第八章：圆轴扭转
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1 A B
2 C
3 n D
T2 = −m2 − m3 = −(4.78 + 4.78) = −9.56kN⋅ m
10
③绘制扭矩图 Draw the torque diagram
T max = 9.56 kN ⋅ m
BC段为危险截面。 段为危险截面。 段为危险截面 Section BC is dangerous section .
目 的
①确定扭矩变化规律 To determine the rule of change of the torque |T| max 截面 的确定
purposes
To determine the location of dangerous section
8
[例1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW， 例 已知 一传动轴， 已知： ， ， ， P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。 ， ，试绘制扭矩图。 Example 1 The transmission shaft is shown as Fig.the input power of driver wheel C is 500KW The export powers of driven wheel A,Band D are 150KW,150KW,200KW.To draw the torque diagram of the transmission shaft .
3
8–1 扭转的概念及外力偶矩的计算
Concepts of torsion and how to calculate the external couple moment 轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、钻杆等。 工程中以扭转为主要变形的构件。 机器中的传动轴、钻杆等。 Shaft :the members create torsion deformation due to subjected to the external moments.such as the transmission shafts and drill pipes of the machines . 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶， 扭转的外力特点：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直。 垂直。 external forces:Two couples that have the same magnitude moment, the opposite direction and the plane of couples perpendicular to the axial line 变形特点： 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动 The deformation is that the external loads tend to twist one segment of the body with respect to the other
圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
第八章 扭转
二、选择题
1、阶梯圆轴的最大切应力发生在（ Ａ．扭矩最大截面 Ｃ．单位长度扭转角最大的截面 2、扭转切应力公式 ）。 Ｂ．直径最小的截面 Ｄ．不能确定 ）杆件。
MT 适用于（ Ip
Ａ．任意截面 Ｂ．任意实心截面 Ｃ．任意材料的圆截面 Ｄ．线弹性材料的圆截面 3、单位长度扭转 与（ ）无关。 Ａ．杆的长度 Ｂ．扭矩 Ｃ．材料性质 Ｄ．截面几何性质 解析：长度为 l 的等截面圆杆承受矩Ｍn 时，圆杆两端的相对扭转角为 式中ＧＩＰ称为圆杆的抗扭刚度。单位长度扭转角为
故，强度满足。 （2）刚度校核。 180 4774 .5 180 T ' max GI P 80109 0.14 10.54 32
0.37
故，刚度满足。
m
' 0.5
m
6、如图所示的空心轴，外径 D=69mm，内径 d=50mm，受均布力偶 m=0.2KN.m/m 的作用。 轴的许用应力[ ]=40MPa，[ ]=1.3o/m，G=80GPa。轴的长度 l=4m。试校核轴的强度和刚 度。
Mn 2 At
式中 t 为横截面的厚度（等厚度截面 t 为常数），Ａ为截面中线包围的面积。 截面的最大切应力发生在厚度最小处，即
max
Mn 2 At min
等厚度闭口薄壁杆件的扭转角为
M n sl （式中 s 为截面中线的长度） 4GA 2 t
9．当闭口薄壁杆件扭转时，横截面上最大切应力出现在最小厚度处。 （√） 10．受扭杆件所受的外力偶矩，经常要由杆件所传递的功率及其转速换算而得。（√） 解析：杆件所受外力偶（称为转矩）的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。若已 知轴传递的功率Ｐ（kW）和转速 n（r/min），则轴所受的外力偶矩Ｔ＝9549P/n（Ｎm）。
第八章圆轴扭转
§8 扭 转
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
如图所示汽车发动机将功率通过主轴AB传递给后桥，驱动车轮行使。
如果已知主传动轴所承受的外力偶矩、主传动轴的材料及尺寸情况 下，请分析（1）主传动轴承受的载荷；（2）主传动轴的强度是否 足够？
§8.1 圆轴扭转的概念 工程实例分析：工程上传递功率的轴大多数为圆轴。
改锥拧螺母-力偶实例
钻探机钻杆
大小不变，仅绕轴线发生相对转动（无轴向移动），这一 假设称为圆轴扭转的刚性平面假设。
圆轴变形试验
按照平面假设，可得如下两点推论： （1）横截面上无正应力； （2）横截面上有切应力； （3）切应力方向与半径垂直； （4）圆心处变形为零，圆轴表面变形最大。
二、扭转横截面切应力分布规律
（1）切应力的方向垂直于半径，指向与截面扭矩的转向 相同。
圆轴扭转的刚度计算
圆轴扭转变形的程度，以单位长度扭转角θ度量，其刚度条 件为：整个轴上的最大单位长度扭转角θmax不超过规定的单位长度 许用扭转角[θ] ，即
max
l
T GI p
[ ]
式中：θmax—轴上的最大单位长度扭转角；单位rad/m [θ] —单位长度许用扭转角;单位rad/m
工程上，单位长度许用扭转角常用单位为°/m ，考虑单位换
二、圆轴扭转时横截面上的内力—扭矩 （一）用截面法确定发生圆轴扭转变形截面的内力—扭矩，
用符号T 表示。
T=截面一侧（左或右）所有外力偶矩的代数和
（二）扭矩正负号的规定
按“右手螺旋法则”确定扭矩的正负：用四指表示扭矩的转向， 大拇指的指向与该截面的外法线方向相同时，该截面扭矩为正，反 之为负。
（三）扭矩图
三、举例应用
传动轴如图6-8a所示，主动轮A输入功率PA=120kW，从动轮B、C、D 输 出 功 率 分 别 为 PB=30kW ， PC=40kW ， PD=50kW ， 轴 的 转 速
扭转
扭转
d1
A
M e1
C
M e2
d2
B M e3
max
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第八章
扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
O
d 2 0 2
d
I P A dA 2 d d 4 D 3 WP 32 16
2
D
空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
d1
A M e1
C
M e2
d2
B M e3
解： 1.外力
M e2
M e1 9549
160 M e1 400
P 400 1 9549 7640 N m n 500 240 3060 N m M e3 M e1 4580 N m 400
第八章
2.扭矩图 3.直径d1的选取 按强度条件
输出功率为与外力偶功率应相等
计算外力偶矩的表达式为
P 1000 M e
M e N m 9549
PkW nr m
2n 60
第八章 二、外力偶矩的计算
扭转
P M 9549 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料 的61%，节约了材料。
第八章
扭转
例：传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率 P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。 已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。 (1)试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选同一直径，试确定直径d； (3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理?
第08章剪切和扭转
得
M x2 M x1
GI p2
GI p1
解得：
I p1
32
(d 4
d4 )
I p2
M x1 M x2
d d 4 1 M x1 0.08m 8cm M x2
8-6圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
（一）强度条件
受扭圆轴破坏的标志： 塑性材料：在试样表面的横向和纵向出现滑移线，
工程中常见受剪切连接构件
铆钉
（a）
焊缝
（c）
图3−2
销钉 （b） Me
键
轴 轮 （d）
8-2连接接头的强度计算
铆钉结构强度计算，其破坏断； （2）铆钉与钢板之间的挤压破坏； （3）钢板沿被削弱了的横截面被拉断。
剪切及挤压破坏
F
F
m m
解：1.确定铆钉数目N
P
每个铆钉所受剪力 Q=P/N P
每个铆钉所受挤压力Pbe=P/N
先按剪切强度条件确定N 再按挤压强度条件确定N
Q A
P/N
d2 /4
N
4P
d 2
3.64(个)
be
Pbe Abe
P/N td
be
N
td
P
be
2.5(个)
t
t
60
功率 时间
角速度
每分钟 的转数
M 60P(KW ) 9.549 P (KN m)
2n(r / min)
n
传动装置
8-4 扭矩的计算&扭矩图
工程力学--第八章_圆轴的扭转
rdf / dx
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
df /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可作类 似的分析。
1. 变形几何条件
MT
A
r
B r
rr
C
df
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，作类 似的分析。 同样有：
CC= dx=rdf
即得变形几何条件为：
rdf / dx --(1)
剪应变的大小与半径r成
2
TBC 2
B mx C
2 TBC
2
T
A
用假想截面2将圆轴切开 ，取左段或右段为隔离 体，根据平衡条件求得 ：
TBC=-mx
（3）作扭矩图
2mx +
B
–
Cx mx
[例8-2]图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率 PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承 传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图
4.78
6.37
15.9
4.78
简捷画法：
MT图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
向 按右手法确定
向
MT / kN m
20
5kN
3kN
10
N图
5kN
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
G
df
dx
A
r 2dA
MT
3. 力的平衡关系
令：
圆轴的扭转变形与刚度条件
第五节圆轴的扭转变形与刚度条件一、圆周的扭转变形圆轴受扭转时，除了考虑强度条件外，有时还要满足刚度条件。
例如机床的主轴，若扭转变形太大，就会引起剧烈的振动，影响加工工件的质量。
因此还需对轴的扭转变形有所限制。
轴受扭转作用时所产生的变形，是用两横截面之间的相对扭转角ϕ表示的，如下图所示。
由于γ角与ϕ角对应同一段弧长，故有ϕ·R = γ·l (a)式中的R是轴的半径，由剪切虎克定律，τ=G·γ，所以可得ϕ=τ·l/ (G·γ)(b)式中τ=M·R/ Jρ，代入(b)得：ϕ=M·l/ (G·Jρ)(1-46)公式(1-46)是截面A、B之间的相对扭转角计算公式，ϕ的单位是rad。
两截面间的相对扭转角与两截面间的距离l成正比，为了便于比较，工程上一般都用单位轴长上的扭转角θ表示扭转变形的大小：θ=ϕ/ l=M/ (G·Jρ)(1-47)θ的单位是rad/m。
如果扭矩的单位是N·m，G的单位MP a，Jρ的单位m4。
但是工程实际中规定的许用单位扭转角[θ]是以°/m 为单位的，则公式(1-47)可改写为：(1-48)式中G·Jρ称为轴的抗扭刚度，取决于轴的材料与截面的形状与尺寸。
轴的G·Jρ值越大，则扭转角θ越小，表明抗扭转变形的能力越强。
二、扭转的刚度条件圆轴受扭转时如果变形过大，就会影响轴的正常工作。
轴的扭转变形用许用扭转角[θ]来加以限制，其单位为°/m，其数值的大小根据载荷性质、工作条件等确定。
在一般传动和搅拌轴的计算中，可选取[θ]=0.5°/m～10°/m。
由此得出轴的扭转刚度条件：θ=M/ (G·Jρ)·(180/ π)≤[θ](1-49)圆轴设计时，一般要求既满足强度条件(1-45)，又要满足刚度条件(1-49)。
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[t]=0.8~1.0[s] (铸铁，脆性)
22
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2.刚度条件
扭另，单 （转一即位 弧圆方还统度轴 面 须一转必 ， 满为 换须 轴 足为/满 类 刚角m足零度，强件条）则度若件有条变。：件形q ，过max以大保，GT证则I 不不破能18坏正0o；常工[q作]
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GI 单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GI
11
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
+ 向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m + 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
M0
M0
T
取左边部分
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
T M0 T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
M0
T
正
M0
T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
7
简捷画法：
FN图（轴力）
2kN 8kN
T图
5kN
5kN 2kN 8kN
5kN
+向
5kN
3kN
+
FN 图
- 5kN
10kN m 10kN m
o
x
A
C B 20kN m
+ 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
A
B
C
8
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。
AD段 T3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
10
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN.m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A 5460N m M B M C 1640N m M D 2180N m
6
画扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
o
x
A
C B 20kN m
TAB
T / kNm
20
BC段：TBC TAB 10kN m
10
A
B
C
M BC 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
d
D
17
讨论：
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
T
ooooTTT
18
8.3.4 圆轴的扭转变形
相对扭转角 ：B截面相对于 AB
A截面的扭转角。若AB=L，则
100
B
C
20
2) 计算各段应力:
MA f18 MB
MC
f2 4 f2 2
BC段： N-mm-Mpa单位制
A 1000 B
t max 2
T2 WT 2
D23
T2 [1 -
d
]
16
D2
T /N.m
150
C
1000 100
100103 16
223 [1- (18 / 22)
4
]
86.7MPa
A
B
C
故 tmax=86.7Mpa
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB + T BC lBC
GI AB
GI BC
0 .183 rad
21
8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 1.强度条件 拉压
s max FN / A [s ] t max T /WT [t ]
[t]=0.5~0.6[s] (钢材，延性) [t]与[s]之关系：
32
WT
D3 ( 1- 4)
16
WT
D3
16
16
结论：
1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。
2） 截面任一处截面外圆周处（表面）
t=T/I
tmax=T/WT
实 心
tmax t
圆
oT
轴
D
tmax
空
T
t
心
圆
o
轴
解: 1) 画扭矩图。
MA f18 MB
MC
f2 4 f2 2
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-Mpa单位制
A
1000 B 1000 C
t max 1
T1 WT 1
D13
T1 [1 -
d
]
16
D1
T /N.m
150
150103 16
243
[1
-
(18
/
24)4
]
A
80.8MPa
=71mm 取 D=78mm
27
小结 杆的拉压 圆轴扭转
强度 设计
s
FN A
[s ]
t
max
T WT
[t ]
抗扭截 面模量：
实心轴
WT
D3
16
空心轴
WT
D3
16
(1- 4 )
刚度 设计
q T 180o [q ] GI
极惯性矩：实心轴
I
D 4
32
空心轴
I
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题和弹塑性问题
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工程构件分类:
杆
杆的基本变形:
板
块体
y x
z
轴向拉压
扭转
弯曲
2
8.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆
受力特点： 作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程:
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A
9.55
NA n
9.55 400 5.46kN m 700
MB
MC
9.55
NB n
9.55 120 700
1.64kN m
MD
9.55
ND n
9.55
160 700
2.18kN m
9
MB MC
g
A
AB
B
T
L
若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则
T/GI=const. , 故有： AB T L / GI
单位扭转角为：
d / dx T / GI
GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 19
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
7510-3(m) 75mm
25
2) 按刚度设计，有：
q max
T GI
180o
T
GD4 / 32
180o
[q
]
则有： 4 D
32
M 180°
max
G 2[q ]
4
32 3280 180
80109 2 1
69.9 10-3 (m) 70 mm N-m-pa单位制
(1
]
-
2
)
/
1
D
3
16 T max
(1- 4)[t ]
3
16 3280 (1 - 0.54 )40 106
=76.4mm
按刚度设 计，有：
q max
T
G D 4 (1 - 4 ) / 32
180 o
[q ]
则有：
D
4
32 3280180
80109 2 (1- 4 ) 1
解: 1) 画扭矩图。
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
2) 按强度设计，有：
t max
T WT
T D
3/16
[t
]
MB MC
B
C
T /kN.m
22
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2.刚度条件
扭另，单 （转一即位 弧圆方还统度轴 面 须一转必 ， 满为 换须 轴 足为/满 类 刚角m足零度，强件条）则度若件有条变。：件形q ，过max以大保，GT证则I 不不破能18坏正0o；常工[q作]
轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GI 单位长度的扭转角为：q =AB/L=T/GI
11
讨论：试作扭矩图
M A 40kN.m 10kN.m 10kN.m o
x
10kN.m 10kN.m 40kN.m 20kN.m A
B
CD
o
x
A BC D
+ 向 按右手法确定
求反力偶： M A 20kN m + 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
T图
T / kNm
20
T图
A
B
C
D
M0
M0
T
取左边部分
M0 假想切面
外力偶
扭矩
由平衡方程：
平衡
M0
T M0 T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 应当有相同的大小和正负。
扭矩
外力偶
平衡
5
扭矩的符号规定：
M0
T
正
M0
T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
7
简捷画法：
FN图（轴力）
2kN 8kN
T图
5kN
5kN 2kN 8kN
5kN
+向
5kN
3kN
+
FN 图
- 5kN
10kN m 10kN m
o
x
A
C B 20kN m
+ 向 按右手法确定
T / kNm
20 10
A
B
C
8
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。
AD段 T3 2.18kN m
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
10
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN.m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A 5460N m M B M C 1640N m M D 2180N m
6
画扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
o
x
A
C B 20kN m
TAB
T / kNm
20
BC段：TBC TAB 10kN m
10
A
B
C
M BC 20kN m 20kN m
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
d
D
17
讨论：
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?
T
ooooTTT
18
8.3.4 圆轴的扭转变形
相对扭转角 ：B截面相对于 AB
A截面的扭转角。若AB=L，则
100
B
C
20
2) 计算各段应力:
MA f18 MB
MC
f2 4 f2 2
BC段： N-mm-Mpa单位制
A 1000 B
t max 2
T2 WT 2
D23
T2 [1 -
d
]
16
D2
T /N.m
150
C
1000 100
100103 16
223 [1- (18 / 22)
4
]
86.7MPa
A
B
C
故 tmax=86.7Mpa
3) 计算扭转角AC
AC
TAB l AB + T BC lBC
GI AB
GI BC
0 .183 rad
21
8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 1.强度条件 拉压
s max FN / A [s ] t max T /WT [t ]
[t]=0.5~0.6[s] (钢材，延性) [t]与[s]之关系：
32
WT
D3 ( 1- 4)
16
WT
D3
16
16
结论：
1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横 截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转 向确定。
2） 截面任一处截面外圆周处（表面）
t=T/I
tmax=T/WT
实 心
tmax t
圆
oT
轴
D
tmax
空
T
t
心
圆
o
轴
解: 1) 画扭矩图。
MA f18 MB
MC
f2 4 f2 2
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-Mpa单位制
A
1000 B 1000 C
t max 1
T1 WT 1
D13
T1 [1 -
d
]
16
D1
T /N.m
150
150103 16
243
[1
-
(18
/
24)4
]
A
80.8MPa
=71mm 取 D=78mm
27
小结 杆的拉压 圆轴扭转
强度 设计
s
FN A
[s ]
t
max
T WT
[t ]
抗扭截 面模量：
实心轴
WT
D3
16
空心轴
WT
D3
16
(1- 4 )
刚度 设计
q T 180o [q ] GI
极惯性矩：实心轴
I
D 4
32
空心轴
I
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题和弹塑性问题
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工程构件分类:
杆
杆的基本变形:
板
块体
y x
z
轴向拉压
扭转
弯曲
2
8.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆
受力特点： 作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程:
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A
9.55
NA n
9.55 400 5.46kN m 700
MB
MC
9.55
NB n
9.55 120 700
1.64kN m
MD
9.55
ND n
9.55
160 700
2.18kN m
9
MB MC
g
A
AB
B
T
L
若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则
T/GI=const. , 故有： AB T L / GI
单位扭转角为：
d / dx T / GI
GI 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 19
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m MC=100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
7510-3(m) 75mm
25
2) 按刚度设计，有：
q max
T GI
180o
T
GD4 / 32
180o
[q
]
则有： 4 D
32
M 180°
max
G 2[q ]
4
32 3280 180
80109 2 1
69.9 10-3 (m) 70 mm N-m-pa单位制
(1
]
-
2
)
/
1
D
3
16 T max
(1- 4)[t ]
3
16 3280 (1 - 0.54 )40 106
=76.4mm
按刚度设 计，有：
q max
T
G D 4 (1 - 4 ) / 32
180 o
[q ]
则有：
D
4
32 3280180
80109 2 (1- 4 ) 1
解: 1) 画扭矩图。
最大扭矩在AB段，且
T 3280N m
2) 按强度设计，有：
t max
T WT
T D
3/16
[t
]
MB MC
B
C
T /kN.m