1:siz(2)radius = ((i-centa)^2+(j-centb)^2);filt(i,j) = exp(-(radius/(2*std^2)));summ=summ+filt(i,j);endendfilt=filt/summ;%归⼀化测试：执⾏mygaussian(4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181执⾏fspecial('gaussian',4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181可以看出与Matlab结果相同。
数字图像处理(冈萨雷斯)-4_fourier变换和频域介绍(dip3e)经典案例幻灯片PPT
F (u,v)
F *(u, v)
f ( x ,y ) ☆ h ( x ,y ) i f f t c o n j F ( u , v ) H ( u , v )
h(x,y):CD 周期延拓
PAC1
h:
PQ
QBD1
DFT
H (u,v)
F*(u,v)H(u,v)
IDFT
R(x,y):PQ
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率 成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理
4.11 二维DFT的实现
沿着f(x,y)的一行所进 行的傅里叶变换。
F (u ,v ) F ( u , v ) (4 .6 1 9 )
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
4.6
二维离散傅里叶变换的性质
其他性质：
✓尺度变换〔缩放〕及线性性
a f( x ,y ) a F ( u ,v ) f( a x ,b y ) 1 F ( u a ,v b ) |a b |
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
遥感数字图像处理：遥感图像处理-图像滤波
Mean 11x11
1.2 中值滤波器
在邻域平均法中，是将n×n局部区域中的灰度的平
均值作为区域中央象元的灰度值。而在中值滤波中，是 把局部区域中灰度的中央值作为区域中央象元的值。
g(x, y) median(of (x, y))
如，在3×3区域内进行中值滤波，是将区域内9个 灰度值按由小到大排列，从小的一方开始的第5个值即 为中央象元的值。
矢量微分----梯度
二元函数f(x,y)在坐标点(x,y)处的梯度向量的定义：
f
G[
f
( x,
y)]
x f
y
梯度的幅度：
G[ f (x, y)] ( f )2 ( f ) 2
x
y
梯度的幅角：
M
tg 1[ f / f ] y x
连续域的微分----离散域的差分
x f (i, j) f (i 1, j) f (i, j) y f (i, j) f (i, j 1) f (i, j)
MN
r(i, j) (m, n)t(m, n) m1 n1
将计算结果r（i，j） 放在窗口中心的像 元位置，成为新像 元的灰度值。然后 活动窗口向右移动 一个像元，再按公 式做同样的运算， 仍旧把计算结果放 在移动后的窗口中 心位置上，依次进 行，逐行扫描，直 到全幅图像扫描一 遍结束，则新图像 生成。
第5章 频域增强
数字图像处理
图5.11 高斯低通滤波器(GLPF) (a) GLPF传递函数的透视图； (b) 以图像显示的GLPF； (c) 各种D0值的滤波器剖面图。
数字图像处理
图5.12 GLPF与ILPF 和BLPF结果比较
(a) 原图像； (b)~(f) 用高斯低通滤 波器滤波的结果，其 截止频率同图5.6， 取半径值为5、15、 30、80和230。图中 无振铃。平滑程度不 如二阶BLPF。
(a)BLPF透视图
(b)以图像显示的BLPF
(c)阶数(n)从1~4的滤波器剖面图
图5.8 巴特沃斯低通滤波器
数字图像处理
图5.9 巴特沃斯低通滤波器 上：空间图像表示； 下：滤波器剖面图 (a)~(d) 阶数为1、2、5、20的BLPF 一阶BLPF滤波器没有振铃，阶数增高振铃明显。
数字图像处理
二维：
2 f ( x, y) 2 f ( x, y) 2 2 F ( ju ) F ( u , v ) ( jv ) F (u, v) 2 2 y x (u 2 v 2 ) F (u, v)
即：
F
2
f ( x, y) (u
2
v ) F (u, v)
在 H(u,v)=1 和 H(u,v)=0 之间的过渡点。 • 通过计算包含图像总功率值 PT 的范围，建立 标准截止频率位置：
PT P(u, v)
u 0 v 0 N 1 N 1
• 用r 表示半径， 表示图像能量百分比，则：
100 P(u, v) ur vr P(u, v) u 0 v 0
(b) 图的傅里叶频谱显示了沿 ±45°方向对应于(a)中特征(1)， 沿垂直轴偏左有垂直成分对应 于氧化突起的边缘。 低频对应缓慢变化分量； 高频对应灰度快速变化分量 （边缘、噪声）。
地震资料处理复习总结(第1-6章)
《地震勘探资料处理》第一章～第六章复习要点总结第一章 地震数据处理基础一维谱分析数字地震记录中，每个地震道是一个按一定时间采样间隔排列的时间序列，每一个地震道都可以用一系列具有不同频率、不同振幅、相位的简谐曲线叠加而成。
应用一维傅里叶变换可以得到地震道的各个简谐成分；应用一维傅里叶反变换可以将各个简谐成分合并为原来的地震道序列。
连续函数正反变换公式：dt et x X t i ωω-∞∞-⎰=)()(~ 正变换 ωωπωd e X t x t i ⎰∞∞-=)(~21)( 反变换 通常由傅里叶变换得到的频谱为一个复函数，称为复数谱。
它可以写成指数形式 )()()(|)(~|)(~ωφωφωωωi i e A e X X ==式中)(ωA 为复数的模，称为振幅谱；)(ωϕ为复数的幅角，称为相位谱。
)()()(22ωωωi r X X A +=，)()(tan )(1ωωωφr i X X -=（弧度也可换算为角度）离散情况下和这个差不多（看PPT 和书P2-3）一维傅里叶变换频谱特征：1、一维傅里叶变换的几个基本性质（推导）线性 翻转 共轭 时移 褶积 相关（功率谱），P3-72、Z 变换（推导）3、采样定理 假频 尼奎斯特频率，tf N ∆=21二维谱分析二维傅里叶变换),(k X ω称为二维函数),(t x X 的频——波谱。
其模量|),(|k X ω称为函数),(t x X 的振幅谱。
由),(k X ω这些频率f 与波数k 的简谐成分叠加即可恢复原来的波场函数),(t x X （二维傅里叶反变换）。
如果有效波和干扰波的在f-k 平面上有差异，就可以利用二维频率一波数域滤波将它们分开，达到压制干扰波，提高性噪比的目的。
二维频谱产生空间假频的原因数字滤波在地震勘探中，用数字仪器记录地震波时，为了保持更多的波的特征，通常利用宽频带进行记录，因此在宽频带范围内记录了各种反射波的同时，也记录了各种干扰波。
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4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
通常在进行傅立叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数
[ f ( x, y )( 1) x y ] F (u M / 2, v N / 2)
将傅立叶变换的原点(即F(0,0))被设置在u=M/2,v=N/2上,该点为二维 DFT设置的M×N区域的中心
u 0,1,...M 1; v 0,1,..., N 1
当u=,v=0时
F (0,0)
f ( x, y) MN
x 0 y 0
空间域和频率域抽样点之间的关系如下所示： 1 1 v M 1 N u 1 1 M x M y
为f(x,y)的平均值,即原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级.
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
二维傅立叶变换的基本性质：平移
f ( x, y )e j 2 ( u0 x / M v0 y / N ) F (u u0 , v v0 ) f ( x x0 , y y0 ) F (u , v)e j 2 ( u0 x / M v0 y / N )
u
M 1
x 0,1, 2,..., M 1
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
e j cos j sin
1 F (u ) M
M 1 x 0
f ( x)[cos 2 ux / M j sin 2 ux / M ]
u 0,1, 2,..., M 1
因此傅立叶变换的每一项[即对于每个u值,F(u)的值]由f(x)函数所有值的和组成. f(x)的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。 F(u)值的范围覆盖的域（u的值）称为频率域，因为u决定了变换的频率成分. F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。 傅立叶变换可看成“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分. 使我们能够通过频率成分来分析一个函数。
f ( x, y)
F (u, v)e j 2 (ux uy ) dudv
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
离散形式的傅立叶变换：
1 F (u ) M
M 1
f ( x)e j 2 ux / M x 0
u 0,1, 2,..., M 1
f ( x ) F (u )e j 2 ux / M
u
1 M x
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
二维DFT及其反变换
M×N的函数f(x,y)的DFT:
1 F (u , v ) MN
反变换：
M 1 N 1
x 0 y 0
f ( x, y )e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0,1,...M 1; v 0,1,..., N 1
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
用极坐标表示F(u)比较方便：
F (u ) | F (u ) | e j ( u )
其中 | F (u ) | R 2 (u ) I 2 (u ) 频率谱 相角(相位谱) 功率谱
(u )= arctan
I (u ) R (u )
P (u ) | F (u ) |2 R 2 (u ) I 2 (u )
f ( x, y ) F (u , v )e
u 0 v 0
M 1 N 1
j 2 ( ux / M vy / N )
x 0,1,..., M 1; y 0,1,..., N 1
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
二维变换的傅立叶谱、相角、频率谱
| F (u , v) | R 2 ( x, y ) I 2 ( x, y ) I (u , v ) (u , v) arctan M 1 N 1 j 2 ( ux / M vy / N ) R (u , vF ) (u, v) 1 f ( x , y ) e 2 2 2 MN x P (u , v) | F (u , v) | R (u , v) I (u , v )0 y 0
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换
单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)定义为：
F (u)
f ( x)e j 2 ux dx
f ( x) F (u)e j 2 ux du
F (u, v)
f ( x, y)e j 2 (uxuy ) dxdy
为确保移动后的坐标为整数，要求M,N为偶数。当在计算机中使用傅立叶变换 时，总和的范围为u从1到M, v从1到N。实际的变换中心将为u=(M/2)+1和 v=(N/2)+1.
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
y
x
v
u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
在离散傅立叶变换中,函数f(x)中x的取值不一定是[0,M-1]中的整数值, 而是任意选取的等间隔点.
f ( x) f ( x0 xx)
u总是从0频率开始
F (u) F (uu)
且u和x之间满足如下关系：
第四章
频率域图像增强
傅立叶变换和频率域介绍 平滑的频率域滤波器 频率域锐化滤波器 同态滤波器
4.1 背景知识
傅立叶级数： 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和 /或余弦 和的形式。复杂函数可以用由简单的正弦和余弦函数表 示。
在周期2内：
a0 f ( x) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
a0 ak 1
系数：
1
f ( x)dx
1
f ( x) cos kxdx
bk
f ( x)sin kxdx
傅立叶变换： 甚至非周期函数（曲线是有限的情况下）也可以用正弦和 /或余弦乘以加权函数的积分表示。 用傅立叶级数或变换表示的函数特征可以通过傅立叶反 变换重建，不丢失任何信息。