2016年高中数学竞赛试卷试题含答案(高二年级组)

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2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二试题

2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二试题

2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛(髙二)一.填空题(每小题8分,共64分)1.若实数,x y 满足22254x xy y -+=,则22x y +的取值范围是 .2.甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币,甲抛10次,乙抛11次则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为 .3.在ABC △中,2,1,AB AC BC ===O 为ABC △的外心,且OA AB AC λμ=+.则λμ+= .4.已知函数()321132f x x bx cx d =+++在区间()0,2内既有极大值又有极小值.则224b c c c ++的取值范围是 .5.集合{}1,2,,2016的元素和为奇数的非空子集的个数为. 6定义数列{}:n n a a 为12n +++的末位数字,n S 为数列{}n a 的前n 项之和,则2016S = .7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左,右焦点分别为12,F F ,过点1F 作圆222x y a +=的切线,与双曲线的右支交于点P ,且1245F PF ∠=.则双曲线的离心率为 .8.过正四面体ABCD 的顶点A 作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面BCD 所成的角为75.这样的截面共可作出 个. 二,(16分)已知实数,x y 满足2349x y x y +=+.试求827x y U =+的取值范围. 三,(20分)如图所示,,AP AQ 为O 的切线,,P Q 为切点,M 为线段PQ 的中点,AKL 为一条割线,直线l AQ ,l 与,,QK QP QL 分别交于,,X Y Z 三点,证明:(1)2·PM KM ML =;(2)XY YZ =.四,(20分)如图所示,已知,A B 为椭圆22:1259x y Γ+=的左,右顶点,直线l 与椭圆Γ交于点,M N .设,AM BN 的斜率分别为12,k k ,且12:1:9k k =.(1)证明:直线l 过定点;(2)记,AMN BMN 的面积分别为12,S S ,求12S S -的最大值.五,(20分)定义数列{}n a :121,4a a ==,)2n a n =≥.证明:(1){}n a 为整数数列;(2)()1211n n a a n ++≥为完全平方数.。

2016年浙江省高中数学竞赛含答案

2016年浙江省高中数学竞赛含答案

2016年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、选择题(每题6分,共48分)1. A .2. .3. .4. D .5. D.6. B.7. B.8. A .二、填空题(每题7分,12题9分,共51分)9. 36−2017201520162.b b +=− ==11. 2.a = = ==12. 245,,.999x y z =−=== 13. 14. [1,2]£® 15. 8.三、解答题(本大题共有3小题,16题15分,17、18每题18分,共51分)16.设函数22()(53)7f x x k ak x =−−++(,R a k ∈).已知对于任意的[0,2]k ∈,若12,x x 满足1[,],x k k a ∈+2[2,4]x k a k a ∈++,则12()()f x f x ≥, 求正实数a 的最大值. ½â´ð£ºÓÉÓÚ¶þ´Îº¯Êý22()(53)7f x x k ak x =−−++2532k ak x −+=,¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-¡-£¨3·Ö£©¹ÊÌâÉèÌõ¼þµÈ¼ÛÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 2535.22k ak k a −+≥+……………………① 6·Ö£© ¼´¶ÔÈÎÒâµÄ[0,2]k ∈ 22351k k a k −+≤+ £¬202235min 1k k k a k ≤≤ −+≤ +9·Ö£©又2236(1)44411k k k k k −+=++−≥−=++,……………(12分)当且仅当1k =−时取等号,故20223min 41k k k k ≤≤ −+=− +.……………………(15分)所以,正实数a17. 已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >> ),经过点16(3,)5P ,离心率为35. 过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ,交椭圆于,A B 两点,记,PA PB 的斜率为12,k k . (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)若120k k +=,求实数k .22222925691,925a b a b a −+== 2225,16a b == = 2212516x y += == 0k <<∞ l µÄ·½³ÌΪ(3)y k x =− (3),221,2516y k x x y =−+= 2222(1625)1502254000k x k x k +−+−== 1122(,),(,)A x y B x y £¬Ôò22121222150225400,.16251625k k x x x x k k −+==++= 121212161655,,33y y k k x x −−==−− 122112121616()(3)()(3)55(3)(3)y x y x k k x x −−+−−+=−−= 1122(3),(3)y k x y k x =−=− =12212153625600,5(1625)(3)(3)kk k k x x −+==+−− 35k = =0k = 1228,,55k k ==− 12605k k +=−≠ =k ²»´æÔÚʱ£¬´ËʱбÂÊ12,k k ¾ù²»´æÔÚ£¬²»ºÏÌâÒâ. ËùÒÔ£¬35k = =18. 给定数列{}n x ,证明: 存在唯一分解nn n x y z =−,其中数列{}n y 非负,{}n z 单调不减,并且1()0n n n y z z −−=,00z =.证明:我们只需证明对任意的正整数n , 满足110()0000n n n n n n n n n x y z y z z y z z z −−=− −= ≥ −≥=, ………(*)………………(6分) 的(),n n y z 存在且唯一。

2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二

2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二










PLK C^ A MQ K

> PL

QK


LK

MQ S








PK LQ


PL Q K




PK PL


/t n









Z 、 F 、Z 三 点

证明







PM


KM ML




45



4 C = 1


5C






2)
XY

YZ

为△
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的 外 心 且庙







已知 函数 /









ca


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在区 间














_






66

2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案

2016年南昌市高中数学竞赛试题及答案

2016 年南昌市高中数学比赛试题及答案(注意: 号后凡 有“高一”的, 高一学生解答 ;凡 有“高二”的, 高二学生解答 ;凡未作以上 志的, 高一、高二学生共同解答 )一、填空 (每10 分,共 80 分)1. (高一)化35 13 48的 果是.6 2答案: 1.2解: 13482 324 312 2,51 2 34 2 33 121 3,3 122621 .331 2 3,故原式222(高二)ab 0 ,若函数 f 1 x x 22ax 4b 与 f 2 xx 2 4ax 2b 拥有同样的最小 u ,函数 f 3xx 22bx4a 与 f 4 xx 2 4bx 2a 拥有同样的最大v ,uv.答案: 0.解: f 1 xx a24b a 2 4b a 2 , f 2 x22b 4a 22b 4a 2 ,x 2a故由 4ba 2u 2b4a 2 ,得 2b 3a 2 ⋯⋯⋯⋯①f 3 xx b24a b24a b 2, f 4 xx 2b 22a 4b22a 4b2,故由 4ab 2v2a 4b 2 ,得 2a 3b 2 ⋯⋯⋯⋯②由①②得, 2 ba3 b 2 a 2 , 所以 b a0 ⋯⋯⋯⋯③,或许 b a2 ⋯⋯⋯⋯④3若 b a2 ,由②④, 2 b 2 3b 2,即 3b23 0 ,矛盾!133故只有 ba 0 ,此 , 2 u v6b 5a 2 6a 5b 2a b 5b 5a60.2. (高一)若 k 个 正整数之和 2016 , k 的最大 是.答案: 63.解: 2016n 1n 2Ln k kn k k 1,2k 2n k 14032 ,注意 4032 26 32 7 ,且 k 2n k 1 , 使 k 最大,当 取 k, n使得 4032 的较小因子尽可能去获得最大,因为 4032 63 64 ,可令k 63,2 n k 1 64 (此时对应于 n0 ).(高二)p是椭圆 x 2y 2 1 上位于第一象限的一点,若p 与两焦点的连线相互垂直,259则点 p 的坐标为 .答案:5 7 94, .4解:椭圆两焦点为F 1 4,0 , F 2 4,0 ,若点 P 坐标为 P x, y , x 0, y 0 ,则x 2y 2 1 ,以及 y 4 x y 1,解得 x5 7 , y 9 . 259 x 4443. (高一) 三角形的边长为正整数,周长为24,这类三角形共有个.答案: 12 个.解:设三角形的三条边长为 a,b,c ,且 a b c ,a b c 24 ,则 a 8 ,再由 b c a ,得 2a a b c 24 ,所以 a 12, 即 a11,于是 8 a 11,在 a 11b c 13,于是b, c11,2 , 10,3 , 9,4 , 8,5 , 7,6;时,在 a 10 时, b c 14 ,有 b, c 10,4 ,9,5,8,6,7,7 ;在 a 9 时, b c 15 ,有 b, c 9,6 , 8,7;在 a8 时, b c 16 ,有 b,c8,8 ;合计 12 种情况.(高二)锐角三角形ABC 中, tan 9 A tan 9 B tan 9 C 的最小值是.答案: 243 3.解:记 tan A x, tan By, tan C z ,则 x y z xyz, xyzxy z 33 xyz,两边立方,得 xyz 3 3 ,当且仅当 x y z3 ,x 9 y 9 z 9 33 xyz933.3 xyz 2434. (高一)若为锐角,使得 sin4a 4,cos5a 15,则 a.答案: 24.6a16a122解:据 1sin 2cos 24a 4 5a 15 ,得5a 26 a240 ,解得6a 16a 1a 2及 24 ,若 a2 ,则 cos 0 ,不合题意,故只有 a24.(高二)单位正方体(各棱长皆为 1 的正方体)中,将每一对相邻的中心连结,获得一个具有六个极点的多面体 T ,其体积是.答案:1. 61 A 1B2 解:如图, E, F 分别是 C 1 A 1 及 C 1B 的中点,则 EF, 自 E 作平行于 BCC 1B 122的平面,将多面体分红两个全等的四棱锥,其底面面积为1,高为 1.2 1Sh2 1 1 1 .22V T3 3 2 2 65. 假如一个单一递加数列a n 的每一项皆是由 1,2,3,4,5 排成的没有重复数字的五位数, 则a100.答案: 51342.解: 1,2,3,4,5 总合可排出120 个数,此中 5 开头的有 24 个,它们中最小的数51234是倒数第 24 个数,即全体这类五位数的自小到大第97 个数, 5 开头的数后四位均由1,2,3,4 排成,这四个数码排成的数自小到大按序是1234,1243,1324 ,所以 a 100 51342.6. 从 1,3,L ,13 中拿出 k 个不一样的数,使得拿出的数中,任两个数的差,既不等于 5,也不等于 8,则 k 的最大值是 .答案: 6.解:将 1,2,L ,13 摆列于一个圆上,使得每相邻两数之差,或许为 5,或许为 8,而后选用一组互不相邻的数,至多能取到六个数,比如取 1,4,7,10,13,3 .(若取 7 个数,则必有两数在圆周上相邻) ,所以 k max6.7.知足1 11 的正整数解 x, y 的组数为 .x y2016答案: 165.解:由条件得x2016y2016201621010 34 72,因为2103472有1014121165 个正因子,关于每个正因子d ,由 x2016 d 能够获得一个x的值,而当 x 的值确立后,y 的值便随之确立,于是共有165 组解.8.会合M是会合A1,2, L ,100的子集,且 M 中起码含有一个平方数或许立方数,则这种子集 M 的个数是.答案:288212 1 .解:会合 A1,2, L,100中的平方数或立方数构成会合B1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81 ,100 ,此中有12个元素,从 A 中挖去会合 B 后剩下的元素构成会合 C ,则 C中含有88 个元素,因为 C 的子集有288个, B 的非空子集有 212 1个,集 M 可表示为M B0U C0形式,此中 B0是 B 的任一非空子集,C0是 C 的任一子集,所以 M 的个数为288212 1 .二、解答题9.( 20 分)会合A与B分别由知足以下条件的全部五位数构成:关于会合 A 的每个元素x,其各位数码之和加1或减 1以后是 5 的倍数;关于会合 B 的每个元素 y ,其各位数码之和或许是 5的倍数,或许减2以后是 5 的倍数.证明:A B . (即这两个会合的元素个数相等.)证:关于任一五位数a a a a a a ,此中1a1 9,0 a j9, j 2,3, 4,5 , a 的各位数12345码之和记为 S a ;关于会合 A 中的随意一数x x1 x2 x3x4 x5,令x与五为数 y y1 y2 y2 y4 y5相对应,此中每个y j知足等式:x1y110, x j y j9, j2,3, 4,5.则 1y19,0y j9, j2,3, 4,5,且 S x S y46,据此可知,若 5|S x1,则 5| S y ,若 5| S x1,则5| S y 2 ,于是当 x A时,必有y B ,而且不一样的x 对应于不一样的y .反过来也是这样,即这类对是一一 ,进而 两个会合的元素个数相等.10. ( 25 分)四 形 ABCD 内接于以 AC 直径的 , M , N 分 是 AB, CD 上的点,且DM AC , BN AC . 明: AC , BD , MN 三 共点.: DM , BN 分 交 AC 于 E,F , 角 AC, BD 交于 P ,只需 M , N , P 三点共 .MP , NP ,由△ PDE ∽△ PBF ,得DEPE⋯⋯⋯⋯①BFPF又由△ AME ∽△ BCF ,△ DAE ∽ CNF ,得MEAE , AE DE ,相乘得 ME DE CFBF NF CFNF⋯⋯⋯⋯②BFME PE 将①②相乘得,,所以直角三角形△ PEM ∽△ PFN ,NFPF所以,MPENPF ,故 M , N , P 三点共 ,进而AC, BD , MN 三 共点.11. 假如 数会合 A 的全体元素能够排成一个等比数列,就称A 是一个几何集,比如无 集合 A 3, 15,5, L 就是一个几何集. 确立,能否存在7个几何集 A 1 , A 2 ,L , A 7 ,使得它的并集元素中,包括有前 50 个正整数,即 MA 1UA 2UL UA 7 ,此中M1,2,L ,50 . 明你的 .解:不存在.第一 明,任一个几何集之中至多含有两个 数.反 法, 倘若某个几何集 G 的元素中含有三个 数x, y, z ,此中 x y z ,若其首 a ,公比 q , x aqm, yaq n , z aq k , 此中正整数m n k .1 1k nn mqn m , zy n m z k n , 即有则yq k n , 由此 qy z .xyxyx y所以, y k mx k n z nm,这与 y 是质数矛盾.于是, 7 个几何集的并集 A 1 , A 2 ,L , A 7 中,至多含有 14 个质数, 而 M 1,2,L ,50 中含有15 个质数 2,3,5,7, L ,47 ,所以知足条件的7 个几何集不存在.。

2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案

2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案

D.
4 2 [ , ] 5 7
uv
a 0 f (1) 1 0 a b 1 u a b 2 ,这 .令 ,则 解答:由题意得 0 f (1) 1 1 a b 0 v a b b u v 2
12
ED DC 的最小值为 EC 的值,即等于 26.故正确答案为 B.
7. 设集合 M ( x, y )

1 1 1 , x, y N* ,则集合 M 中的元素个数为( x y 45
C. 2 D. 3
).
A. 0 解答:由于
B. 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ,故 + + ,这样 5 x 225 5 y 15 5 y x y 45 5x 5 y 15
2016 年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 6 分,共 48 分) 1. 曲线 ( x 2 y a)( x y ) 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是(
2 2
).
(2)i (b2 b1 ). 所以
11. 设 a R ,方程 x a a 2 恰有三个不同的根,则 a
.
解答:原方程可变形为 x a a 2 ,要使方程恰有三个不同的根,则 a 2, 此时方程恰 有三个不同的根 x1 2, x2 6, x3 2 .所以 a 2.
为 ( A.
的直线与双曲线的一个交点 . 若△ F1 F2 A 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 4
).
3 1 2

山东省滕州市第一中学2015-2016学年高二4月竞赛数学试题+PDF版含答案

山东省滕州市第一中学2015-2016学年高二4月竞赛数学试题+PDF版含答案
欲使 ( a6 + 4) Î N ,应有 a1 + 4 = 5
* 5 5
………10 分 ………15 分
m (m
N *) ,
5
故最初至少有桃子 a1 = 5 - 4 = 3121 个,从而最后至少剩下 a6 = 4 - 4 = 1020 个.……20 分
x2 y2 1 a b 0 的右焦点 F2 的直线与圆 5. (25 分)过椭圆 C : a 2 b2 2 2 2 x y b 相切于点 A ,并与椭圆 C 交于不同的两点 P、Q ,若 PA k PQ , 1 1 证明:椭圆的离心率为 e 2 k 2 2
{an } ,依题意,可知数列的递推公式: an+1 = an - (an - 1) - 1, 即an+1 = an - (an - 1)
整理变形,得 an+1 + 4 =
4 (an +
4 4÷ 故 {an + 4} 是以 为公比的等比数列,所以 a6 + 4 = (a1 + 4 )× ç ÷ . ç ç 5 5÷
竞赛试题及解答
一、解答题 1.(20 分) 求
4 1 的值. sin 40 cos 40 1 2 cos 40 3 1 4sin 40 1 cos 40 1 cos80 cos 20 1 3 4sin 40 cos 20 4sin 40 3 3 cos 20 1
p p a p b p c
3
1 4
a b c a b c b c a a c b
………5 分
abc 1 3 3 2 a b c a b c 3 a 2 b 2 c 2 3 4 9 36

全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案

全国高中数学联赛江苏赛区2016年初赛试题答案

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试时间:2016年5月8日(星期日) 上午8∶00-10∶00试题构成:解题建议:试题正文与答案:一、填空题(每小题7分,共70分)1.若关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<,则ab 的值是. 解析 由题设0b >,不等式x a b +<等价于a b x a b --<<-+,从而24a b a b --=⎧⎨-+=⎩,解得31a b =-⎧⎨=⎩,所以3ab =-.故填3-.2.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率是.解析 取出两数之和为偶数(两数均为奇数或均为偶数)的概率为225429C C 4C 9+=.故填49. 3.已知()f x 是周期为4的奇函数,且当()0,2x ∈时,()21660f x x x =-+,则(f 的值是.解析<,即67<,所以()80,2-,所以(()8f f =(836f =--=-.故填36-. 评注 因为()()284f x x =--或()()1660x f x x =-+.(()2888436f --=-=-+-或(()8886036f ⎡⎤--=---+=-⎣⎦.学会观察,选用合适的方法进行计算. 4.已知直线l 是函数()22ln f x x x =+图象的切线,当l 的斜率最小时,l 的方程是. 解析 由题意从而()224f x x x+'=…,当且仅当1x =时等号成立. 所以直线l 的斜率最小值为4,此时切点为()1,1,切线方程为430x y --=.故填430x y --=. 5.在平面直角坐标系xOy 中,如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分,且不经过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是.解析 圆的标准方程为()()22125x y -+-=,由题设直线l 过点()1,2,其方程为()21y k x -=-,即2y kx k =+-,注意到l 不经过第四象限,则020k k ⎧⎨-⎩……,解得02k 剟.故填[]0,2. 6.已知等边ABC △的边长为2,若()13AP AB AC =+ ,12AQ AP BC =+,则APQ △的面积是.解析 由()13AP AB AC =+ 得点P 是等边三角形ABC的中心,所以AP =, 又由12AQ AP BC =+ 得12PQ BC = ,且AP PQ ⊥,因此APQ △的面积为3.故填3.2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛JC2016T06D评注 若找不到方向,此题也可以建系考查.7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点P 在棱BC 上,点Q 为棱1CC 的中点.若过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形,则BP 的取值范围为.解析 先作出基本图形如下图左所示,假设能构成五边形, 我们需要通过延长和连线的作图方法法得到相应的交点,如下图右所示,连接AP 与CD 的延长线交于点W ,连接WQ 并延长与11C D 交于R , 则R 是所截五边形的第三个顶点. (注:作图方法不唯一)JC2016T07D通过同样的方法,可以作出其余的点,如下图所示,JC2016T07D若存在这样的五边形,则每个顶点都存在, 设BP t =,通过相似可以得11tRC CW t-==, 从而只需01101t t t <<⎧⎪-⎨<<⎪⎩,解得112t <<.故填1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.BCQ PQ ABCDA 1B 1C 1D 1D 1C 1B 1A 1DC BAQ PR WWAA评注如下图所示,由于是正方体,也可采用极端思想,需要几何动态的观点.JC2016T07D当点为BC 中点时,有1PQ AD ∥,即12BP =时,截面为四边形1APQD ; 当P 移向C 时,W 远离C ,X 点向D 点靠拢,此时可形成五边形, 即当102BP <<时,截面为四边形;当112BP <<时,截面为五边形. 因此BP 的取值范围为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故填1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 8.已知数列{}n a 的奇数项依次构成公差为1d 的等差数列,偶数项依次构成公差为2d 的等差数列,且对任意*n ∈N ,都有1n n a a +<. 若11a =,22a =,且数列{}n a 的前10项和1075S =,则8a =.解析 分析知()()10121251075S a a d d =+++=,即126d d +=, 从此点无法解决根本,按照题目的设想,可求出12,d d . 首先,可以得到该数列的奇偶项表达式(分段通项), 设*n ∈N ,则()21111n a n d -=+-,()2221n a n d =+-,其次,因为对任意*n ∈N ,都有1n n a a +<,即只需满足21221n n n a a a -+<<(或22122n n n a a a ++<<),因此()()()121112111n d n d n d +-+-++<<对*n ∈N 恒成立,分析左边,若需()()1211n d d --<,则必须满足120d d -…◆;分析右边,若需()()12111n d n d -->+,即()121215n d d d d ->--=-, 则必须满足120d d -… . 因此分析得12d d =.最后,123d d ==,822311a a d =+=.故填11.评注◆若不然,若120d d ->,则令()()1211n d d --=,解得1211n d d =+-,X ()D 1C 1B 1A 1DCB AQ PW2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛若令012111n d d ⎡⎤=++⎢⎥-⎣⎦,则有()()01211n d d -->与题意矛盾.的理由同 类似.事实上,在解决问题“不等式210ax ax ++…对x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围.”的时候,就没将问题讲清楚,而是直接根据主观论断,否定0a <的情形,本质上否定就是寻找一个0x ,使得20010ax x ++<,这跟函数的零点以及单调性有关.①当0a =时,10…恒成立,符合题意; ②当0a >时,只许满足2040a a a >⎧⎨∆=-⎩…,从而04a <…; ③当0a <时,易知240a a ∆=->,易知方程210ax ax ++=的两根为1x =2x =,又()21f x ax ax =++对称轴12x =-,所以在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增, 又1212x x <-<,()10f x =,所以01x x ∃<, 使()()2000110f x ax x f x +<+==,与题意矛盾.综上所述:实数a 的取值范围是[]0,4.这种思想与高考卷或模拟卷中找寻零点个数或极值点(变号零点)个数的思想是一致的. 9.已知正实数,x y 满足()()222216x y yx+++=,则x y +=.分析 ,x y 若不是以整体x y +的形式求出,则必定分别求出,这类问题涉及到对代数式变形. 解析 解法一:将题设条件式通分并整理,得()()2222160x x y y xy +++-=,整理得()()()2222280x x y y x y -+-+-=,因此2x y ==,所以4x y +=.故填4.解法二:因为为,x y 正实数,所以()()22228816x y x yyxy x++=++…816⋅=…, 等号成立的条件为2x y ==,所以4x y +=.故填4.解法三:因为()()()22222416x y x y yxx y++++=++…,所以()()()216816x y x y x y +++++…,即()240x y +-…,所以4x y +=.故填4.解法四:由()()2222x y yx+++224444x y x y yx y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12244442416x y y x y x ⎛⎫⨯⋅⋅⋅+⨯= ⎪⎝⎭…,等号成立的条件是2x y ==,所以4x y +=.故填4.评注常见的不等式链“调和平均数n H …几何平均数n G …算术平均数n A …幂平均数n Q ”, 简记为调几算幂,设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个正实数,则1212111n nna a a n a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+?. 10.设M 表示满足下列条件的正整数n 的和:n 整除22016,且2016整除2n ,那么M 的所有不同正因子的个数为.解析 因为22016n ,22016n ,所以n 与2016的素因子相同,而522016237⋅⋅=,故可设52237n =⋅⋅.这样我们由题设条件可得1042x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………,且252221x y z ⎧⎪⎨⎪⎩………,从而有3101412x y z ⎧⎪⎨⎪⎩剟剟剟, 故()()()34102342222333377M =++⋅⋅⋅+⋅+++⋅+()3822134056=⋅-⋅⋅⋅333255132527=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅922235717=⋅⋅⋅⋅,所以,M 的所有不同正因子的个数为()()()()()9121211111360+++++=.评注 算术基本定理:若不计素因数的次序,则每一个大于1的整数n 都可以唯一分解成素因数乘积的形式,即1212k knp p p ααα= ,其中12,,,k p p p 均为素数,12,,,k ααα 为自然数.有结论如下:(1)n 的约数个数为()()()()12111k f n ααα=++⋅⋅⋅+; (2)n 的所有约数之和为()()()12222111222111k k k k p pp p p p p p p ααα+++++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++++ ; (3)欧拉(Euler )函数()n ϕ表示不大于n 且与n 互质的数的个数为()12111111k n n p p p ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)11.已知1135sin cos 12θθ+=,0,2θ⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭,求tan θ. 解析 解法一:由题设知()12sin cos 35sin cos θθθθ+=,令sin cos t θθ+=,则(t ∈,且21sin cos 2t θθ-=,则2112352t t -=⨯,即23524350t t --=,解得75t =或57t =-(舍),即有7sin cos 5θθ+=,12sin cos 25θθ=. 所以4sin 5θ=,3cos 5θ=或3sin 5θ=,4cos 5θ=,从而4tan 3θ=或34. 解法二:由题设可得222351112sin cos θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22112sin cos sin cos θθθθ=++()222222222sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ+++=++ ()222211tan 2tan tan tan θθθθ+=+++211tan 2tan tan tan θθθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 注意到tan 0θ>,解得125tan tan 12θθ+=(舍负),进一步解得4tan 3θ=或34. 12.如图,点P 在ABC △的边AB 上,且4AB AP =,过点P 的直线MN 与ABC △的外接圆交于点,M N ,且点A 是弧MN 的中点. 求证: (1)ABN ANP △△∽; (2)2BM BN MN +=.JC2016T10解析 (1)因为点A 是弧MN 的中点,所以AMN ANM ∠=∠, 又AMN ABN ∠=∠,所以ABN ANP ∠=∠,又因为BAN NAP ∠=∠,所以ABN ANP △△∽. (2)由(1)知,AB AN BNAN AP NP==,又4AB AP =, 所以2AN AP =,从而2BNNP=,即2BN NP =, 同理2BM MP =.所以2BM BN MN +=.13.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2222:1x y C a b-=的右焦点为F ,过点F 的直线l 与双曲线C交于,A B 两点. 若OF AB FA FB ⋅=⋅,求双曲线C 的离心率e .解析 解法一(参数方程法):因为双曲线C 的右焦点F 的坐标为(),0c ,设直线l 的倾斜角为α, 则直线l 的方程即为cos sin x c t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数).代入双曲线方程,并整理得()222224cos 2cos 0c atb c t b αα-+⋅+=,则有412222cos b t t c a α=-,12t t -=22222cos ab c a α=-, 因为OF AB FA FB ⋅=⋅,则有242222222cos cos ab c b c a c aαα=--, 从而22ac b =,即2210e e --=,因为1e >,故1e =解法二(普通计算法):①当AB 斜率不存在时,由OF AB FA FB ⋅=⋅得2222b b c a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 故2222ac b c a ==-,因为1e >,故1e =+②当AB 斜率存在时,设斜率为k ,记()11,A x y ,()22,B x y ,则由OF AB FA FB⋅=⋅,得122x x x -=--,即()2121212c x x c x x x x -=-++.()222222y k x c b x a y a b⎧=-⎨-=⎩,消y 整理得()2222222222220b a k x a ck x a c k a b -+--=, 故()()()2222222222224a ckb a k ac k a b ∆=+-+()2222422244a b c k a b k a b =-+()242244a b k a b =+2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛且222221221222222222a ck a k a c k a x x b k x x b b a ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩,由()2121212c x x c x x x x -=-++,得222c b a k=-,整理得= 从而2222ac b c a ==-,因为1e >,故1e =+14.已知凸九边形的任意5个内角的正弦与其余4个内角的余弦之和都等于某个常数值λ.若九个内角中有一个角等于120︒,试求常数λ的值.解析 九个内角中任选5个,记为12345,,,,x x x x x ,其余4个记为1234,,,y y y y , 由题意123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x y y y y λ=++++++++, 且123451234sin sin sin sin sin cos cos cos cos y x x x x x y y y λ=++++++++, 所以1111sin cos sin cos x y y x +=+,即1111sin cos sin cos x x y y -=-,()()114545x y -︒=-︒,即11y x =或114545180y x -︒+-︒=︒,即有11y x =或11270y x =︒-.设1120y =︒,由内角的任意可交换性可知,九个角的度数只有两种:120︒和150︒. 设有k 个120︒,9k -个150︒,则由内角和公式知()()120915092180k k ⋅︒+-⋅︒=-⋅︒, 解得3k =.所以5sin150cos1503cos1201λ=︒+︒+︒=-.。

2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案

2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案

2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题(本大题共6个小题,每小题5分,满分30分.每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}0123,,,S A A A A =,在S 上定义运算“⊕”为:i j k A A A ⊕=,其中k 为i j +被4除的余数,,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为()A .1B .2C .3D .4 答案:B .提示:因为()20,x x A A ⊕⊕=,设kx x A ⊕=,所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=,故1x A =或3.x A =答案:A .2.一个骰子由1-6六个数字组成,根据如图所示的三种状态显示的数字,可推得“?”的数字是()A .6B .3C .1D .23.设函数()2cos ,f x x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列,()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦()A .0B .116πC .18πD .21316π答案:D .提示:因为{}n a 是公差为8π的等差数列,且 即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=,所以即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭,则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭,即()g x 在R 为增函数,有唯一零点2x π=,所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数,i 为虚数单位,z C ∈,则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m +--=-在同一复平面内的图形(其中12,F F 是焦点)是()答案:B .提示:z ni z mi n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支.由n z ni z mi m n =++-≥+,知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F .5.给定平面向量()1,1,那么,平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过变换得到的,答案是()A .顺时针旋转60所得B .顺时针旋转120所得C .逆时针旋转60所得D .逆时针旋转120所得 答案:C .提示:设两向量所成的角为θ,则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦,所以60θ=0<>,所以C 正确. 6.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手各比赛一场,但有3名选手各比赛了两场之后就退出了,这样全部比赛只进行了50场,那么上述3名选手之间比赛场数是() A .0B .1C .2D .3 答案:B .提示:设这3名选手之间比赛的场数是r ,共n 名选手参赛,依题意有23650n C r -+-=,即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤,所以分4种情况讨论:①当0r =时,有()()3488n n --=,即27760n n --=,但它没有正整数解,故0r ≠; ②当1r =时,有()()3490n n --=,解得13n =,故1r =符合题意;③当2r =时,有()()3492n n --=,即27800,n n --=但它没有正整数解,故2r ≠; ④当3r =时,有()()3494n n --=,即27820n n --=,但它没有正整数解,故 3.r ≠二、填空题(本大题共6个小题,每小题8分,满分48分,解题时只需将正确答案直接填在横线上.)7.规定:对于x R ∈,当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时,[]x n =.则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是.答案:28.x ≤≤提示:所求不等式为关于[]x 的一元二次不等式.由[][]2436450x x -+≤,得[]31522x ≤≤,故[]27x ≤≤,即28.x ≤< 8.在三棱锥S -ABC 中,4,7,9,5,6,8,SA SB SC AB BC AC =≥≥=≤≤则三棱锥的体积的最大值为.答案:提示:设SAB α∠=,根据余弦定理有222cos 2SA AB SB SA AB α+-=≤⋅22245712455+-=-⨯⨯,故1sin sin 2SAB S SA AB αα∆=≤=⋅⋅≤由于棱锥的高不超过它的侧棱,所以13CSAB SAB F S BC ∆≤⋅≤事实上,取7,6SB BC ==,且CB ⊥面SAB时,可以满足已知条件,此时CSAB V =9.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2。

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