《基本不等式》第2课时教学设计
基本不等式教学设计(多篇)
基本不等式教学设计（多篇）第1篇：基本不等式教学设计基本不等式一、教学设计理念：注重学生自主、合作、探究学习，用新课程理念打造新的教学模式.二、教学设计思路： 1.教学目标确定这节课的目标定位分为三个层面：第一层面：知识与技能层面，①了解两个正数的算术平均数和几何平均数的概念；②要创设几何和代数两个方面的背景，从数形结合的高度让学生了解基本不等式；③引导学生从不同角度去证明基本不等式；④用基本不等式来证明一些简单不等式.第二层面：过程与方法，通过掌握公式的结构特点，适当运用公式的变形，能够提高学生分析问题和解决问题的能力，加强学生的实践能力，渗透数学的思想方法.第三层面：情感、态度与价值观，①通过具体问题的解决，让学生去感受日常生活中存在大量的不等关系，鼓励学生用数学观点进行归纳，抽象，使学生感受到数学美，走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维方式；②通过问题的解决，激发学生探究精神和科学态度，同时去感受数学的运用性，体会数学的奥妙，数学的简洁美，激发学生学习数学的兴趣.2.教学过程本节课我设计了五个环节：第一个环节：创设情境，引入新课.我设计了两个情境：一个是天平测量的问题，另一个是让学生动手操作折纸试验，从不同的角度体验和理解基本不等式，让学生能够体会数学与生活紧密联系，激发学生学习兴趣，为后面学习作铺垫.第二个环节：探究交流，发现规律.我在问题的情境中，让学生带着不同的数据去比较几何平均数和算术平均数的大小，并通过小组折纸试验，通过这样合作交流的方式让学生初步感受到几何平均数和算术平均数之间的大小关系.第三个环节：启发引导、形成结论.本节课的重要任务就是对基本不等式进行严格的证明，包括了比较法，综合法和分析法，而学生对作差比较法是比较熟悉的，综合法和分析法的过程要加强引导，并组织学生去探究这两种方法之间的关系，并规范证明过程，为今后学习证明方法打下基础.第四个环节：训练小结，巩固深化.学习基本不等式最终的目的体现在它的运用上，首先在例题选择上，注重让学生充分认识和间的关系，给出一般的结论，在练习中我选择了题组形式，目的是与让学生强化对基本不等式成立条件包括等号成立的条件.第五个环节：研究拓展，提高能力.我设计了一道关于例题的变式题，目的是让学生感受到，通过适当的变形将其化为例题中出现的形式，体现化归的思想，最后设计三道思考题，两道进一步巩固化归思想及应用基本不等式的条件，一道需要分类讨论，让学有余力的学生提供更好展示自己能力的机会，得到进一步提高.最后我通过问题式的小结，让学生自行归纳我们这节课当中学到的知识，特别是最后一问中，让学生去总结在使用基本不等式的时候要注意哪些条件.虽然我没有点出“一正二定三相等”这样的结论，但已潜移默化为我们下一节课使用基本不等式求最值问题作了铺垫，起到承前启后的作用.三、本节课重点重点：应用数形结合的思想和日常生活中例子理解基本不等式，并从不同的角度探索不等式的证明过程.难点：灵活使用化归思想把问题转化为运用基本不等式，以及基本不等式成立条件中包括等号成立的条件.在这一节中的主要任务就是让学生从不同的角度去探索基本不等式的证明过程，包括它的成立条件，在这一节课中我的总体想法是通过互动，发现规律，直接猜想，指定验证，得出结论，最后灵活运用这个结论来解决问题.四、本节课亮点：1.积极引导学生自主探究问题，解决问题.2.灵活运用转化与化归的思想.3.实现课堂三大转变：①变教学生学会知识为指导学生会学知识；②变重视结论的记忆为重视学生获取结论的体验和感悟；③变模仿式学习为探究式学习.4.课堂小结采取问题式小结给学生留下满口香.导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？?（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）?? 推进新课师同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？?【三维目标】：一、知识与技能1.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题2.进一步掌握用基本不等式求函数的最值问题；3.审清题意，综合运用函数关系、不等式知识解决一些实际问题．4.能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸。
《基本不等式》教学设计【高中数学人教A版必修1(新课标)】
《2.2基本不等式2a b +≤》教学设计 教材分析：“基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.教学目标【知识与技能】1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2.2a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.教学重难点【教学重点】2a b+≤的证明过程； 【教学难点】1.2a b+≤等号成立条件； 2.2a b+≤求最大值、最小值.教学过程1.课题导入前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：一般地，∀a,b ∈R ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立特别地，如果a >0，b >0，我们用√a ,√b 分别代替上式中的a ，b ，可得√ab ≤a+b 2①当且仅当a =b 时，等号成立.通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，a+b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，√ab 叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.思考:上面通过考察a 2+b 2=2ab 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下.2.讲授新课1）2a b+≤特别的，如果a ＞0,b ＞0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥，(a>0,b>0)2a b+≤2）2a b+≤用分析法证明：要证2a b+≥（1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b -≥0 （3） 要证（3），只要证 （-）2≥0 （4） 显然，（4）是成立的.当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立.探究1：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ,BC =b .过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD .2a bab +的几何解释吗？ 易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.例1 已知x >0，求x ＋1x 的最小值.分析：求x ＋1x 的最小值，就是要求一个y 0（=x 0＋1x ），使∀x >0，都有x ＋1x ≥y .观察x +1x ，发现x ∙1x =1.联系基本不等式，可以利用正数x 和1x 的算术平均数与几何平均数的关系得到y 0=2. 解：因为x >0，所以x ＋1x ≥2√x ∙1x =2当且仅当x =1x ，即x 2=1，x =1时，等号成立，因此所求的最小值为2.在本题的解答中，我们不仅明确了∀x >0，有x ＋1x ≥2，而且给出了“当且仅当x =1x ，即=1，x =1时，等号成立”，这是为了说明2是x ＋1x （x >0）的一个取值，想一想，当y 0<2时，x ＋1x =y 0成立吗？这时能说y .是x ＋1x （x >0）的最小值吗？例2已知x，y都是正数，求证：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2√P；S2.（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14证明：因为x，y都是正数，所以x+y≥√xy.2（1）当积xy等于定值P时，x+y≥√P，2所以x+y≥2√P，当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2√P.（2）当和x+y等于定值S时，√xy≤S,2所以xy≤1S2，4S2.当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，积xy有最大值14例3（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短.（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大.解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm，ym，篱笆的长度为2（x+y）m.（1）由已知得xy=100.由x+y2≥√xy，可得x+y≥2√xy=20，所以2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时，上式等号成立因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m.（2）由已知得2（x+y）=36，矩形菜园的面积为xym2.由√xy≤x+y2=182=9，可得xy≤81，当且仅当x=y=9时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81m2. 例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m2，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了.因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低. 解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为2元.根据题意，有z=150×48003+120（2×3x+2×3y）=240000+720（x+y）.由容积为4800m3，可得3xy=4800，因此xy=1600.所以z ≥240000+720×2√xy ，当x =y =40时，上式等号成立，此时z =297600.所以，将贮水池的池底设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元. 【设计意图】例题讲解，学以致用. 3.随堂练习1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2√ab ＞0 b ＋c ≥2√bc ＞0 c ＋a ≥2√ca ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2√ab ·2√bc ·2√ca ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc . 【设计意图】讲练结合，熟悉新知. 4.课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（a+b 2），几何平均数（√ab ）及它们的关系（a+b 2≥√ab ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤a 2+b 22，ab ≤（a+b 2）2.我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.教学反思：略。
3.4基本不等式第2课时精品教案
3.42a b+≤【课题】3.4.22a b+≤的应用 【教学目标】12a b+≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题22a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】2a b+≤的应用 【教学难点】2a b+≤求最大值、最小值。
值是A.233 cm 2B.4 cm 2C.32 cm 2D.23 cm 2解析：设两段长分别为x cm ，（12－x ） cm ，则S =43（3x ）2+43（312x -）2=183（x 2－12x +72）=183［（x －6）2+36］≥23. 答案：D 2． 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 解析：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000xx l ++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元答案：当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元3一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解析：法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2答案：菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 24.建筑一个容积为8000 m 3、深6 m 的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a 元／米2，池底造价为2a 元／米2，把总造价y 元表示为底的一边长x m 的函数，其解析式为___________，定义域为___________.底边长为___________ m 时总造价最低是___________元.解析：设池底一边长x （m ），则其邻边长为x 68000（m ），池壁面积为2·6·x ＋2·6·x68000＝12（x ＋x 68000）（m 2），池底面积为x ·x 68000＝68000（m 2），根据题意可知蓄水池的总造价y （元）与池底一边长x （m ）之间的函数关系式为y ＝12a （x ＋x 68000）＋38000a .定义域为（0，＋∞）.x ＋x 68000≥2x x 68000⋅＝34030（当且仅当x =x 68000即x =32030时取“=”）.∴当底边长为32030 m 时造价最低，最低造价为（16030a ＋38000a ）元. 答案：y =12a （x +x 68000）+38000a （0，+∞） 32030 16030a +38000a5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x （x ∈N ）的关系为y =－x 2+12x －25，则每辆客车营运______________年可使其营运年平均利润最大.A.2B.4C.5D.6解析：设年平均利润为g （x ），则g （x ）=x x x 25122-+-=12－（x +x 25）.∵x +x25≥2x x 25⋅=10，∴当x =x25，即x =5时，g （x ）max =2. 答案：C6如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比现有制箱材料60平方米，问a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(A 、B 孔面积忽略不计)解析：法一：设y 为流出的水中杂质的质量份数，根据题意可知：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数依题意要使y 最小，只需求ab 的最大值由题设得：4b ＋2ab ＋2a ＝６0 （a ＞0，b ＞0） 即a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0)∵a ＋2b ≥2ab 2 ∴2ab ⋅2＋ab ≤30 当且仅当a ＝2b 时取“＝”号，ab 有最大值∴当a ＝2b 时有2ab ⋅2＋ab ＝30,即b 2＋2b －1５＝0解之得：b 1＝3，b 2＝－５（舍去)∴a ＝2b ＝６故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少解析：法二：设y 为流出的水中杂质的质量份数，由题意可知：4b ＋2ab ＋2a ＝６0（a ＞0，b ＞0）∴a ＋2b ＋ab ＝30 （a ＞0，b ＞0）,∴b ＝aa+-230 （0＜a ＜30） 由题设：y ＝abk，其中k ＞0且k 是比例系数，依题只需ab 取最大值 ∴y ＝264322302+-+-=+-=a a ka a a k ab k ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-264)2(34a a k≥18264)2(234k a a k=+⨯+- ∴当且仅当a ＋2＝264+a 时取“＝”号，即a ＝６，b ＝3时ab 有最大值18 故当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少答案：当a ＝６米，b ＝3米时经沉淀后流出的水中杂质最少。
《基本不等式(第2课时)》教学设计
第三章 不等式3.4.2 基本不等式第二课时（王乙橙）一、教学目标1.核心素养: 通过学习基本不等式，提升学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.2.学习目标（12a b+≤（2）熟练应用基本不等式求最值；（3）能够应用基本不等式解决一些简单的实际问题. 3.学习重点通过师生共同研究，进一步掌握基本不等式2a b+≤，并会用此不等式求最大、最小值. 4.学习难点基本不等式求最值中取等的条件；“一正二定三相等”中定值的运用.二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1.基本不等式ab ≤a+b2及其应用，注意常用的一些结论：(1)a 2+1 2a (2)a +1a 2(a >0) (3)b a +a b 2(a,b 同号) （4）2___()2a b ab +2.预习自测1、已知x 、y 都是正数，xy =15，则x ＋y 的最小值为答案：2、已知x 、y 都是正数，x +y =15，则xy 的最大值为 答案：22543、已知x 、y ＞0，且x +y =1,则P =x +1x +y +1y 的最小值为 .答案：5 二、解答题3、设x 、y 满足x +4y =40,且x,y ∈R +,求lg x +lg y 的最大值. 解析：2,,4404040,10.lg lg lg(404)lg lg(404)lg 4(10)0,10.100(10)lg 4(10)lg 4lg1002210,5,20lg lg 2.x y R x y x y y x y y y y y y y y y y y y y y y y y x x y +∈+=∴=-><∴+=-+=-⋅=-><∴->-+⎡⎤∴-≤⨯==⎢⎥⎣⎦-===∴+即又等号成立时的最大值为（二）课堂设计 1.知识回顾比较两个不等式222a b ab +≥2a b+的异同点 2.问题探究问题探究一 如何利用函数单调性求最值●活动一 例1 已知函数f (x )＝x ＋ax (a >0).(1)证明：f (x )在区间(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数； (2)求f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值. 【解析】 (1)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)＋(a x 2－ax 1)＝(x 2－x 1)＋a (x 1－x 2)x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－ax 1x 2)＝(x 2－x 1)x 1x 2(x 1x 2－a )，当0<x 1<x 2≤a 时，x 1x 2<a . ∴f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1). 当x 2>x 1≥a 时，x 1x 2>a .∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1).故f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上为减函数，在[a ，＋∞)上为增函数. ∴函数f (x )＝x ＋ax (a >0)的图像如图所示.(2)由(1)可知f (x )在(0，＋∞)上的最小值f (x )min ＝f (a )＝2a .【点拨】基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b 均大于0)求最值(值域)时，必须具备“一正、二定、三相等”的条件.如果“相等”条件不具备就可能造成错解.为了解决这个问题，我们引进一个函数f (x )＝x ＋ax (a >0)，利用它的单调性来完善上述解法的不足，作为使基本不等式“完美”的补充. ●活动二 思考：函数y ＝x 2＋2＋1x 2＋2的最小值是不是2？如不是，应为多少？ 【解析】 不是，若用基本不等式求最小值，则需要条件：x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＝－1，但此式不成立.应用单调性求解：设t ＝x 2＋2(t ≥2)，则y ＝t ＋1t 在[2，＋∞)上单调递增，∴最小值为2＋12＝322. ●活动三 思考：求函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值. 【解析】 令t ＝sin x ，∵x ∈(0，π)，∴t ∈(0,1].由例1(1)知函数f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,2]上是单调减函数，∴f (t )＝t ＋4t 在t ∈(0,1]上也单调递减.∴f (t )≥f (1)＝5，故y min ＝5.问题探究二 如何利用基本不等式求代数式的最值●活动一 思考：x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的最小值. 【解析】 ∵x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝(1x ＋1y )·(x ＋2y )＝3＋x y ＋2y x ≥3＋2x y ·2yx ＝3＋2 2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝2y xx ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝2－1y ＝1－22时取等号.故1x ＋1y 的最小值为3＋2 2.●活动二 思考：x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.方法一 【思路分析】 减少元素个数.根据条件1x ＋9y ＝1解出y ，用只含x 的代数式表示y ，代数式x ＋y 转化为只含x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值. 【解析】 由 1x ＋9y ＝1，得x ＝yy －9.∵x >0，y >0，∴y >9. x ＋y ＝yy －9＋y ＝y ＋y －9＋9y －9＝y ＋9y －9＋1＝(y －9)＋9y －9＋10. ∵y >9，∴y －9>0， ∴y －9＋9y －9＋10≥2(y －9)·9y －9＋10＝16，当且仅当y －9＝9y －9，即y ＝12时取等号. 又1x ＋9y ＝1，则x ＝4.∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取最小值16.方法二 【思路分析】 在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法.【解析】∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x>0，y>0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号.又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【点拨】(1)要创造条件应用均值定理，和定积最大，积定和最小.多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值.(2)注意“1”的代换技巧.(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤2 4.∴1x＋1y≥2xy≥82＝4 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.●活动三及时回馈：(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值.(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值.【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋2 2.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.问题探究三●活动一思考：若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的范围；(2)a＋b的范围.【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab>0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3，即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号.(2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b2)2.令t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 【点拨】利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. 第②问也可用如下方法解之：由已知b ＝a ＋3a －1>0， ∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6. ●活动二 思考：正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________.【解析】 由基本不等式得xy ≥22xy ＋6，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18. 问题探究四 利用基本不等式证明不等式●活动一 思考：已知a,b,c,d 都是实数，且+=1,+=1,求证：≤1.【证明】 ∵a,b ，c ，d 都是实数，所以22222222222a cb d ac bd ac bd ac bd ++++++≤+≤+=又∵+=1,+=1,∴≤1.●活动二 思考：a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.【解析】 b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ). ∵a >0，b >0，c >0，∴b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2.同理，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2. ∴b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6.【点拨】解题过程中，把数、式合理地分拆，或者恒等地配凑适当的数或式，这是代数变形常用的方法，也是一种解题的技巧.在本节中应用较多，请同学们仔细体会，总结并掌握规律.●活动三 思考：(1)已知a 、b 、c 都是正数，求证：ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )≥6abc . (2)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】（1） 左边＝a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)＋c (a 2＋b 2)≥a ·2bc ＋b ·2ca ＋c ·2ab ＝6abc ＝右边，∴不等式成立. （2）∵a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9. 3.课堂总结 【思维导图】【重难点突破】利用均值不等式求最值时，应注意的问题（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑. （2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值. （3）确保等号成立.以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”. 4.随堂检测1.下列函数中，最小值为4的函数是( )A.y ＝x ＋4xB.y ＝sin x ＋4sin x C.y ＝e x ＋4e －x D.y ＝log 3x ＋log x 81 【知识点：基本不等式，取等条件】 解：C2.已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y ＝lg2则1x ＋13y 的最小值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3【知识点：基本不等式，对数运算性质】 解：C3. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C.5D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.4.已知两个正变量x ，y ，满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：(－∞，94]5.设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是________.【知识点：基本不等式，对数运算性质】解：[6，＋∞)（三）课后作业基础型自主突破1.若x，y∈R，且x＋2y＝5，则3x＋9y的最小值()A.10B.6 3C.4 6D.18 3 【知识点：基本不等式，指数式】解：D2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝（）.A.－3B.2C.3D.8 【知识点：基本不等式，取等条件】解：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，由x＞－1，得x＋1＞0，9x＋1＞0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1×9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案 C3.若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为_____.【知识点：基本不等式】解析(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋22ab＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号.答案94.已知a>3，求a＋4a－3的最小值为.【知识点：基本不等式，配凑】解：75.已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值.【知识点：基本不等式】 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立. 因此有⎩⎨⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 能力型 师生共研1. (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C.5 D.6 【知识点：基本不等式】解：C ∵x ＋3y ＝5xy ，∴15y ＋35x ＝1.∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×1＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝3x 5y ＋95＋45＋12y 5x ≥135＋23x 5y ·12y5x ＝5，当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时等号成立.2.已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则a 2＋4b 2＋1ab 的最小值为（ ）A.72B.4C.16136D.172【知识点：基本不等式】解：因为1＝a ＋2b ≥22ab ，所以ab ≤18，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号.又因为a 2＋4b 2＋1ab ≥2a 2·4b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab .令t ＝ab ，所以f (t )＝4t ＋1t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18单调递减，所以f (t )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝172.此时a ＝2b ＝12.答案 D3.已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【知识点：基本不等式】解 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，令x ＋3y ＝t ，则t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6. 答案：64.设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x 1＋y 2的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2×x 2＋1＋y 222＝2×x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x ＝32，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫即x 2＝1＋y 22时，x 1＋y 2取得最大值324.探究型 多维突破1.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy 取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A.0B.98C.2D.94 【知识点：基本不等式综合应用】解：含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值. z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4y x －3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y 时“＝”成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2 (y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. 【答案】C2.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A.1B.6C.9D.16【知识点：基本不等式综合应用】解：方法一：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ⇒(a －1)(b －1)＝1， 所以1a －1＋9b －1≥21a －1×9b －1＝2×3＝6. 方法二：因为1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ， 所以1a －1＋9b －1＝b －1＋9a －9ab －a －b ＋1＝b ＋9a －10＝(b ＋9a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b －10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b ＝1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋9b －1＝(b －1)＋9b －1≥29＝2×3＝6. 答案：B自助餐1.设0,0a b >>，若2是22a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为( )A.8B.4C.2D.1【知识点：基本不等式，等比数列】解：D2.（2013·重庆卷）(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A.9B.92 C.3 D.3 22【知识点：基本不等式】解：B因为－6≤a≤3，所以(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－32时等号成立，故选B.3.设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为()A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【知识点：基本不等式】解：A4.已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项a m，a n使得a m a n＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32 B.53 C.94 D.256【知识点：基本不等式，等比数列】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，所以q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去). 因为a m a n＝4a1，所以q m＋n－2＝16，所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6，所以1m＋4n＝16(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋4n＝16⎝⎛⎭⎪⎫5＋nm＋4mn≥16(5＋4)＝32.当且仅当nm＝4mn时，等号成立，故1m＋4n的最小值等于32.答案：A6.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.3，＋∞)B.(－∞，3]C.(－∞，6]D.6，＋∞)【知识点：基本不等式，恒成立】解：D7.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为________.【知识点：基本不等式】 解：由a ＋b 2≤a 2＋b 22，得3x ＋2y ≤ 2×(3x )2＋(2y )2＝2×3x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号. 答案：2 58.若不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________.【知识点：基本不等式，恒成立】解：因为不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y ≥16对任意正实数x ，y 恒成立，所以16≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y min .令f (x )＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋4y (a >0)，则f (x )＝a ＋4＋ay x ＋4xy ≥a ＋4＋2ay x ·4xy ＝a ＋4＋4a ，当且仅当x y ＝a2时取等号，所以a ＋4a ＋4≥16，解得a ≥4， 因此正实数a 的最小值为4. 答案：49.下列命题中正确的是________(填序号). ①y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最大值是2－43； ②y ＝sin 2x ＋4sin 2x 的最小值是4； ③y ＝2－3x －4x (x ＜0)的最小值是2－4 3. 【知识点：基本不等式综合应用】解：①正确，因为y ＝2－3x －4x ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4x ≤2－23x ·4x ＝2－4 3.当且仅当3x ＝4x ，即x ＝233时等号成立.②不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g(t)＝t＋4 t，显然g(t)在(0,1]上单调递减，故g(t)min＝g(1)＝1＋4＝5.③不正确，因为x＜0，所以－x＞0，最小值为2＋43，而不是2－4 3. 答案：①10.已知a>b>c，若1a－b＋1b－c≥na－c，求n的最大值.【知识点：基本不等式】解：方法一∵1a－b＋1b－c≥na－c，且a>b>c，∴n≤a－ca－b＋a－cb－c＝(a－c)2(a－b)(b－c).∵对a、b、c上式都成立，∴n≤[(a－c)2(a－b)(b－c)]min.又∵(a－c)2(a－b)(b－c)≥(a－c)2[(a－b)＋(b－c)2]2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.方法二∵a>b>c，∴a－ca－b＋a－cb－c＝(a－b)＋(b－c)a－b＋(a－b)＋(b－c)b－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2＝4.∴n≤4，∴n的最大值为4.11.（2015高考重庆）设,0,5a b a b>+=,.【知识点：基本不等式】解：23由222ab a b≤+两边同时加上22a b+得222()2()a b a b+≤+两边同时开方即得：a b+≤0,0a b>>且当且仅当a b=时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）. 12.为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4＜x ≤10。
基本不等式教案
基本不等式（均值定理）2b a ab +≤，（>>）（教案）一、学习目标知识目标：理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题．掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值．能力目标：培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力．情感目标：通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育．通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质．二、重点：理解均值不等式．难点：均值不等式的应用． 三、学习过程： （引出新课）对任意两个正实数,数2a b+均数之间的不等关系可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数。
我们把这一基本不等式称之为均值定理，因此又叫均值不等式（板书课题）符号表示为：若∈ ,2a b+问题：能证明吗？（作差法）问题: 能不能用几何方法证明上面的基本不等式呢? 下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释：令正实数、为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为2a b+线段,然后比较这两条线段的长。
（）作线段,使; （）以为直径作半圆 （）过点作⊥于,交半圆于 （）连接，， ，则 2a b +当≠时，>，即2a b+>当时，，即2a b+=均值不等式与不等式≥的关系如何？ 区别：的范围不同。
联系：均值不等式是≥的特例。
小组讨论：判断以下几个均值不等式的应用是否正确？若不正确，说明理由。
（） ∵1x ≥,当且仅当时等号成立，∴ 1x的最小值是.（）.解：（）求函数1x （≥）的最小值.解: ∵>,∴1x≥,∴函数的最小值是.学生小组讨论得出求最值的条件:一正二定三相等一、配凑 . 凑系数例. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
高中数学基本不等式(二)教案新课标人教A版必修5
小结：
通过例2及变式一、二阐明解决函数最值问题可以转化为二次函数解决，也可以通过基本不等式解决。例2构造和为定值而并非积为定值，强调如何构造定值要根据题设决定，从而使学生对不等式成立的条件有更深刻的认识。
小组讨论、合作交流促进学生积极地思考，体验构造定值的思维过程。
理清本节课的学习重点，养成归纳总结的学习习惯，为后续学习打下良好的基础。
教学难点
如何构造定值并保证利用基本不等式求最值时能满足三个条件.
教学过程
设计意图
一、情景引入：货物运输问题
进货结束后装车运回。所购大米需装3辆卡车，途径一座长为100米的大桥，假设卡车均以v（m/s）的速度匀速前进，并出于安全考虑规定每两辆卡车的间距不得小于 m（卡车长忽略不计），则全部卡车安全过桥最快需多少时间？
函数模型为：
二、例题讲解：
例1：
激发学生学习的积极性，在复习旧知识的基础上为新课教学做好必要的铺垫。
通过例1探索：
运用不等式“正值”的条件和“积为定值”的构造。
变式一、二引导学生完成，进一步理解一正二定的前提条件，通过学生反馈学生理解知识过程中出现的问题，强化学生对基本不等式成立条件的认识。
。
例2：
基本不等式（二）教案
课题
3.4基本不等式（二）
课型
习题课
授课教师
时间
教学目标
1、知识目标：进一步理解基本不等式成立的三个条件.
2、能力目标：熟练构造定值利用基本不等式求定值。.
3、德育目标：通过对基本不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题。
教学重点
利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等.
三、练习巩固：
2.2 基本不等式 教学设计(1) Word版
2.2.2 基本不等式（第2课时）本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节《基本不等式》第2课时。
从内容上看是对基本不等式在实际问题中应用的学习，通过问题解决，发展学生数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养。
在学法上要指导学生：从实际问题中列出数量关系式，进而运用基本不等式解应用题，数学建模能力也是本节要体现的重要素养。
对例题的处理可让学生先思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
1.重点：在实际问题中建立不等关系，并能正确运用基本不等式求最值；2.难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件多媒体（一）、小试牛刀1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (2)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (3)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( )答案：（1） × （2）× （3） √2．已知x ＋y ＝1且x >0，y >0，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6 解析：法一：1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝1xy ≥1⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，法二：1x ＋1y ＝x ＋y x ＋x ＋y y ＝2＋y x ＋x y ≥4，当且仅当x ＝y ＝12时取等号．答案：C（二）、探索新知问题1.用篱笆围成一个面积为100m 的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy =篱笆的长为2（x y +）m由2x yxy +≥， 可得 2100x y +≥，2（x y +）40≥等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两变量值相通过课堂小测，了解学生对基本不等式的掌握情况，暴露问题及时纠正。
高一数学必修一 教案 第2课时 基本不等式的应用
第2课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值 用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 预习小测 自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．答案 18解析 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝18，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析 总运费与总存储费用之和y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 答案 8解析 年平均利润y x＝－x ＋18－25x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”． 4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________． 答案 6 解析 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2， ∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6. 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9xy，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y＝1可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2x －1y －9＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究 若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2x －8×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0， 得8x ＋2y＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫8x ＋2y＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18.当且仅当8y x ＝2xy，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y＝1＋4＋y x＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x>0，4xy>0，∴y x＋4x y≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x＋4xy≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4xy，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y min ＝9. 二、基本不等式在实际问题中的应用例 2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋20Q 元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)解 设该批产品的利润为y ，由题意知y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋20Q ·Q －2⎝ ⎛⎭⎪⎫Q ＋1Q －x＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋x ＋1，0≤x ≤3.∵21－⎣⎢⎡⎦⎥⎤4x ＋1＋x ＋1≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少． 解 由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1， 生产1 000千克该产品需要的时间是1 000x，所以生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000x(x 2＋9)＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x，∴y ＝225x ＋3602x－360.∵x >0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋a x(a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4答案 B解析 x 2－x ＋1x －1＝x x －1＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b的最小值为________．答案 4解析 2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4＋a b ＋4b a≥12(4＋24)＝4. 当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4.5．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是________ m 3. 答案 16解析 设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫20－2t －18t≤2⎝⎛⎭⎪⎫20－22t ·18t ＝16，当且仅当t ＝3，即a ＝2，b ＝4时等号成立．1．知识清单：(1)已知x ，y 是正数．①若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． ②若x ·y ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件．1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝x y，即x ＝4y ＝12时，等号成立．2．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ×(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a b＋2b a ≥6×(5＋4)＝54， 当且仅当2a b ＝2ba时，即a ＝b ＝18等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s ， ∵b >a >0，则v ＝2s s a ＋s b＝2ab a ＋b <2ab2ab＝ab ， 又2ab a ＋b >2ab2b＝a ，故选A. 4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 由x 2＋3xy －1＝0，可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x .又x >0，所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析 依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋m n ≥3＋2＝5，当且仅当m ＝n ＝12时取等号．故选B.6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C (单位：mg ·L －1) 随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝20tt 2＋4，则经过_______ h 后池水中该药品的浓度达到最大． 答案 2解析 C ＝20t t 2＋4＝20t ＋4t. 因为t >0，所以t ＋4t≥2t ·4t＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立. 所以C ＝20t ＋4t≤204＝5，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2时，C 取得最大值．7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y 40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋40－x 22＝400，当且仅当x ＝20时，取等号，即当x ＝20 m 时，面积最大．8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)满足关系y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大． 答案 5解析 ∵y ＝－x 2＋12x －25，∴年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ＋12≤－2x ·25x＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立．9．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20.(1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵2x ＋5y ＝20，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ≥210xy ， ∴210xy ≤20，即xy ≤10， 当且仅当x ＝5，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为10.(2)1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·120(2x ＋5y ) ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋5＋5y x ＋2x y ＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120(7＋210)， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为120(7＋210)． 10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2360L/h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资) 解 设总费用为y 元． 由题意，得y ＝76.4×100x ＋7.2×100x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2360＝9 800x＋2x (40≤x ≤100)．因为y ＝9 800x＋2x ≥219 600＝280.当且仅当9 800x＝2x ，即x ＝70时取等号．所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.11．设0<x <1，则4x ＋11－x 的最小值为( )A ．10B ．9C ．8 D.272答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0， 4x＋11－x ＝[x ＋(1－x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋11－x ＝4＋41－x x ＋x 1－x ＋1≥5＋241－xx·x1－x＝5＋2×2＝9. 当且仅当41－xx＝x1－x， 即x ＝23时，等号成立．∴4x ＋11－x的最小值为9. 12．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b 的上确界为( )A ．－92 B.92 C.14D ．－4答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1， 所以12a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92.13．一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的序号是( )①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②③④答案 A解析 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于①(1,4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1， 根据基本不等式满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意；对于②(6,8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6， 根据基本不等式不满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意；对于③(7,12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式满足xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，符合题意；对于④⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则x ＋y ＝14，xy ＝3， 根据基本不等式不满足xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意．综合，可作为数对(S ，l )的序号是①③. 14．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 {m |m >－10}解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2x －1·4x －1＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为{m |m >－10}．15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥19 解析 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23， 又a >0， 则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a x 2＋1·1x 2＋1＝2a ，当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1x 2＋12时等号成立，则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19.16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？ 解 设2020年该产品利润为y ， 由题意，可知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29， ∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。
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《基本不等式
2a b ab +≤》第2课时教学设计
授课类型：新授课
【教学目标】 1．知识与技能：进一步掌握基本不等式2
a b ab +≤
；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 2．过程与方法：通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a b ab +≤
，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
【教学重点】 基本不等式2
a b ab +≤的应用 【教学难点】 利用基本不等式2
a b ab +≤求最大值、最小值。
【教学过程】
1.课题导入
1．重要不等式：
如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a b a b a ,
2
为+的算术平均数，称b a ab ,为 ab b
a a
b b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实
数，而后者要求a,b 都是正数。
2.讲授新课
例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?
解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy=100，篱笆的长为2（x+y ） m 。
由2
x y xy +≥， 可得 2100x y +≥， 2()40x y +≥。
等号当且仅当x=y 时成立，此时
x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜2
1，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤212
2236236()28
x x +-= 当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2
解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m ,则2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为xy m 2。
由
18922
x y xy +≤
==，可得 81xy ≤ 当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立。
因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a
＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤4
2
M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.
例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得
)1600(720240000x
x l ++= 297600
4027202400001600
2720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥x
x 当.2976000,40,1600有最小值时即l x x
x ==
因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
3.随堂练习
1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋
2
81x 的值最小?最小值是多少? 2．课本第113页的练习1、2、3、4 4.课时小结
本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。
在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；
(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。
5.评价设计
课本第113页习题[A]组的第2、4题。