第三章 频率域滤波(2015)
图像滤波
–相隔两行或两列的差分，故边缘两侧的象元得到 了增强，边缘显得粗而亮。
2019/11/18
19
Sobel Edge Detector
2019/11/18
20
拉普拉斯算子(零交叉算子)
拉普拉斯算子进一步表示为：
2 f
2 f x2
2 f y2
• 实际最常用且效果较好的是用3×3模板。
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28
• 在计算梯度时只涉及到中心像元 的水平和垂直方向的邻域像素，
则称为水平垂直梯度法。即：
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9
1 f (i, j) f (i 1, j),2 f (i, j) f (i, j 1)
1
1 0
01, 2
按一定算法在整幅图像中漫游来变换图像的灰 度。
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17
Sobel operator
• 模板表示：检测垂直和检测水平
z1 z2 z3 z4 z5 z6 z7 z8 z9
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Sobel operator
不像普通梯度算子那样用两个像素之差值， 而用两列或两行加权和之差值，其优点为：
The gradient is estimated in eight (for a convolution mask) possible directions.3/8
f |(z7 +z8 + z9) - (z1 + z2 + z3) | +
|(z3 +z6 + z9) - (z1 + z4 + z7) |
频率域滤波
频率域滤波频率域滤波是经典的信号处理技术之一，它是将信号在时域和频域进行分析以达到信号处理中的一定目的的技术。
它在诸多技术方面有着广泛的应用，比如音频信号处理、通信信号处理、部分图像处理和生物信号处理等。
本文将从以下几个方面来介绍频率域滤波的基本原理：概念的介绍、频谱的概念、傅里叶变换的原理、频率域滤波的基本原理、应用场景。
一、概念介绍频率域滤波是一种信号处理技术，它可以将时域信号转换成频域信号，并根据信号特征在频率域中对信号进行处理以达到特定的目的，如去除噪声和滤波等。
一般来说，信号处理包括两个阶段：时域处理和频域处理。
时域处理会涉及到信号的时间特性，而频率域处理则涉及到信号的频率特性。
二、频谱概念频谱是指信号分析中信号频率分布的函数，它是信号的频率特性的反映。
一个信号的频谱是一个衡量信号的能量随频率变化的曲线。
通过对信号的频谱进行分析，可以提取出信号中不同频率成分的信息，从而对信号进行更深入的分析。
三、傅里叶变换傅里叶变换是将时域信号转换成频域信号的基本手段。
傅里叶变换是指利用线性无穷积分把一个函数从时域转换到频域，即将一个函数的时间属性转换为频率属性的过程。
傅里叶变换会将时域信号映射到频域，从而可以分析信号的频率分布情况。
四、频率域滤波的基本原理频率域滤波的基本原理是先将信号进行傅里叶变换，然后将信号在频域进行处理。
根据不同的应用需求，可以采用低通滤波、高通滤波或带通滤波等滤波器对信号进行处理，从而获得滤波后的信号。
最后，再将滤波后的信号进行反变换即可。
五、应用场景由于具有时域和频域双重处理功能，频率域滤波技术在诸多技术领域都有广泛应用。
例如，在音频信号处理方面，频率域滤波可以去除音频信号中的噪声，使得信号变得更加清晰。
此外，在以图像处理方面，频率域滤波技术可以有效去除图像中的多余信息，从而提高图像的质量。
在通信领域，频率域滤波技术可以应用于对通信信号的滤波和信号分离，从而有效提升信号的传输效率。
第三章 空域滤波：原理及
目的： 目的： 介绍空域波束形成的概念，自适应 介绍空域波束形成的概念， 控制最优准则及最优权的稳态解， 控制最优准则及最优权的稳态解，以及 最优权的求解算法（梯度算法、 最优权的求解算法（梯度算法、递推算 法）。
1
§3.1波束形成的基本概念 波束形成的基本概念
y ( t ) 2 = E W H X ( t ) W H X ( t ) E
H H = E W X ( t ) X ( t )W
(
)
H
X ( t ) X H ( t )W =W E
H
H R X = E X (t ) X ( t ) 定义：阵列信号相关矩阵， 定义：阵列信号相关矩阵，
φ = π sin θ φ0 = π sin θ0
上式表示的波束图有以下特点： 上式表示的波束图有以下特点： 特点 形状，其最大值为N。 波束成 sinx/ x 形状，其最大值为 。波束主瓣半
0.886 50.8 θ 功率点宽度为： 功率点宽度为：B = Nd / λ ( rad ) = Nd / λ (o ) 。根据
3
如前所 述的 窄 带信 的空域表示： 号的空域表示：
( s (t, r ) = s (t ) e
jω t −r α
T
)
θ
1 2 N
若以阵元1为参考点， 若以阵元1为参考点， 则各阵元接收信号可 写成： 写成：
x1 ( t ) = s ( t ) e
jω t
d
⋯
W
* 2
W
* 1
* WN
x 2 (t ) = s (t ) e M x N (t ) = s (t ) e
《基于MATLAB与FPGA的图像处理教程》记录
《基于MATLAB与FPGA的图像处理教程》读书记录1. 第一章我无法直接提供《基于MATLAB与FPGA的图像处理教程》这本书的具体内容，因为这需要访问该书的实体或电子版。
我可以为你创建一个读书笔记的框架，你可以根据实际的书籍内容来填充。
在这一章节中，我们可以介绍图像处理的基本概念、重要性以及MATLAB和FPGA在图像处理中的应用背景。
图像处理的基本概念：解释什么是图像处理，包括图像的定义、图像处理的目的是什么，以及图像处理的主要应用领域（如医学成像、计算机视觉、军事侦察等）。
MATLAB与FPGA在图像处理中的作用：简要介绍MATLAB在图像处理中的软件工具优势，如丰富的图像处理函数库、易于使用的图形用户界面等。
阐述FPGA在图像处理中的硬件加速作用，包括并行处理能力、低功耗优势以及可编程性等。
本书的目标：明确本书的学习目标，例如教授读者如何使用MATLAB和FPGA进行图像处理实验，介绍基本的图像处理算法，以及探讨更高级的FPGA实现技术等。
阅读建议：给出一些阅读本书的建议，如建议读者先了解图像处理的基础知识，准备好必要的编程环境（MATLAB和FPGA开发板），以及鼓励读者动手实践以加深理解。
当你有了具体的书籍内容后，可以按照这个框架来填充和整理你的读书笔记。
2. 第二章由于您没有提供具体的《基于MATLAB与FPGA的图像处理教程》第二章的内容，我将为您提供一个通用的读书笔记模板，您可以根据实际书籍内容进行填充。
在这一章节中，我们将介绍图像处理的基本概念、原理和方法。
这些知识将为后续章节中利用MATLAB和FPGA进行图像处理打下坚实的基础。
图像作为二维数组，由像素点组成，每个像素点包含颜色信息（通常用RGB或灰度值表示）。
图像的分辨率是指图像中像素的数量，通常以像素宽度（宽）和像素高度（高）来衡量。
本章介绍了图像处理的基本概念、目的和类型，以及一些基本的处理操作。
为后续章节的学习打下坚实的基础，特别是如何使用MATLAB和FPGA进行图像处理。
关于二维离散傅里叶变换的总结
前段时何看了很多的概念和知识，发现因为肚走马观花的过了一遍，所以看得稀里糊涂的，然后许多地方混淆了概念，特别足关丁•图像频率域的部分的理解(包括图像频率域:虑波Z类的)，所以下而总结一下这段时间重新看《数字图像处理》(电子工业出版社，Matlab木科教学版)第三帝垂新收获的关于频率域的理解.首先，我们要明确的概念定空间域和频率域，我们通过unread慚数得到的一幅图像(基本上也出我们平时说的图像)，足处任空间域的，也就於说用f(x,y)衣征的某一点的灰度值(或者出单色图像中某一点的亮度)的这种形式，就兄在空间域里而.那么什么是图像的频率域呢？理解了图像的频率的概念，就不难理解频率域。
我个人理解足这么类比的，图像町以看成足一个特殊的二维的信号，然后某一点的灰嗖级，其实就是图像信号上这一点的"幅度“，那么根据信号的概念.频率就是信弓变化的快慢.这样就好理解了，所谓的频率也就於这个图空间上的灰度变换的快慢•或者於叫图像的梯度变化，什么地方梯度频率比较大呢？这在图像中1‘1然於“边界"比较大. 举个例子来讲，如果一幅图蔡体变化不大(比如说足一面墙的图)，那么他在频率域下低频成分就很多，而高频成分就极少。
而显然如果是一幅国际象棋棋盘，他的高频成分相对刚才那幅墙的图片来说，肯定参得然后从图像域变换到频率域.我们用的函数就足大名抽时的二维离散傅里叶变换了：令f(x,y)表示一幅大小为MXN像素的数字图像，其中，x=0,仁2……M-1, y=0, 1. 2……N-1,由F(u, v)表示的f(x, y)的二维离散傅里叶变换(DFT)由下式给出：Af —1 N_1 F(u,v) = 乂工皿刃严咛刊x=0 y=0 式子当中，u也足属于0到M-1.VW于0到N-仁频率域就足属于u, v作为频率变呈.由F(u, v)构成的坐标系，这块MXN的区域我们通常称为频率矩形，很明显频率矩形的大小和输入图像的大小柑同。
时域滤波器和频域滤波器的变换
时域滤波器和频域滤波器的变换卷积定理函数空间域的卷积的傅⾥叶变换是函数傅⾥叶变换的乘积。
对应地，频率域的卷积与空间域的乘积存在对应关系。
由卷积定理可知所有频域的滤波理论上都可以转化为空域的卷积操作。
给定频率域滤波器，可对其进⾏傅⾥叶逆变换得到对应的空域滤波器；滤波在频域更为直观，但空域适合使⽤更⼩的滤波模板以提⾼滤波速度。
因为相同尺⼨下，频域滤波器效率⾼于空域滤波器，故空域滤波需要⼀个更⼩尺⼨的模板近似得到需要的滤波结果。
空域卷积将模板在图像中逐像素移动，将卷积核的每个元素分别和图像矩阵对应位置元素相乘并将结果累加，累加和作为模板中⼼对应像素点的卷积结果。
通俗的讲，卷积就是对整幅图像进⾏加权平均的过程，每⼀个像素点的值，都由其本⾝和邻域内的其他像素值经过加权平均后得到。
在像素的处理上，是先将结果暂存在于⼀个副本，最后统⼀拷贝，故不会出现处理顺序不同⽽结果不同的情况。
⼆维连续卷积的数学定义：离散形式：频域滤波频率域是由傅⾥叶变换和频率变量 (u,v)定义的空间，频域滤波处理过程：先对图像进⾏傅⾥叶变换，转换⾄频率域，在频域使⽤滤波函数进⾏滤波，最后将结果反变换⾄空间域。
即：⾼斯函数公式：形状：空域⾼斯平滑滤波⾼斯模板的⽣成因为图像是离散存储的，故我们需要⼀个⾼斯函数的离散近似。
具体地，对⾼斯函数进⾏离散化，以离散点上的⾼斯函数值作为权值，组成⼀定尺⼨的模板，⽤此模板对图像进⾏卷积。
由于⾼斯分布在任意点处都⾮零，故理论上需要⼀个⽆穷⼤的模板，但根据" 准则"，即数据分布在的概率是0.9974，距离函数中⼼超过数据所占权重可以忽略,因此只需要计算的矩阵就可以保证对⾼斯函数的近似了。
假设⼆维模板⼤⼩,则模板上元素处的值为：前⾯的系数在实际应⽤中常被忽略，因为是离散取样，不能使取样和为1，最后还要做归⼀化操作。
程序：function filt=mygaussian(varargin)%参数初始化，使⽤varargin处理可变参数情况siz=varargin{1};%模板尺⼨if(numel(siz)==1)siz=[siz,siz];endstd=varargin{2};%⽅差centa = (siz(1)+1)/2;%此处不要取整centb = (siz(1)+1)/2;filt = zeros(siz(1),siz(2));summ=0;for i=1:siz(1)for j=1:siz(2)radius = ((i-centa)^2+(j-centb)^2);filt(i,j) = exp(-(radius/(2*std^2)));summ=summ+filt(i,j);endendfilt=filt/summ;%归⼀化测试：执⾏mygaussian(4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181执⾏fspecial('gaussian',4,1)得：0.0181 0.0492 0.0492 0.01810.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0492 0.1336 0.1336 0.04920.0181 0.0492 0.0492 0.0181可以看出与Matlab结果相同。
频率域滤波的基本步骤
频率域滤波的基本步骤频率域滤波是一种图像处理方法，其基本原理是将图像从像素域转换到频率域进行滤波处理，然后再将图像转换回像素域。
该方法常用于图像增强、图像去噪和图像复原等领域。
下面是频率域滤波的基本步骤和相关参考内容的详细介绍。
1. 图像的傅里叶变换：频率域处理首先需要对图像进行傅里叶变换，将图像从时域转化为频域。
傅里叶变换可以用来分析图像中不同频率的成分。
常见的图像傅里叶变换算法有快速傅里叶变换(FFT)和离散傅里叶变换(DFT)。
参考内容：- 数字图像处理（第四版）- 冈萨雷斯，伍兹，展学良（译）【书籍】- 数字媒体技术基础与应用（第二版） - 楼书记【书籍】2. 频率域滤波：在频率域进行滤波可以有效地去除图像中的噪声和干扰，增强图像的边缘和细节。
常见的频率域滤波方法包括低通滤波和高通滤波。
- 低通滤波器：能通过低于某个截止频率的信号成分，而阻断高于该截止频率的信号成分。
常用的低通滤波器有理想低通滤波器、布特沃斯低通滤波器和高斯低通滤波器。
- 高通滤波器：能通过高于某个截止频率的信号成分，而阻断低于该截止频率的信号成分。
常用的高通滤波器有理想高通滤波器、布特沃斯高通滤波器和导向滤波器。
参考内容：- 数字图像处理（第四版）- 冈萨雷斯，伍兹，展学良（译）【书籍】- Python图像处理实战【书籍】3. 反傅里叶变换：经过频率域滤波处理后，需要将图像从频域转换回时域。
这一过程利用反傅里叶变换来实现，通过傅里叶逆变换可以将频域图像转化为空域图像。
参考内容：- 数字图像处理（第四版）- 冈萨雷斯，伍兹，展学良（译）【书籍】- 数字媒体技术基础与应用（第二版） - 楼书记【书籍】4. 图像的逆滤波（可选）：在某些情况下，可以使用逆滤波来进行图像复原。
逆滤波是频率域滤波的一种特殊形式，用于恢复被模糊处理的图像。
然而逆滤波对于噪声敏感，容易引入伪影。
因此在实际应用中，通常会结合其他技术来优化逆滤波的效果。
频率域滤波的基本步骤
频率域滤波的基本步骤频率域滤波的基本步骤频率域滤波是一种信号处理技术，它将信号从时域转换到频率域，并利用滤波器对信号进行处理。
频率域滤波的基本步骤包括以下几个方面：一、信号预处理在进行频率域滤波之前，需要对原始信号进行预处理。
这包括去除噪声、归一化和平移等操作。
去除噪声可以使用数字滤波器或其他降噪技术，以确保信号质量良好。
归一化可以使信号的幅度范围在0到1之间，这有助于后续的处理和分析。
平移可以将信号移到中心位置，以便更好地进行频谱分析。
二、傅里叶变换在预处理完成后，需要将时域信号转换为频域信号。
这可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换将时域函数转换为复数函数，在复平面上表示它们的振幅和相位。
这些复数值称为频谱系数。
三、设计滤波器设计一个合适的数字滤波器是进行频率域滤波的关键步骤之一。
数字滤波器可以分为两类：有限冲激响应（FIR）滤波器和无限冲激响应（IIR）滤波器。
FIR滤波器具有线性相位，可以在频率域中实现精确的滤波，但需要更多的计算资源。
IIR滤波器具有非线性相位，但需要较少的计算资源。
四、应用滤波器将设计好的数字滤波器应用于频谱系数，以获得过滤后的频谱系数。
这可以通过将原始频谱系数与数字滤波器的传递函数相乘来实现。
过滤后的频谱系数可以通过傅里叶逆变换转换回时域信号。
五、后处理进行频率域滤波之后，需要对结果进行后处理。
这包括反归一化、反平移和反去噪等操作。
反归一化可以将信号还原到原始幅度范围内。
反平移可以将信号还原到原始位置。
反去噪可以进一步降低噪声水平。
结论以上是频率域滤波的基本步骤，它是一种强大而灵活的信号处理技术，可用于许多应用领域，如音频处理、图像处理和生物信号处理等。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的数字滤波器和处理方法，以获得最佳的效果。
现代信号处理复习要点总结
现代信号处理复习要点总结《信号处理技术及应⽤》复习要点总结题型：10个简答题，⽆分析题。
前5个为必做题，后⾯出7个题，选做5个，每个题10分。
要点：第⼀章：⼏种变换的特点，正交分解，内积，基函数；第⼆章：信号采样中的窗函数与泄露，时频分辨率，相关分析及应⽤（能举个例⼦最好）第三章：傅⾥叶级数、傅⾥叶变换、离散傅⾥叶变换（DFT）的思想及公式，FFT校正算法、功率谱密度函数的定义，频谱细化分析，倒频谱、解调分析、时间序列的基本原理（可能考其中两个）第四章：⼀阶和⼆阶循环统计量的定义和计算过程，怎么应⽤？第五章：多分辨分析，正交⼩波基的构造，⼩波包的基本概念第六章：三种⼩波各⾃的优点，奇异点怎么选取第七章：⼆代⼩波提出的背景及其优点，预测器和更新器系数计算⽅法，⼆代⼩波的分解和重构，定量识别的步骤第⼋章：EMD基本概念（瞬时频率和基本模式分量）、基本原理，HHT的基本原理和算法。
看8.3⼩节。
信号的时域分析信号的预处理传感器获取的信号往往⽐较微弱，并伴随着各种噪声。
不同类型的传感器，其输出信号的形式也不尽相同。
为了抑制信号中的噪声，提⾼检测信号的信噪⽐，便于信息提取，须对传感器检测到的信号进⾏预处理。
所谓信号预处理，是指在对信号进⾏变换、提取、识别或评估之前，对检测信号进⾏的转换、滤波、放⼤等处理。
常⽤的信号预处理⽅法信号类型转换信号放⼤信号滤波去除均值去除趋势项理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。
经典滤波器定义：当噪声和有⽤信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，⽽有⽤信号得以保留现代滤波器当噪声频带和有⽤信号频带相互重叠时，经典滤波器就⽆法实现滤波功能现代滤波器也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进⾏估计，在统计指标最优的意义下，⽤估计值去逼近有⽤信号，相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样，它包含了离散和量化两个主要步骤采样定理：为避免混叠，采样频率ωs必须不⼩于信号中最⾼频率ωmax的两倍,⼀般选取采样频率ωs为处理信号中最⾼频率的2.5～4倍量化是对信号采样点取值进⾏数字化转换的过程。
从空间滤波器获得频率域滤波器
3‐2从空间滤波器获得频率域滤波器 一、 实验目的掌握从空间滤波器获得频率域滤波器的方法二、 实验内容1. 从 Sobel 空间滤波器用 freqz2 获得频率域滤波器2. 观察空间滤波器和对应的频率域滤波器的滤波结果三、 实验步骤1. 执行如下代码，实现空间域滤波和频域滤波的比较：1)读入原始图像：clcclearf = imread('lena.jpg');imshow (f)title('原始图像')2)进行傅里叶变换：F = fft2(f);S = fftshift(log(1+abs(F)));S = gscale(S);imshow (S)title('傅立叶频谱图像')3)使用f = im2double(f) 之后再进行处理的傅立叶频谱图像:f = im2double(f); % 转换为F = fft2(f);S = fftshift(log(1+abs(F)));S = gscale(S);imshow (S)title('使用f = im2double(f) 之后再进行处理的傅立叶频谱图像') 2. freqz2 P90 增强垂直边缘sobel H = freqz2(h,PQ(1),PQ(2)):1)产生的滤波器原点在矩阵中心处读入图像：clcclearf = imread('lena.jpg');imshow (f)进行傅里叶变换：F = fft2(f);S = fftshift(log(1+abs(F)));S = gscale(S);Imshow(S)增强垂直边缘：h = fspecial('sobel')'; % 增强垂直边缘figure,freqz2(h); % uses [n2 n1] = [64 64].PQ = paddedsize(size(f));H = freqz2(h,PQ(1),PQ(2)); % 产生的滤波器原点在矩阵中心处H1 = ifftshift(H); % 迁移原点到左上角figure,mesh(abs(H1(1:20:400,1:20:400)))imshow (abs(H),[])imshow (abs(H1),[])gs = imfilter(double(f),h);;gf = dftfilt(f,H1);imshow (gs,[])imshow (gf,[])imshow (abs(gs),[])imshow (abs(gf),[])imshow (abs(gs) > 0.2*abs(max(gs(:))))imshow (abs(gf) > 0.2*abs(max(gf(:))))d = abs(gs-gf);max(d(:))min(d(:))3.reqz2 P90 增强水平边缘sobel % fft2(f) 产生的频域F 的原点在左上角读入图像clcclearf = imread('lena.jpg');傅里叶变换：F = fft2(f);S = fftshift(log(1+abs(F)));S = gscale(S);h = fspecial('sobel'); % 增强水平边缘figure,freqz2(h);% size_h = size(temp)PQ = paddedsize(size(f));H = freqz2(h,PQ(1),PQ(2));H1 = ifftshift(H);figure,mesh(abs(H1(1:20:400,1:20:400)))imshow(abs(H),[])imshow(abs(H1),[])gs = imfilter(double(f),h);gf = dftfilt(f,H1);d = abs(gs-gf);max(d(:))min(d(:))四、实验总结通过本次实验，我了解了从空间滤波器获得频率域滤波器的方法，对于这部分的理论知识也有了更进一步的认识，通过在这几次实训，我对MATLAB的操作更加熟悉了，整个实验进行的也更加顺利了。
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(40分钟/ 8000) 80002 (N
/ 2) log 2 N2
N
0.18天
4.33小时
[假设运算效率主要由乘法效率决定]
Cooley（库利）和Tukey（图基）在1965年提出FFT算法
例 3609×5455，PIV 2.0G, 256M, Matlab 2006,语句
t=cputime;f=fft2(double(a(:,:,1)));tt=cputime; 内存不够；463×687，0.4844s
➢一维连续傅立叶变换
引理1：若一维实空间上的函数f(x)绝对可积，则函数
F (u) f (x) exp( j2xu)dx
存在，若F(u)绝对可积，则
f (x) F (u) exp( j2ux)du
其中 j 1 （下同）
定义：通常称F(u)为f(x)的Fourier变换，f(x)为F(u) 的Fourier反变换。记
MN x0 y0
MN
u 0,1, M 1; v 0,1, N 1
f (x, y) M 1N 1 F (u, v) exp(2 j ( ux vy))
u0 v0
MN
傅 立 叶
x 0,1, M 1; y 0,1, N 1
变
换
或者：
的
数
F (u, v) 1 M 1N 1 f (x, y) exp(2 j ( ux vy))
R(u, v) F (u, v)称为f (x, y)的振幅谱（频谱, Fourier谱(变换）)
(u, v)称为f (x, y)的相位谱，E(u, v) | F (u, v) |2 称为
f (x, y)的能量谱。
通常，我们将Fourier变换前的变量域，即(x, y)的变化 范围称为空间域，而将变换后的变量域，即变量(u, v)的 变化范围称为频率域或变换域。
N 1
F (u) f (x) exp(2ux / N ), u 0,1, , N 1 （3.1） x0
f (x)
1
N 1
F (u) exp(2ux / N ), x 0,1,
, N 1
N x0
（3.2）
令
j 2
W e N
则以上两式可写为：
10/106
N 1
F (u) f (x)W xu , u 0,1, , N 1 x0
MN x0 y0
MN
学 表 达
u 0,1, M 1; v 0,1, N 1
形
f (x, y) 1 M 1N 1 F (u, v) exp(2 j ( ux vy))
MN u0 v0
MN
式 问 题
x 0,1, M 1; y 0,1, N 1
当M N时，傅立叶变换对可以写为
F (u, v) 1 N1 N1 f (x, y) exp(2 j ux vu)
方法
6 沃什变换和哈达 玛变换
7 低通滤波 8 高通滤波
N 1
F (u)
f ( x) exp(2ux / N )
x0
N
2 4 16 64 512 1024
N2(DFT) 乘法N2 加法N(N-1)
Nlog2N(FFT) 乘法(N/2)log2N
加法Nlog2N
N2/Nlog2N
4
2
2.0
16
8
2.0
W
( N 1)( N 1)
f
(N
1)
例1 f(x)=1,x=0,1,2,…,N-1有限长常数序列的离散傅立叶变换： 1 u 0
F (u) 0 其他
12/106
3 一维快速傅立叶变换
1.概述 2.一维傅立叶变换 3.一维快速傅立叶
变换
4.二维傅立叶变换 5.余弦变换 5’.数字图像处理
(u)称为f (x)的相位谱，E(u) | F (u) |2 称为f (x)的能量谱。
通常，我们将Fourier变换前的变量域，即x的变化范围称为 空间域，而将变换后的变量域，即变量u的变化范围称为 频率域或变换域。
9/106
➢一维离散傅立叶变换
对有限长序列f(x),x=0,1,2,…,N-1,可定义一维离散傅 立叶变换对如下：
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6/106
ttt=10;
tt=0.01;
N=ttt/tt;
TT=2;
t=0:tt:ttt;
y=sin(2*pi*t)+sin(4*2*pi*t)+sin(8*2*pi*t);
yy=fft(y);
subplot(4,1,1);plot(t,y);
f (x)
1
N 1
F (u)W ux , x 0,1,
, N 1
N x0
傅立叶变换对也可以简记为： f (x) F(u)
注意到（3.1)和（3.2)的结构，傅立叶变换也可以写成矩 阵形式：
11/106
f (0) W 0
W0
W0
W0
F (0)
f
f (1)
(N
1)
W 0
W 0
N x0 y0
N
u 0,1, N 1;v 0,1, N 1
f (x, y)
1
N 1 N 1
F (u, v) exp(2 j
ux vu)
N u0 v0
N
x 0,1, N 1; y 0,1, N 1
一般来讲，数字图像是空间域中的连续图像的一种 满足人为满意尺度的近似，对图像进行频谱分析， 对应地，对数字图像也可以进行频谱分析，有关的 分析数据都有相同的物理解释。
subplot(4,1,3);plot(t,real(z));
yyy=yy(1:u);
subplot(4,1,4);plot(i,abs(yyy));
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2.一维Fourier变换
1.概述 2.一维傅立叶变换 3.一维快速傅立叶
变换 4.二维傅立叶变换 5.余弦变换 6 沃什变换和哈达
玛变换 7 低通滤波 8 高通滤波
T / 2
称1/T为基频。令T趋向于无穷大，可导出傅立叶变 换的概念。Cn是频率为n/T的谐波信号所占的“比 将信号重f”(t)。分解成一系列基本信号的叠加具有理论和工程意义。 “分解－综合”是解决复杂问题的常用思路。
t=0:0.1:8; y=sin(2*pi*t)+sin(4*2*pi*t)+sin(8*2*pi*t)+sin(12*2*pi*t); yy=fft(y); subplot(2,1,1);plot(t,y); subplot(2,1,2);plot(2.5*t,abs(yy));
W 11
W ( N 1)1
W 21
W ( N 1)2
W (N 1)1 F (1)
W
(
N
1)(
N
1)
F
(
N
1)
F (0) W 0
F
F (1) (N
1)
W 0
W 0
W0 W 11
W 1(N 1)
W0 W 21
W 2(N 1)
W0 W（N 1)1
f (0) f (1)
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例2 图像的傅立叶谱
a=imread('fft1.jpg'); b=uint8(a(:,:,1)); subplot(1,2,1); imshow(b); f=fft2(double(a(:,:,1))); subplot(1,2,2); imshow(log(1+abs(f)),[ 0 10],'notruesize');
为了记号简略起见，若f的Fourier变换为F,则记
f (x, y) F(u, v)
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将F (u, v)写成F (u, v) R(u, v) jI (u, v) | F (u, v) | e j (u,v)
其中| F (u, v) | R(u, v)2 I (u, v)2 , (u, v) arctg I (u, v)
设f(t)是定义在[-T/2,T/2]上的函数(信号),0<T<∞.
将信号f(t)分解成一系列基本信号的叠加具有 理论和工程意义。“分解－综合”是解决复 杂问题的常用思路。
泰勒展式
f
(t)
N 1 n0
f
(n) (t0 ) n!
(t
t0
)n
f
(N ) (
N!
)
(t
t0
)N
2/106
傅立叶级数
f
(t)
20/106
21/106
22/106
23/106
24/106
例3 灰度图像的傅立叶谱
25/106
256
64
4.0
4096
394
10.7
262144
4608
56.9
1048576 10240
102.4
N>8000, IBM7094(1962.9), 耗时40分钟
设t N 为N个数据的傅立叶变换所用总时间, 则 tN / N为得到每个傅立叶变换系数所用的平均时间. (40分钟/ 8000) 80002 0.609年 5334.84小时
F(u) F ( f (x)), f (x) F -1(F(u))
将F (u)写成F (u) R(u) jI (u) | F (u) | e j (u)
其中| F (u) | R(u)2 I (u)2 , (u) arctg I (u)
R(u) F (u)称为f (x)的振幅谱（频谱, Fourier谱)
f (x, y) 1 M 1N1 F (u, v) exp(2 j ( ux vy))