第十章 排队论
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第10章 排队论
混合制排队系统： • 等待时间有限。即顾客在系统中 等待时间不超过某一给定的长度T， 当等待时间超过T时，顾客将自动 离开，不再回来。如易损失的电 子元件的库存问题，超过一定存 储时间的元器件被自动认为失效。
混合制排队系统： • 逗留时间（等待时间与服务时间 之和）有限。例：用高射炮射击 飞机，当敌机飞越射击有效区域 的时间为t时，若这个时间内未被 击落，也就不可能再被击落了。
第十章 排队论
10.1 引
言
排队论是研究排队系统（又称随 机服务系统）的数学理论和方法，是 运筹学的一个重要分支。 1、有形排队现象：进餐馆就餐，到 图书馆借书，车站等车，去医院看病， 售票处售票，到工具房领物品等现象。
2、无形排队现象：如几个旅客同时打电
话订车票；如果有一人正在通话，其他 人只得在各自的电话机前等待，他们分 散在不同的地方，形成一个无形的队列 在等待通电话。
均数。如果列车因站中2股道均被占 用而停在站外或前方站时，每列车 每小时费用为a元，求每天由于列车 在站外等待而造成的损失。
解：本例可看成一个M/M/1/排队问 题，其中 =2， =3，= /=2/3<1 系统中列车的平均数
L= / (1-)=(2/3)/(1-2/3)=2（列）
7、排队研究的基本问题
系统优化问题：又称为系统控制问 题或系统运营问题，其基本目的是 使系统处于最优的或最合理的状态。 包括：最优设计问题和最优运营问 题。
10.2 排队系统的数量指标及记号 1、数量指标
系统状态：也称为队长，指排队系 统中的顾客数（排队等待的顾客数 与正在接受服务的顾客数之和）。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因 故障而停止运行的机器设备在等待修理； 码头上的船只等待装货或卸货；要下降 的飞机因跑道不空而在空中盘旋等。
[管理学]排队论
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1
10 排队论
• • • • • • • 10-1 前言 10-2 基 本 概 念 10-3 到达间隔的分布和服务时间的分布 10-4 单服务台指数分布的排队系统的分析 10-5 多服务台负指数分布排队系统的分析 10-6 一般服务时间M/G/1模型 10-7 经济分析——系统最优化
2
前 言
排队是我们在日常生活和生产中经 常遇到的现象。 例如，上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品； 顾客到银行取钱； 旅客到售票处购买车票； 学生去食堂就餐等就常常出现排队和等 待现象。
第10章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909 年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
15
2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空 闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客 去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就 是一例。 ④优先权服务（PR）。如老人、儿童先 进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需 要处理计算机立即中断其他数据的处理等， 均属于此种服务规则。
16
2. 排队规则
5.排队系统指标优化 问题1 系统中顾客数=平均队长（Ls）+1？
26
四、 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征 • 排队系统的模型分类 • 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 • 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) • 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] • 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] • 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
10 排队论
• • • • • • • 10-1 前言 10-2 基 本 概 念 10-3 到达间隔的分布和服务时间的分布 10-4 单服务台指数分布的排队系统的分析 10-5 多服务台负指数分布排队系统的分析 10-6 一般服务时间M/G/1模型 10-7 经济分析——系统最优化
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前 言
排队是我们在日常生活和生产中经 常遇到的现象。 例如，上、下班搭乘公共汽车； 顾客到商店购买物品； 顾客到银行取钱； 旅客到售票处购买车票； 学生去食堂就餐等就常常出现排队和等 待现象。
第10章 排队论(Queuing Theory)
排队论（queuing),也称随机服务系统理论，是 运筹学的一个主要分支。 1909 年，丹麦哥本哈根电子公司电话工程师 A. K. Erlang的开创性论文“概率论和电话通讯理论” 标志此理论的诞生。排队论的发展最早是与电话， 通信中的问题相联系的，并到现在是排队论的传统 的应用领域。近年来在计算机通讯网络系统、交通 运输、医疗卫生系统、库存管理、作战指挥等各领 域中均得到应用。
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2. 排队规则
③随机服务（RAND） 。即当服务台空 闲时，不按照排队序列而随意指定某个顾客 去接受服务，如电话交换台接通呼叫电话就 是一例。 ④优先权服务（PR）。如老人、儿童先 进车站；危重病员先就诊；遇到重要数据需 要处理计算机立即中断其他数据的处理等， 均属于此种服务规则。
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2. 排队规则
5.排队系统指标优化 问题1 系统中顾客数=平均队长（Ls）+1？
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四、 排队论主要知识点
• 排队系统的组成与特征 • 排队系统的模型分类 • 顾客到达间隔时间和服务时间的经验分布与 理论分布 • 稳态概率Pn的计算 • 标准的M/M/1模型([M/M/1]:[∞/∞/FCFS]) • 系统容量有限制的模型[M/M/1]:[N/∞/FCFS] • 顾客源有限模型[M/M/1][∞/M/ FCFS] • 标准的[M/M/C]模型[M/M/C]:[∞/∞/FCFS]
第10章排队论随机服务系统(pdf 75)
4
随机服务过程
以单台服务系统、等待制、先到先服务为例讨论如下 顾客在系统中的总时长：逗留时间=等待时长+服务时长 等待时长与顾客到达率和服务时长有关
12 3
4
顾客 τ1 τ2 τ3
τ4
到达时刻
开始 服务时刻
w2 w3
服务
终结时刻
h1 h2 h3 空 h4
t
1 23
4
•τi , wi , hi 分别表示到达间隔时间，等待时间和服务时间
5
当服务台连续不断服务(即忙期）时，有如下关系：
wi+1+τi+1= wi+hi，（上图中τ4不属于这种情况）
wi+hi 表示了累计的未完成的服务时长，一般地有
w i+1
=
⎧ ⎨
w
i
⎩
+
hi − 0
τ i+1
if w i + hi − τ i + 1 > 0 if w i + hi − τ i + 1 ≤ 0
第十章 排队论—随机服务系统
随机服务系统 随机服务过程 服务时间与间隔时间 输入过程 生灭过程和纯增过程 M/M/n 损失制 M/M/n 等待制，无限源，无限容量 M/G/1 等待制，无限源，无限容量 特殊随机服务系统
1
随机服务系统
系统的输入与输出是随机变量
A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
• α(t) 代表时段(0, t)中累计到达顾客数
β(t) 代表时段(0, t)中累计接受服务的顾客数
γ(t) 代表时段(0, t)中累计服务完毕的顾客数（离去的顾客数）
随机服务过程
以单台服务系统、等待制、先到先服务为例讨论如下 顾客在系统中的总时长：逗留时间=等待时长+服务时长 等待时长与顾客到达率和服务时长有关
12 3
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顾客 τ1 τ2 τ3
τ4
到达时刻
开始 服务时刻
w2 w3
服务
终结时刻
h1 h2 h3 空 h4
t
1 23
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•τi , wi , hi 分别表示到达间隔时间，等待时间和服务时间
5
当服务台连续不断服务(即忙期）时，有如下关系：
wi+1+τi+1= wi+hi，（上图中τ4不属于这种情况）
wi+hi 表示了累计的未完成的服务时长，一般地有
w i+1
=
⎧ ⎨
w
i
⎩
+
hi − 0
τ i+1
if w i + hi − τ i + 1 > 0 if w i + hi − τ i + 1 ≤ 0
第十章 排队论—随机服务系统
随机服务系统 随机服务过程 服务时间与间隔时间 输入过程 生灭过程和纯增过程 M/M/n 损失制 M/M/n 等待制，无限源，无限容量 M/G/1 等待制，无限源，无限容量 特殊随机服务系统
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随机服务系统
系统的输入与输出是随机变量
A.k.Erlang 于1909~1920年发表了一系列根据话务量计
• α(t) 代表时段(0, t)中累计到达顾客数
β(t) 代表时段(0, t)中累计接受服务的顾客数
γ(t) 代表时段(0, t)中累计服务完毕的顾客数（离去的顾客数）
运筹学课件第十章排队论
第十章 排队论
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论 排队论研究排队系统的数学理论和方法， 是运筹学的一个重要分支。 排队问题表现：
到达的顾客 1、不能运转机器 2、病人 3、打电话 4、等待降落飞机 5、河水进入水库
要求的服务 修理 就诊 通话 降落 放水，调整水 位
服务机构 修理工人 医生 交换台 跑道指挥机构 水闸管理员
四、排队系统的主要数量指标和记号 描述一个排队系统运行状况的主要指标： 1、队长、排队长 队长：系统中的顾客数量（排队顾客+接受服务顾客）。
排队长：系统中的正在排队等待服务的顾客数量。
2、等待时间和逗留时间 等待时间：从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间 为等待时间。 逗留时间：从顾客到达时刻起到他接受服务完成这段时间为 逗留时间。
(i)队长有限：系统等待空间有限。 有限系统的空间为K, 顾客到达时的队长为L。若 L<K，则顾客进入队列等待服务，若L=K，则 顾客离去。 (ii) 等待时间有限： 顾客对等待时间具有不耐烦 性的系统。设最长等待时间是T0，某个顾客从 进入队列后的等待时间为 T。若T<T0，顾客继 续等待；若T=T0，则顾客脱离队列而离去。 (iii)逗留时间有限：等待时间与服务时间之和。
排队可以是人，也可以是物。 为了一致：将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提 供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
排队系统的一般描述; 顾客为了得到服务而到达系统，如果不能 立刻得到服务而又允许排队等待，则加入 等待队伍，待获得服务后离开系统。
顾客到达 队列 服务台 单服务台服务系统 服务完后离开
n 0
n ,n C 1 , 2 , 3 ,...... n u n p p , n 1 , 2 , 3 ,...... n 0
运筹学-第十章-排队论定稿
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部
分组成：
1 输入过程 2 排队及排队规则 3 服务机制
Байду номын сангаас
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流．
一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
(1)顾客总体数
又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可
排队论
排队论
引言 生灭过程和Poisson过程 M/M/s等待制排队模型
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤
现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各
于成批服务。医生看病是单个服务
(3) 服务时间的分布 一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是 一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 K 阶爱尔朗分布、等等。
三、排队系统的分类符号表示
肯道尔（D.G.Kendall）分类（1953）：X / Y / Z / A / B /C
其中： X 顾客到达的分布； Y 服务时间的分布； Z 服务台数； A 系统容量； B C 顾客源的个体数。 服务规则
形式上看，服务台有： ①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式 以及多队——多服务台并串联混合式等等。
(2) 服务方式。 这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和
成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属
泊
松过程。
分组成：
1 输入过程 2 排队及排队规则 3 服务机制
Байду номын сангаас
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流．
一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
(1)顾客总体数
又称顾客源、输入源。这是指顾客的来源。顾客源可
排队论
排队论
引言 生灭过程和Poisson过程 M/M/s等待制排队模型
第一节 引言
一、排队系统的特征及排队论
排队论(Queuing Theory)，又称随机服务系统理论 (Random Service System Theory),是一门研究拥挤
现象(排队、等待)的科学。具体地说，它是在研究各
于成批服务。医生看病是单个服务
(3) 服务时间的分布 一般来说，在多数情况下，对每一个顾客的服务时间是 一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 K 阶爱尔朗分布、等等。
三、排队系统的分类符号表示
肯道尔（D.G.Kendall）分类（1953）：X / Y / Z / A / B /C
其中： X 顾客到达的分布； Y 服务时间的分布； Z 服务台数； A 系统容量； B C 顾客源的个体数。 服务规则
形式上看，服务台有： ①单队——单服务台式； ②单队——多服务台并联式； ③多队——多服务台并联式； ④单队——多服务台串联式； ⑤单队——多服务台并串联混合式 以及多队——多服务台并串联混合式等等。
(2) 服务方式。 这是指在某一时刻接受服务的顾客数，它有单个服务和
成批服务两种。如公共汽车一次就可装载一批乘客就属
泊
松过程。
运筹08(第10章排队论)精品PPT课件
2020/11/30
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排队系统类型3：
服务完成后离开
服务台1
顾客到达
服务完成后离开
服务台2
服务完成后离开
服务台s
S个服务台， S个队列的排队系统
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排队系统类型4：
顾客到达
服务台1
离开
服务台s
多服务台串联排队系统
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排队系统的描述 实际中的排队系统各不相同，但概括 起来都由三个基本部分组成： 1、输入过程; 2、排队及排队规则; 3、服务机构
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➢ 定长分布（D）：每个顾客接受的服 务时间是一个确定的常数。
➢ 负指数分布（M）：每个顾客接受的
服务时间相互独立，具有相同的负指
数分布： e- t t0
f(t)=
0
t<0
其中>0为一常数。
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➢ K阶爱尔朗分布（Ek）：
f(t)=
k(kt)k-1 · e- kt
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无形排队现象：如几个旅客同时打电话 订车票；如果有一人正在通话，其他人只 得在各自的电话机前等待，他们分散在不 同的地方，形成一个无形的队列在等待通 电话。
排队的不一定是人，也可以是物。如生 产线上的原材料，半成品等待加工；因故 障而停止运行的机器设备在等待修理；码 头上的船只等待装货或卸货；要下降的飞 机因跑道不空而在空中盘旋等。
理；出价高的顾客应优先考虑。
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❖ 3、服务机制
包括：服务员的数量及其连接方式（串联还是并联） 顾客是单个还是成批接受服务； 服务时间的分布
记某服务台的服务时间为V，其分布函数 为B(t),密度函数为b(t),则常见的分布 有：定长分布（D）
第十章_排队论(1)
商业服务系统系统类型顾客服务台银行出纳服务人出纳atm机服务人atm机商店收银台人收银员管道服务阻塞的管道管道工机场检票处人航空公司代理人经纪人服务人股票经纪人机商店收银台人收银员管道服务阻塞的管道管道工机场检票处人航空公司代理人经纪人服务人股票经纪人内部服务系统系统类型顾客服务台秘书服务雇员秘书复印服务雇员复印机传真服务雇员传真机物料处理系统货物物料处理单元维护系统设备维修工人质检站物件质检员秘书服务雇员秘书复印服务雇员复印机传真服务雇员传真机物料处理系统货物物料处理单元维护系统设备维修工人质检站物件质检员运输服务系统系统类型顾客服务台公路收费站汽车收费员卡车装货地卡车装货工人港口卸货区轮船卸货工人等待起飞的飞机飞机跑道航班服务人飞机出租车服务人出租车电梯服务人电梯停车场汽车停车空间公路收费站汽车收费员卡车装货地卡车装货工人港口卸货区轮船卸货工人等待起飞的飞机飞机跑道航班服务人飞机出租车服务人出租车电梯服务人电梯停车场汽车停车空间?为一致起见将服务的对象统称为顾客顾客将提供服务的服务者称为服务员或或服务机构
排队系统的符号表示
[M/M/1]：[//FCFS] 表示：
▪ 顾客到达的时间间隔是负指数分布 ▪ 服务时间是负指数分布 ▪ 一个服务台 ▪ 排队系统和顾客源的容量都是无限 ▪ 实行先到先服务的一个服务系统
排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系统运行 的状况,对系统进行调整和控制,使系统处于 最优运行状态. 首先需要了解系统的运行状 况.描述一个排队系统运行状况的主要数量 指标:
排队论的案例研究
Dupit公司的售后服务问题 服务现状: 每位服务代表的服务区域内约有 150台设备,使其在大约75%的时间里处于维 修状态.当连续工作时,每个技术代表应能够平 均一天修4台设备(2小时/台).为了使顾客的等 待时间最短,每个工作日平均要接到3个维修电 话.
排队系统的符号表示
[M/M/1]：[//FCFS] 表示：
▪ 顾客到达的时间间隔是负指数分布 ▪ 服务时间是负指数分布 ▪ 一个服务台 ▪ 排队系统和顾客源的容量都是无限 ▪ 实行先到先服务的一个服务系统
排队系统的主要数量指标和记号
研究排队系统的目的是通过了解系统运行 的状况,对系统进行调整和控制,使系统处于 最优运行状态. 首先需要了解系统的运行状 况.描述一个排队系统运行状况的主要数量 指标:
排队论的案例研究
Dupit公司的售后服务问题 服务现状: 每位服务代表的服务区域内约有 150台设备,使其在大约75%的时间里处于维 修状态.当连续工作时,每个技术代表应能够平 均一天修4台设备(2小时/台).为了使顾客的等 待时间最短,每个工作日平均要接到3个维修电 话.
运筹学第十章 排队论
一、生灭过程简介
一类非常重要其广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。 生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学 中有广泛的应用。
定义1 设{N(t)，t≥0 }为一个随机过程。 如N(t)的概率分布具有以下性质：
（1）假设N(t)= n，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时 间服从参数为λn 的负指数分布，n=0，1，2，…。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
到 (7)无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， (8)这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
一类非常重要其广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。 生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学 中有广泛的应用。
定义1 设{N(t)，t≥0 }为一个随机过程。 如N(t)的概率分布具有以下性质：
（1）假设N(t)= n，则从时刻 t 起到下一个顾客到达时刻止的 时 间服从参数为λn 的负指数分布，n=0，1，2，…。
排队是我们在日常生活和生产中经常遇到的现象。例如， 上、下班搭乘公共汽车；顾客到商店购买物品；病员到医 院看病；旅客到售票处购买车票；学生去食堂就餐等就常 常出现排队和等待现象。
除了上述有形的排队之外，还有大量的所谓“无形”排队现 象，如几个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽 车站无足够车辆、则部分顾客只得在各自的要车处等待，他 们分散在不同地方，却形成了一个无形队列在等待派车。
到 (7)无限长，顾客到达系统后均可进入系统排队或接受服务， (8)这类系统又称为等待制排队系统。
有限排队系统
损失制排队系统（排队空间为0的系统） （允许排队，但又不
混合制排队系统 允许队列无限长）
损失制排队系统 （排队空间为0的系统）
这是指如果顾客到达排队系统时，所有服务台都已被先来的顾 客占用，那么他们就自动离开系统永不再来。典型例子是，如 电话拔号后出现忙音，顾客不愿等待而自动挂断电话，如要再 打，就需重新拔号，这种服务规则即为损失制。
二、排队系统的描述
实际中的排队系统各有不同，但概括起来都由三个基本部 分组成：
1 输入过程； 2 排队及排队规则 3 服务机制
1．输入过程． 这是指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的 过程，有时也把它称为顾客流． 一般可以从3个方面来描述一个输入过程。
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E(t ) 1 /
t> 0 t0
=0.4
Var(t ) 1/ 2
1/为平均到达间隔时间
14
k阶Erlang分布
定理 设 v1 ， v2 ， … ， vk 是 k 个互相独立的，具有相 同参数的负指数分布随机变量，则随机变量
S=v1+v2+…+vk服从k阶Erlang分布，S的密度函数为
q ( t ) lim 0 t 0 t
4、有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。即
p
k 0
k ( t )
1
12
定理 对于一个参数为的Poisson流，在[0，t] 内到达k个顾客的概率为
( t ) k t p k (t) e k 0,1,2 k! 即服从以为参数的Poisson分布。
7
11
9
排队规则的内容
损失制系统
服务台被占用时新到的顾客将离开
等待制系统
FCFS LCFS PS
混合制系统
损失制与等待制的混合
7
服务过程的内容
服务台数量
单个或多个
每次服务顾客的数量
单个或成批
服务顾客的时间分布
时间分布
8
常用的记号
n –– 系统中的顾客数
Sn(t) Pn(t) C
你的时间够用么？
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 吃
第十章 排队论
1 基本概念 2 几个分布 3 基本排队模型
3.1 3.2 M/M/S等待制排队模型 M/M/S混合制排队模型
2
商业服务系统
系统类型 顾客 服务台
理发店
银行出纳服务
人
人
理发师
出纳
ATM机服务
商店收银台
人
人
ATM机
收银员
电影院售票窗口 人
机场检票处 人
售票员
航空公司代理人
经纪人服务
人
股票经纪人
3
运输服务系统
系统类型 顾客 服务台
公路收费站
卡车装货地 港口卸货区 航班服务
汽车
卡车 轮船 人
收费员
装货工人 卸货工人 跑道 飞机
1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率； 3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
21
根据题意, =100辆 /小时 ,1/=15秒 =1/240（小时 / 辆）,即＝240（辆/小时）。 因此，=/=100/240=5/12。 系统空闲的概率为：P0=1-=1-(5/12)=7/12=0.583 系统忙的概率为：1-P0=1-(1-)==5/12=0.417 系统中有1辆车的概率为：P1=(1-)==0.243 系统中有2辆车的概率为： P2=2(1-)=0.417 2×0.583=0.101 系统中有3辆车的概率为： P3=3(1-)=0.417 3×0.583=0.0421
过渡
稳定
生 灭 过 程
19
稳定状态下的状态概率
稳定状态下： “流出=流入”
1p1 0 p0
注意到
2 p 2 1p1
n
n
n
系统服务率
/
生 灭 过 程
p n p0
p n (1- )
n
20
高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车 到达服从 Poisson 分布，平均到达速率为 100 辆／小 时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为 15 秒／辆。
Pk(1)
Poisson流
0
.4
.3 .2 .1 0 x
13
=1
=3
=7
Poisson与负指数分布的关系
定理 在排队系统中，如果单位时间内顾客到 达数服从以为参数的Poisson分布，则顾客相
继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分
布。
e t f (t ) 0
16
M/M/S等待制排队模型
1． 2． 单服务台模型 多服务台模型
17
[M/M/1]:[//FCFS]
顾客到达的时间间隔是负指数分布
服务时间是负指数分布
一个服务台
排队系统和顾客源的容量都是无限
实行先到先服务的一个服务系统
18
系统的过渡状态与稳定状态
dPn (t ) 0 dt dPn (t ) 0 dt
(t ) t f (t) e ( k 1)!
k 1
t0
k= 8 k= 4 k= 2
= 1
k 1
k 30
f (t ) ue
ut
t 0
k= 1
近似正态分布
15
系统绩效度量
系统总的平均顾客数L 平均等待顾客个数Lq 包括服务的平均等待时间W 平均顾客等待时间Wq 系统利用率r
––平均到达率，即单位时间内平均到达的顾客数
–– 平均服务率，即单位时间内服务完毕的顾客数 ––时刻t系统中有n个顾客 –– 时刻t系统状态Sn(t) 的概率 –– 服务台的个数
M
D Ek
–– 顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布
–– 顾客相继到达的时间间隔服从定长分布 –– 顾客相继到达的时间间隔服从k阶Erlang分布
等待起飞的飞机 飞机
出租车服务
电梯服务 急救车服务
人
人 人
出租车
电梯 急救车
4
到达过程的内容
顾客总体数或顾客源数
有限或无限
顾客的到达类型
单个或成批
顾客的到达间隔时间
间隔时间分布
5
排队结构
多队多服务台
单队多服务台
入口
领号
...
服务台
3 8 5
4 6 10 12
2
需ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ服务
队列 服务完毕 顾客源
9
排队系统的符号表示
一个排队系统的特征可以用六个参数表示， 形式为：
[A／B／C]：[d／e／f]
其中 A–– 顾客到达的概率分布，可取M、Ek等； B–– 服务时间的概率分布，可取M、Ek等； C –– 服务台个数，取正整数； d–– 排队系统的最大容量，可取正整数或； e –– 顾客源的最大容量，可取正整数或； f –– 排队规则，可取FCFS、LCFS等。
10
[M/M/1]：[//FCFS]
表示：
顾客到达的时间间隔是负指数分布
服务时间是负指数分布
一个服务台
排队系统和顾客源的容量都是无限
实行先到先服务的一个服务系统
11
Poisson流（Poisson过程）
1 、平稳性：在时间区间 [t, t+t) 内到达 k 个顾客的概率与 t 无 关，只与t有关。记为pk(t）。 2、无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。 3 、 普 通 性 ： 设 在 [t, t+t ） 内 到 达 多 于 一 个 顾 客 的 概 率 为 q(t），则 q(t)=o(t) 即
t> 0 t0
=0.4
Var(t ) 1/ 2
1/为平均到达间隔时间
14
k阶Erlang分布
定理 设 v1 ， v2 ， … ， vk 是 k 个互相独立的，具有相 同参数的负指数分布随机变量，则随机变量
S=v1+v2+…+vk服从k阶Erlang分布，S的密度函数为
q ( t ) lim 0 t 0 t
4、有限性：任意有限个区间内到达有限个顾客的概率等于1。即
p
k 0
k ( t )
1
12
定理 对于一个参数为的Poisson流，在[0，t] 内到达k个顾客的概率为
( t ) k t p k (t) e k 0,1,2 k! 即服从以为参数的Poisson分布。
7
11
9
排队规则的内容
损失制系统
服务台被占用时新到的顾客将离开
等待制系统
FCFS LCFS PS
混合制系统
损失制与等待制的混合
7
服务过程的内容
服务台数量
单个或多个
每次服务顾客的数量
单个或成批
服务顾客的时间分布
时间分布
8
常用的记号
n –– 系统中的顾客数
Sn(t) Pn(t) C
你的时间够用么？
6个月 停在红灯前 8个月 打开邮寄广告 1年 寻找放置不当的物品 2年 回电话不成功 4年 做家务 5年 排队等待 6年 吃
第十章 排队论
1 基本概念 2 几个分布 3 基本排队模型
3.1 3.2 M/M/S等待制排队模型 M/M/S混合制排队模型
2
商业服务系统
系统类型 顾客 服务台
理发店
银行出纳服务
人
人
理发师
出纳
ATM机服务
商店收银台
人
人
ATM机
收银员
电影院售票窗口 人
机场检票处 人
售票员
航空公司代理人
经纪人服务
人
股票经纪人
3
运输服务系统
系统类型 顾客 服务台
公路收费站
卡车装货地 港口卸货区 航班服务
汽车
卡车 轮船 人
收费员
装货工人 卸货工人 跑道 飞机
1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率； 3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。
21
根据题意, =100辆 /小时 ,1/=15秒 =1/240（小时 / 辆）,即＝240（辆/小时）。 因此，=/=100/240=5/12。 系统空闲的概率为：P0=1-=1-(5/12)=7/12=0.583 系统忙的概率为：1-P0=1-(1-)==5/12=0.417 系统中有1辆车的概率为：P1=(1-)==0.243 系统中有2辆车的概率为： P2=2(1-)=0.417 2×0.583=0.101 系统中有3辆车的概率为： P3=3(1-)=0.417 3×0.583=0.0421
过渡
稳定
生 灭 过 程
19
稳定状态下的状态概率
稳定状态下： “流出=流入”
1p1 0 p0
注意到
2 p 2 1p1
n
n
n
系统服务率
/
生 灭 过 程
p n p0
p n (1- )
n
20
高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车 到达服从 Poisson 分布，平均到达速率为 100 辆／小 时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为 15 秒／辆。
Pk(1)
Poisson流
0
.4
.3 .2 .1 0 x
13
=1
=3
=7
Poisson与负指数分布的关系
定理 在排队系统中，如果单位时间内顾客到 达数服从以为参数的Poisson分布，则顾客相
继到达的时间间隔服从以为参数的负指数分
布。
e t f (t ) 0
16
M/M/S等待制排队模型
1． 2． 单服务台模型 多服务台模型
17
[M/M/1]:[//FCFS]
顾客到达的时间间隔是负指数分布
服务时间是负指数分布
一个服务台
排队系统和顾客源的容量都是无限
实行先到先服务的一个服务系统
18
系统的过渡状态与稳定状态
dPn (t ) 0 dt dPn (t ) 0 dt
(t ) t f (t) e ( k 1)!
k 1
t0
k= 8 k= 4 k= 2
= 1
k 1
k 30
f (t ) ue
ut
t 0
k= 1
近似正态分布
15
系统绩效度量
系统总的平均顾客数L 平均等待顾客个数Lq 包括服务的平均等待时间W 平均顾客等待时间Wq 系统利用率r
––平均到达率，即单位时间内平均到达的顾客数
–– 平均服务率，即单位时间内服务完毕的顾客数 ––时刻t系统中有n个顾客 –– 时刻t系统状态Sn(t) 的概率 –– 服务台的个数
M
D Ek
–– 顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布
–– 顾客相继到达的时间间隔服从定长分布 –– 顾客相继到达的时间间隔服从k阶Erlang分布
等待起飞的飞机 飞机
出租车服务
电梯服务 急救车服务
人
人 人
出租车
电梯 急救车
4
到达过程的内容
顾客总体数或顾客源数
有限或无限
顾客的到达类型
单个或成批
顾客的到达间隔时间
间隔时间分布
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排队结构
多队多服务台
单队多服务台
入口
领号
...
服务台
3 8 5
4 6 10 12
2
需ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ服务
队列 服务完毕 顾客源
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排队系统的符号表示
一个排队系统的特征可以用六个参数表示， 形式为：
[A／B／C]：[d／e／f]
其中 A–– 顾客到达的概率分布，可取M、Ek等； B–– 服务时间的概率分布，可取M、Ek等； C –– 服务台个数，取正整数； d–– 排队系统的最大容量，可取正整数或； e –– 顾客源的最大容量，可取正整数或； f –– 排队规则，可取FCFS、LCFS等。
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[M/M/1]：[//FCFS]
表示：
顾客到达的时间间隔是负指数分布
服务时间是负指数分布
一个服务台
排队系统和顾客源的容量都是无限
实行先到先服务的一个服务系统
11
Poisson流（Poisson过程）
1 、平稳性：在时间区间 [t, t+t) 内到达 k 个顾客的概率与 t 无 关，只与t有关。记为pk(t）。 2、无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数互相独立。 3 、 普 通 性 ： 设 在 [t, t+t ） 内 到 达 多 于 一 个 顾 客 的 概 率 为 q(t），则 q(t)=o(t) 即