第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛附答案
第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛9年级B卷附答案
---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．将4.31×10-5写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．42．如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成 的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④3．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（－1，0）．以点C 为位 似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍．设点A ′的对应点A 的纵坐标是1.5，则点A ′的纵坐标是（ ） A ．3 B ．－3 C ．－4 D ．4第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的 平行线交OM 于点B ，AB =4．则直线AB 与ON 之间的距离是（ ）A ．3B ．2C ．32D ．45．如图，圆O 为△ABC 的外接圆，其中点D 在弧AC 上，且OD ⊥AC ，若∠A =36°，∠C = 60°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．132°B ．144°C ．156°D ．162° 6．已知122432+--=--+x Bx A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ）A ．7B ．9C ．13D ．57．如图，直线y 1=kx +b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点P （1，m ），则不等式组 mx ＞kx +b ＞mx －2的解集是（ ）A ．x ＞1B ．0＜x ＜2C ．0＜x ＜1D ．1＜x ＜2 8．如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC =2，O 为AC 中点，若点D 在直线BC 上运动，连接OE ，则在点D 运动过程中，线段OE 的最小值是为（ ） A ．21 B ．22C ．1D ．2第7题图 第8题图 第9题图---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------9．如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥AD ，点E 、F 分别在射线AD 、BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AB =1，则cos ∠AGB 等于（ ）A ．213+ B ．222- C ．422- D ．46 10．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，点A 是函数y =x1（x ＜0）图象上一点，AO 的延长线交函数y =x k 2（x ＞0，k 是不等于0的常数）的图象于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′，CC ′交x 轴于点B ，连接AB 、AA ′、 A ′C ′．若△ABC 的面积等于6，则由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所 围成的图形的面积等于（ ）A ．8B ．10C ．310D ．46二、填空题（每小题5分，共30分）11．若2m =3，4n =8，则2m -2n 的值是____________．12．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿直线l 按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正 方形的中心O 所经过的路径长为____________．第12题图 第13题图13．如图，抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，两条抛物线的顶点分别 为C 、D ．当四边形ACBD 的面积为40时，a 的值为_____________．14．m 、n 是两个连续自然数，且q =mn ，p =m q n q -++，则p 的值是 ．（填 “奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”）15．甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的41，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的127．小荣将乙、丙两箱内的球 全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出 的球是红球的概率为_____________．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------16．如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，O 是EG 的中点，∠EGC 的平分线GH 过点D ，交BE 于点H ，连接OH ，FH ，EG 与FH 交于点M ， 对于下面三个结论：①GH ⊥BE ；②S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =1：2；③EM ：MG =1：（1+2），其中正确结论的序号为 ．三、解答题（共5小题，共50分）17．请分别用配方法和因式分解法解方程：6x 2+7x －3=0．（8分） 配方法： 因式分解法：18．已知a ，b ，c ，d 四个数成比例，且a ，d 为外项．试说明点（a ，b ），（c ，d ）和坐标原点 O （0，0）在同一条直线上．（9分）19．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为 “世博数”．证明：两个“世博数”a 、b （b ≠0）之商也是“世博数”．（10分）20．如图，△ABC 中，BD 为AC 边上的中线，BE 平分∠CBD ，AF ⊥BE ，分别交BC 、BE 、BD 于F 、G 、H ．（1）求证：CF =2DH ；（4分）（2）若AB =BC ，cos ∠BCA =53，DE =4，求HD 的长．（6分）---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------21．在平面直角坐标系中，以D （－4，7）为圆心的⊙D 与y 轴相切于点Q ，与x 轴交于A 、 B 两点，其中点B 坐标为（－1，0）．以CD 为对称轴的抛物线与⊙D 交于A 、B 两点，点 C 坐标为（－4，9），CD 与x 轴交于点H ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式；（3分） （2）P 为直线AC 上方抛物线上一点，当S △APC =92S △AHC 时，求点P 坐标；（4分） （3）PM ⊥AC 于点M ，PE ⊥x 轴于点E 且与AC 交于点N ，△PMN 的周长为l ，求l 的最大 值．（6分）九年级B 卷答案四、选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.B 10.B 7.由于直线y 1=kx +b 过点A （0，2），P （1，m ），则有⎩⎨⎧==+,2,b m b k ，解得⎩⎨⎧=-=.2,2b m k∴y 1=（m －2）x +2．故所求不等式组可化为：mx ＞（m －2）x +2＞mx －2，不等号两边同时减去mx 得，0＞－2x +2＞－2，解得：1＜x ＜2． 8.设Q 是AB 的中点，连接DQ ，∵∠BAC =∠DAE =90°， ∴∠BAC －∠DAC =∠DAE －∠DAC ， 即∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC =2，O 为AC 中点，∴AQ =AO ，∴△AQD ≌△AOE （SAS ）， ∴QD =OE ，∵点D 在直线BC 上运动，∴当QD ⊥BC 时，QD 最小，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B =45°，∵QD ⊥BC ，∴△QBD 是等腰直角三角形， ∴QD =22QB ，∵QB =21AB =1，∴QD =22，∴线段OE 的最小值是为22．9.如图，连接CE ，设EF 与BD 相交于点O ，由对称性可得，AB =AE =1，则BE =2，∵点E 与点F 关于BD 对称，∴DE =BF =BE =2，∴AD =1+2，∵AD ∥BC ，AB ⊥AD ，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------AB =AE ，∴四边形ABCE 是正方形，∴BC =AB =1，∴tan ∠ADB =12211-=+=AD AB ， 在Rt △OED 中，可设OD =x ，OE = x )12(- ，∴（2）2=x 2+[x )12(-]2，解得x =2224+，∴OE =2224-，∵∠EBG +∠AGB =90°， ∠EBG +∠BEF =90°，∴∠AGB =∠BEF ，又∵∠BEF =∠DEF ，∴cos ∠AGB =DE OE =222-． 10.过A 作AD ⊥x 轴于D ，连接OA ′，∵点A 是函数y =x1（x ＜0）图象上一点，∴设A （a ，a1），∵点C 在函数y =x k 2（x ＞0，k 是不等于0的常数）的图象上，∴设C （b ，b k 2），∵AD ⊥BD ，BC ⊥BD ，∴△OAD ∽△OCB ，∴222△△)(ba OB OD S S BCO ADO ==，∵S △ADO =21，S △BOC =22k ，∴k 2=2)(ab ，∴k =－a b ，∵S △ABC =S △AOB +S △BOC =21×（－a 1）•b +22k =6，∴k 2－ab =12，∴k 2+k －12=0，解得：k =3，k =－4（不合题意舍去），∵点A 关于y 轴的对称点为A ′，点C 关于x 轴的对称点为C ′， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA ′，OC ′在同一条直线上，∴S △OBC ′=S △OBC =22k =29， ∵S △OAA ′=2S △OAD =1，∴由线段AC ，CC ′，C ′A ′，A ′A 所围成的图形的面积=S △OBC +S △OBC ′+S △OAA ′=10．五、填空题（每小题5分，共30分） 11.83 12.22π 13.0.16 14.奇数 15.185 16.①③ 13.∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4都经过x 轴上的A 、B 两点，∴点A 、B 两点的坐标分别是（－a a 2，0）、（aa 2，0）；又∵抛物线y =ax 2－4和y =－ax 2+4的顶点分别为C 、 D ．∴点C 、D 的坐标分别是（0，－4）、（0，4）；∴CD =8，AB =aa4，∴S 四边形ABCD =S △ABD +S △ABC =21AB •OD +21AB •OC =21AB •CD =21×8×aa4=40，即21×8×aa 4=40，解得a =0.16．14.因为m 、n 是两个连续自然数，设m ＜n ，则n =m +1，且q =mn ，代入得： p =m m m m m m -+++++)1()1()1(=22)1(m m ++=m +1+m =2m +1； 因为m 为自然数，所以2m 为偶数，即2m +1为奇数． 15.设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x 个小球，则甲有x 41个红球，丙有x 127个红球，则一---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------共有x 41+x 127=x 65（个）红球，甲箱内最后共有3x 个小球，因此取出红球的概率为 185365=x x ．16.∵四边形ABCD 是正方形，∴BC =DC ，∠BCE =90°，同理可得CE =CG ，∠DCG =90°， ∴△BCE ≌△DCG ，∴∠BEC =∠DGC ，∵∠EDH =∠CDG ，∠DGC +∠CDG =90°， ∴∠EDH +∠BEC =90°，∴∠EHD =90°，∴HG ⊥BE ，故①正确； 易证得△BGH ≌△EGH ，∴BH =EH ，又∵O 是EG 的中点，∴HO21BG ， 设EC 和OH 相交于点N ．设HN =a ，则BC =2a ，设正方形ECGF 的边长是2b ，则NC =b ，CD =2a ，∵OH ∥BC ，∴△DHN ∽△DGC ，∴CG HN DC DN =，即ba a ab 222=-，即a 2+2ab －b 2=0，解得：a =2222+-b =（－1+2）b ，或a =（－1－2）b （舍去），则ba =2－1；则S 正方形ABCD ：S 正方形ECGF =（2－1）2=3－22，故②错误；∵EF ∥OH ，∴△EFM ∽△OMH ，∴b a b OH EF OM EM +==2，∴ba bOE EM 32+=， b a bEG EM 3+=，∴1212121212+=+-=+=+=b a b a b MG EM ，故③正确． 因此正确的结论是①③．六、解答题（共5小题，共50分）17.解：配方法：6x 2+7x －3=0，x 2+67x =21，（x +127）2=21+14449=144121，故x +127=±1211，解得：x 1=－23，x 2=31．因式分解法：6x 2+7x －3=0，6x 2+9x －2x －3=0，3x （2x +3）－（2x +3）=0，(2x +3)(3x －1)=0， 解得x 1=－23，x 2=31．（只写了一种正确方法的得4分） 18.解：设经过（0，0）和（a ，b ）的直线是y =kx ，则b =ak ，则k =ab，设经过（0，0）和（c ， d ）的直线的解析式是：y =mx ，则d =cm ，解得：m =cd，∵a ，b ，c ，d 四个数成比例， ∴a b =cd，∴k =m ，则直线y =kx 和直线y =mx 是同一直线，即点（a ，b ），（c ，d ）和坐 标原点O （0，0）在同一条直线上．19.证明：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只须p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意的两个“世博数”a 、b ，不妨设a =j 2+k 2，b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、s 为任意给定的有理数，因此有：22222222222)())((s r s r k j s r k j b a +++=++==22222)()()(s r kr js ks jr +-++=222)(s r ks jr +++222)(s r kr js +-也是 “世博数”．20.（1）证明：取AF 的中点M ，连接MD ，∵AD =DC ，∴CF =2MD ，且MD ∥BC ， ∴∠DMH =∠BFH ，又∵∠BGH =∠BGF =90°，∠HBG =∠FBG ， ∴∠BHG =∠BFH ，而∠DMH =∠BFH ，∠DHM =∠BHG ，∴∠DMH =∠DHM ，∴DH =DM ． 而CF =2MD ，∴CF =2DH ；---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------（2）解：过E 作EN ⊥BC 于N ，∵AB =BC ，AD =DC ，∴BD ⊥AC ，而BE 平分∠CBD ，EN ⊥BC ，∴EN =DE =4，在Rt △CEN 中，cos ∠BCA =53=CE CN ，∴设CN =3k ，则CE =5k ， 得EN =4k =4．∴k =1，CE =5，CD =9，在Rt △BCD 中， cos ∠BCA =53=BC CD ，∴BC =15，BD =12， 又∵∠BHG =∠BFH ，∴BH =BF ，设DH =x ，则FC =2x ，BH =12－x ，BF =15－2x ．由12－x =15－2x ，得x =3，∴HD =3．21.解：（1）设抛物线的解析式为y =a （x +4）2+9．∵将B （－1，0）代入得：9a +9=0，解得；a =－1，∴解析式为y =－（x +4）2+9，即y =－x 2－8x －7．∵点A 与点B 关于x =－4对称， B （－1，0）∴A （－7，0）．设直线AC 的解析式为y =kx +b ．∵将A （－7，0）、C （－4，9）代入得：⎩⎨⎧=+-=+-,94,07b k b k 解得：k =3，b =21，∴直线AC 的解析式为y =3x +21．（2）∵AH =3，CH =9，∴S △AHC =2279321=⨯⨯．∵S △APC =92S △AHC ，∴S △APC =22792⨯=3．设p （a ，－a 2－8a －7），N （a ，3a +21）．则PN =－a 2－8a －7－（3a +21）=－a 2－11a －28．连P A 、PC ，则S △APC =21PN •AE+21PN •EH=21PN •AH =3，∴21×（－a 2－11a －28） ×3=3，解得a 1=－5，a 2=－6．∴点P （－5，8）或（－6，5）． （3）∵由（2）可知PN =－a 2－11a －28=－（a +211）2+49．∴PN 的最大值为49．∵EN ∥CH ，∴∠ACH =∠ANE ．∵∠PNM =∠ENA ，∴∠PNM =∠ACH ．又∵∠PMN = ∠AHC =90°，∴△PMN ∽△AHC ．∴PM ：MN ：PN =HA ：CH ：CA =1：3：10． ∴l =PN ×204510181010449101031+=+⨯=++．。
15届WMO数学竞赛四年级初赛试卷(含答案)
15届WMO数学竞赛四年级初赛试卷(含答案)15届WMO数学竞赛四年级初赛试卷（含答案）一、选择题（每题2分，共40分）1. 在数轴上，点A、B、C、D的坐标依次是3，5，8，10。
则A、C两点的距离是：A) 2 B) 4 C) 5 D) 72. 阳阳有62块糖果，他要分给小明和小红。
小明要2块糖果，小红要3块糖果，还剩下几块糖果？A) 50 B) 52 C) 54 D) 583. 甲数的四倍数是乙数，乙数的两倍数是丙数。
如果甲数是8，那么丙数是多少？A) 4 B) 8 C) 16 D) 324. 所有的四位数中，最大的四位数是_______。
A) 9999 B) 1000 C) 9998 D) 10015. 小红的书架上有60本书，比科学类书的数量多2倍，比故事类书的数量少10本。
那么小红有几本科学类书？A) 22 B) 24 C) 26 D) 28二、填空题（每题3分，共30分）1. 用铅锤把16千克大理石停止下来，需要多长时间？已知铅锤的重力加速度是10米/秒^2。
答： 1秒2. 13 × 7 = _______答： 913. 请写出从49倒数前5个数的数列。
答： 45，44，43，42，414. 48 ÷ 6 = _______答： 85. 将2小时18分钟转换为分钟数。
答： 138分钟三、计算题（每题10分，共40分）1. 一条长绳子长30米，被剪成了两段，较短的一段是5米，那么较长的那段有多长？答： 25米2. 某地上午9点的温度是18摄氏度，到了下午4点时上升到30摄氏度，一共上升了多少摄氏度？答： 12摄氏度3. 如果用1升水倒入一个盛满2升的容器，容器里的水占了总容器容积的几分之几？答： 1/24. 小明买了一双鞋，原价是300元，现在打8折，他要支付多少钱？答： 240元四、解决问题（20分）爷爷今年45岁，奶奶今年39岁。
请问爷爷比奶奶大多少岁？答：6岁五、附加题（10分）两本小说的厚度分别是2.5厘米和3.8厘米。
第15届WMO全国初赛8年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在答题卡上。
考试完毕时，试卷、答题卡及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
八年级全国总决赛初赛（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．下列体育运动标志中，不是轴对称图形的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．用因式分解的方法计算3793893883903891-⨯+的结果为（ ） A ．1 B ．10 C ．3891 D ． 389123．阿妹从一袋中取球，以每次取出数球且取后全部放回的方式任取5次．若某次 取出的球数用x 表示；该次取球未放回前，袋内所剩的球数用y 表示，且将每 次的取球情况写成数对（x ，y ）并画在坐标平面上，则下面符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．某篮球队队员共16人，每人投篮6次，下表为其投进球数的次数统计表．若此 队投进球数的中位数是2.5，则众数为（ ）投进球数 0 1 2 3 4 5 6人数22ab321A ．2B ．3C ．4D ． 65．将231192做质因数分解后可得2a ×32×c 2×19，则a +c 的值为（ ）A ．10B ．14C ．16D ． 206．如图，四边形ABCD 为一平行四边形，点P 在直线CD 上，且PD =2DC ．甲、 乙两人想过P 点作一条直线，将平行四边形分成两个等面积的区域，他们的作 法如下：甲：取AD 的中点E ，作直线PE 即为所求；乙：连接BD 、AC 交于 点O ，作直线PO 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ） A ．甲、乙都正确 B ．甲、乙都错误 C ．甲正确，乙错误 D ．甲错误，乙正确7．周末几个同学去郊游，预计共需支付费用120元，后来人数增加了41，费用仍然不变，这样每人少支付3元，原来这组学生共有（ ） A ．6人 B ．7人 C ．8人 D ．9人8．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的 最小半径为（ ）A ．2B ．25C ．45D ．16175第6题图 第8题图 第9题图 第10题图9．如图，在四边形ABCD 中，AB =10，CD =8，∠ABD =30°，∠BDC =120°， E 、F 分别是AD 、BC 的中点，则EF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．37D ．4110．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的顶点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（0，1），点C 在第一象限，对角线BD 与x 轴平行．直线y =x +4 与x 轴、y 轴分别交于点E ，F ．将菱形ABCD 沿x 轴向左平移k 个单位，当 点C 落在△EOF 的内部时（不包括三角形的边），k 的值可能是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题（每小题5分，共30分） 11．若x ＜y ，且（a －3）x ＞（a －3）y ，则a 的取值范围是___________．12．在平面直角坐标系中，直线221+=x y 向右平移8个单位得到直线m ，那么直线m 与y 轴的交点坐标为___________．13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD 的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为___________．14．若m +2n +3p =12，且m 2+n 2+p 2=mn +np +mp ，则mn 2p 3=___________．15．设b a +=-21027，其中a 为整数，0＜b ＜1，则ba ba -+=__________．WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------16．如图，在四边形ABDC中，对角线AD、BC交于点O，∠BAC=90°，∠BDC=90°，BD=CD，AB=2，AC=4，记△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2，则S1－S2的值为__________．三、解答题（共5小题，共50分）17．化简：51-3332]51)(56[yxyxyxxy÷-⨯÷---．（9分）18．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求证：DE=DF．（9分）19．已知正数a、b、c、d、e、f满足4=abcdef，9=bacdef，16=cabdef，41=dabcef，91=ea b c d f，161=fabcde，求（a+c+e）－（b+d+f）的值．（10分）20．甲、乙两车在相距300千米的A、B两地匀速相向而行，两车同时出发，途中甲车配货停留1小时．甲、乙两车离B地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系如图①所示，甲、乙两车间的距离s（千米）与出发时间x（小时）之间的关系如图②所示，（1）求甲、乙两车的速度；（5分）（2）求甲车到B地所用的时间，并将图②补充完整（需标明分断点的横、纵坐标）．（5分）图①图②21．在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点D．（1）以A为直角顶点在第二象限内作等腰Rt△AMD，直接写出点M的坐标为；（3分）（2）以AD为边作正方形ABCD，连BD，P是线段BD上（不与B、D重合）的一点，在BD上截取PG=10，过G作GF⊥BD，交BC于F，连AP则AP与PF有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论；（4分）（3）在（2）中的正方形中，若∠P AG=45°，试判断线段PD、PG、BG之间有何关系，并证明你的结论．（5分）。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级B卷复赛(含答案)
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛----------------------------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数123++=x x y 的自变量的取值范围是（ ） A ．x ≥－2 B ．x ＞－1 C ．x ≠－1 D ．x ≥－2且x ≠－1 2．如图，四边形ABCD 、APQR 是两个全等的正方形，CD 与PQ 相交于点E ，若∠BAP =20°， 则∠PEC 等于（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°第2题图 第4题图3．已知1)1(12=--x x ，则x 的值为（ ）A ．±1B ．－1、2C ．1、2D ．0、－14．大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA 、OB 分别大致表示大明在运 行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点 的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC 能大致表示大明在停止运行（即静止） 的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若关于x 的分式方程qpx n m x =--22有解，则必须满足条件（ ）A ．m ≠nB ．m ≠－nC ．np ≠－mqD ．p ≠－q，m ≠n6．如图，在△ABC 中，有一点P 在AC边上移动，若AB =AC =5，BC =6，则AP +BP +CP 的最 小值为（ ）A ．8B ．8.8C ．9.8D ．107．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积 是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形 的面积是（单位：平方厘米）（ ） A ．40 B ．25 C ．26 D ．36第6题图 第7题图 第8题图 第10题图8．如图，点P 、Q 是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，则在P、Q 运动的过程中，当△PBQ 为直角三角形时，运动时间为（ ）A ．34秒 B ．25秒或38秒 C ．25秒 D ．34秒或38秒 9．有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5 厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存 放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内 部高度至少是（ ）A ．16厘米B ．17厘米C ．18厘米D ．19厘米图① 图② 图③ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25，25） B ．（3，3） C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．若整数m 满足条件2)1(+m =m +1且m ＜21，则m 的值是____________． 12． 若实数a 、b 、c 满足a+b +c =0，且a ＜b ＜c ，则一次函数y =ax +c 的图象不可能经过第_______ 象限． 13．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位．那么i 1=i ，i 2=－1，i 3=－i ，i 4=1，i 5=i ，i 6=－1…，那么i 2015＝_____________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC =78°，过C 点作CF ∥AB ，连 接AF 与BC 相交于点G ，若GF =2AC ，则∠BAG =_____________． 15．已知ax +by =3，ay －bx =5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为_____________．如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，则 PM 的长为_____________．三、解答题（共5小题，共50分）17．已知a =2+1，b =2－1，求ab －（abb a -）的值．（8分）18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，点H 在AB 上，且∠EHF =90°，求证：CH ⊥AB ．（10分）20．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调 出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米） 运费（元/斤•千米） 甲养殖场200 0.012 乙养殖场140 0.015 （1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5分）（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，总运费为W 元，试写出W 与x 的函数关系式，怎样安 排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）21．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =32-x +4分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将△AOB 沿直线l 2：y =2x －29折叠，使点B 落在点C 处． （1）点C 的坐标为______________；（3分）（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当△CDB 与△CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式；（4分）（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点 E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点M （m ，3）和点P ，使四边形EFMP 为正 方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（6分）备用图八年级B 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B 10.D5.由分式方程q p x n m x =--22解得x =qp mqnp 22++，由原分式方程有解，得n －2x =qp mq np nq np +--+≠0．解得m ≠n ，p =－q ．6.AP +BP +CP =BP +AC ，当BP ⊥AC 时，AP +BP +CP 的值最小，作AD ⊥ BC ，AD =43522=-，S △ABC =22BP AC AD BC ⨯=⨯=25246BP=⨯， ∴BP =4.8，即AP +BP +CP 的最小值为5+4.8=9.8．7.设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米， 可得ab +a （b －a ）=24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米， 可得（b －a ）2=41a 2－3②，将①②联立解方程组可得：a =4，b =5，∴大正方形的边长为5， ∴面积是25．8.设时间为t 秒，则AP =BQ =t cm ，PB =（4－t ）cm ，当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，即4－t =2t ，t =34，当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（4－t ），t =38， ∴当第34秒或第38秒时，△PBQ 为直角三角形．9.如图，CO 2=5，CO 1=5.5，则O 1O 2=25.555.522=-，六个碗叠放的总高度是5×25.5+5.5=25.131+5.5，∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52， 11＜25.131＜11.5，∴16.5＜25.131+5.5＜17， 因此高度至少是17厘米．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°， ∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D ,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ， ∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2． ∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3， 把D （3，2）代入得：k =－31，即直线CD 的解析式是y =－31x +3， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.0或－1 12.三 13.－i 14.26° 15.34 16.3 11.∵2)1(+m =m +1，∴m +1≥0，即m ≥－1，又∵m ＜21＜1，∴－1≤m ＜1且为整数， ∴m =0或－1．12.∵实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴一次函数y =ax +c 的图象经 过第一、二、四象限，不可能经过第三象限． 13.根据题意得：i 2015=i 2014•i ＝（i 2）1007•i ＝－i ．14.如图，取FG 的中点E ，连接EC ．∵FC ∥AB ，∴∠GCF =90°， ∴EC =21FG =AC ， ∴∠EAC =∠AEC =∠F +∠ECF =2∠F ，设 ∠BAG =x ，则∠F =x ，∵∠BAC =78°，∴x +2x =78°，∴x =26°， ∴∠BAG =26°．15.由题意得，ax +by =3 ①，ay －bx =5②，①2得a 2x 2+b 2y 2+2abxy =9③，②2得a 2y 2+b 2x 2－2abxy =25④，③+④得a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=34，a 2（x 2+y 2）+b 2（x 2+y 2）=34，∴ (a 2+b 2)(x 2+y 2)=34． 16.作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2与OA 交于点M 、与OB 交 于点N ，连PM 、PN ，则此时△PMN 的周长可取最小值．∵∠AOB =30°，由对称性可知∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，故∠P 1OP 2=2∠AOB =60°，又OP 1=OP =OP 2=6，∴△P 1OP 2为等边三角形． 易证得△P 1OM ≌△POM 则MP 1=MP ，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x ， 则∠3=2x ，又OP 平分∠AOB ，则在等边△P 1OP 2中OP 也为角平分 线，故OP ⊥P 1P 2，∴∠MPO =90°－2x ，∠OPP 1=75°，∴90°－2x +x =75°，解得x =15°，∴∠3=30°，在Rt △PMG 中， 设PG =m ，则PM =2m ，MG =m 3，∴P 1P 2=4MG =4m 3，故4m 3=6， m =23，PM =3．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵a =2+1，b =2－1，∴ab =（2+1）（2－1）=1，a －b =2+1－2+1=2，∴ab －（abb a -）=1－（a ab b ab -）=1－（a b 11-）=1－（ab b a -）=1－（a － b ）=1－2=－1．18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324． 所以能被45整除．19.证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE ∥BC ，DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．∵∠ACB =90°，∴四边形CEDF 是矩形， 得OD =OC =OE =OF ．在Rt △EHF 中，OH =21EF =OE =OF ，∴OH =21CD =OC =OD ， ∴在△CHD 中，∠CHO =∠OCH ，∠OHD =∠ODH ．∵∠CHO +∠OCH +∠OHD +∠ODH =180°， ∴∠CHO +∠OHD =90°，即CH ⊥AB ． 20.解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，从乙养殖场调运鸡蛋y 斤，根据题意得：⎩⎨⎧=+=⨯+⨯,12002670015.0140012.0200y x y x ，解得：⎩⎨⎧==.700,500y x∵500＜800，700＜900，∴符合条件．答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；（2）从甲养殖场调运了x 斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200－x ）斤鸡蛋， 根据题意得：⎩⎨⎧≤-≤,9001200,800x x 解得：300≤x ≤800，总运费W =200×0.012x +140×0.015×（1200－x ）=0.3x +2520，（300≤x ≤800）， ∵W 随x 的增大而增大，∴当x =300时，W 最小=2610元，∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省． 21.解：（1）（0，3）；（2）①点D 在第一象限时（如图①中点D 1），∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴CD ∥OB ， ∴点D 的纵坐标为3，当y =3时，－32×x +4=3，解得x =23，∴点D 的坐标为（23，3）， ∴直线OD 的解析式为y =2x ；②点D 在第二象限时（如图①中点D 2），AC =4－3=1，设点D 到y 轴的距离为a ，则S △CDB =S △ACD +S △ABC =21×1•a +21×1×6=21a +3，∵△CDB 与△CDO 面积相等， ∴21a +3=21×3a ，解得a =3，∴点D 的横坐标为－3，当x =－3时，y =－32×（－3）+4=2+4=6，∴点D 的坐标为（－3，6），∴直线OD 的解析式为y =－2x ．（3）如图②，设OD 平移后的解析式为y =2x +b ，令y =0，则2x +b =0，解得x =－2b， 令x =0，则y =b ，所以，OE =2b，OF =b ，过点M 作MN ⊥y 轴于N ，过点P 作PQ ⊥x 轴于 Q ，∵四边形EFMP 是正方形，∴易证△MNF ≌△FOE ≌△EQP ，∴MN =OF =EQ ，NF =OE = PQ ，∵M （m ，3），∴ON =b +2b=3，解得b =2，∴OE =1，OF =2，∴OQ =OE +QE =1+2=3， ∴点M （－2，3），点P （－3，1），故存在点M （－2，3）和点P （－3，1），使四边 形EFMP 为正方形．图① 图②。
第15届WMO全国初赛5年级试卷
姓名 年级 学校 准考证号 赛区 考场 联系电话-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------五年级初赛试卷（本试卷满分120分 ，考试时间75分钟 ）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.下面四个选项中用字母表示的都是六位数，其中w 是比 10小的自然数，m 是0，其中一定能被3和5整除的数 是（ ）。
A.wwwmwwB.wmwmwmC.wmmwmmD.wmmwmw2.古埃及时代，人们最喜欢的是分子为l 的分数，如21，31，41，…，n1。
我们称这些分数为单位分数，若其他的分 数能写成若干个不同的单位分数之和时，人们才承认它是分数，例如43＝21+41，所以人们承认43是分数。
如果只有四个单位分数：21，31，41，51，那么下列四个分数中，不被承认的分数是（ ）。
A.65B.127C.98D.20193.若A=B+1，则A 、B 的最小公倍数是它们最大公因数的 （ ）倍。
A.AB.BC.ABD.无法确定4.有大、中、小三个小正方形水池，它们的内边长分别是4 米、3米、2米，把两堆大小不同的碎石子分别沉没在中、 小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11 厘米，如果将这两堆碎石一起沉没在大水池中，大水池 的水面将升高（ ）厘米。
A.0.05B.5C.10D.505.如图1，运用割补法可以得到公式（a +b ）²＝a ²+2ab +b ²，那么，在图2中，运用割补法可以得到公式： （a +b +c ）²＝（ ）。
第15届WMO 四年级初赛卷
综合训练（3）第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛四年级初赛试卷 姓名 （满分120分，考试时间75分钟）一、 初试牛刀（单选题，每题5分，共50分）1、乐乐为了学习汉字做了如下的汉字卡片，下面四个汉字中，沿卡片最右边向右翻转后和原汉字一样的是（ ）DCBA美数奥学2、一奶牛场有25头奶牛和15头小牛，每头奶牛每天吃草12千克，每头小牛每天吃草6千克，现有草7020千克，可供它们吃（ ）天。
A.18B.23C.25D.303、一个天文单位是指地球和太阳的平均距离，大约1.5亿公里，地球和火星的最大距离是0.5个天文单位，是地球到月球的距离的200倍。
地球到月球的距离大约是（ ）公里。
A.300000B.37500C.750000D.15000004、在T,M,F,Z,N,X,E 这些字母中既有垂直又有平行线段的字母有（ ）个。
EX N Z F M TA.1B.2C.3D.45、思思将一个大正方形和总面积与其相等的5个小正方形如图叠加，设计出了社团的标志，并打算用一大张彩纸将标志贴在社团的门上。
如果大正方形的面积是802cm ，那么小正方形的边长应该是（ ）厘米。
A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm6、如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M ”，将其剪开展成平面图形，想一想这个平面图形是（DBA7、先观察下面各算式，找出规律，然后填入正确的选项。
991910099991991000099999919991000000⨯+=⨯+=⨯+=那么20179201792017999999999+19999个个个……的末尾有（ ）个0.A.2016B.2017C.4032D.40348、小雄用一堆一元的硬币恰好摆成了一个最外层每边有20枚硬币的实心方阵，若改为四层的空心方阵，它的最外面一层每边应放（ ）枚硬币。
A28 B29 C30 D319、一张试卷共有21道题，答对一道得8分，答错一道倒扣6分。
第15届WMO全国初赛3年级试卷
姓名年级学校准考证号赛区考场联系电话-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------三年级初赛试卷（本试卷满分120分，考试时间75分钟）一、初试牛刀（单选题Ⅰ，每题5分，共50分）1.与最左边图形转动后所形成的图形相同的是（）。
A. B. C.2.丽丽正在参加一场激烈的100米赛跑，之前她是第四名，然后她卯足了力气往前跑，成功超过了第二名，那么她现在是第（）名。
A.一B.二C.三D.四3.能够进入世界棒球比赛决赛的国家有16个，参加此比赛的选手共有448人，每个国家的参赛选手人数是一样的。
进入比赛的某国让自己的选手每14人站一列，这样所有比赛的选手一共可以站（）列。
A.14B.16C.28D.324.可可从国际酒店前往上海厅参加“WMO世奥赛全国总决赛”个人赛考试，并原路返回。
已知两地的距离是1200米，且可可去时每分钟走120米，回时每分钟走80米。
那么，可可往返的平均速度是每分钟走（）米。
A.96B.100C. 108D. 1205.使用数字卡片3、2、5、8中的三张组成一个式子，写成“两位数×一位数”。
此“两位数×一位数”最小的积是（）。
A.70B.75C.76D.846.下图中出现的数学名人是（）。
A.华罗庚B.陈景润C.丘成桐D.祖冲之7.如果△=15，△△=9， =8， =20，那么△ =（）。
A.11B.18C.24D.288.熊猫欢欢一天早晨、中午和晚上一共吃了80个竹笋，中午吃的个数是早晨的2倍，晚上吃的个数是早晨的2倍多5。
第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级A卷复赛(有答案)
第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得一份试卷。
考试期间，不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。
3. 请将答案写在本卷上。
考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数，请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1B ．8×10-2C ．2.3×10-1D ．2.3×10-22．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4第2题图 第3题图 第4题图3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ，若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（22，22）D ．（4，2）5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若等式23)3)(2(1-+-=---x bx a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ）A ．a =4，b =－3B ．a =2，b =－1C ．a =－1，b =1D ．a =－1，b =27．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ） A ．300 B ．405 C ．416 D ．450 8．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4， CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =xk的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2，则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．210．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________．12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号．右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________．第13题图 第14题图 第16题图14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分）18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分）20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ．（1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分）（2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732） （5分）图① 图②21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2），点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）．（1）求此二次函数的表达式；（3分）（2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分）（3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分）备用图九年级A 卷答案三、选择题（每小题4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A 10.B5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时，⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =xW ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26 时，W 最大=xy =416．8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CECF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图，∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n nn n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n =]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）=21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n越来越接近于21，∴W 越来越接近于21．四、填空题（每小题5分，共30分）11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.3513.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6．14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π．15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0，∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-．16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ，∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上．则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上．五、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”．19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30．整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ．20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°，∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27，∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41， ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下：如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ．设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4．∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化．（3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴ABANAM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）．③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ．设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）．又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。
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P 1 B ． C ．P 3 D ．P 4
第2题图 第3题图 第4题图
．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点CD 平分∠ACB ，且与=80°，=60°ADC 的度数为（ ⌒
BC 80° B ．D ．95°
．如图，△OAB 与△OCD 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠AD ＜tan α＜334
3
3，与直
第13题图 第14题图 第16题图
．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ．．正数m ，n 满足m +的值为
42016
8
23
≈1.414，≈1.732）
备用图
、AB 、AD 三次反弹后整理得：x 2－2x +2=0，5，过D 作DE ⊥x 轴，∴无论k 取何
-=-=.1,
1y x 的图象的示意图如图，
轴的交点为B （+-n n =90°，=AD － 圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：
n
）－3=0，。