第十一章排队论

11. 排队论11.1基本概念排队现象是指到达服务机构的顾客数量超过服务机构提供服务的容量,也就是说顾客不能够立即得到服务而产生的等待现象。

顾客可以是人,也可以是物,比如说,在银行营业部办理存取款的储户,在汽车修理厂等待修理的车辆,在流水线上等待下一到工序加工的半成品,机场厂上空等待降落的飞机,以及等待服务器处理的网页等,都被认为是顾客。

服务机构可以是个人,像理发员和美容师,也可以是若干人,像医院的手术小组。

服务机构也还可以是包装糖果的机器,机场的跑道,十字路口的红绿灯,以及提供网页查询的服务器等等。

因为顾客到达,服务时间具有不确定性,排队系统又称随机服务系统,它的基本结构如图11所示:1.11图1.11给出了一些现实排队系统的例子。

表1.表11.1: 排队系统应用商业服务理发店,银行柜台,机场办理登机手续的柜台,快餐店的点餐柜台运输行业城市道路的红绿灯,等待降落或起飞的飞机,出租车制造业待修理的机器,待加工的材料,生产流水线社会服务法庭,医疗机构11.1.1排队系统的特征为了描述一个排队系统,我们需要说明输入(到达)和输出(服务)过程,及其他基本特征。

表11列举了一些排队系统的到达和服务过程。

2.表11.2: 排队系统举例)1(到达过程通常,我们假设顾客的相继到达间隔时间是相互独立并且都具有相同概率分布。

在许多(Poisson流,或指数分布。

顾客源可能是有限实际情况中,顾客的相继到达间隔是服从泊松)的,也可能是无限的。

顾客到来方式可能是一个接一个的,也可能是批量的。

比如,到达机场海关的旅行团就是成批顾客。

一般来说,我们假设到达过程不受排队系统中顾客数量的影响。

以银行为例,无论银行内有3位顾客还是300位顾客,顾客来到银行的到达过程是不会受到影响的。

但是在两种情况下到达过程与排队系统中的顾客数量相关。

第一种情况发生在顾客源是有限的系统,比如某工厂共有五台机床,若在维修部中已有两台机床,接下来到达维修部的最大量是三台。

另一种情况是当顾客到达排队系统时,如果服务机构的设施都被占用,顾客可能耐心等待,也可能选择离开。

比如,当一家航空公司的电话订票中心出现排队时,如果顾客等待时间太长,他就可能挂断电话。

顾客就会选择另外一家航空公司。

)2(服务过程为了描述排队系统的服务过程,我们需要确定服务时间的概率分布。

在大多数情况下,服务时间是独立于排队系统中的顾客数量,即服务机构不会因为顾客数量增多而加快服务进度。

不同服务机构提供的服务时间之间是相互独立,并都服从同一种概率分布,而且也独立于顾客相继到达间隔时间。

服务时间一般分为确定型的和随机型的。

在大多数情形下,服务时间的是随机型的,排队论主要研究随机型的服务时间。

对于随机型的服务时间,我们必须知道它的概率分布,通常假定是指数分布。

从服务队列的安排上来说,我们将重点研究以下几种形式。

从队列的数目来看,可以是单11说明了一个服列,也可以是多列。

服务机构在提供服务时,可以有一个或多个服务台。

图2.务台的排队系统:顾客到达流顾客队列服务台11图2.在有多个服务台的情形中,它们可以是并列,可以是串列,也可以是混合排列,最典型的是以下二种排队方式:顾客到达流顾客队列服务台11图3.顾客队列 服务台图4.11图3.11表示在排队系统中存在多个队列,且服务机构提供多个服务台的排队模型,而图4.11则表示排队系统中存在单队列,且服务机构提供多个服务台的排队模型。

在日常生活中,这两种排队方式都是常见的。

)3(排队规则服务机构确定的排队规则是排队系统中的一项重要条件,服务机构为顾客提供服务的规则可以采用下列几种规则,即:先到先服务)(FCFS ,后到先服务)(LCFS ,随机服务)(SIRO,和具有优先权的服务)(NPRP .---- 先到先服务,顾客按到达排队系统的顺序接受服务,这是最普遍情况。

--- 后到先服务,卡车的卸货和乘用电梯的顾客都是后进入排队系统先接受服务的。

--- 随机服务,服务机构从等待的顾客中随机地选取其一进行服务。

--- 有优先权的服务,航空公司的金卡旅客有优先登机权。

我们将区分有限和无限等待空间。

随着顾客数目的增加,排队系统的等待空间将被占满。

例如在数据通信网络中,交换机每次只能传输有限量的数据,如果数据流是无穷大,就会导致系统阻塞现象。

如果不断有顾客到达排队系统,服务机构必须连续提供服务。

所以排队系统的服务强度反应了服务机构的繁忙程度。

11.1.2 到达和服务过程的分布我们首先讨论排队系统到达过程的概率分布。

设i t 为第i 个顾客到达排队系统的时间.对于1≥i ,定义i i i t t T -=+1为第1+i 个顾客与第i 个顾客的到达时间间隔。

图5.11说明了到达间隔i T 和到达时间i t 的关系.比如,4591=-=T ,及79162=-=T .为了推导顾客到达过程的概率模型,我们假设到达间隔i T 之间是相互独立,对应于连续随机变A .如果A 的密度函数为)(t a ,那么对于足够小的t ∆,概率)(t t A t P ∆+≤≤近似于)(t ta ∆.∙ ∙ ∙51=t 92=t 163=t图5.11我们定义λ1为到达间隔的平均值,则有:⎰∞=0)(1dt t ta λ)1.11(如果时间是按分钟度量的,λ1就是每次到达的平均间隔分钟。

而λ则表示单位时间内的到达率,即在1分钟内的顾客的到达数。

在排队论的应用中,一个重要方面是选择到达过程的概率分布。

而最常用的概率分布是指数分布。

具有参数为λ的指数分布的密度函数为：⎩⎨⎧<≥=-0)(t t e t a tλλ )2.11( 那么到达间隔T 服从指数分布。

它的分布函数是：⎩⎨⎧<≥-=-01)(t t e t F tλ )3.11( 我们可以证明到达间隔T 的期望值,方差,和标准差分别为：λ1][=T E ，21][λ=T Var ，λσ1][=T )4.11(指数分布具有”无记忆性”.对于任意的0,0>>y x ,有:)()()()|()(y T P e ee x T P y x T P x T y x T P y x y x >===>+>=>+>--+-λλλ比如,3=y ,对于3=x ,2=x ,和1=xλ3)1|4()2|5()3|6(-=>>=>>=>>e T T P T T P T T P指数分布具的无记忆性说明了如果我们希望预测下一位顾客到达时间的概率分布,那么,它是与上一位到达时间无关。

如果相继到达间隔服从指数分布,发生在任何一段时间内的到达数服从泊松分布。

离散随机变量N 服从参数为λ的泊松分布是指对于,...2,1,0=n ,有:λλ-==e n n N P n !)()( ,....2,1,0=n )5.11(设)(t N 表示在时间区间),[t T T +内的到达数)0(>t ，那么,随机变量)()()(t N t s N t N -+=服从下述泊松分布:tn e n t n t N P λλ-==!)())(( ,....2,1,0=n )6.11(随机变量)(t N 的均值和方差分别为：t t N E λ=)]([；t t N Var λ=)]([ )7.11(式)7.11(表明泊松分布的一个重要特征是期望值等于方差。

我们可利用Excel 来计算指数分布和泊松分布的概率。

设具有参数λ指数分布的随机变量,利用Excel 的EXPONDIST 函数,有:),,(TRUE LAMBDA x EXPONDIST =返回随机变量小于等于x 的概率; ),,(TRUE LAMBDA x EXPONDIST =返回随机变量密度函数值比如,到达间隔服从均值为5的指数分布。

那么2.0=λ,),2.0,10(TRUE EXPONDIST=给出到达间隔小于等于10分钟的概率为8646647.0。

函数),2.0,10(FALSE EXPONDIST=给出10=x 和2.0=λ的指数密度函数的高度等于0726345.0,参见表3.11。

设泊松分布的随机变量的均值为M ,利用Excel 的POISSON 函数,有下述表达式:),,(TRUE M x POISSON =返回随机变量的均值M 小于等于x 的概率 ),,(FALSE M x POISSON =返回随机变量的均值M 等于x 的概率比如,如果顾客平均到达率为30/每小时,并服从泊松分布,那么函数),30,30(TRUE POISSON =给出在一小时内到达排队系统的顾客小于等于30的概率为5483515.0。

函数),30,30(FALSE POISSON =给出在一小时内到达排队系统的顾客正好等于30的概率为0270671.0,参见表3.11。

表11.3: 指数和泊松分布接下来,我们再讨论排队系统的服务过程的概率模型。

我们假设不同顾客的服务时间是相互独立的随即变量。

设每位顾客服务时间随即变量为S ,密度函数为)(t s ,设μ1为每位顾客的平均服务时间,那么⎰∞+=0)(1dt t ts μ)8.11(变量μ1表示每为顾客的平均服务时间,所以μ每小时服务的顾客数。

这样,我们也称μ为服务率。

比如说,2=μ意味着排队系统每小时可服务2位顾客每位顾客的平均服务时间为21小时。

如果我们能够用指数分布来描述服务时间的随机性,我们就能直接确定顾客的剩余服务时间,而不需要知道顾客在排队系统中已经接受服务的时间。

如果服务时间服从指数分布,它的密度函数为t e t s μμ-=)(,每位顾客的平均服务时间为μ1。

11.1.3排队系统的分类根据排队系统的基本特征,Kendall )1951(对排队系统设计出一个简便分类方法。

任何一类排队系统都可用下述标记来表示F E D C B A ///// )9.11(第一个字符A 表示到达过程的基本特性--M 到达时间间隔相互独立,服从指数分布 --D 到达时间间隔相互独立,确定型--G 到达时间间隔相互独立,服从一般概率分布第二个字符B 说明服务过程的基本特性--M 服务时间相互独立,服从指数分布 --D 服务时间间隔相互独立,确定型--G 服务时间间隔相互独立,服从一般概率分布第三个字符C 表示排队系统中的服务台数。

第四个字符D 代表排队规则:--FCFS 先到先服务 --LCFS 后到先服务 --SIRO 随机服务 --GD 其他排队规则第五个字符E 说明排队系统的最大容量,即排队系统能够接受顾客的最大值(排队顾客加接收服务的顾客)。

第六个字符F 说明了顾客源的总体大小。

那么,∞∞///1//FCFS M M 表示到达时间间隔服从指数分布,服务时间服从指数分布,单服务台,先到先服务,无限容量和无限顾客源的排队模型。