中考复习分层训练34 专题二：分类讨论思想(含答案)

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中考数学复习分类讨论思想

分类讨论【知识要点】分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。

“物以类聚，人以群分”。

将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。

分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。

不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。

因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。

运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。

1命题动态：分类讨论思想是中考的必考内容，历年来，备受全国各省市命题者的青睐，题型多样，主要考察学生数学思维和逻辑推理能力，经常与分类讨论相关的题目有绝对值的化简与计算，三角形边角关系，等边三角形，实际问题以及动点问题中，难度系数较大，对学生能力要求很强，纵观广州近几年考卷，几乎都在动点问题和实际问题中，平均分值16分左右。

2 突破方法：a.牢固掌握概念，掌握概念间的区别与联系。

b.动点问题中的分类讨论是难点，需要同学们认真、细致的分析运动过程，依据动点某时刻所处的位置，化动为静，再利用平面几何知识去处理。

c.实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题，比如人数不能为小数，时间不能为负数等等。

【考点精析】考点1. 许多定义，定理，公式是分类的。

例1. 化简a 32a ---。

例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值【举一反三】1．化简：1x 2x --+考点2. 某些运算和推理过程需要分类例3. 已知0≠abc ，且,p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过A . 第一第二象限B 第二第三象限C 第三第四象限D 第一第四象限【举一反三】1．已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。

分层训练34 专题二：分类讨论思想(含答案)

专题二分类讨论思想1．圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为() A．1 B．3 C．1或2 D．1或32．已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝5 cm，则线段AC的长度为() A．3 cm或13 cm B．3 cm C．13 cm D．18 cm3．如图Z2－3，反比例函数y1＝k1x和正比例函数y2＝k2x的图象交于A(－1，－3)，B(1,3)两点，若k1x＞k2x，则x的取值范围是()图Z2－3A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞14．当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y＝ax在同一坐标系中的图象可能是()A B C D5．如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是() A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．16 cm或17 cm6．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算(未超过部份仍按每度电0.50元计算)．现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是()A B C D7．等腰三角形ABC的两边长分别为4和8，则第三边长为________．8．过反比例函数y＝kx(k≠0)图象上的一点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B，C.若△ABC的面积为3，则k的值为________．9．在实数范围内，比较代数式a与1a的大小关系．10．已知实数a，b分别满足a2＋2a＝2，b2＋2b＝2，求1a＋1b的值．11．在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图Z2－4中过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．(1)判断点M(1,2)，N(4,4)是否为和谐点，并说明理由；(2)若和谐点P(a,3)在直线y＝－x＋b(b为常数)上，求点a，b的值．图Z2－412．如图Z2－5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图Z2－513、若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．专题二分类讨论思想参考答案1．D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C7．8 8.±69．解：(1)当a ＝±1时，a ＝1a ；(2)当a ＜－1时，a ＜1a ；(3)当－1＜a ＜0时，a ＞1a ；(4)当0＜a ＜1时，a ＜1a ；(5)当a ＞1时，a ＞1a.10．解：若a ≠b ，可知a ，b 为方程x 2＋2x －2＝0的两实数根，由韦达定理，得a ＋b ＝－2，ab ＝－2，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－2－2＝1.若a ＝b ，则解关于a ，b 的方程分别，得a ＝b ＝－1＋3或a ＝b ＝－1－3，1a ＋1b ＝3＋1或1－ 3.11．解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)， ∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点． (2)由题意，得当a >0时，(a ＋3)×2＝3a ， ∴a ＝6.∴点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入，得b ＝9；当a <0时，(－a ＋3)×2＝－3a ， ∴a ＝－6.∴点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入，得b ＝－3. ∴a ＝6，b ＝9或a ＝－6，b ＝－3.12．解：(1)将A (－1,0)，B (3,0)，C (0,3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)如图D59，连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ，此时，△PAC 的周长最短(点A 与点B 关于l 对称)．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (3,0)，c (0,3)代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋b ＝0，b ＝3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3. ∴直线BC 的函数关系式y ＝x ＋3. 当x ＝1时，y ＝2，即点P 的坐标(1,2)．图D59(3)抛物线的对称轴为x ＝－b2a＝1，设M (1，m )，已知A (－1,0)，C (0,3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10. ①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得 m 2＋4＝m 2－6m ＋10，解得m ＝1； ②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得 m 2＋4＝10，解得m ＝±6； ③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得 m 2－6m ＋10＝10，解得m 1＝0，m 2＝6.当m ＝6时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M 的坐标为(1，6)或(1，－6)或(1,1)或(1,0)． 13、考点：四边形综合题．分析：（1）要证明BD 是四边形ABCD 的和谐线，只需要证明△ABD 和△BDC 是等腰三角形就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D 在上任意一点构成的四边形ABDC 就是和谐四边形；连接BC ，在△BAC 外作一个以AC 为腰的等腰三角形ACD ，构成的四边形ABCD 就是和谐四边形，（3）由AC 是四边形ABCD 的和谐线，可以得出△ACD 是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解答：解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC=∠BCA=60°．∵∠BAD=90°，∴∠CAD=30°，∴∠ACD=∠ADC=75°，∴∠BCD=60°+75°=135°．如图5，当AD=CD时，∴AB=AD=BC=CD．∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，∵AC=CD．CE⊥AD，∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∵AB=AD=BC，∴BF=BC，∴∠BCF=30°．∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC=∠ACE，∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，∴∠BCD=15°×3=45°．点评：本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．。

初中数学中考综合复习—分类讨论思想

初中数学中考综合复习—分类讨论思想一、复习要点：分类讨论一般步骤：（1）确定分类对象；（2）恰当合理分类：、；（3）逐类进行讨论；（4）综合概括叙述。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。

二、例题分析例1．有一块直角三角形的绿地，量得BC 、AC 两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，求扩充后所有可能的等腰三角形绿地的周长．(图2，图3备用)例2．已知抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点A 在x 轴上，与y 轴的交点为B （0，1），且b =－4ac ．(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线上是否存在一点C ，使以BC 为直径的圆经过抛物线的顶点A ？若不存在说明理由；若存在，求出点C 的坐标，并求出此时圆的圆心点P 的坐标；三、巩固练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3．△ABC 是半径为2 cm 的圆内接三角形，若BC ﹦2cm ，则∠A 的度数为。

4．在△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为_________5.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（）O x y A 例2题图 B A C 图1 B AC 图2 B A C 图3 BA. 2a b +B. 2a b -C. 2a b +或2a b -D. a+b 或a-b6．直线y=x+1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（）A 、4个B 、5个C 、7个D 、8个7. 如图，曲线C 是函数xy 6=在第一象限内的图象，抛物线是函数422+--=x x y 的图象．点),(y x P n （12n =，，）在曲线C 上，且x y ，都是整数．（1）求出所有的点()n P x y ，；（2）在n P（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．8. 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2(1)4y x k x =-+-+的图象与 y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ∆=．（1）求点A 与点B 的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．9．如图，点A ，B 在直线MN 上，AB ＝11厘米，⊙A ，⊙B 的半径均为1厘米．⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r （厘米）与时间t （秒）之间的关系式为r ＝1+t （t ≥0）．威海市（1）试写出点A ，B 之间的距离d与时间t （秒）之间的函数表达式；（2）问点A 出发后多少秒两圆相切？解题思路和方法：根据两圆相切位置关系，相切可分内切和外切，外切时,r R d += 内切时,r R d -=可求得t 值。

中考数学二轮专题复习3三分类讨论问题(含答案)

中考数学专题复习三分类讨论问题一、总体概述分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行研究和求解的一种数学解题思想。

对于因存在一些不确定因素、解答无法或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。

分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解。

要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏。

二、典型例题【例题1】已知直角三角形两边、的长满足，则第三边长为。

例2.⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB＝6㎝，CD＝8㎝，则AB和CD的距离是（）A. 7㎝B. 8㎝C. 7㎝或1㎝D. 1㎝图1例3.如图2，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD 上滑动。

当DM＝时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。

图2例4.如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。

设运动时间为秒。

⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。

⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？图3三、当堂达标1.如图4，D为△ABC边AB上一点，满足________条件时，△ADC∽△ACB。

图4 图5 图62. 如图5，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC•上的点。

如果_______，则△DEC≌△BFA（请你填上能使结论成立的三个条件）。

3.如图6所示，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，BD＝BE。

请你再添加一个条件，使得△BEA≌△BDC，并给出证明。

你添加的条件是：_________ ___________，根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形_______。

中考总结复习冲刺练：分类讨论题(含答案)

中考总结复习冲刺练：分类讨论题在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．类型之一直线型中的分类讨论直线型中的分类讨论问题主要是对线段、三角形等问题的讨论，特别是等腰三角形问题和三角形高的问题尤为重要.1．（沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80° C．65°或50°D．50°或80°2.(•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm3. （江西省）如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处，(1)求证：B′E=BF；(2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明.类型之二圆中的分类讨论圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，在解决圆的有关问题时，特别是无图的情况下，有时会以偏盖全、造成漏解，其主要原因是对问题思考不周、思维定势、忽视了分类讨论等．4.（湖北罗田）在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是___ __．5.（上海市）在△ABC中，AB=AC=5，3cos5B ．如果圆O的半径为10，且经过点B、C，那么线段AO的长等于．6.（•威海市）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）．（1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；（2）问点A出发后多少秒两圆相切？类型之三方程、函数中的分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.7.（上海市）已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．8.（福州市)如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNF E的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．参考答案1.【解析】由于已知角未指明是顶角还是底角，所以要分类讨论：（1）当50°角是顶角时，则（180°－50°）÷2=65°，所以另两角是65°、65°；（2）当50°角是底角时，则180°－50°×2=80°，所以顶角为80°。

中考数学专题复习分类讨论思想试题

分类讨论思想分类讨论思想在人们的思维、推理过程中起着重要的作用，它实际上是一种化整为零、分别对待、各个击破的思维策略。

也就是说，假如我们研究的问题包含多种情况，又不能一概而论时，就需要进展分类讨论。

按同一HY问题划分成假设干种不同的情形，并把每一种情形毫无遗漏地划分到某一类中去，再进一步讨论每一类情形的特性，得出每类情下相应的结论，即所谓分类讨论的思想。

分类时要注意分类HY要统一，且不重不漏；要掌握分类原那么、方法与技巧，做到“确定对象的全体、明确分类的HY〞。

典例：如图，在Rt△ABC中，∠B＝900，BC＝53，∠C＝300.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停顿运动。

设点D、E运动的时间是是t〔t>0〕秒。

过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.(1)求证：AE＝DF(2)四边形AEFD可以成为菱形吗？假如能，求出相应的t值；假如不能，说明理由。

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。

BCF练习：如图〔1〕，矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB ＝2AD 。

（1）判断△ABC 的形状，并说明理由（2）保持图〔1〕中△ABC 的固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图〔2〕中的位置〔垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧〕。

试探究线段AD 、BE 、DE 的长度之间有什么关系？并给予证明。

(3) 保持图〔2〕中△ABC 固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图〔3〕中的位置〔垂线段AD 、BE 、DE 的长度之间有什么关系，并给予证明励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

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中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析).doc

中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时，我们一般会先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的，再分别数出各叠钱数，最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。

这样做，比随意一张张地数的方法要快且准确的多，因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。

在数学中，分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的基础。

而在中考中，分类讨论思想也贯穿其中，几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都涉及分类讨论，由此可见分类思想的重要性，下面精选了几道有代表性的试题予以说明。

二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时，斜边长为10，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边，8是斜边时，此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=4 2、（北京市中考题）在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且，则∠BCA 的度数为____________。

解：①如图1，当△ABC 是锐角三角形时， ∠BCA=90°-25°=65°①如图2，当△ABC 是钝角三角形时， ∠BCA=90°+25°=115°图1 图23、（济南市中考题）如图1，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．（1）求PA 的长；（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，r 为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相．切．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中，305CAB BC ∠==，， 210AC BC ∴==． AE BC ∥，APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=，3101542PA ⨯==．（2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中，AB =15AE =，tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=．又30PAB ∠=，9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，， BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，，所以r的变化范围为5r <<．当⊙A 与⊙C 外切时，10R r +=，所以R的变化范围为105R -<<；当⊙A 与⊙C 内切时，10R r -=，所以R的变化范围为1510R <<+C Ｄ图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中，已知点P （－2，－1），点T （t，0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标； (2) 当t 取何值时，△P 'TO 是等腰三角形？解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2，1）（2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时，△TO P '∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时，△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时，△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时，△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述，符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式;(2)若S 梯形OBCD 求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P ,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.解：（1）直线AB 解析式为：y=33-x+3．（2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-x+3），那么OD ＝x ，CD ＝33-x+3． ∴OBCD S 梯形＝()2CD CD OB ⨯+＝3632+-x ．由题意：3632+-x ＝334，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，33）方法二：∵ 23321=⨯=∆OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴63=∆ACD S ．由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．∴ ACD S ∆＝21CD×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，33）．（３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，∴1P （3，33）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=33OB=1．∴2P （1，3）．当∠OPB ＝Rt ∠时③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．方法一：在Rt △PBO 中，BP ＝21OB ＝23，OP ＝3BP ＝23．∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （43，433）．方法二：设Ｐ（x ，33-x+3），得OM ＝x ，PM ＝33-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．∵tan ∠POM==OMPM =x x 333+-，tan ∠ABO=OBOA =3．∴33-x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （43，433）． ④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝33OM ＝43． ∴ 4P （43，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）．当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.综合得，符合条件的点有四个，分别是：1P （3，33），2P （1，3），3P （43，433），4P （43，43）．。

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专题二分类讨论思想
1．(2012年辽宁营口)圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为
( )
A ．1
B ．3
C ．1或2
D ．1或3
2．已知线段AB ＝8 cm ，在直线AB 上画线段BC ，使BC ＝5 cm ，则线段AC 的长度为( )
A ．3 cm 或13 cm
B ．3 cm
C ．13 cm
D ．18 cm
3．(2011年贵州贵阳)如图Z2－3，反比例函数y 1＝k 1
x
和正比例函数y 2＝k 2x 的图象交于A (－
1，－3)，B (1,3)两点，若k 1
x
＞k 2x ，则x 的取值范围是( )
图Z2－3
A ．－1＜x ＜0
B ．－1＜x ＜1
C ．x ＜－1或0＜x ＜1
D ．－1＜x ＜0或x ＞1
4．(2012年湖南张家界)当a ≠0时，函数y ＝ax ＋1与函数y ＝a
x
在同一坐标系中的图象可能是
( )
A B C D
5．(2011年山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm 和6 cm ，那么此三角形的周长
是( )
A ．15 cm
B ．16 cm
C ．17 cm
D ．16 cm 或17 cm 6．(2012年四川泸州)为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标
准：
(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算(未超过部份仍按每度电0.50元计算)．
现假设某户居民某月用电量是x (单位：度)，电费为y (单位：元)，则y 与x 的函数关系用图象表示正确的是( )
A B C D
7．等腰三角形ABC 的两边长分别为4和8，则第三边长为________．
8．(2011年四川南充)过反比例函数y ＝k
x (k ≠0)图象上的一点A ，分别作x 轴、y 轴的垂线，垂
足分别为B ，C .若△ABC 的面积为3，则k 的值为________． 9．在实数范围内，比较代数式a 与1
a 的大小关系．
10．已知实数a ，b 分别满足a 2＋2a ＝2，b 2＋2b ＝2，求1a ＋1
b 的值．
11．(2011年浙江绍兴)在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图Z2－4中过点P分别作x轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．
(1)判断点M(1,2)，N(4,4)是否为和谐点，并说明理由；
(2)若和谐点P(a,3)在直线y＝－x＋b(b为常数)上，求点a，b的值．
图Z2－4
12．(2012年江苏扬州)如图Z2－5，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的
点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图Z2－5
参考答案
1．D 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C 7．8 8.±6
9．解：(1)当a ＝±1时，a ＝1a ；
(2)当a ＜－1时，a ＜1
a ；
(3)当－1＜a ＜0时，a ＞1
a ；
(4)当0＜a ＜1时，a ＜1
a ；
(5)当a ＞1时，a ＞1
a
.
10．解：若a ≠b ，可知a ，b 为方程x 2＋2x －2＝0的两实数根，由韦达定理，得a ＋b ＝－2，ab ＝－2，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝－2
－2
＝1.
若a ＝b ，则解关于a ，b 的方程分别，得a ＝b ＝－1＋3或a ＝b ＝－1－3，1a ＋1
b ＝3＋1
或1－ 3.
11．解：(1)∵1×2≠2×(1＋2)，4×4＝2×(4＋4)， ∴点M 不是和谐点，点N 是和谐点． (2)由题意，得
当a >0时，(a ＋3)×2＝3a ， ∴a ＝6.
∴点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入，得b ＝9；当a <0时，(－a ＋3)×2＝－3a ， ∴a ＝－6.
∴点P (a,3)在直线y ＝－x ＋b 上，代入，得b ＝－3. ∴a ＝6，b ＝9或a ＝－6，b ＝－3.
12．解：(1)将A (－1,0)，B (3,0)，C (0,3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝2，
c ＝3. ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)如图D59，连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ，此时，△PAC 的周长最短(点A 与点B 关于l 对称)．
设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B (3,0)，c (0,3)代入上式，得
⎩⎪⎨⎪⎧ 3k ＋b ＝0，b ＝3，解得：⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝－1，b ＝3.
∴直线BC 的函数关系式y ＝x ＋3. 当x ＝1时，y ＝2，即点P 的坐标(1,2)．
图D59
(3)抛物线的对称轴为x ＝－
b
2a
＝1，设M (1，m )，已知A (－1,0)，C (0,3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10. ①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得 m 2＋4＝m 2－6m ＋10，解得m ＝1； ②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得 m 2＋4＝10，解得m ＝±6； ③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得 m 2－6m ＋10＝10，解得m 1＝0，m 2＝6.
当m ＝6时，M ，A ，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的点M 的坐标为(1，6)或(1，－6)或(1,1)或(1,0)．。