2014年人教A版选修2-2教案 1.1.1变化率问题
高中数学选修2-2人教A教案导学案1.1.1变化率问题教案
§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
人教版高中数学选修2-2学案：1.1.1变化率问题
1.1.1 变化率问题【学习目标】1．通过对实例的分析，理解平均变化率；2．会求函数在指定区间上的平均变化率.【新知自学】 知识回顾：1.球的体积公式为____________________.2.已知直线l 经过两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则直线l 的斜率为________________. 新知梳理：1.通过气球膨胀率和高台跳水问题可知，函数)(x f y =从21x x 到的变化过程中，我们用x ∆表示相对于1x 的一个“增量”，即x ∆=____________，则2x =x x ∆+1；类似地，y ∆=____________．则把=∆∆xy ___________叫做函数)(x f y =从21x x 到的平均变化率． 注意：（１）x ∆是一个整体符号，而不是∆与x 的乘积；（２）x ∆是自变量x 在0x 处的增量，可以是正值，也可以是负值．2.函数平均变化率的概念是什么？感悟：函数y=f(x)在x 从x 1→x 2的平均变化率的几何意义是过函数y=f(x)的图象上两点(x 1,f(x 1))、(x 2,f(x 2))的直线的斜率. 对点练习：1.在求平均变化率中，自变量的增量x ∆满足（ ）A.0>∆xB.0<∆xC.0=∆xD.0≠∆x2.设函数)(x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数值的改变量y ∆=（ ）A.)(0x x f ∆+B.x x f ∆+)(0C.)()(00x f x x f -∆+D.x x f ∆⋅)(03.一物体运动时的位移方程是22t s =，则从２到２＋t ∆这段时间内位移的增量s ∆=（ ）A.８ t B ∆+28.2)(28.t t C ∆+∆ 2)(24.t t D ∆+∆4.已知函数x x x f +-=2)(的图象上一点（-1，-2）及邻近一点)2,1(y x ∆+-∆+-，则xy ∆∆= . 【合作探究】 典例精析：例1.求函数y=x 2+1在区间[2,2+∆x]上的平均变化率.讨论展示结合函数．．．．2x y =图象．．，探讨当x ∆取定值后，随0x 取值不同，该函数在0x x =附近的的平均变化率是否相同．变式练习：求函数23)(2+=x x f 在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率，并求当1.0,20=∆=x x 时平均变化率的值.例2.高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）之间的关系式为h(t)=-4.9t 2+6.5t+10，求运动员在s 9865t时的瞬时速度，并解释此时的运动状态.讨论展示 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？变式练习：放在下节试用一质点按规律s(t)=at 2+1作直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），若质点在t=2s 时的瞬时速度为8m/s ，求常数a 的值.规律总结：求函数平均变化率的主要步骤：【课堂小结】【当堂达标】1.已知函数f(x)=x 2+1,则在1.0,20=∆=x x 时，y ∆的值为（ ）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.442.如果质点M 按规律23t s +=运动，则在时间段[]1.2,2中相应的平均速度等于（）A.3B.4C.4.1D.0.413.已知函数12)(2-=x x f 的图象上一点（1，1）及邻近一点),1,1(y x ∆+∆+则xy ∆∆=（ ） A ． 4 B. 4xC.x ∆+24D. 2)(24x ∆+4.函数 235)(x x f -=在区间[]2,1上的平均变化率是 .【课时作业】1.将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加R ∆，则铁球的表面积增加（ ）A.8R R ∆⋅πB.2)(48R R R ∆+∆⋅ππC.2)(44R R R ∆+∆⋅πD.2)(4R ∆⋅π2.已知曲线241x y =和这条曲线上的一点)41,1(P ,Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为（ ） A.))(41,1(2x x ∆∆+ B.))(41,(2x x ∆∆ C.))1(41,1(2+∆∆+x x D.))1(41,(2+∆∆x x 3.甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s=s 1(t),s=s 2(t)，图象如图.则在时间段内甲的平均速度__________乙的平均速度（填大于、等于、小于）.s 2(t )s 1(t )4.已知函数xx f 1)(=在[]x ∆+1,1上的平均变化率为 . 5.求函数y=sinx 在0到6π之间和3π到2π之间的平均变化率，并比较它们的大小.6.求函数x =y 在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率.。
高中数学选修2-2教学设计10：1.1.1 变化率问题教案
1．1.1 变化率问题教学目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.教学导入知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？[答案]自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？[答案]对山路AB来说，用ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画其陡峭程度．梳理(1)：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2) 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率定义式实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1． 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．[答案] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？[答案] 当Δt 趋近于0时，Δs Δt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度． 梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . 题型探究类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193. 由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．反思与感悟 求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则Δy Δx＝________. (2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．[答案](1)Δx (2)12 34[解析](1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx. ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx＝1＋Δx . 又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p k ＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定[答案]B[解析]设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． 类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt . lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝Δs Δt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt . 跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率．∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝4a ＝8，即a ＝2. 当堂检测1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[答案]A[解析]Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 2．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．[答案][x 3，x 4][解析]由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．3．一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1.[答案]1[解析]lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →0 7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－(7t 20－13t 0＋8)Δt＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt ) ＝14t 0－13＝1，得t 0＝1.。
人教版高中数学选修2-2课件 1.1.1变化率问题
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题型二 物理中平均速度的计 算
例2 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直 距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为 h＝2t2＋2t，则：
(1)前3 s内球的平均速度为________； (2)在时间[2，3]内球的平均速度为________．
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解析：由题设知，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝[3(3＋ Δt)2＋2(3＋Δt)＋6]－(3×32＋2×3＋6)＝3(Δt)2＋ 20Δt, 所以路程改变量为3(Δt)2＋20Δt.
1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题
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研题型 学方 法
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题型一 求平均变化率或函数的增 量
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规律方法：(1)函数的平均变化率可正可负，反映 函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平 均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变 化得越快．
(2)平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变 化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移 的改变量与这段时间的比值．
答案：3(Δt)2＋20Δt
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析疑难 提能 力
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对变化率的概念理解不透致误．
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【易错剖析】平均变化率涉及三个概念：自变量的 改变量，函数值的改变量和平均变化率，这三个概念既 有区别，又有联系．求平均变化率时，容易错成求 f(Δx)．
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பைடு நூலகம்
人教A版选修2-2 第一章 第一节 1.1.1变化率问题 教案
§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。
如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。
板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。
【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。
提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。
实例二：气球的平均膨胀率问题。
【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。
假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。
高中数学人教A版选修2-2学案第一章 1.1 1.1-1.1.2 变化率问题 导数的概念 Word版含解析
． 变化率问题 导数的概念()平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？()瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？()如何用定义求函数在某一点处的导数？．函数＝()从到的平均变化率.＝()定义式：的改变量之比．自变量的改变量与函数值()实质： 快慢．上变化的]，[()意义：刻画函数值在区间()平均变化率的几何意义：设(，())，(，())是曲线＝()上任意不同的两点，函数＝()的平均变化率＝＝为割线的斜率，如图所示．[点睛]Δ是变量在处的改变量，且是附近的任意一点，即Δ＝－≠，但Δ可以为正，也可以为负．．函数＝()在＝处的瞬时变化率Δ趋于的距离要多近有多近，即Δ－可以小于给定的任意小的正数，且始终Δ≠. ．导数的概念．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)预习课本～，思考并完成下列问题()函数＝()在＝处的导数值与Δ值的正、负无关．( ) ()瞬时变化率是刻画某函数值在区间[，]上变化快慢的物理量．( )()在导数的定义中，Δ，Δ都不可能为零．( )答案：()√()×()×．质点运动规律为()＝＋，则从到＋Δ的平均速度为( )．＋Δ＋．＋Δ．＋Δ．＋Δ答案：．已知函数()＝－的图象上两点，，且＝，＝，则函数()从点到点的平均变化率为()．．．．答案：．在′()＝中，Δ不可能为( )．小于．大于．大于或小于．等于答案：[典例]求函数()＝在＝附近的平均变化率，取Δ的值为，哪一点附近的平均变化率最大？[解]在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；在＝附近的平均变化率为＝＝＝＋Δ；若Δ＝，则＝＋＝，＝＋＝，＝＋＝，由于＜＜，故在＝附近的平均变化率最大．。
选修2-2第一章1.1变化率与导数教案打印
课题：§1.1.1变化率问题课题：§1.1.2导数的概念课题：§1.1.3导数的几何意义教学班级教学目的1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题教学难点 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义知识重点导数的几何意义教学过程方法和手段一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆图3.1-2说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念： ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1)与该点的位置相关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存有,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,能够有多个,甚至能够无穷多个. （二）导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤： ①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程. 三．典例分析例1：（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的切线.解：（1）222100[(1)1](11)2|limlim 2x x x x x x y x x=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，所以，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -= （2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，所以，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3能够看出，直线1l 的倾斜水准小于直线2l 的倾斜水准，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，能够得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--，所以 (0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：例4、求曲线11+=x y 在点（1，21）处的切线方程。
人教A版高中数学选修2-2课件：1.1.1《变化率与导数变化率问题》(新).pptx
lim f ( x) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x) a
函数的极限
如果 lim x
f ( x) a且 lim x
f (x) a
那就是说当x 趋向于
无穷大时，函数 f ( x)的极限是a ，记作
lim f ( x) a
x
也可记作: 当 x 时，f ( x) a
对于常数函数
f (x) C(x R) 也有
lim f (x) C
x
函数的极限
自变量x的变化趋势
f ( x) 值的变 化趋势
x取正值并且无限增大
f ( x) 无限趋 近于常数a
当自变量x取正值并无限增
O
x
大时，函数 y 1 的值无限趋近 x
于0，即|y-0|可以变得任意小．
当x 趋向于正无穷大时，函数
y
1 x
的极限是0，记作 lim x
1 x
0
x 1 10 100 1000 10000 100000 ···
y 1 0.1 0.01 0.00 0.0001 0.00001 ··· 1
k (1 x )3 13 3 3x (x )2 3 3 0.1 0.12 3.31 (1 x ) x
A3
B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx
• 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
练习：
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
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第一章 导数及其应用
§1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π=
⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少
?
1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?
思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
；
在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)0()4965
(
m s h h v =--=， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运
动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 1
212)
()(x x x f x f --表示,
称为函数f (x )从x 1到x 2的平均
变化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为
=∆∆=∆∆x f
x y x
x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1
212)()(x x x f x f --表示什么?
直线AB
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
020)( x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02
0202022
所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02 四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
253t
∆+。