2016年高中数学竞赛试卷试题含答案(高二年级组)
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二试题
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛（髙二）一.填空题(每小题8分,共64分)1.若实数,x y 满足22254x xy y -+=,则22x y +的取值范围是 .2.甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币,甲抛10次,乙抛11次则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为 .3.在ABC △中,2,1,AB AC BC ===O 为ABC △的外心,且OA AB AC λμ=+.则λμ+= .4.已知函数()321132f x x bx cx d =+++在区间()0,2内既有极大值又有极小值.则224b c c c ++的取值范围是 .5.集合{}1,2,,2016的元素和为奇数的非空子集的个数为. 6定义数列{}:n n a a 为12n +++的末位数字,n S 为数列{}n a 的前n 项之和,则2016S = .7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,过点1F 作圆222x y a +=的切线,与双曲线的右支交于点P ,且1245F PF ∠=.则双曲线的离心率为 .8.过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面BCD 所成的角为75.这样的截面共可作出 个. 二,(16分)已知实数,x y 满足2349x y x y +=+.试求827x y U =+的取值范围. 三,(20分)如图所示,,AP AQ 为O 的切线,,P Q 为切点,M 为线段PQ 的中点,AKL 为一条割线,直线l AQ ,l 与,,QK QP QL 分别交于,,X Y Z 三点,证明：(1)2·PM KM ML =；(2)XY YZ =.四,(20分)如图所示,已知,A B 为椭圆22:1259x y Γ+=的左,右顶点,直线l 与椭圆Γ交于点,M N .设,AM BN 的斜率分别为12,k k ,且12:1:9k k =.(1)证明:直线l 过定点；(2)记,AMN BMN 的面积分别为12,S S ,求12S S -的最大值.五,(20分)定义数列{}n a :121,4a a ==,)2n a n =≥.证明:(1){}n a 为整数数列;(2)()1211n n a a n ++≥为完全平方数.。
2016年浙江省高中数学竞赛含答案
2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题（每题6分，共48分）1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题（每题7分，12题9分，共51分）9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题（本大题共有3小题，16题15分，17、18每题18分，共51分）16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++（,R a k ∈）.已知对于任意的[0,2]k ∈，若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++，则12()()f x f x ≥， 求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++，……………（12分）当且仅当1k =−时取等号，故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………（15分）所以，正实数a17. 已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >> ），经过点16(3,)5P ，离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,k k . （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若120k k +=，求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌΪ(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚʱ£¬´ËʱбÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ，证明: 存在唯一分解nn n x y z =−，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且1()0n n n y z z −−=，00z =.证明：我们只需证明对任意的正整数n ， 满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………（6分） 的(),n n y z 存在且唯一。
2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二
２
－
（
４
０
）
．
则
Ｓ
ＰＬＫ Ｃ＾ Ａ ＭＱ Ｋ
＞ ＰＬ
－
ＱＫ
＝
ＬＫ
－
ＭＱ Ｓ
．
－
－
ｌ
故
，
ＰＫ ＬＱ
．
＝
ＰＬ Ｑ Ｋ
．
＾
＾
，
ＰＫ ＰＬ
．
／ｔ ｎ
３
（
Ｈ
，
：
①
＝
Ｚ 、 Ｆ 、Ｚ 三 点
）
证明
；
：
中
，
（
ｌ
ＰＭ
２
＝
ＫＭ ＭＬ
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．
在
４５
＝
２
，
４ Ｃ ＝ １
＝
，
５Ｃ
／
＝
Ｗ
，
．
（
２）
ＸＹ
＝
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０
为△
Ａｆ ｉＣ
的 外 心 且庙
，
＋
／
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则
４
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已知 函数 ／
（
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＋
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在区 间
２
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３
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＞
Ａ
＋
８
／
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＝
＿
６
故
Ｓ
ｌ
－
６
６６
，
2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案
2016 年南昌市高中数学比赛试题及答案（注意： 号后凡 有“高一”的， 高一学生解答 ；凡 有“高二”的， 高二学生解答 ；凡未作以上 志的， 高一、高二学生共同解答 ）一、填空 （每10 分，共 80 分）1. （高一）化35 13 48的 果是．6 2答案： 1.2解： 13482 324 312 2,51 2 34 2 33 121 3,3 122621 .331 2 3，故原式222（高二）ab 0 ，若函数 f 1 x x 22ax 4b 与 f 2 xx 2 4ax 2b 拥有同样的最小 u ，函数 f 3xx 22bx4a 与 f 4 xx 2 4bx 2a 拥有同样的最大v ，uv．答案： 0.解： f 1 xx a24b a 2 4b a 2 , f 2 x22b 4a 22b 4a 2 ,x 2a故由 4ba 2u 2b4a 2 ，得 2b 3a 2 ⋯⋯⋯⋯①f 3 xx b24a b24a b 2, f 4 xx 2b 22a 4b22a 4b2,故由 4ab 2v2a 4b 2 ，得 2a 3b 2 ⋯⋯⋯⋯②由①②得， 2 ba3 b 2 a 2 , 所以 b a0 ⋯⋯⋯⋯③，或许 b a2 ⋯⋯⋯⋯④3若 b a2 ，由②④， 2 b 2 3b 2，即 3b23 0 ，矛盾！133故只有 ba 0 ，此 ， 2 u v6b 5a 2 6a 5b 2a b 5b 5a60.2. （高一）若 k 个 正整数之和 2016 ， k 的最大 是．答案： 63.解： 2016n 1n 2Ln k kn k k 1，2k 2n k 14032 ，注意 4032 26 32 7 ，且 k 2n k 1 ， 使 k 最大，当 取 k, n使得 4032 的较小因子尽可能去获得最大，因为 4032 63 64 ，可令k 63,2 n k 1 64 （此时对应于 n0 ）．（高二）p是椭圆 x 2y 2 1 上位于第一象限的一点，若p 与两焦点的连线相互垂直，259则点 p 的坐标为 ．答案：5 7 94, .4解：椭圆两焦点为F 1 4,0 , F 2 4,0 ，若点 P 坐标为 P x, y , x 0, y 0 ，则x 2y 2 1 ，以及 y 4 x y 1，解得 x5 7 , y 9 . 259 x 4443. （高一） 三角形的边长为正整数，周长为24，这类三角形共有个．答案： 12 个．解：设三角形的三条边长为 a,b,c ，且 a b c ，a b c 24 ，则 a 8 ，再由 b c a ，得 2a a b c 24 ，所以 a 12, 即 a11，于是 8 a 11,在 a 11b c 13，于是b, c11,2 , 10,3 , 9,4 , 8,5 , 7,6；时，在 a 10 时， b c 14 ，有 b, c 10,4 ,9,5,8,6,7,7 ；在 a 9 时， b c 15 ，有 b, c 9,6 , 8,7；在 a8 时， b c 16 ，有 b,c8,8 ；合计 12 种情况．（高二）锐角三角形ABC 中， tan 9 A tan 9 B tan 9 C 的最小值是．答案： 243 3.解：记 tan A x, tan By, tan C z ，则 x y z xyz, xyzxy z 33 xyz,两边立方，得 xyz 3 3 ，当且仅当 x y z3 ，x 9 y 9 z 9 33 xyz933.3 xyz 2434. （高一）若为锐角，使得 sin4a 4,cos5a 15，则 a．答案： 24.6a16a122解：据 1sin 2cos 24a 4 5a 15 ，得5a 26 a240 ，解得6a 16a 1a 2及 24 ，若 a2 ，则 cos 0 ，不合题意，故只有 a24.（高二）单位正方体（各棱长皆为 1 的正方体）中，将每一对相邻的中心连结，获得一个具有六个极点的多面体 T ，其体积是．答案：1. 61 A 1B2 解：如图， E, F 分别是 C 1 A 1 及 C 1B 的中点，则 EF, 自 E 作平行于 BCC 1B 122的平面，将多面体分红两个全等的四棱锥，其底面面积为1，高为 1.2 1Sh2 1 1 1 .22V T3 3 2 2 65. 假如一个单一递加数列a n 的每一项皆是由 1,2,3,4,5 排成的没有重复数字的五位数， 则a100．答案： 51342.解： 1,2,3,4,5 总合可排出120 个数，此中 5 开头的有 24 个，它们中最小的数51234是倒数第 24 个数，即全体这类五位数的自小到大第97 个数， 5 开头的数后四位均由1,2,3,4 排成，这四个数码排成的数自小到大按序是1234,1243,1324 ，所以 a 100 51342.6. 从 1,3,L ,13 中拿出 k 个不一样的数，使得拿出的数中，任两个数的差，既不等于 5，也不等于 8，则 k 的最大值是 ．答案： 6．解：将 1,2,L ,13 摆列于一个圆上，使得每相邻两数之差，或许为 5，或许为 8，而后选用一组互不相邻的数，至多能取到六个数，比如取 1,4,7,10,13,3 ．（若取 7 个数，则必有两数在圆周上相邻） ，所以 k max6.7.知足1 11 的正整数解 x, y 的组数为 ．x y2016答案： 165.解：由条件得x2016y2016201621010 34 72，因为2103472有1014121165 个正因子，关于每个正因子d ，由 x2016 d 能够获得一个x的值，而当 x 的值确立后，y 的值便随之确立，于是共有165 组解．8.会合M是会合A1,2, L ,100的子集，且 M 中起码含有一个平方数或许立方数，则这种子集 M 的个数是．答案：288212 1 .解：会合 A1,2, L,100中的平方数或立方数构成会合B1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81 ,100 ，此中有12个元素，从 A 中挖去会合 B 后剩下的元素构成会合 C ，则 C中含有88 个元素，因为 C 的子集有288个， B 的非空子集有 212 1个，集 M 可表示为M B0U C0形式，此中 B0是 B 的任一非空子集，C0是 C 的任一子集，所以 M 的个数为288212 1 .二、解答题9.（ 20 分）会合A与B分别由知足以下条件的全部五位数构成：关于会合 A 的每个元素x，其各位数码之和加1或减 1以后是 5 的倍数；关于会合 B 的每个元素 y ，其各位数码之和或许是 5的倍数，或许减2以后是 5 的倍数．证明：A B . （即这两个会合的元素个数相等．）证：关于任一五位数a a a a a a ，此中1a1 9,0 a j9, j 2,3, 4,5 ， a 的各位数12345码之和记为 S a ；关于会合 A 中的随意一数x x1 x2 x3x4 x5，令x与五为数 y y1 y2 y2 y4 y5相对应，此中每个y j知足等式：x1y110, x j y j9, j2,3, 4,5.则 1y19,0y j9, j2,3, 4,5，且 S x S y46,据此可知，若 5|S x1，则 5| S y ，若 5| S x1，则5| S y 2 ，于是当 x A时，必有y B ，而且不一样的x 对应于不一样的y ．反过来也是这样，即这类对是一一 ，进而 两个会合的元素个数相等．10. （ 25 分）四 形 ABCD 内接于以 AC 直径的 ， M , N 分 是 AB, CD 上的点，且DM AC , BN AC ． 明： AC , BD , MN 三 共点．： DM , BN 分 交 AC 于 E,F ， 角 AC, BD 交于 P ，只需 M , N , P 三点共 ．MP , NP ，由△ PDE ∽△ PBF ，得DEPE⋯⋯⋯⋯①BFPF又由△ AME ∽△ BCF ，△ DAE ∽ CNF ，得MEAE , AE DE ,相乘得 ME DE CFBF NF CFNF⋯⋯⋯⋯②BFME PE 将①②相乘得，，所以直角三角形△ PEM ∽△ PFN ，NFPF所以，MPENPF ，故 M , N , P 三点共 ，进而AC, BD , MN 三 共点．11. 假如 数会合 A 的全体元素能够排成一个等比数列，就称A 是一个几何集，比如无 集合 A 3, 15,5, L 就是一个几何集． 确立，能否存在7个几何集 A 1 , A 2 ,L , A 7 ，使得它的并集元素中，包括有前 50 个正整数，即 MA 1UA 2UL UA 7 ，此中M1,2,L ,50 ． 明你的 ．解：不存在．第一 明，任一个几何集之中至多含有两个 数．反 法， 倘若某个几何集 G 的元素中含有三个 数x, y, z ，此中 x y z ，若其首 a ，公比 q ， x aqm, yaq n , z aq k , 此中正整数m n k ．1 1k nn mqn m , zy n m z k n , 即有则yq k n , 由此 qy z .xyxyx y所以， y k mx k n z nm，这与 y 是质数矛盾．于是， 7 个几何集的并集 A 1 , A 2 ,L , A 7 中，至多含有 14 个质数， 而 M 1,2,L ,50 中含有15 个质数 2,3,5,7, L ,47 ，所以知足条件的7 个几何集不存在．。
2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案
D.
4 2 [ , ] 5 7
uv
a 0 f (1) 1 0 a b 1 u a b 2 ，这 .令 ，则 解答：由题意得 0 f (1) 1 1 a b 0 v a b b u v 2
12
ED DC 的最小值为 EC 的值，即等于 26.故正确答案为 B.
7. 设集合 M ( x, y )
1 1 1 , x, y N* ，则集合 M 中的元素个数为（ x y 45
C. 2 D. 3
）.
A. 0 解答：由于
B. 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ，故 + + ，这样 5 x 225 5 y 15 5 y x y 45 5x 5 y 15
2016 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有 8 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 6 分，共 48 分） 1. 曲线 ( x 2 y a)( x y ) 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（
2 2
）.
(2)i (b2 b1 ). 所以
11. 设 a R ，方程 x a a 2 恰有三个不同的根，则 a
.
解答：原方程可变形为 x a a 2 ，要使方程恰有三个不同的根，则 a 2, 此时方程恰 有三个不同的根 x1 2, x2 6, x3 2 .所以 a 2.
为 （ A.
的直线与双曲线的一个交点 . 若△ F1 F2 A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 4
）.
3 1 2
山东省滕州市第一中学2015-2016学年高二4月竞赛数学试题+PDF版含答案
* 5 5
………10 分 ………15 分
m (m
N *) ，
5
故最初至少有桃子 a1 = 5 - 4 = 3121 个，从而最后至少剩下 a6 = 4 - 4 = 1020 个.……20 分
x2 y2 1 a b 0 的右焦点 F2 的直线与圆 5. (25 分)过椭圆 C : a 2 b2 2 2 2 x y b 相切于点 A ，并与椭圆 C 交于不同的两点 P、Q ，若 PA k PQ ， 1 1 证明：椭圆的离心率为 e 2 k 2 2
{an } ，依题意，可知数列的递推公式： an+1 = an - (an - 1) - 1, 即an+1 = an - (an - 1)
整理变形，得 an+1 + 4 =
4 (an +
4 4÷ 故 {an + 4} 是以 为公比的等比数列，所以 a6 + 4 = (a1 + 4 )× ç ÷ . ç ç 5 5÷
竞赛试题及解答
一、解答题 1.(20 分) 求
4 1 的值. sin 40 cos 40 1 2 cos 40 3 1 4sin 40 1 cos 40 1 cos80 cos 20 1 3 4sin 40 cos 20 4sin 40 3 3 cos 20 1
p p a p b p c
3
1 4
a b c a b c b c a a c b
………5 分
abc 1 3 3 2 a b c a b c 3 a 2 b 2 c 2 3 4 9 36
全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案
2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间：2016年5月8日（星期日） 上午8∶00－10∶00试题构成：解题建议：试题正文与答案：一、填空题（每小题7分，共70分）1．若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<，则ab 的值是． 解析 由题设0b >，不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+，从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-．故填3-．2．从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率是．解析 取出两数之和为偶数（两数均为奇数或均为偶数）的概率为225429C C 4C 9+=．故填49． 3．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()0,2x ∈时，()21660f x x x =-+，则(f 的值是．解析<，即67<，所以()80,2-，所以(()8f f =(836f =--=-．故填36-． 评注 因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+．(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦．学会观察，选用合适的方法进行计算． 4．已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线，当l 的斜率最小时，l 的方程是． 解析 由题意从而()224f x x x+'=…，当且仅当1x =时等号成立． 所以直线l 的斜率最小值为4，此时切点为()1,1，切线方程为430x y --=．故填430x y --=． 5．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是．解析 圆的标准方程为()()22125x y -+-=，由题设直线l 过点()1,2，其方程为()21y k x -=-，即2y kx k =+-，注意到l 不经过第四象限，则020k k ⎧⎨-⎩……，解得02k 剟．故填[]0,2． 6．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积是．解析 由()13AP AB AC =+ 得点P 是等边三角形ABC的中心，所以AP =， 又由12AQ AP BC =+ 得12PQ BC = ，且AP PQ ⊥，因此APQ △的面积为3．故填3．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T06D评注 若找不到方向，此题也可以建系考查．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在棱BC 上，点Q 为棱1CC 的中点．若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形，则BP 的取值范围为．解析 先作出基本图形如下图左所示，假设能构成五边形， 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点，如下图右所示，连接AP 与CD 的延长线交于点W ，连接WQ 并延长与11C D 交于R ， 则R 是所截五边形的第三个顶点． （注：作图方法不唯一）JC2016T07D通过同样的方法，可以作出其余的点，如下图所示，JC2016T07D若存在这样的五边形，则每个顶点都存在， 设BP t =，通过相似可以得11tRC CW t-==， 从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩，解得112t <<．故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．BCQ PQ ABCDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DC BAQ PR WWAA评注如下图所示，由于是正方体，也可采用极端思想，需要几何动态的观点．JC2016T07D当点为BC 中点时，有1PQ AD ∥，即12BP =时，截面为四边形1APQD ； 当P 移向C 时，W 远离C ，X 点向D 点靠拢，此时可形成五边形， 即当102BP <<时，截面为四边形；当112BP <<时，截面为五边形． 因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭． 8．已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列，偶数项依次构成公差为2d 的等差数列，且对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<． 若11a =，22a =，且数列{}n a 的前10项和1075S =，则8a =．解析 分析知()()10121251075S a a d d =+++=，即126d d +=， 从此点无法解决根本，按照题目的设想，可求出12,d d ． 首先，可以得到该数列的奇偶项表达式（分段通项）， 设*n ∈N ，则()21111n a n d -=+-，()2221n a n d =+-，其次，因为对任意*n ∈N ，都有1n n a a +<，即只需满足21221n n n a a a -+<<（或22122n n n a a a ++<<），因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立，分析左边，若需()()1211n d d --<，则必须满足120d d -…◆；分析右边，若需()()12111n d n d -->+，即()121215n d d d d ->--=-， 则必须满足120d d -… ． 因此分析得12d d =．最后，123d d ==，822311a a d =+=．故填11．评注◆若不然，若120d d ->，则令()()1211n d d --=，解得1211n d d =+-，X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PW2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦，则有()()01211n d d -->与题意矛盾．的理由同 类似．事实上，在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．”的时候，就没将问题讲清楚，而是直接根据主观论断，否定0a <的情形，本质上否定就是寻找一个0x ，使得20010ax x ++<，这跟函数的零点以及单调性有关．①当0a =时，10…恒成立，符合题意； ②当0a >时，只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩…，从而04a <…； ③当0a <时，易知240a a ∆=->，易知方程210ax ax ++=的两根为1x =2x =，又()21f x ax ax =++对称轴12x =-，所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增， 又1212x x <-<，()10f x =，所以01x x ∃<， 使()()2000110f x ax x f x +<+==，与题意矛盾．综上所述：实数a 的取值范围是[]0,4．这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点（变号零点）个数的思想是一致的． 9．已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=，则x y +=．分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出，则必定分别求出，这类问题涉及到对代数式变形． 解析 解法一：将题设条件式通分并整理，得()()2222160x x y y xy +++-=，整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=，因此2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法二：因为为,x y 正实数，所以()()22228816x y x yyxy x++=++…816⋅=…， 等号成立的条件为2x y ==，所以4x y +=．故填4．解法三：因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…，所以()()()216816x y x y x y +++++…，即()240x y +-…，所以4x y +=．故填4．解法四：由()()2222x y yx+++224444x y x y yx y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…，等号成立的条件是2x y ==，所以4x y +=．故填4．评注常见的不等式链“调和平均数n H …几何平均数n G …算术平均数n A …幂平均数n Q ”， 简记为调几算幂，设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数，则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?． 10．设M 表示满足下列条件的正整数n 的和：n 整除22016，且2016整除2n ，那么M 的所有不同正因子的个数为．解析 因为22016n ，22016n ，所以n 与2016的素因子相同，而522016237⋅⋅=，故可设52237n =⋅⋅．这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………，从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟， 故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅，所以，M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=．评注 算术基本定理：若不计素因数的次序，则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式，即1212k knp p p ααα= ，其中12,,,k p p p 均为素数，12,,,k ααα 为自然数．有结论如下：（1）n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+； （2）n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++ ； （3）欧拉（Euler ）函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知1135sin cos 12θθ+=，0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan θ． 解析 解法一：由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=，令sin cos t θθ+=，则(t ∈，且21sin cos 2t θθ-=，则2112352t t -=⨯，即23524350t t --=，解得75t =或57t =-（舍），即有7sin cos 5θθ+=，12sin cos 25θθ=． 所以4sin 5θ=，3cos 5θ=或3sin 5θ=，4cos 5θ=，从而4tan 3θ=或34． 解法二：由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 注意到tan 0θ>，解得125tan tan 12θθ+=（舍负），进一步解得4tan 3θ=或34． 12．如图，点P 在ABC △的边AB 上，且4AB AP =，过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ，且点A 是弧MN 的中点． 求证： （1）ABN ANP △△∽； （2）2BM BN MN +=．JC2016T10解析 （1）因为点A 是弧MN 的中点，所以AMN ANM ∠=∠， 又AMN ABN ∠=∠，所以ABN ANP ∠=∠，又因为BAN NAP ∠=∠，所以ABN ANP △△∽． （2）由（1）知，AB AN BNAN AP NP==，又4AB AP =， 所以2AN AP =，从而2BNNP=，即2BN NP =， 同理2BM MP =．所以2BM BN MN +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点． 若OF AB FA FB ⋅=⋅，求双曲线C 的离心率e ．解析 解法一（参数方程法）：因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ，设直线l 的倾斜角为α， 则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．代入双曲线方程，并整理得()222224cos 2cos 0c atb c t b αα-+⋅+=，则有412222cos b t t c a α=-，12t t -=22222cos ab c a α=-， 因为OF AB FA FB ⋅=⋅，则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--， 从而22ac b =，即2210e e --=，因为1e >，故1e =解法二（普通计算法）：①当AB 斜率不存在时，由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+②当AB 斜率存在时，设斜率为k ，记()11,A x y ，()22,B x y ，则由OF AB FA FB⋅=⋅，得122x x x -=--，即()2121212c x x c x x x x -=-++．()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩，消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=， 故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，由()2121212c x x c x x x x -=-++，得222c b a k=-，整理得= 从而2222ac b c a ==-，因为1e >，故1e =+14．已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ．若九个内角中有一个角等于120︒，试求常数λ的值．解析 九个内角中任选5个，记为12345,,,,x x x x x ，其余4个记为1234,,,y y y y ， 由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++， 且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++， 所以1111sin cos sin cos x y y x +=+，即1111sin cos sin cos x x y y -=-，()()114545x y -︒=-︒，即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒，即有11y x =或11270y x =︒-．设1120y =︒，由内角的任意可交换性可知，九个角的度数只有两种：120︒和150︒． 设有k 个120︒，9k -个150︒，则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒， 解得3k =．所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-．。
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案
2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）A ．6B ．3C ．1D ．23.设函数()2cos ,f x x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦（）A ．0B ．116πC ．18πD ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m +--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（）答案：B ．提示：z ni z mi n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过变换得到的，答案是（）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=0<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（） A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n C r -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠； ②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是．答案：28.x ≤≤提示：所求不等式为关于[]x 的一元二次不等式．由[][]2436450x x -+≤，得[]31522x ≤≤，故[]27x ≤≤，即28.x ≤< 8.在三棱锥S -ABC 中，4,7,9,5,6,8,SA SB SC AB BC AC =≥≥=≤≤则三棱锥的体积的最大值为．答案：提示：设SAB α∠=，根据余弦定理有222cos 2SA AB SB SA AB α+-=≤⋅22245712455+-=-⨯⨯，故1sin sin 2SAB S SA AB αα∆=≤=⋅⋅≤由于棱锥的高不超过它的侧棱，所以13CSAB SAB F S BC ∆≤⋅≤事实上，取7,6SB BC ==，且CB ⊥面SAB时，可以满足已知条件，此时CSAB V =9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数字0，两个面上标以数字1，一个面上标以数字2。