2021年日本初中数学奥林匹克决赛试题

G
D H
E B
C I
− 2018 年日本初中数学奥林匹克
决赛
1. k 是大于等于 3 的整数，使用一个正 k 边形，A 和 B 两个人玩如下的游戏，重复 k 回：A 说一个大于等于 1 且小于等于 100 的整数，B 把该整数写在正 k 边形的某个尚未写上数字的顶点上如果正 k 边形上有写着相同数字的三个顶点，且这三个顶点构成等腰三角形，那么 B 获 胜，否则 A 获胜。

此时，试求出所有的 k ，使得不管 A 怎么做 B 都有办法获胜。

2. 有 5 个人，计算出每两个人的年龄差，发现是两两互异的正整数，试求岁数最大的和岁数最小的人的年龄差可能取到的最小值。

3. 设 △ABC 的外接圆为 ω, AB = AC , 过 B, C 两点的圆分别交边 AB, AC 于 D, E 两点, 直 线 DE 和 直 线 BC 交 于 点 F . 直 线 AF 交 ω 于 A, tt 两 点 . H 为 DE 上 一 点 , 射 线 AH 交 ω 于点 I . 试证：F, tt, H, I 四点共圆.
A
F
4. k 是大于或等于 2 的整数，A = 2k 1。

L 是小于或等于 A 的正奇数，首先将其写在黑板 2
上，如下操作重复 k − 1 次：记前面刚写在黑板上的整数为 n ，在黑板上写上能整除 A − n 的 最大正奇数。

此时，试证：包括最初写在黑板上的 L ，黑板上的 L 出现了至少两次。

5. 三角形 ABC 的内切圆为 ω, 边 BC CA AB 的中点分别记作 A ′, B ′, C ′。

存在六个点B a , C a , C b , A b , A c , B c ，线段 B a C a , C b A b , A c B c 均是圆 ω 的直径，且分别平行于 BC, CA, AB ，
A
C′A b A c B′
B a C
a
B B c
C b
A′
C
直线B′C a与直线C′B a交于点X, 直线C′A b与直线A′C b交于点Y ，直线A′B c与直线B′A c
交于点Z，试证：直线AX, BY, CZ 三线交于一点。

X
Z Y
（中山大学: 詹秋明汉化）。