中位线定理
平行四边形中位线定理
平行四边形中位线定理平行四边形中位线定理平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形。
在平行四边形中，连接相邻顶点的线段称为对角线，且对角线互相平分。
定义平行四边形中位线是指连接相邻顶点的中点所构成的线段。
定理在平行四边形中，两条对角线互相平分，且它们的交点是它们的共同中心。
证明设ABCD为平行四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的中点。
连接EG和FH，并延长至交于点O。
因为AB∥CD，所以∠BAC=∠ADC；同理可得∠CBD=∠CDA。
又因为AE=EB，AD=DG，所以△AED≌△GBD（SAS）；同理可得△FHC≌△CHD（SAS）。
因此AE=BG，CF=DH。
又因为AF∥DC，所以∠FAH=∠DCH；同理可得∠EBG=∠FCD。
但是由于ABCD是一个平行四边形，所以AD=BC。
因此，在△AED和△FHC中：AE+ED+CF+CH=AD+FC+DG+GBBG+ED+AH+CH=AD+AF+DG+FC将AE=BG，CF=DH代入上式，得：ED+CH=DG+AFBG+ED=AF+DG因此，△AEG≌△DFH（SAS），所以EG=FH。
因此，EG和FH互相平分。
又因为E、F、G、H是ABCD的中点，所以OE=OF=OG=OH。
因此，O在EG和FH的交点处，且它们的交点是它们的共同中心。
应用平行四边形中位线定理可以用来证明两条对角线互相平分的性质，并且可以用来求解平行四边形各个部分的长度。
例如，在平行四边形ABCD中，已知AD=6cm，DC=8cm，AC=10cm。
连接AC并延长至交于点E。
由于AE=EC（垂直平分线段），所以AE=5cm。
又因为AB∥DC（对角线互相平分），所以BE/ED=BA/AD；同理可得CE/EB=CD/BA。
将已知数据代入上式可得BE/ED=4/3，CE/EB=5/2。
因此BE=(4/7)AC=(4/7)×10cm≈5.71cm，ED=(3/7)AC=(3/7)×10cm≈4.29cm。
中位线定理
中位线定理中位线定理是指一个三角形的三条中线交于一点且这个点离三角形三个顶点的距离相等，这个点就是三角形的重心。
这个定理是三角形的基本定理之一，能够应用到许多数学问题中。
中位线的定义是连接三角形一边的中点和对面顶点的线段，一个三角形有三条中线。
所有三角形的中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
三角形的重心在中位线上的比例是2:1，即重心距离每条中位线的距离为中点距离这条中线的距离的两倍。
中位线定理的证明可以通过相似三角形和平行四边形的性质来得到。
设ABC是一个三角形，D、E和F分别是AB、BC和AC上的中点，G是三条中线的交点。
我们需要证明GD和EF平行且相等。
首先，我们知道DG和GE分别是DC和EB的一半，因为D和E是AB的中点，也就是说DE是AB的一半。
同样地，CG和GF分别是BE和AF的一半，因为F和B是AC的中点，所以FB的长度等于AC的一半，也就是GF和CG的长度。
因为DG和CG交于点G，所以DGCG是一个平行四边形。
同样地，GE和GF交于点G，所以GEFG也是一个平行四边形。
DG和GE的长度相等，CG和GF的长度也相等。
由平行四边形的性质可以得到，GD和EF平行且相等。
三角形的重心还有一些特殊的性质，比如它是三角形内心、外心和垂心的平均点，也是三条中线所构成的小三角形的面积最小的点。
这些性质可以通过三角形的其他定理和性质来证明。
在实际应用中，中位线定理可以用于计算三角形的重心的位置。
如果已知三角形的三个顶点的坐标，可以用中点公式计算中点的坐标，然后用重心的性质计算重心的坐标。
这对于计算三角形的重量、质心、离心率等问题非常有用。
此外，中位线定理还有一些扩展，比如垂径定理、角平分线定理、内心坐标公式等。
这些扩展定理都与三角形相关，可以用于解决各种数学问题。
中位线的定理
中位线的定理
中位线定理又称为中位定理，是指一条直线将一个图形分成两边，其中左边的面积与右边面积相等。
它可应用到多边形，圆，椭圆等图形上，它是由荷兰数学家乔治·杰斐森（George-Jouffroy）于1860年提出，现在它在数学的图形学中运用较为广泛。
中位线定理可以用如下方法来证明：
（1）绘制一个带有任意多个边的多边形，用线段l连接该多边形runing顶点，于此同时将其分为两部分，所构成的新多边形称为原多边形的子多边形。
（2）分别计算子多边形左边和右边的面积，然后将它们相加再各自除以2，余下的面积就是原多边形的1/2面积。
（3）将l line向右移动，然后重复上述步骤，得出的结论是不论移动的位置如何，左边的面积仍然等于右边的面积，从而得出中位线定理——原多边形的1/2面积等同于所有可能的两个子多边形的1/2面积之和。
中位线定理的最重要的应用之一就是计算多边形的面积，通过运用中位线定理可以把多边形的面积分成多个面积相等的子多边形，然后再求出每个小子多边形的面积，最后再把它们累加起来，就可以求出原多边形的面积了。
因此，大多数多边形的面积计算都是建立在中位线定理之上的。
此外，由于多边形可以把一个图形分割成两部分，因此中位线定理还可以用来求出扇形和圆周的面积。
我们可以把一个扇形或圆周等分成相等的子扇形或者子圆周，再用中位线定理求出每个小子扇形或子圆周的面积，最后累加起来，就可以得出扇形或圆周的面积了。
总之，中位线定理是数学中一个很好用的定理，其应用非常广泛，既可用于多边形面积计算，也可用于求出扇形或圆周的面积。
虽然这一定理已经存在了150多年，但是它仍然对现在的数学学习、研究和应用都有着重要的意义。
三角形中位线八种证明方法
三角形中位线八种证明方法一、定理：对任意三角形ABC，若∠A≡∠B≡∠C，三条边都相等，则三角形ABC的位线是平行的。
二、证明：1、依据角平分线定理，若在三角形中两个角A、B相等，则AB上的角平分线交于边BC上的点M，于是构成ABM与ACM两个三角形，由于∠A≡∠B≡∠C，得AB等于AC，BM 等于CM，则ABM等于ACM，即ABM // ACM，故三角形ABC的位线是平行的。
2、假设三条边AB、AC、BC相等，则可将三角形ABC移动到某一位置（如半平面），使得三边都分别与某一已知直线平行，即三角形ABC的位线就是平行的。
3、由锐角三角形两边相乘减去两个角的平方的定理知，若ABC是一个锐角三角形，则有AB*AC*BC=2(AC*BC+BC*AB+AB*AC)，由此可知，对于等边三角形来说，有AB*BC=(AC*BC+BC*AB+AB*AC)，即AB//BC；同理可得，AC//BC，由此证明位线是平行的。
4、由正三角形内角和为180°的边长比例定理可以得，对于正三角形ABC来说，有1336:a:b:c=1:1:1，由此可以得出结论：三边中任意两边之比等于三个顶点之比，故位线平行。
5、由正三角形外接圆半径的理论可得，当三角形ABC的三条边相等时，其外接圆必定是一个圆，因为，三条边相等，外接圆有唯一的半径，这说明，ABC和它的垂心圆O有四个公共点D、E、F、G，则DF // EG // AB // AC // BC，由此可知位线互相平行。
6、依据反三角形定理，若∠A≡∠B≡∠C，那么连接三边上中点之间这三条线互相平行，故位线互相平行。
7、由费马小定理可知，当满足幂函数关系：b²-ac=2a²b-2ab²+a³，则三角形ABC的位线互相平行。
证明三角形中位线定理向量的方法
证明三角形中位线定理向量的方法
1什么是位线定理
位线定理（又称三角形内心定理）是一种重要的三角数学定理。
它指出在一个三角形内，三条内角平分线的交点（又称三角形的内心），三条边的延长线的交点都在这三条内角平分线上，而且他们之间的比例是一个常量。
2位线定理向量的表示
位线定理可以用向量表示：若三角形ABC三个顶点处对应的位虚都是β1，β2，β3，则有：
β1A+β2B+β3C=O（该式中A,B,C是相应三个顶点处的向量）。
其中，位虚都是一个常量β。
3向量的诠释
上述式子可以进一步解释为，三个顶点处的向量分别表示三条边的朝向，按照他们的相应长度乘以对应位虚β1,β2,β3，然后把这三条边上的相乘结果相加，结果应该等于零向量。
4发展历程
位线定理由法国数学家瓦尔登提出于1822年，最早被在《朗贝尔几何集》中提出，历久不衰，后来由德国数学家贝克尔博士于1890年重新提出，并用维度假定的定理来证明向量的表示方法。
三角形中位线定理：
三角形中位线定理：
三角形中位线定理是指一个三角形的三条中位线交于一点，且该点距离三个顶点的距离相等。
具体来说，若在三角形ABC中，D、E和F分别是AB、BC和CA 的中点，则它们交于一点G，且AG=BG=CG。
中位线定理是三角形中的基本定理之一，它可以用于解决许多与三角形有关的问题。
例如，可以利用中位线定理证明三角形内任意一条线段的中点与三角形的三个顶点连线的交点共线；也可以利用中位线定理证明三角形的面积公式S=（1/2）×底边×高。
中位线定理还有一些其他有趣的应用，例如可以用它来构造一个等面积的平行四边形，或者用它来解决一些几何推理问题。
总之，中位线定理是三角形中的一个重要工具，它能够帮助我们更好地理解和解决与三角形有关的各种问题。
- 1 -。
中位线的判定定理
中位线的判定定理
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
1判定方法
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线。
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中点之间的线段为三角形的中位线。
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线。
2中位线定义
三角形：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。
其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。
但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。
其逆定理正确与否与上相仿。
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线.
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中
点之间的线段为三角形的中位线.
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线.
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
平行于第三边,并且是一边的中点的线段是中位线.这条还是一个定理,可以证明出来。
1.6中位线定理
1、6中位线定理
C B
如图，B、C两点被池塘隔开，现在要测量出B、 C两点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办 ？这时，在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找 出线段AB，AC的中点D、E，若测出DE的长， 就能求出池塘BC的长， 你知道这是什么道理呢？ · B 今天这堂课我们就要来 C · 探究其中的学问。
B
C
∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
D B
证法三：过点C作AB的平行 A 线交DE的延长线于F ∵CF∥AB， E F ∴∠A=∠ECF 又AE=EC，∠AED=∠CEF C ∴△ADE≌△CFE ∴ AD=FC 又DB=AD， ∴DB FC ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE// BC 且DE=EF=1/2BC
A
E
(2)若BC =10cm，
则EF = 5 ㎝。 (3)若EF =6cm，
E
F
C
则BC = 12 cm。 B
已知:三角形的各边分别为5cm,12cm, 13cm，则连结各边中点所成三角形的 15 周长为 —— cm。
2.5
12
13
6.5 6
5
解决问题
为了测量池塘的宽BC,在池塘一侧的平地 上选一点A,再分别找出线段AB，AC的中点D、 E，若测出DE的长， 就能求出池塘BC的长， 你知道为什么吗？
三角形中位线的性质定理 ：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一 半. 符号语言：
A D E
∵ DE是△ABC的中位线源自1 ∴ DE∥BC ， DE= BC 2
（位置关系）（数量关系）
C B 作用： 1、证明两条线段平行；
1 2、 证明一条线段是另一条线段的2倍或 ; 2
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猜一猜：
A
△ ABC的中位线DE与BC的
关系怎样？（从位置和数量
D
E
关系猜想）
DE∥BC, DE 1 BC
B
2
C
即：三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的 一半。
你能验证你的猜想吗？
已知： 如图：在△ABC中，D是AB的中点，
E是AC的中点。
求证：DE∥BC, DE= 1
A
BC. 2 分析:
∴ AE、DF互相平分（平行四边形
图 24.4.3
的对角线互相平分）．
例3：已知
ABCD中，AC、BD相交
于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD
的中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A
E F
B
H O
D G
C
⑤ 图中有__3___个平行四边形
⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是__6___
B
F
C
探究活动
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长有什么
关系？
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
设 计 方 案：
A
(中点)D
E(中点)
B
F
C
（中点）
A、B两点被池塘隔开，如何才 能知道它们之间的距离呢？
C
GH//EF
∴四边形EFGH是平行四边形
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
例1 求证三角形的一条中位线与第三边 上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF ＝FC． 求证： AE、DF互相平分．
A
D
F
B
C
E
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少 C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
A
E
D
F
H G
C
B
在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边 形EFGH的周长是 11 。
已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角 线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．
延长ED到F,使DF=ED , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
E
D
F 得CF=AE , ∠A=∠ACF
又可得CF=BE,CF//BE
所以四边形BCFE是平行四边形
BCLeabharlann 则有DE//BC,DE= 1 EF= 1 BC
22
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
例: 求证三角形的一条中位线与第三边
上的中线互相平分．
已知： 如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，AF
＝FC．
求证： AE、DF互相平分．
证明 连结DE、EF．
∵ AD＝DB，BE＝EC，
∴ DE∥AC（三角形的中位线平行
于第三边并且等于第三边的一
半）．
同理EF∥AB．
∴四边形ADEF是平行四边形．
D
E
D 中线DC
中位线DE
B
C
B
C
（1）相同之处——都和边的中点有关； （2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一
端点是三角形的顶点。
A
理解三角形的中位线
D
E
定义的两层含义:
B
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点，
那么DE为△ABC的中位线；
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
B
C
D
E/
/1 2
B
C
途 用 ① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
初试身手
A
.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、 AC、BC的中点
①③若A∠CA=D4cEm=,6B5C°=，6c则m，∠ABB==685c度m，，为什么？
D
E ②④若则若△△BCDA=EBFC8的的cm周周长，长=为则_9_2Dc_4m_，E_=4△_ DEFc的m周，长为是什_1_么2__？_
6.4三角形的中位线定理
三角形的中位线
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分 给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同， 请设计合理的解决方案。
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
D
E
你还能画出几条三角形的中位线？
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线 不同
A 概念对比 A
求证∠PMN＝∠PNM．
（第 4 题）
典例示范
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
H
E
B
F
答： 四边形EFGH为平行四边形。
D
证明：如图，连接AC
G
同∵理EEF得F是/：△/ 12AGABHC/C/的12 A中C位线
在AB外选一点C，连结AC和 BC，并分别找出AC和BC的中点M、 N，如果测得MN = 20m，那么A、 A B两点的距离是多少？为什么？
M
40
20
C
N
B
初初试试身身手手
如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点， E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动
而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ）C