机械能守恒定律习题课

请比较用机械能守恒 定律和用牛顿运动定律 解题的异同。
6、小球沿高为h=5m的光滑斜面由静止开始 下滑，求小球到达斜面底端时的速率。 用牛顿运动定律解题： F合 h a = ＝g sin θ L= F合＝mg sin θ m sin θ
N
G
θ
例与练
1 2 W总 = mgh ∴mgh = mv − 0 2 N ∴ v = 2 gh = 10m / s
例与练
（思考题）如图所示，物体A、 B用绳子连接穿过定滑轮，已知 mA=2mB, 绳子的质量不计，忽略 一切摩擦，此时物体A、B距地 面高度均为H，释放A，求当物 体A刚到达地面时的速度多大？ （设物体B到滑轮的距离大于H）
例 10. 一根内壁光滑的细圆管，形状如下图所示，放在竖直平面内，一个小球自A口 的正上方高h处自由落下，第一次小球恰能抵达B点；第二次落入A口后，自B口射 出，恰能再进入A口，则两次小球下落的高度之比h1：h2= ______
解：由机械能守恒定律，取小滑轮处为
零势能面.
1 L L 1 2 − 2 × mg ⋅ = − mg + mv 2 4 2 2 1 ∴v = gL 2
例9、如图示，长为l 的轻质硬棒的底端和中点各固定一个质量为m的小球，为使 轻质硬棒能绕转轴O转到最高点，则底端小球在如图示位置应具有的最小速度 v= 。
【例4】一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上， 一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上， 链条的一半垂于桌边，如图所示 链条的一半垂于桌边，如图所示现由静止开始使链 条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大? 条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度为多大? 解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力， 【解析】因桌面光滑，链条虽受桌面的支持力，但支 持力对链条不做功， 持力对链条不做功，在链条下滑过程中只有重力对链 条做功， 条做功，故链条下滑过程中机械能守恒 设链条总质量为ｍ，由于链条均匀， ｍ，由于链条均匀 设链条总质量为ｍ，由于链条均匀，因此对链条所研 究部分可认为其重心在它的几何中心，选取桌面为零 究部分可认为其重心在它的几何中心， 势能面，则初、末状态的机械能分别为： 势能面，则初、末状态的机械能分别为： 初态： 初态： Eko = 0, E p 0 = − 1 mg L
4.8 gl
解：系统的机械能守恒，∆EP +∆EK=0 因为小球转到最高点的最小速度可以为0 ，所以，
1 2 1 v mv + m = mg ⋅ l + mg ⋅ 2l 2 2 2
2
O
24 ∴ v= gl = 4.8 gl 5
v
如图所示，一固定的楔形木块， 如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角 θ=30o，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。 另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。 一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A、 一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块 、 B连接，A的质量为 ，B质量为 ，开始时将 连接， 的质量为 的质量为4m， 质量为 质量为m， 连接 B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下 按在地面上不动， 按在地面上不动 然后放开手， 沿斜面下 滑而B上升 物块A与斜面间无摩擦 设当A沿 上升。 与斜面间无摩擦。 滑而 上升。物块 与斜面间无摩擦。设当 沿 斜面下滑距离s后 细绳突然断了，求物块B上 斜面下滑距离 后，细绳突然断了，求物块 上 升的最大距离H 升的最大距离
6、小球沿高为h=5m的光滑斜面由静止开始 下滑，求小球到达斜面底端时的速率。 支持力N不做功，只有重力G做功，小球 机械能守恒。 以斜面底面为参考平面。
1 2 E1 = mgh E2 = mv 2 1 2 ∴mgh = mv 2 ∴ v = 2 gh = 10m / s
N
G
例与练
∴v = 2aL = 2gh = 10m/ s
4：5
解：第一次恰能抵达B点，不难看出 由机械能守恒定律 mg h1 =mgR+1/2·mvB12 第二次从B点平抛 R=vB2t R=1/2·gt 2 v B1=0
∴h1 =R h B
vB 2 = gR / 2
mg h2 =mgR+1/2·mvB22 h2 =5R/4 h1 ：h2 = 4：5
A O
4.
答案:BCD
ACD
例8. 小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在 O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，初始 时小球A与O同水平面无初速释放，绳长为L， 绳的最大承受能力为9mg。为使球能绕B点做完 整的圆周运动，试求d的取值范围？
A
L
D B
O
d
C
一质量为m的质点，系于长为R的轻绳的一端 的轻绳的一端， 一质量为 的质点，系于长为 的轻绳的一端， 的质点 绳的另一端固定在空间的O点 绳的另一端固定在空间的 点 ， 假定绳是不可伸 长的、 柔软且无弹性的。 今把质点从O点的正上 长的 、 柔软且无弹性的 。 今把质点从 点的正上 3 8 gR 抛 R 的O 点以水平的速度V = 方离O点的距离为 方离 点的距离为 9 4 1 如图所示。试求； 出，如图所示。试求； （1）轻绳即将伸直时，绳与竖直方向的夹角为 ）轻绳即将伸直时， 多少？ 多少？ 点的正下方时， （2）当质点到达 点的正下方时，绳对质点的拉 ）当质点到达O点的正下方时 力为多大？ 力为多大？ O1 V0
单体机械能守恒定律表达式： 单体机械能守恒定律表达式：
Ek1 + E p1 = Ek 2 + E p 2
或用增量式：
∆EK + ∆EP = 0
机械能守恒定律的应用
应用机械能守恒定律解题的一般步骤： 应用机械能守恒定律解题的一般步骤：
研究对象， （1）确定研究对象，画出过程示意图； ）确定研究对象 画出过程示意图；
（2）受力分析，做功分析，检验守恒条件； ）受力分析，做功分析，检验守恒条件；
参考平面，确定物体初、末状态的机械能（势能和动能）； （3）选取参考平面，确定物体初、末状态的机械能（势能和动能）； ）
机械能守恒定律列方程求解。 （4）根据机械能守恒定律列方程求解。 ）根据机械能守恒定律列方程求解
例与练
如图所示， 、 两球质量分别为 两球质量分别为4m和 如图所示，A、B两球质量分别为 和5m,其间 其间 用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上(半圆柱 用轻绳连接，跨放在光滑的半圆柱体上 半圆柱 体的半径为R)． 体的半径为 ．两球从水平直径的两端由静止 释放．已知重力加速度为g，圆周率用π表示。 释放．已知重力加速度为 ，圆周率用π表示。 当球A到达最高点 到达最高点C时 当球 到达最高点 时，求： (1)球A的速度大小． 的速度大小． 球 的速度大小 (2)球A对圆柱体的压力 球 对圆柱体的压力
0
(1)θ =
π
2
O 图29 θ R
43 (2)T = mg 9
答：（1）3m/s ：（ ）
（2）3.2N 方向向下 ）
系统机械能守恒定律的应用
例7.长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬 挂在轻小的定滑轮上，如图所示.轻轻地推动一 下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间， 绳子的速度为
v = gL/2 .
A B
请比较用机械能守恒 定律和用动能定理解题 的异同。
G
6、小球沿高为h=5m的光滑斜面由静止开始 下滑，求小球到达斜面底端时的速率。 用动能定理解题：
从同一高度以相同的初速率向不同方向抛出质 量相同的几个物体，不计空气阻力，则 [ ABC D ] A．它们落地时的动能都相同 B．它们落地时重力的即时功率不一定相同 C．它们运动的过程中，重力的平均功率不一 定相同 D．它们从抛出到落地的过程中，重力所做的 功一定相同
2 4
末态： 末态： E = 1 mv 2 , E = −mg L kt t pt 2 2
1 L 1 2 L 1 o − mgL = mvt − mg 3gL 2 4 2 2 vt = 2
• 例题6:如图所示,半径为r,质量不计的圆盘与地 面垂直,圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固 定轴O,在盘的最右边缘固定一个质量为m的小 球A,在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量 也为m的小球B.放开盘让其自由转动,问： • （1）A球转到最低点时的线速度是多少？ • （2）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方 向的最大角度是多少？
机械能守恒定理的应用
【例7】将质量为M和3M的两小球 和B分别拴在一根 】将质量为 和 的两小球A和 分别拴在一根 的两小球 细绳的两端，绳长为L，开始时B球静置于光滑的水平 细绳的两端，绳长为 ，开始时 球静置于光滑的水平 桌面上，A球刚好跨过桌边且线已张紧，如图所 球下落时拉着B球沿桌面滑动 示 ． 当 A球下落时拉着 球沿桌面滑动 ， 桌面的高为 ， 球下落时拉着 球沿桌面滑动，桌面的高为h， 球着地后停止不动， 且h＜L．若A球着地后停止不动，求 ：（1）B球刚滑 ＜ ． 球着地后停止不动 ） 球刚滑 出桌面时的速度大小． 球和A球着地点之间的 出桌面时的速度大小 ． （ 2）B球和 球着地点之间的 ） 球和 距离． 距离．