东北三省三校一模联考数学(理)试题
2023东北三省三校一模考数学试卷+答案（高清版）
2023东北三省三校一模考数学试卷+答案(高清版)2023东北三省三校一模考数学试卷+答案(高清版)通过“一模”考试，学生不仅可以大概得知自己在学校或全区的档次，还能找到自己在前期学习中的漏洞所在。
以下是关于2023东北三省三校一模考数学试卷+答案(高清版)的相关内容，供大家参考!2023东北三省三校高三一模数学试题2023东北三省三校高三一模数学试题答案2023东北三省三校一模考试方向及内容三校联考试题命制依据教育部考试中心对2023年高考的基本定调，研究近几年全国新课标卷、新高考卷的规律和方向，突出立德树人导向，体现学科核心素养。
把握“一核四层四翼”原则，参考2023年关于高考的最新消息及时调整。
试题强调“基础性、综合性、应用性”，并把握“以能力立意为主，贴近现实”的命题指导思想，体现出新课改、新高考精神，注重考查学科核心素养。
试题力保原创性，试题样式会根据已获知的2023年最新高考信息进行适当变动。
高三的数学有什么答题技巧1、调整好状态，控制好自我。
(1)保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
(2)按时到位。
今年的答题卡不再单独发放，要求答在答题卷上，但发卷时间应在开考前5-10分钟内。
建议同学们提前15-20分钟到达考场。
2、通览试卷，树立自信。
刚拿到试卷，一般心情比较紧张，此时不易匆忙作答，应从头到尾、通览全卷，哪些是一定会做的题要心中有数，先易后难，稳定情绪。
答题时，见到简单题，要细心，莫忘乎所以。
面对偏难的题，要耐心，不能急。
3、提高解选择题的速度、填空题的准确度。
数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。
因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法……尽显威力。
12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。
由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。
2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
高三数学2024年东北三省三校联考一模数学答案
2024年高三第一次联合模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 CABD 5-8 CBBB 二.多项选择题9.ACD 10.ABD 11.ABD 三.填空题12. 3274四.解答题15.解：（1）()2cos 22sin f x x x '=− 2' (0)2,(0)2f f '== 4'∴()f x 在0x =处的切线方程为22(0)y x −=−，即22y x =+ 6'（2）22()2cos 22sin 2(1sin )2sin 2(2sin sin 1)f x x x x x x x '=−=−−=−+− 8'()0f x '<则22(2sin sin 1)0x x −+−< 10'即2(2sin 1)(sin 1)0x x −−+<即1sin 2x >解得5(2,2),66x k k k Z ππππ∈++∈ 12' 故()f x 的单调递减区间为5(2,2),66k k k Z ππππ++∈ 13' 16.解：（1）底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=,60DAB ∴∠=. 4,8DA AB ==由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+−⨯=DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥ 2' 侧棱1DD ABCD ⊥平面，DB ABCD ⊂平面1DD DB ∴⊥4'111111,,DA ADD A DD ADD A DA DD D ⊂⊂=又平面平面且11DB ADD A ∴⊥平面6' 111AA ADD A ⊂又平面1DB AA ∴⊥7'（2）四棱台中1111ABCD A B C D −的体积为2833111111111()3ABCD A B C D ABCD A B C D V S S S S ∴=++1111111112831()33DD AD DB A D D B AD DB A D D B ∴=++ 1283128333DD ∴=,解得：11DD = 9'如图，以点D 为原点，1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则1(4,0,0),(0,43,0),(4,43,0),(0,23,1)A B C B −1(4,0,0),(0,23,1)BC BB ∴=−=−11'设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则有140230n BC x n BB y z ⎧=−=⎪⎨=−+=⎪⎩所以(0,1,23)n =13'平面11ADD A 的法向量为(0,1,0)m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ 则113cos |cos ,|1313m n m n m nθ⋅=<>=== 15'17.解：（1）由图估计甲班平均分较高3'（2）由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分； 乙班中有34的学生分数低于128分 设从两班中随机抽取一人， “该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则1113(),(),(),(),2224P A P A P B A P B A ==== 5' ()()()()()()()P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅1131522428=⨯+⨯=7'11()()()222()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯==== 8'13()()()324()5()()58P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====9'所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为23,55(3)依题X 的所有可能取值为0,1,2,310'30643101(0)6C C P X C === 11'21643101(1)2C C P X C === 12'12643103(2)10C C P X C ===13'03643101(4)30C C P X C ===14'所以X 的分布列为:15'18.解：（1）设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122,6x x y y +=+=,M N 两点在双曲线C 上22112222222211x y a b x y a b ⎧−=⎪⎪∴⎨⎪−=⎪⎩①②，由−①②得22221212220x x y y a b −−−= 即2221222212y y b x x a −=−， ()()()()2121221212y y y y b x x x x a+−∴=+− 2'22OQ MNb k k a∴⋅=，即222213,3b b a a ∴⋅=∴=又21,3a b =∴=，∴双曲线C 的方程为：2213y x −=4'（2）由已知可得，直线MN 的方程为：31(1)y x −=⋅−，即2y x =+联立22222470,1656720330y x x x x y =+⎧⇒−−=∆=+=>⎨−−=⎩ 6' 则121272,2x x x x +==− 8'11221212(1,)(1,)(1)(1)EM EN x y x y x x y y ⋅=−⋅−=−−+12121212(1)(1)(2)(2)2()5x x x x x x x x =−−+++=+++72()2502=⨯−++=EM EN ∴⊥，EMN ∴∆为直角三角形 10'（3）由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+ 设334455(,),(,),(,)P x y A x y B x y34345353,(,)(,)AP PB x x y y x x y y λλ=∴−−=−−45334533453453()1()1x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ+⎧=⎪−=−⎧⎪+∴⇒⎨⎨−=−+⎩⎪=⎪+⎩点P 在双曲线C 上， 22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴−= 22245453()()3(1)x x y y λλλ∴+−+=+22222244554545(3)(3)2(3)3(1)x y x y x x y y λλλ∴−+−+−=+③又2222445530,30x y x y −=−=，245452(3)3(1)x x y y λλ∴−=+，245453(1)32x x y y λλ+∴−=④ 联立2222230(31)630x y m y mny n x my n ⎧−=⇒−++=⎨=+⎩2222231033612(31)0m m m n n m ⎧−≠⇒≠±⎨∆=−−>⎩245452263,3131mn n y y y y m m −+==−−⑤⑥14',A B 分别在第一象限和第四象限，2450,310y y m ∴<∴−<由④式得：245453(1)3()()2my n my n y y λλ+++−=22245453(1)(31)3()32m y y mn y y n λλ+∴−+++=⑦将⑤⑥代入⑦得：222222363(1)(31)3331312n mn m mn n m m λλ−+∴−++=−− 22263(1)312n m λλ−+∴=−121sin 2AOB S OA OB AOB y y ∆∴=⋅⋅∠=221223(1)12312n y m λλλλ+⎫=====++⎪−⎭15'令11(),[,2]3h λλλλ=+∈ 221(1)(1)1()1,[,2]3h λλλλλλ+−'=−=∈ 1,1,()03h λλ⎡⎫'∴∈<⎪⎢⎣⎭，()h λ单调递减(]1,2,()0h λλ'∈>，()h λ单调递增10()[2,]3h λ∴∈， 16'3AOB S ∆∴∈⎦17'19.（1）证明：32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(83)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+ 3'21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅++⋅+⋅+01(43)11()2k S n a a a S n ∴+=+++++=+6' (83)(43)S n S n ∴+=+7'（2）（Ⅰ）解：260321684(111100)=+++=(60)2I ∴= 10'（Ⅱ）解： 21(1)=，2511(111111111)=，故从1n =到511n =中 I(n)=0有9个，I(n)=1有C 11+C 21+⋯C 81=C 92个， I(n)=2有C 22+C 32+⋯C 82=C 93个，……，I(n)=9有C 88=C 99=1个， ∑2I(n)511n=1=9×20+C 92×21+C 93×22+⋯C 99×2813'=C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×292=C90×20+C91×21+C92×22+C93×23+⋯C99×29−1216'=(1+2)9−12=984117'。
2019届东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试题及答案
东北三省三校高三第一次联合模拟考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则AB =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ） A ．()22i+ B ．1i + C ．iD ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ） A ．14 B ．112-C ．14或112-D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．95、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ）A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ） ①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3dB ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932 B ．732 C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212n na a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数())()()0ln 10x f x x x ≥=⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b+⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的取值范围．18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值． 21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+． ()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值． 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+． ()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 9014. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题：17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[12 分18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分(2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,2 3821)0(222015===C C XP 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X的分布列为X12P3821 3815 38210 分期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人）12 分19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA为平行四边形 AM EF //∴2 分又⊄EF 平面PAD,⊂AM 平面PAD∴//EF 平面PAD4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:yz111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩10 分∴21,cos λλ+-< 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q存在，是EF中点。
东北三省三校2023-2024学年高三下学期第四次联合模拟考 数学试题【含答案】
哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第四次联合模拟考试数学试卷注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i2i 1ix y +=-+，,R x y ∈，则x y +=（）A ．2B ．3C ．4D ．52．若a ，b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+ 与2a b -垂直，则λ=（）A ．0B ．2C ．1-D ．2-3．某种酸奶每罐净重X （单位：g ）服从正态分布()2184,2.5N .随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g 之间的概率为（）（注：若()2~,X N μσ，()0.6827P X μσ-<=，()20.9545P X μσ-<=，()30.9973P X μσ-<=）A ．0.8186B ．0.84135C ．0.9545D ．0.68274．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若12a =，378a a +=，则17S =（）A ．51B ．102C ．119D ．2385．过点(),P a b 作圆221x y +=的切线PA ，A 为切点，1PA =，则3a b +的最大值是（）AB C ．D ．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，I 为12PF F △的内心，记1PF I ，2PF I △，12IF F △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足3123S S S =+，则双曲线的离心率是（）A BC ．2D ．37．某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：下列结论正确的是（）A ．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5B ．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7C ．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%D ．2023年该校不上线的人数有所减少8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知M ，N ，P 分别是棱11C D ，1AA ，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线1QB 与直线1DB 的夹角为30︒，则点Q 的轨迹长度为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．对于ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若222sin sin cos 1ABC ++<，则ABC 为钝角三角形B．若1,30AB AC B ===︒，则ABC的面积为2C ．在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立D．若π,3B a ==且ABC 有两解，则b的取值范围是(3,10．已知函数()e xxf x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的极值点为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()f x 的极值点为1C ．直线2214e e y x =-是曲线()y f x =的一条切线D ．()f x 有两个零点11．已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()111f x g x ++-=，则下列说法中正确的是（）A ．4为()f x 的一个周期B ．8为()g x 的一个周期C ．()20240g =D ．()20241422024n f n =-=∑三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+=⎪⎝⎭.13．命题“任意[]1,3x ∈，22x x a -≤+”为假命题，则实数a 的取值范围是.14．已知数列{}n a 满足113,1,2,n n n a n n a a a n ++-⎧==⎨⎩是奇数是偶数，22n n b a n =+，则1n n b b +=．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，11AA =.E 为11B C 的中点.(1)求直线1A D 与直线AE 所成角的余弦值；(2)求点1D 到直线AE 的距离.16．如图，在平面内，四边形ABCD 满足B ，D 点在AC 的两侧，1AB =，2BC =，ACD 为正三角形，设ABC α∠=.(1)当π3α=时，求AC ；(2)当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值.17．如图，已知椭圆221:14x C y +=和抛物线()22:20C x py p =>，2C 的焦点F 是1C 的上顶点，过F 的直线交2C 于M 、N 两点，连接NO 、MO 并延长之，分别交1C 于A 、B 两点，连接AB ，设OMN 、OAB 的面积分别为OMN S △、OAB S．(1)求p 的值；(2)求OM ON ⋅ 的值；(3)求OMN OABS S 的取值范围.18．2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．(1)根据等高堆积条形图，填写下列22⨯列联表，并依据0.010α=的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生女生合计(2)已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X ，求()P X k =取得最大值时的()*k k ∈N 值．附：α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．19．已知2()e ln ,()ln x f x a x g x x x a ==+(1)当1a =时，求()f x 在1x =处切线方程；(2)若()()f x g x <在(0,1)x ∈恒成立，求a 的取值范围；(3)求证：411111322222123e e e e ln(1)234(1)n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅<++ ．1．C【分析】根据条件得出()()i 1i 2i x y +=+-，再根据复数的乘法运算可得出i 3i x y +=+，然后即可求出x y +的值．【详解】解：i2i 1ix y +=-+，()()i 1i 2i 3i x y ∴+=+-=+，3x ∴=，1y =，4x y ∴+=.故选：C.2．A【分析】由数量积的定义可求出⋅a b ，再由向量垂直的性质求解即可得出答案.【详解】解：a ，b是夹角为60︒的两个单位向量，则1a b == ，111cos 602a b ⋅=⨯⨯︒= ，因为a b λ+ 与2a b -垂直，则()()()222220a b a b a a b b λλλ+⋅-=+-⋅-= ，即()121202λλ-+-⨯=，解得0λ=.故选：A.3．A【分析】根据正态分布的对称性，以及184μ=， 2.5σ=，即可求得净重在179g 与186.5g 之间的概率．【详解】由题意可知，184μ=， 2.5σ=，可得1792μσ=-，186.5μσ=+，净重在179g 与186.5g 之间的概率为()()179186.52P X P X μσμσ<<=-<<+，由正态分布的对称性可知，()()()()()1222P X P X P X P X μσμσμσμσμσ-<<+=-<+-<--<∣()10.68270.95450.68270.81862=+-=，所以净重在179g 与186.5g 之间的概率为()179186.50.8186P X <<=.故选：A.4．B【分析】结合等差数列的性质先求出公差d ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．【详解】等差数列{}n a 中，12a =，37528a a a +==，即54a =，所以511512a a d -==-，则171716117210222S ⨯=⨯+⨯=.故选：B.5．C【分析】根据圆的切线的性质得出PA OA ⊥，结合勾股定理可得2222PO PA OA =+=，即222a b +=，然后设3a b t +=，将222a b +=化为关于b 的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出t 的最大值，可得答案．【详解】解：根据题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =.若PA 与圆O 相切于点A ，则PA OA ⊥，可得2222PO PA OA =+=，即222a b +=，设3a b t +=，则3a t b =-，可得()2232t b b -+=，整理得2210620b tb t -+-=，关于b 的一元二次方程有实数解，所以()22Δ364020t t =--≥，解得t -≤≤当a =5b =时，t 有最大值3a b +的最大值是故选：C.6．D【分析】利用三角形12PF F △的内切圆圆心I 到各边距离都等于半径r ，从而得到1112S PF r =，2212S PF r =，31212S F F r =，再由3123S S S =+找到,a c 的等量关系，进而求得离心率的值.【详解】设12PF F △的内切圆半径为r ，则1112S PF r =，2212S PF r =，31212S F F r =，所以()121212111222S S PF r PF r r PF PF ar -=-=-=，又3S cr =,3123S S S -=，所以13ar cr =，即3c a =，所以3e =，故选：D.7．C【分析】设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，再根据扇形统计图中各个种类的人数所占的比例，逐个选项判断即可．【详解】不妨设2022年的高考人数为100，则2023年的高考人数为150，2022年本科达线人数为50，2023年本科达线人数为90，∴2023年与2022年的本科达线人数比为9:5，本科达线人数增加了9050480%505-==，故A 错误，C 正确；2022年专科达线人数为35，2023年专科达线人数为45，∴2023年与2022年的专科达线人数比为9:7，故B 错误；2022年不上线人数为15，2023年不上线人数也是15，不上线的人数无变化，故D 错误．故选：C.8．C【分析】以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系可证得1DB ⊥平面PMN ，可得点Q 的轨迹为圆，由此即可得．【详解】解：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，()1,2,0P ，()0,1,2M ，()2,0,1N ，()0,0,0D ，()12,2,2B ，故()12,2,2DB = ，()1,1,2PM =--，()1,2,1PN =- ，设平面PMN 的法向量为(),,m x y z =，则()()()(),,1,1,220,,1,2,120m PM x y z x y z m PN x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--+=⎪⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎩ ，令1z =得，1x y ==，故()1,1,1m =，因为12DB m =，故1DB ⊥平面PMN ，Q 为平面PMN 上的动点，直线1QB 与直线1DB 的夹角为30°，1DB ⊥平面PMN ，设垂足为S ，以S为圆心，13r B S =为半径作圆，即为点Q的轨迹，其中11B D B D ==，由对称性可知，1112B S B D ==13r ==，故点Q 的轨迹长度为2π.故选：C.9．ACD【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB ，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C ，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D.【详解】选项A ：ABC 中，若222222sin sin cos sin sin 1sin 1A B C A B C ++=++-<，即222sin sin sin 0A B C +-<，所以由正弦定理得2220a b c +-<，又由余弦定理得222cos 02a b c C ab+-=<，所以π,π2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为钝角三角形，A 说法正确；选项B ：ABC 中，若1,30AB AC B ===︒，则由正弦定理得sin sin AC AB B C =，解得sin C =所以60C =︒或120︒，所以90A ∠=︒或30A ∠=︒，ABC 的面积13sin 22S AB AC A =⋅⋅=或B 说法错误；选项C ：因为ABC 是锐角三角形，所以π2C <，所以ππ2A B C +=->，又π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2A B >-，则ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，又因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，C 说法正确；选项D ：如图所示，若ABC 有两解，则sin a B b a <<，解得3b <<D 说法正确；故选：ACD 10．BC【分析】利用导数与函数的极值的关系可判断AB ；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断D ；利用导数的几何意义求得()f x 在2x =处的切线方程，从而得以判断．【详解】对A ：因为()e x x f x =-，所以()1e xx f x '-=，令()0f x '<，得1x <；令()0f x '>，得1x >，所以()f x 在(),1∞-上单调递减；在()1,∞+上单调递增.可知()f x 在1x =处取得唯一极小值，也是()f x 的最小值，所以()f x 的极值点为1x =，故A 错误，B 正确；对C ：因为()222e f =-，()212e f '=，所以()f x 在2x =处的切线方程为()22212e ey x +=-，即2214e e y x =-，故C 正确．对D ：因为()00f =，()110ef =-<，结合()f x 在(),1∞-上的单调性，可知0x =是()f x 在(),1∞-上的唯一零点；当1x >时，e 0x >恒成立，故()0e xxf x =-<恒成立，所以()f x 在()1,∞+上没有零点；综上：()f x 只有一个零点，故D 错误．故选：BC.11．BCD【分析】由题意可得()()21f x g x +-=，用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=，于是可得()()222f x f x ++-=，进而可得()f x 为周期函数，8为最小正周期，即可判断A ；用8x +替换且()()111f x g x ++-=的x ，即可判断B ；根据B 及()00g =即可判断C ；由()()222f x f x ++-=，可得()()42f x f x ++=，()()()()()()261014809080942024f f f f f f ++++⋅⋅⋅++=即可判断D.【详解】因为()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x -=-，且()00g =，又因为()()111f x g x ++-=，所以()()21f x g x ++-=，即()()21f x g x +-=，①用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，得()()111f x g x -++=，即()()21f x g x -+=，②由①＋②，得()()222f x f x ++-=，所以函数()y f x =关于()2,1中心对称，且()21f =，由()()222f x f x ++-=，可得()()42f x f x ++-=，()()()422f x f x f x +=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 为周期函数，8为周期，故A 错误；用8x +替换且()()111f x g x ++-=的x ，得()()18181f x g x ⎡⎤+++-+=⎣⎦，又因为()()181f x f x ++=+，所以()()()11818g x g x g x ⎡⎤⎡⎤-=-+=-+⎣⎦⎣⎦，所以()()8g x g x +=，所以()g x 为周期函数，8为周期，故B 正确；所以()()()20242538000g g g =⨯+==，故C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，即()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142f f +=，……令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以()()()()()()1012261014809080942222024f f f f f f ++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+=个所以()()()()()()()2024142261014809080942024n f n f f f f f f =⎡⎤-=++++⋅⋅⋅++=⎣⎦∑，故D 正确．故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查了判断抽象函数的对称性、周期性，考查函数的奇偶性，解题的关键是用x -替换()()111f x g x ++-=中的x ，再结合函数的奇偶性分析，考查推理能力和计算能力，属于较难题．12．78##0.875【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式可求得答案．【详解】因为π1sin 64α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 16323688αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：78.13．52a >【分析】根据题意，问题转化为存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，即()min22x xa ->+，求出22x x y -=+的最小值得解.【详解】若命题任意“[]1,3x ∈，22x x a -≤+”为假命题，则命题存在[]1,3x ∈，22x x a ->+为真命题，因为13x ≤≤时，228x ≤≤，令2x t =，则28t ≤≤，则1y t t=+在[]28,上单调递增，所以56528y ≤≤，所以52a >.故答案为：52a >.14．2【分析】根据递推公式推导出2222(1)24n n a n a n +++=+，即可得解.【详解】由数列{}n a 满足11a =，13,2,n n n a n n a a n ++-⎧=⎨⎩是奇数是偶数，可得22(21)12121(21)322n n n n a a a n a n +++++==++-=+-，又由2122n n a a +=，所以22(21)12222n n n a a a n +++==+-因为22n n b a n =+，可得12222(1)24n n n b a n a n ++=++=+，所以1222422n n n n b a na nb ++==+.故答案为：215．(1)30【分析】（1）先利用直线的平行，找出所求的线线角，再放在三角形中，求角；（2）构造三角形，转化为求三角形的高.【详解】（1）如图：取1CC 中点，连接EF ，AF ，由长方体的性质可知1//A D EF ，所以AEF ∠(或其补角)即为1A D 与AE 所成的角，在AEF 中：161132AE =++=1514EF =+1916442AF =++=，由余弦定理：222cos 2·AE EF AF AEF AE EF +-∠=5811810443052322+-=⨯⨯10.（2）连接1AD ，1ED ，在1AD E 中：1415AD +116117ED =+=32AE =，所以2221111cos 2·AD AE D E D AE AD AE +-∠=10102532=⨯，所以1310sin 10D AE ∠=，所以点1D 到直线AE 的距离为：1131032sin 5102AD D AE ⨯∠16．3(2)5324+【分析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得AC 的值；（2）由余弦定理可得2AC 的表达式，进而求出正三角形ACD 的面积的表达式，进而求出四边形ABCD 的面积的表达式，由辅助角公式及α的范围，可得四边形面积的范围．【详解】（1）因为1AB =，2BC =，π3B =，由余弦定理可得：2212cos 1421232AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=（2）由余弦定理可得2222cos 14212cos 54cos AC AB BC AB BC ααα=+-⋅=+-⨯⨯=-，因为ACD 为正三角形，所以2353344ACD S AC α==△，11sin 12sin sin 22ABC S AB BC ααα=⋅=⨯⨯=△，所以53π53sin 32sin 434ABC ACD ABCD S S S ααα⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭四边形△△，因为()0,πα∈，所以ππ2π333,α⎛-∈-⎫ ⎪⎝⎭，所以πsin ,13α⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以244ABCD S ⎛∈+ ⎝⎦四边形，故当5π6α=时，四边形ABCD 面积的最大值为5324+.17．(1)2p =(2)3-(3)[)2,+∞【分析】（1）由抛物线2C 的焦点坐标求p 的值；（2）设直线MN 的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理求OM ON ⋅ 的值；（3）设直线NO 、MO 的方程，与椭圆联立方程组表示出,A B x x ，由OMNOAB OM ON S S OB OA⋅=⋅ ，化简并结合基本不等式求取值范围.【详解】（1）椭圆221:14x C y +=的上顶点坐标为()0,1，则抛物线2C 的焦点为()0,1F ，故2p =.（2）若直线MN 与y 轴重合，则该直线与抛物线2C 只有一个公共点，不符合题意，所以直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为1y kx =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，216160k ∆=+>恒成立，则124x x =-，221212121241344x x OM ON x x y y x x ⋅=+=+=-+=- .（3）设直线NO 、MO 的斜率分别为1k 、2k ，其中10k >，20k <，联立12244y k x x y =⎧⎨+=⎩可得()221414k x +=，解得x =点A在第三象限，则A x =，点B在第四象限，同理可得B x =且121212121164y y x x k k x x ===-121222OMNOAB B AOM ON x x x x S S OB OA x x ⋅⋅⋅===⋅⋅=2≥=，当且仅当112k =时，等号成立.OMNOABS S 的取值范围为[)2,+∞.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．(1)填表见解析；能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联(2)20k =【分析】（1）根据等高堆积条形图，填写22⨯列联表，利用公式求2χ，与临界值对比后下结论；（2）依题意，随机变量13~30,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由不等式组3013113030301291303013131313C 1C12020202013131313C 1C 120202020kkk kk k k kk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】（1）由题意，根据等高堆积条形图，完成22⨯列联表如下：性别是否喜欢羽毛球运动合计是否男生7525100女生5545100合计13070200零假设为0H ：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．220.010200(75455525)8.791 6.63510010013070x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，∴依据小概率值0.010α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．（2）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为1301320020=，∴随机变量13~30,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴30301313()C 12020kkk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．要使()P X k =取得最大值，则需3013113030301291303013131313C 1C12020202013131313C 1C 120202020k kk kk k kkk kk k -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得3834032020k ≤≤，∵*k ∈N ，∴当20k =时，()P X k =取得最大值．19．(1)e e 0x y --=；(2)1[,)e+∞；(3)证明见解析.【分析】（1）把1a =代入，求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）将不等式()()f x g x <等价变形成ln ln(e e)x x x a x a <，按e 1x a ≥及0e 1x a <<讨论，构造函数借助单调性质可得e x a x >，再分离参数即可求出a 的范围.（3）由（2）的结论，当1ea =时()()f x g x <成立，变形整理得1ln (1)e x x x x -<-，取1nx n =+，借助裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）当1a =时，()e ln x f x x =，求导得)1(()e ln x f x x x+'=，则(1)e f '=，而(1)0f =，所以()f x 在1x =处切线方程为e(1)y x =-，即e e 0x y --=.（2）2ln ln ln ln(e ()()e ln ln )(0,,e 1)e x xx xx x a x a x x x a x x x a x f a a g x +∀∈⇔<+⇔⇔<<<，当01x <<时，ln 0x x <，当e 1xa ≥时，0)ln(e e x x a a ≥，则不等式ln ln(e e )x xx a x a <恒成立，此时e x a x >，当0e 1x a <<时，令函数ln (),01x h x x x =<<，求导得21ln ()0xh x x -'=>，函数()h x 在(0,1)上单调递增，不等式ln ln(e e)xxx a x a <，即()(e )x h x h a <，因此e x a x >，从而)(0,1(e ),()e xx x x x x a x f a g ∀∈⇔⇔><>，令1(0),e x x x x ϕ=<<，求导得1()0e xx x ϕ'-=>，函数()ϕx 在(0,1)上单调递增，1(0,1),()(1)e x x ϕϕ∀∈<=，则1e a ≥，所以a 的取值范围是1[,)e+∞.（3）由（2）知，当1ea =时，不等式112e ln ln (1)e x x x x x x x x --<-⇔<-对(0,1)x ∀∈恒成立，取1n x n =+，得11ln (1)1e 11nn n n n n n n -+-+<++，即112l 1(1n e )n n n n n ++<-+，因此112l 1(1)n e n n n n n +++>，即112e ln 1)ln 1)((n n n n n +<+-+，则111324222211123e e e e ln 2ln14ln 3ln 2ln 23(1)(1)ln n n n n n +⋅+⋅+⋅++⋅+<-+-+++- ln(1)ln1ln(1)n n =+-=+，所以原不等式成立.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
东北三省三校高三数学一模 理(扫描版)
东北三省三校2013届高三数学一模理（扫描版）2013年三省三校第一次联合模拟考试数学答案一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）CCBAC BBBDC DB二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14 14. 121 15. 3242π- 16. 2131+ 三.解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分12分）解：（Ⅰ）在1,)1(2≥-+=n a S nn n 中分别令3,2,1=n 得： 错误！不能通过编辑域代码创建对象。
解得：⎪⎩⎪⎨⎧===201321a a a (3)分（Ⅱ）由1,)1(2≥-+=n a S n n n 得：2,)1(2111≥-+=---n a S n n n 高考资源网两式相减得：2,)1(221≥--=-n a a n n n ……6分n n n n n n n a a a )1(32)1(342)1(32)1(342111---+=----=---高考资源网 )2)()1(32(2)1(3211≥-+=-+--n a a n n n n ……9分 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a )1(32是以31321=-a 为首项，公比为2的等比数列．高考资源网 所以 1231)1(32-⨯=-+n n n a n n n a )1(322311-⨯-⨯=- ……12分 18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ， ……1分123731021()40C C P A C ⋅==. ……4分 （Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布：其中10,3,3N M n ===，ξ的可能值为0,1,2,3，其分布列为：()()3373100,1,2,3k k C C P k k C ξ-=== ……6分……8分（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为710P =， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η~(366,0.7)B ……10分3660.7256.2256E η∴=⨯=≈，∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级 .…12分19.（本题满分12分）解：（1）证明：取AB 1的中点G ，联结EG ，FGΘF 、G 分别是棱AB 、AB 1中点，111//,2FG BB FG BB ∴=又ΘFG ∥EC ，112EC CC =， FG ＝EC ∴四边形FGEC 是平行四边形，//CF EG ∴ ……4分ΘCF ⊄平面AEB 1，EG ⊂平面AEB 1//CF ∴平面AEB . ……6分（2）解：以C 为坐标原点，射线CA ，CB ，CC 1为,,x y z 轴正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系.C xyz -则C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，4）设(0,0,)E m (04)m ≤≤，平面AEB 1的法向量1(,,)x y z =n .则1(1,2,4)AB =-uuu r ,(1,0,)AE m =-uu u r 由11AB ⊥u u u r n ，1AE ⊥u u u r n得2400x y z x mz -++=⎧⎨-+=⎩1(2,4,2)m m =-n ……8分CA ∴⊥平面11C CBB CA ∴u u u r 是平面EBB 1的法向量,则平面EBB 1的法向量2=n (1,0,0)CA =u u u r ……10分 P 724 2140 740 1120Θ二面角A —EB 1—B的平面角余弦值为17，则121212cos ,⋅=<>==n n n n n n 解得1(04)m m =≤≤∴在棱CC 1上存在点E ，符合题意，此时1CE = ……12分20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）当1m =时，E 为抛物线24y x =的焦点，∵121k k =-，∴AB ⊥CD设AB 方程为1(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y 由12(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得211440k y y k --=，121214,4y y y y k +==- AB 中点1212(,)22x x y y M ++，∴21122(1,)M k k +，同理，点211(21,2)N k k +-……2分∴1||||2EMN S EM EN ∆=⋅==4分4≥= 当且仅当21211k k =，即11k =±时，△EMN 的面积取最小值4． ……6分 （Ⅱ）证明：设AB 方程为1()y k x m =-，1122(,),(,)A x y B x y由12()4y k x m y x =-⎧⎨=⎩，得211440k y y k m --=，121214,4y y y y m k +==- AB 中点1212(,)22x x y y M ++，∴21122(,)M m k k +，同理，点22222(,)N m k k +……8分 ∴121212M N MN M N y y k k k k k x x k k -===-+ ……10分∴MN ：1221122[()]y k k x m k k -=-+，即12()2y k k x m =-+ ∴直线MN 恒过定点(,2)m ． ……12分21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）()sin cos sin (1)sin cos f x a x ax x x a x ax x '=+-=-+ ……2分()(1)42428f a a ππ'=-⋅+⋅⋅= 1a ∴= ……4分 ()cos f x x x '∴= ()0,022f x x x πππ'∴>⇒-<<-<<或 ()00,22f x x x πππ'∴<⇒-<<<<或 则()f x 在(,),(0,)22πππ--上单调递增；()f x 在(,0),(,)22πππ-上单调递减；……6分 （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 单调递增，∴min ()(0)1f x f == 则依题()1g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立 222()(),(0,0)(1)(1)m m x m g x x m mx x -+'=≥>++ ……8分 ①当2m ≥时，20m m-≥，()0g x '∴≥在[0,)+∞上恒成立，即()g x 在[0,)+∞上单调递增，又(0)1g =，所以()1g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立，即2m ≥时成立 ……10分 ②当02m <<时，当x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减，()(0)1g x g ∴<=，故02m <<时不成立，综上2m ≥ ……12分22.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲（Ⅰ）证明：连接OD ，则OD MD ⊥90,90,O O,o o CEO ECO MDE EDO ED EC CEO MDE MED MD ME∠+∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠=∠∴=又 ……5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）1)2(32=∴+⋅=∴⋅=MA MA MA MB MA MD在Rt MDO ∆中，2,MO MD ==60,15015MOD COD ECO ∴∠=∴∠=∴∠=o o o2615cos 1cos -==∠=o ECO OC CE ……10分23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）圆1C 和2C 的的普通方程分别是4)2(22=+-y x 和1)1(22=-+y x ，所以圆1C 和2C 的的极坐标方程分别是θρcos 4=和θρsin 2=. ……5分 （Ⅱ）依题意得，点Q P ,的极坐标分别为(4cos ,)P αα和(2sin ,)Q αα所以|cos 4|||α=OP ，|sin 2|||α=OQ .从而|||||4sin 2|4OP OQ α⋅=≤.当且仅当sin 21α=±时，上式取“=”即，||||OP OQ ⋅的最大值是4. ……10分24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）2a =时，2221x x x -+≥+21,3x x ∴-≥∴≥或1x ≤，∴解集为(][),13,-∞+∞U ……5分 （Ⅱ）3(),x a x a f x x a x a -≥⎧=⎨+<⎩，0a >∴Q 当2x >-时()2f x x a a ≥+>-+，只需20a -+≥即可， 2a ∴≥ ……10分。
2022年东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中)高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（理科）1. 复数z 满足，则复数( )A.B.C.D.2. 已知集合，，则等于( )A.B. C.D.3. 下面是某城市某日在不同观测点对细颗粒物的观测值：396 275 268 225 168 166 176 173 188 168 141 157若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，下列数字特征没有改变的是( )A. 极差B. 中位数C. 众数D. 平均数4. 设m ，n 是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的是( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则 5.等差数列的前n 项和为，已知，，则( )A. 3B.C. 5D.6.直线l ：与圆C ：交于A ，B 两点，若，则m 的值为( )A.B. C.D.7. 已知a ，，则“”的一个必要条件是( )A. B. C.D.8. 已知，，，则( )A.B.C.D.9. 已知某个函数的图像如图所示，则下列解析式中与此图像最为符合的是( )A. B. C.D.10.已知数列满足对任意的正整数n，都有…，其中，则数列的前2022项和是( )A. B. C. D.11. 如图是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为( )A. B. C. D.12. 已知，，是双曲线：的两个焦点，若点P为椭圆：上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，取最小值，则椭圆离心率的取值范围为( )A. B. C. D.13. 已知向量，，点A的坐标为，则点B的坐标为______.14. 对称性是数学美的重要特征，是数学家追求的目标，也是数学发现与创造中的重要的美学因素．著名德国数学家和物理学家魏尔说：“美和对称紧密相连”．现用随机模拟的方法来估算对称蝴做一个边长为2dm的正方形将其蝶如图中阴影区域所示的面积，包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，据此可估计图中对称蝴蝶的面积是______15.在棱长为2的正方体的侧面内有一动点P到直线与直线BC的距离相等，则在侧面上动点P的轨迹与棱AB，所围成的图形面积是______.16. 已知函数，恰有3个零点，，，且，有下列结论：①；②；③；④其中正确结论的序号为______填写所有正确结论的序号17. 第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及60岁以上人口已达亿，预计“十四五”期间这一数字将突破3亿，我国将从轻度老龄化进人中度老龄化阶段．为了调查某地区老年人生活幸福指数，某兴趣小组在该地区随机抽取40位老人其中男性20人，女性20人，进行幸福指数调查，规定幸福指数越高老年生活越幸福，幸福指数大于或等于50的老人为老年生活非常幸福，反之即为一般幸福．调查所得数据的茎叶图如图：依据上述样本数据的茎叶图，分析此样本中男性老人和女性老人相比哪个幸福指数相对更高，并说明理由可以不计算说明；请完成下列列联表，并判断能否有的把握认为老年人幸福指数与性别有关？一般幸福非常幸福合计男性20女性20合计40附：，其中18. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，角C的内角平分线与边AB交于点求角B的大小；记，的面积分别为，，在①，，②，，这两个条件中任选一个作为已知，求的值．19.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，，，E，F分别为棱，BC的中点，G为线段CF的中点．证明：平面AEF；求二面角的余弦值．20. 已知椭圆，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接为坐标原点，线段OG与椭圆C交于点若直线OP，OQ的斜率分别为，求的值；求面积的最大值．21. 已知函数其中e是自然对数的底数当时，证明：；当时，恒成立，求正整数k的取值集合；证明：!参考数据：，，22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是分别写出的普通方程与的直角坐标方程；将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，若曲线与曲线交于A，B 两点，求的值．23. 已知函数求不等式的解集；若函数最小值为m，已知，，，，求的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，即故选：根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，考查计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：，，故选：分别求解函数的值域与定义域，化简M与N，再由并集运算得答案．本题考查函数的定义域及值域的求法，考查并集及其运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，若在此组数据中增加一个比现有的最大值大25的数据，即最大值变为，极差为最大值与最小值的差，要发生改变，加入数据前，中位数为，加入数据后，中位数为发生改变，众数为数据中出现次数最多的数，不会改变，平均数体现数据的整体水平，要发生改变，故选：根据题意，由平均数、方差、众数、中位数的计算方法，依次分析是否发生改变，即可得答案．本题考查数据的数字特征，涉及平均数、方差、众数、中位数的计算，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，对于A，若，，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，若，，则与相交或平行，故B错误；对于C，若，，，则m与n平行或异面，故C错误；对于D，若，，，则由线面垂直的判定定理得，故D正确．故选：对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，与相交或平行；对于C，m与n平行或异面；对于D，由线面垂直的判定定理得本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解法一：等差数列的前n项和为，，，，解得，，解法二：等差数列的前n项和为，，，，即，解得，故选：法一：利用等差数列通项公式和前n项和公式列方程组，求出，，由此能求出法二：由，求出，从而，由此能求出结果．本题实数等差数列的前5项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：直线l：与圆C：交于A，B两点，圆心到直线l的距离，，即，解得故选：根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：对于A，令，，推不出，故A错误，对于B，由“”得：且，故，反之，若，推不出，比如，，故是的必要不充分条件，故B正确，对于C，令，，推不出，故C错误，对于D，令，，推不出，故D错误，故选：取特殊值判断ACD，根据充分必要条件的定义判断本题考查了充分必要条件，考查特殊值法的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：，且，，即，，，又，，故选：利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．9.【答案】B【解析】解：由图像可知函数的定义域为，对于A：函数的定义域为，故A不符合；对于B：函数的定义域为，故B符合，对于C：函数的定义域为，故C不符合；对于D函数的定义域为，但，故D不符合．故选：根据函数的定义域排除AC，根据函数的值排除本题考查了函数图像的识别，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：不妨设数列的前n项和为，故由题可得，故当时，，则，即，又当时，，故该数列是，且从第二项起是公比为2的等比数列，故故选：根据已知条件，利用，的关系，求得数列类型，再利用等比数列的前n项和公式即可求得结果．本题考查了数列的递推式以及等比数列求和的问题，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意可知几何体的是三棱锥，是四棱柱的一部分，如图，三棱锥的外接球与四棱柱的外接球相同，该几何体外接球表面积的最小值就是外接球的半径取得最小值，即直径取得最小值，直径为AD，则，当且仅当时取等号，所以该几何体外接球表面积的最小值为：故选：判断几何体的形状，求解外接球的半径，然后求解即可．本题考查三视图求解几何体是外接球的表面积的最小值，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：假设点P在x轴上方，设，则，由已知得，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，，，由于P为椭圆的短轴端点时，取最小值，即取最小值，也取最小值，此时，函数在上单调递减，，即，解得即椭圆离心率的取值范围为故选：假设点P在x轴上方，设，，利用与直线倾斜角以及直线倾斜角的关系构建关于的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可．本题考查了椭圆离心率取值范围的问题，属于中档题．13.【答案】【解析】解：设，由于向量，，故，整理得，故答案为：直接利用向量的线性运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，正方形的边长为2dm，则正方形的面积，向该正方形内随机投掷1000个点，已恰有395个点落在阴影区域内，则有，解可得，故答案为：根据题意，设图中对称蝴蝶的面积为，求出正方形的面积，由几何概型的计算公式可得，解可得答案．本题考查几何概型的计算，涉及模拟方法估算概率，属于基础题．15.【答案】【解析】解：P到直线与直线BC的距离相等，可得点P到直线与直线B的距离相等，所以点P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，以的中点为坐标原点，过中点M，的中点O的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，因为，所以抛物线方程为，所以在侧面上动点P的轨迹方程为，侧面上动点P的轨迹与棱AB，所围成的图形面积为故答案为：点P的轨迹是以B为焦点，为准线的抛物线，建立坐标系，求得曲线方程，利用定积分求面积．本题考查点的轨迹问题，以及曲线围成图形的面积，属中档题．16.【答案】②③④【解析】解：如下图所示：因为，则，由图可知，，则，且直线与曲线相切于点，对于①：若，即，由题意可得，所以，即，解得，因为，则不成立，故①错误；对于②：因为，则，故②正确；对于③：当时，则，，由题意可得，可得，所以，所以，故③正确；对于④：由上可知，所以，因此，，故④正确．故答案为：②③④．作出图形，分析可知，，且直线与曲线相切于点，可得出，利用反证法结合二倍角公式可判断①，由已知条件可判断②；利用二倍角的正弦公式和弦化切可判断③；利用已知条件可判断④．本题考查函数的零点与方程的根的关系，以及三角恒等变换，属难题．17.【答案】解：由茎叶图可知，女性老人的幸福指数主要集中在之间，男性老人的幸福指数主要集中在之间，故可推断出女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，故女性老人幸福指数更高．列联表如图所示：一般幸福非常幸福合计男性 16 4 20女性 11 9 20合计 27 1340，有的把握认为老年人幸福指数与性别有关．【解析】由茎叶图可得，女性老人幸福指数的均值大于男性老人幸福指数的均值，即可求解．根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，由正弦定理可得，由可得，因为，可得，所以，即，因为，所以；选①：因为，，由余弦定理可得b²²²，代入可得a²，解得，因为CD平方，令，则，，则；选②：因为，解得，由，再由余弦定理可得b²²²，即²²，可得a²²，联立，解得，，由CD平方，令，则则，，则【解析】由，化简可得，即可求解；选①：由余弦定理求得a，令，结合三角形的面积公式求得，，即可求得的值．选②：由，求得，利用余弦定理求得a²²，联立方程组即可求得a，c ，结合面积公式求得，，即可求得的值．本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：连接交AE于O，连接OF，由题意，四边形是平行四边形，所以，因为E为的中点，，∽，且相似比为，，又F，G分别为棱BC，CF的中点，，，又平面AEF，平面AEF，平面AEF，连接，，，，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，，设平面AEF的一个法向量为，则，令，则，，平面AEF的一个法向量为，设平面BEF的一个法向量为，则，令，则，，平面BEF的一个法向量为，，，因为二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为【解析】连接交AE于O，连接OF，可证，进而可证平面AEF；建立如图所示的空间直角坐标系，求平面AEF的一个法向量，求平面BEF的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，以及面面角的余弦值的求法，属中档题．20.【答案】解：，，设，，由题意直线的方程为，①，直线的方程为，②，由①②得点，可得，，由知，设直线OP的方程为，直线OQ的方程为，由，得，由对称性，不妨设，，，由知，异号，，异号，，点Q到直线的距离，，，当且仅当，取等号，面积的最大值为【解析】设，，由题意写出直线，的方程，求出点G的坐标，从而表示出，，进而求出的值．设直线OP、OQ的方程，联立方程求出P，Q的坐标，计算点Q到直线的距离，表示出面积，利用基本不等式求解最大值．本题考查两直线的斜率的比值、三角形面积的最大值的求法，考查直线与椭圆的位置关系、韦达定理、根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：证明：设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即当且时，取等号，所以，则，即当且仅仅当时取等号，因为上述两个不等式等号不同时取到，所以，所以由已知，，且k为正整数，所以或，当时，令，所以在区间上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即恒成立，当时，令，在上单调递增，所以，，所以存在，使得，当时，，则在上单调递减，所以，从而不满足恒成立，故，综上所述，正整数k的取值集合为由知时，，令，则，所以!，所以!，因为且，所以，所以，所以!【解析】设，求导判断单调性，从而证明，进而可证明当且仅仅当时取等号，可得，即证由已知判断得，分类讨论与的情况，令新函数，求导判断单调性，从而判断是否恒成立．由得，从而可得!，可证明!，即证!本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，消t可得，，，，①，故将曲线绕点按逆时针方向旋转得到曲线，直线的斜率为，即直线的方程为，则直线的参数方程为为参数②，联立①②可得，，A，B对应的参数为，，则，，点在圆C外，，同号，由参数方程的几何意义可知，【解析】根据已知方程，消t，即可求解，根据方程，结合极坐标公式，即可求解．根据已知条件，先求出，再可求得该参数方程，再结合参数方程的性质，即可求解．本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：由题意，当时，，解得，当时，恒成立，解得，当时，，解得，综上所述，不等式的解集为由绝对值不等式可得，，当且仅当时等号成立，故函数最小值为3，即，所以，，，，，当且仅当时，等号成立，故，即的最小值为【解析】根据题意，分，，三种情况讨论，即可求解．由绝对值三角不等式可得，函数的最小值为3，即，再根据柯西不等式，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的求解，考查柯西不等式的应用，属于中档题．。
2020年哈师大附中、辽宁省实验中学、东北师大附中三校联考高考(理)数学一模试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝03．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．125．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣67．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．911．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．二、填空题13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为．15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则∁R（A∪B）＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），＝（0，1），A∪B＝B，则∁R（A∪B）＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）故选：B．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），是实数，那么复数z的实部与虚部满足的关系式为（）A．a+b＝0B．a﹣b＝0C．a﹣2b＝0D．a+2b＝0解：由z＝a+bi（a，b∈R），得＝，由题意，b﹣a＝0．故选：B．3．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β解：对于选项A：若α⊥β，则m∥β也可能m⊥β，故错误．对于选项B：若α⊥β，则m⊥β也可能m∥β，故错误．对于选项C：若m∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误．对于选项D，直线m⊂α，m⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确．故选：D．4．大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取n＝13，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（）A．9B．10C．11D．12解：由题意任取一个正整数n，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，第一步：n＝13为奇数，则n＝13×3+1＝40，第二步，n＝40为偶数，则n＝，第三步，n＝20为偶数，则n＝＝10，第四步，n＝10为偶数，则n＝＝5，第五步，n＝5为奇数，则n＝5×3+1＝16，第六步，n＝16为偶数，则n＝，第七步，n＝8为偶数，则n＝＝4，第八步，n＝4为偶数，则n＝＝2，第九步，n＝2为偶数，则n＝＝1．∴取n＝13，要想算出结果1，共需要经过的运算步数是9．故选：A．5．已知a＝ln3，b＝log3e，c＝logπe（注：e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c解：a＝ln3＞1＞b＝log3e＞c＝logπe，∴a＞b＞c，故选：B．6．已知在边长为3的等边△ABC的中，，则＝（）A．6B．9C．12D．﹣6解：∵＝（）＝（+）•＝＝32+×3×3×cos120°＝6；故选：A．7．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体A﹣BEF的体积为（）A．B．C．1D．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（0，2，1），＝（0，﹣2，0），＝（﹣2，0，1），＝（﹣2，﹣2，2），＝0，∴S△ABF＝＝＝，设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，2），∴E到平面ABF的距离d＝＝，∴四面体A﹣BEF的体积为：V A﹣BEF＝V E﹣ABF＝＝＝．故选：B．8．已知函数的图象向右平移个单位后，其图象关于y轴对称，则φ＝（）A．B．C．D．解：把函数＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，可得y＝2sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象关于y轴对称，可得﹣2φ+＝kπ+，k∈Z．即φ＝﹣﹣，再令k＝﹣1，可得φ＝，故选：D．9．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x ＝上存在一点P满足＝0，则椭圆的离心率取值范围为（）A．B．C．D．解：设P（，y），由＝0，则＝（﹣c，y）+（﹣c，b）＝（﹣2c，y+b），＝（，y﹣b），所以由＝0，可得：（﹣2c）+（y+b）（y﹣b）＝0，可得：﹣2a2﹣b2＝﹣y2≤0，整理可得：a4﹣2a2c2﹣（a2﹣c2）c2≤0，即e4﹣3e2+1≤0，解得：≤e2，即≤e≤，由于椭圆的离心率小于1，所以≤e＜1，故选：C．10．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1+x）＝f（1﹣x），当x∈[1，+∞）时，f（x）＝，则函数f（x）的图象与函数g（x）＝的图象在区间[﹣5，7]上所有交点的横坐标之和为（）A．5B．6C．7D．9解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称，而函数g（x）＝的图象也关于直线x＝1对称，作出函数f（x）和g（x）图象如图：由图可知，所以交点横坐标之和＝3×2+1＝7，故选：C．11．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记b n为数阵从左至右的n列，从上到下的n行共n2个数的和，则数列的前2020项和为（）A．B．C．D．解：由题意，设数列{a n}的前n项和为S n．∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n+2，∴数列{a n}是以4为首项，2为公差的等差数列．∴第1行的所有项的和即为：a1+a2+…+a n＝S n＝4n+•2＝n2+3n．则第2行的所有项的和为：a2+a3+…+a n+1＝（a1+d）+（a2+d）+…+（a n+d）＝S n+nd；第3行的所有项的和为：a3+a4+…+a n+2＝（a1+2d）+（a2+2d）+…+（a n+2d）＝S n+2nd；•••第n行的所有项的和为：a n+a n+1+…+a2n﹣1＝[a1+（n﹣1）d]+[a2++（n﹣1）d]+…+[a n+（n﹣1）d]＝S n+（n﹣1）nd；∴b n＝（a1+a2+…+a n）+（a2+a3+…+a n+1）+（a3+a4+…+a n+2）+…+（a n+a n+1+…+a2n﹣1）＝S n+（S n+nd）+（S n+2nd）+…+[S n+（n﹣1）nd]＝nS n+[1+2+…+（n﹣1）]•nd＝n（n2+3n）+•n•2＝2n2（n+1）．＝＝＝（﹣）．∴数列的前2020项和为++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故选：D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝120°，∠F1PF2的平分线交x轴于点A，则|PA|＝（）A．B．C．D．解：由题意可得a2＝1，b2＝3，在三角形PF1F2中，设P在右支上，由余弦定理可得F1F22＝PF12+PF22﹣2PF1•PF2•cos120°＝（PF1﹣PF2）2+2PF1•PF2+PF1PF2，即4c2＝4a2+3PF1PF2，所以可得PF1PF2＝＝＝＝4，PF1﹣PF2＝2a＝2，可得PF1＝+1，PF2＝﹣1，所以S＝•sin120°＝＝，因为PA为角平分线，所以∠F1PA＝∠F2PA＝60°，而S＝S+S＝（PF1•PA sin60°+PF2•PA•sin60°）＝PA •（PF1+PF2）＝PA（+1+﹣1）＝PA，所以＝PA，所以PA＝，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大，动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力．假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%．若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为．解：设事件A：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次，事件B：车载动力蓄电池充放电循环次数达到2500次，则P（A）＝，P（AB）＝，所以若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为P（A|B）＝＝＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x+ae﹣x在[0，1]上不单调，则实数a的取值范围为（1，e2）．解：由题意可得，＝0在[0，1]上有变号零点，故a＝e2x在[0，1]上有变号零点，因为y＝e2x在[0，1]上单调，e2x∈[1，e2]，故1＜a＜e2，故答案为：（1，e2）15．数列{a n}满足a1＝1，a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），则a n＝．解：∵a n（2S n﹣1）＝2S n2（n≥2，n∈N*），∴（S n﹣S n﹣1）（2S n﹣1）＝2S n2，整理得：S n﹣S n﹣1＝﹣2S n•S n﹣1（n≥2，n∈N*），∴﹣＝2（n≥2，n∈N*）∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∴S n＝，∴当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝，∴a n＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝（x2﹣a）2﹣3|x2﹣1|﹣b，当③a＝1，﹣2＜b＜0时（从①②③④中选出一个作为条件）函数有⑦6个零点．（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）①a≤﹣②＜a＜③a＝1，﹣2＜b＜0④a＝1，或b＝0⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点解：可选③a＝1，﹣2＜b＜0，由f（x）＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|﹣b，令f（x）＝0，可得b＝（x2﹣1）2﹣3|x2﹣1|，即b＝|x2﹣1|2﹣3|x2﹣1|，可令t＝|x2﹣1|，可得b＝t2﹣3t，可设g（t）＝t2﹣3t，分别画出y＝g（t）和t＝|x2﹣1|的图象，由﹣2＜t2﹣3t＜0，即．可得0＜t＜1或2＜t＜3，当0＜t＜1时，t＝|x2﹣1|有4个零点；2＜t＜3时，t＝|x2﹣1|有2个零点，则函数f（x）共有6个零点．故答案为：③a＝1，﹣2＜b＜0，⑦6个零点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分. 17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝2a+c．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a＝2，D为AC的中点，且BD＝，求c．解：（I）由已知以及正弦定理，可得：2sin B cos C＝2sin A+sin C＝2sin（B+C）+sin C＝2sin BcoC+2cos B sin C+sin C，所以：2cos B sin C+sin C＝0，由于：0＜C＜π，sin C≠0，cos B＝﹣，因为B∈（0，π），解得：B＝；（Ⅱ）如图所示：，∵D为AC的中点，∴，两边平方得：，∴，∴，整理得：c2﹣2c﹣8＝0，解得：c＝4．18．如图，三棱柱A1B1C1﹣ABC中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，BC＝1，BB1＝3，D是CC1的中点，E是AB的中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面C1BA1；（Ⅱ）F是线段CC1上一点，且直线AF与平面ABB1A1所成角的正弦值为，求二面角F﹣BA1﹣A的余弦值．解：（Ⅰ）取AA₁的中点G，连接DG，EG，则DG∥A₁C₁，E，G为中点，所以EG∥BA₁，DG⊄平面BA₁C₁，A₁C₁⊂平面BA₁C₁，故DG∥平面BA₁C₁，同理EG∥平面BA₁C₁，又DG∩EG＝G，故平面DEG∥平面BA₁C₁，DE⊂平面EDG，所以DE∥BA₁C₁；（II）以B为原点，BA，BB₁，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B₁（0，3，0），A₁（2，3，0），C（0，0，1），C₁（0，3，1），设F（0，a，1），A（2，0，0），，平面ABB1A1所的法向量为，由cos＜＞＝，a＝2，故F（0，2，1），＝（0，2，1），＝（2，3，0），设平面FBA₁的法向量为，由，得，由cos＜＞＝，由于二面角为钝角，故所求二面角余弦值为．19．为了研究55岁左右的中国人睡眠质量与心脑血管病是否有关联，某机构在适龄人群中随机抽取了100万个样本，调查了他们每周是否至少三个晚上出现了三种失眠症状，A 症状：入睡困难；B症状：醒的太早；C症状：不能深度入睡或做梦，得到的调查数据如下：数据1：出现A症状人数为8.5万，出现B症状人数为9.3万，出现C症状人数为6.5万，其中含AB症状同时出现1.8万人，AC症状同时出现1万人，BC症状同时出现2万人，ABC症状同时出现0.5万人；数据2：同时有失眠症状和患心脑血管病的人数为5万人，没有失眠症状且无心脑血管病的人数为73万人．（Ⅰ）依据上述数据试分析55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约多少？（Ⅱ）根据以上数据完成如表列联表，并根据所填列联表判断能否有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”？失眠不失眠合计患心脑血管疾病不患心脑血管疾病合计参考数据如表：P（K2≥k0）0.500.400.250.150.10 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706P（K2≥k0）0.050.0250.0100.0050.001 k0 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：．解：（Ⅰ）设A＝{出现A症状的人}，B＝{出现B症状的人}，C＝{出现C症状的人}，card表示有限集合元素的个数，根据数据1，可知card（A∩B）＝1.8万，card（A∩C）＝1万，card（B∩C）＝2万，card（A∩B∩C）＝0.5万，所以card（A∪B∪C）＝cardA+cardB+cardC﹣[card（A∩B）+card（A∩C）+card（B ∩C）]+card（A∩B∩C）＝8.5+9.3+6.5﹣（1.8+1+2）+0.5＝20万，所以55岁左右的中国人患有失眠症的比例大约为20%；（Ⅱ）根据题意，2×2列联表如下：失眠不失眠合计患心脑血管疾病5712不患心脑血管疾病157388合计2080100所以＞3.841，故有95%的把握说明失眠与心脑血管病存在“强关联”．20．已知以动点P为圆心的⊙P与直线l：x＝﹣相切，与定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝相外切．（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程C；（Ⅱ）过曲线C上位于x轴两侧的点M、N（MN不与x轴垂直）分别作直线l的垂线，垂足记为M1、N1，直线l交x轴于点A，记△AMM1、△AMN、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，且S22＝4S1S3，证明：直线MN过定点．解：（Ⅰ）定圆⊙F：（x﹣1）2+y2＝，圆心F（1，0），半径为，设点P（x，y），由动圆P既与直线l：x＝﹣相切，又与定圆F相外切，知x＞﹣，∴，化简得：y2＝4x，∴动圆圆心P的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：y＝kx+m（k ≠0），设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设点M在x轴上方，点N在x轴下方，联立方程，消去y得，k2x2+（2km﹣4）x+m2＝0，∴，，∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝＝，∵S1＝，S3＝，∴4S1S3＝﹣（y1y2）（x1）（）＝﹣×＝﹣×＝，∵直线MN的方程为：y＝kx+m，设直线MN与x轴的交点为点B，令y＝0得，x＝﹣，∴B（﹣，0），∴S2＝，∴＝（﹣+）2（y1﹣y2）2＝××＝××[4（x2+x1）﹣2y1y2]＝××＝，∵S22＝4S1S3，∴4k2﹣4k3m+16m2﹣16km3﹣16mk+16k2m2＝﹣16km3﹣32km+16k2m2﹣4k3m，∴4k2+16m2+16mk＝0，即k2+4m2+4km＝0，∴（k+2m）2＝0，∴k＝﹣2m，∴直线MN的方程为：y＝﹣2mx+m＝﹣2m（x﹣），∴直线MN过定点（，0）．21．已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1）﹣﹣x（a∈R）．（Ⅰ）设f'（x）为函数f（x）的导函数，求函数f'（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，十∞）上有最大值，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）＝ln（x+1）﹣ax＝g（x），（x∈（﹣1，+∞））．g′（x）＝﹣a，a≤0时，g′（x）＞0，函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增．a＞0时，g′（x）＝，∴f'（x）在上单调递增；在上单调递减；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上有最大值，可得f（x）在（0，+∞）上不单调，有极大值点．由（I）可得：a＞0，f′（0）＝0．令ln（x+1）﹣ax＝0，化为：a＝＝h（x），h′（x）＝．令u（x）＝x﹣（x+1）ln（x+1），x∈（0，+∞）．u（0）＝0．u′（x）＝1﹣ln（x+1）﹣1＝﹣ln（x+1）＜0．∴u（x）＜u（0）＝0．∴h′（x）＜0，函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．x→0+时，h（x）→＝1．x→+∞时，h（x）→0．∴0＜a＜1．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的普通方程及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）设M、N分别为曲线C和曲线D上的动点，求|MN|的最小值．解：（Ⅰ）参数方程（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换得到曲线C：；曲线D的极坐标方程为．转化为直角坐标方程为：；（Ⅱ）设点P（2cosθ，sinθ）到直线x+y﹣3＝0的距离d＝＝，当sin（θ+α）＝1时，d min＝．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+2|+|x﹣3|（Ⅰ）求不等式f（x）＞9的解集；（Ⅱ）过关于x的不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＝|x+2|+|x﹣3|＝．∵f（x）＞9，∴或，∴x＞5或x＜﹣4，∴不等式的解集为{x|x＞5或x＜﹣4}（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）min＝5．∵不等式f（x）≤|3m﹣2|有解，∴|3m﹣2|≥f（x）min＝5，∴3m﹣2≥5或3m﹣2≤﹣5，∴，∴m的取值范围为．。
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东北三省三校2015年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}21x x A =-<<，{}220x x x B =-≤，则A B =（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}11x x -<≤D ．{}21x x -<≤ 2、复数212ii+=-（ ）A ．()22i + B ．1i + C ．i D ．i -3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）A ．14B ．112-C ．14或112- D ．14-或1124、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）A ．6B ．7C ．10D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2⎤⎦B ．)2,⎡+∞⎣C ．(]1,3D ．)3,⎡+∞⎣9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组220x y y x -+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）A ．932B ．732C ．916D ．71610、设二项式12nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，n b ，则1212nna a ab b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）A ．123n -+B ．()1221n -+C ．12n +D ．111、已知数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为（ ）A ．14B ．13C ．14-D ．13-12、已知函数()()()()21102ln 10x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪--<⎩，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．()0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．()1,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4<AB⋅A ≤，设AB 和C A 的夹角为θ． ()1求θ的取值范围；()2求函数()22sin 3cos 24f πθθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的取值范围． 18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．()I 求证：F//E 平面D PA ；()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为5？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分12分）已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，点()2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．()1求椭圆的方程；()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．21、（本小题满分12分）已知a 是实常数，函数()2ln f x x x ax =+．()1若曲线()y f x =在1x =处的切线过点()0,2A -，求实数a 的值；()2若()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <）， ()I 求证：102a -<<； ()II 求证：()()2112f x f x >>-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在C ∆AB 中，C 90∠AB =，以AB 为直径的圆O 交C A 于点E ，点D 是C B 边的中点，连接D O 交圆O 于点M ． ()I 求证：D E 是圆O 的切线；()II 求证：D C D C D E⋅B =M⋅A +M⋅AB ．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． ()I 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；()II 设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()212f x x x =--+．()I 解不等式()0f x >；()II 若0R x ∃∈，使得()2024f x m m +<，求实数m 的取值范围．东北三省三校2015年三校第一次联合模拟考试理科数学试题参考答案一．选择题：1.B2.C3.C4.B5.A6.B7.C8.A9.A 10.C 11.B 12.C 二．填空题：13. 900 14. 64π 15. 84 16. 54-三．解答题： 17.解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由已知：2sin 21=θbc ，4cos 0≤<θbc ， 4 分 可得1tan ≥θ，所以：)2,4[ππθ∈． 6 分（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭． 8 分)2,4[ππθ∈ ，∴)32,6[32πππθ∈-，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．所以：函数)(θf 的取值范围是]3,2[ 12 分 18.解：（1）由表知：①，②分别填300.0,35.补全频率分布直方图如下: 2 分3 分年龄(岁)平均年龄估值为:5.33)1.0853.07535.0652.05505.045(21=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（岁）6 分 (2)由表知:抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,X 的可能取值为0,1,23821)0(222015===C C X P 3815)1(22011515===C C C X P 382)2(22025===C C X P 9 分X 的分布列为X12P3821 3815 382 10 分 期望2138223815138210)(=⨯+⨯+⨯=X E （人） 12 分 19.证明: (Ⅰ)取PD 中点M , 连接MA MF ,, 在△CPD 中, F 为PC 的中点, DC MF 21//∴,正方形ABCD 中E 为AB 中点,DC AE 21//∴,MF AE //∴ 故：EFMA 为平行四边形 AM EF //∴ 2 分又⊄EF 平面PAD ,⊂AM 平面PAD ∴//EF 平面PAD 4 分(Ⅱ) 如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系:111(0,0,2),(0,1,0),(1,1,0),(0,,0),(,,1)222P B C E F由题易知平面PAD 的法向量为)0,1,0(=n ， 6 分 假设存在Q 满足条件：设11,(,0,1),(,,)222EQ EF EF Q λλλ== ,]1,0[∈λ1(0,0,2),(,,),22AP AQ λλ==设平面PAQ 的法向量为(,,)m x y z =,10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ 10 分 ∴ 21,cos λλ+-=⋅>=<nm n m n m 由已知：5512=+λλ解得：21=λ 所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。
12 分 xyz20.（1）有已知：2c =，2b a=24a b ∴==故椭圆方程为22184x y += 4 分(2)当AB斜率不存在时：122AOB S ∆=⨯= 6 分 当AB 斜率存在时:设其方程为：()2y k x k ⎛=-≠⎝由222)2=8y kx k x y ⎧=+-⎪⎨+⎪⎩得()))22221422280k x k kx k++-+-=由已知：)())222216282124kk k k⎡⎤∆=--+-⎢⎥⎣⎦(2820k =+>即：k ≠AB = 8 分O 到直线AB的距离：d 12422212+-==∴∆k d AB S ABC 10 分 22212k k ≠±+≠ [)()2211,22,k ∴+∈+∞)()2422,00,221k ∴-∈-⎡⎣+∴此时 ]22,0(∈∆AOB S综上所求：当AB 斜率不存在或斜率为零时：0A B ∆面积取最大值为12分21.解(1)由已知:/()ln 12(0)f x x axx =++> ,切点(1,)P a 1 分切线方程:(21)(1)y a a x -=+- ,把(0,2)- 代入得:1a = 3 分(2)(Ⅰ)依题意:/()0f x = 有两个不等实根1212,()x x x x <设()ln 21g x x ax =++ 则:/1()2(0)g x a x x=+> ①当0a ≥ 时: /()0g x > ,所以()g x 是增函数,不符合题意; 5 分 ②当0a < 时:由/()0g x =得:102x a =-> 列表如下:x 1(0,)2a -12a- 1(,)2a-+∞ /()g x +0 -()g x↗ 极大值↘依题意:11()ln()022g a a -=-> ,解得:102a -<< 综上所求: 102a -<<得证; 8 分(Ⅱ)由(Ⅰ)知:/(),()f x f x 变化如下:x 1(0,)x 1x12(,)x x2x2(,)x +∞/()f x -0 + 0 -()f x↘↗↘由表可知:()f x 在12[,]x x 上为增函数,所以:21()()f x f x > 10 分 又/(1)(1)210f g a ==+> , 故1(0,1)x ∈由(Ⅰ)知:111ln 2x ax --=,2111111111()ln (x ln )(01)2f x x x ax x x x =+==-<< 设1()(ln )(01)2h x x x x x =-<< ,则/1()ln 02h x x =< 成立,所以()h x 单调递减,故:1()(1)2h x h >=- ,也就是11()2f x >-综上所证: 211()()2f x f x >>-成立. 12 分 22.选修4-1: 几何证明选讲 证明：（Ⅰ）连结OE .∵点D 是BC 的中点，点O 是AB 的中点， ∴AC OD 21//=，∴EOD AEO BOD A ∠=∠∠=∠,. ∵OE OA =，∴AEO A ∠=∠，∴EOD BOD ∠=∠. 3 分 在EOD ∆和BOD ∆中，∵OB OE =，BOD EOD ∠=∠，OD OD =，∴EOD ∆≌BOD ∆，∴ 90=∠=∠OBD OED ，即ED OE ⊥.∵E 是圆O 上一点，∴DE 是圆O 的切线. 5 分（Ⅱ）延长DO 交圆O 于点F .∵EOD ∆≌BOD ∆，∴DB DE =.∵点D 是BC 的中点，∴DB BC 2=.∵DB DE ,是圆O 的切线，∴DB DE =.∴222DE DB DE BC DE =⋅=⋅. 7 分∵OF AB OD AC 2,2==，∴DF DM OF OD DM AB AC DM AB DM AC DM ⋅=+⋅=+⋅=⋅+⋅2)22()(. ∵DE 是圆O 的切线，DF 是圆O 的割线，∴DF DM DE ⋅=2，∴AB DM AC DM BC DE ⋅+⋅=⋅ 10 分23.选修4-4: 坐标系与参数方程解：（Ⅰ）由θρcos 2=，得：θρρcos 22=，∴x y x 222=+，即1)1(22=+-y x ， ∴曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=+-y x . 3 分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123，得m y x +=3，即03=--m y x ， ∴直线的普通方程为03=--m y x . 5 分FC D MOBE A（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2123代入1)1(22=+-y x ，得：12112322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+t m t ， 整理得：02)1(322=-+-+m m t m t ，由0>∆，即0)2(4)1(322>---m m m ，解得：31<<-m .设21,t t 是上述方程的两实根，则m m t t m t t 2),1(322121-=--=+， 8 分 又直线过点)0,(m P ，由上式及的几何意义得 1|2|||||||221=-==⋅m m t t PB PA ，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ， 因此实数m 的值为或21+或21-. 10 分24.选修4-5: 不等式选讲解：（Ⅰ）当2-<x 时，3221|2||12|)(+-=++-=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即03>+-x ，解得3<x ，又2-<x ，∴2-<x ； 当212≤≤-x 时，13221|2||12|)(--=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即013>--x ，解得31-<x ，又212≤≤-x ，∴312-<≤-x ； 当21>x 时，3212|2||12|)(-=---=+--=x x x x x x f ， 0)(>x f ，即03>-x ，解得3>x ，又21>x ，∴3>x . 3 分 综上，不等式0)(>x f 的解集为),3(31,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞- . 5 分 （Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤----<+-=+--=21,3212,132,3|2||12|)(x x x x x x x x x f ，∴2521)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f . 8 分∵R x ∈∃0，使得m m x f 42)(20<+，∴25)(24min 2-=>-x f m m ， 整理得：05842<--m m ，解得：2521<<-m ， 因此m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,21. 10 分。